考点02 一元一次不等式（12种题型）（专项训练）数学新教材人教版七年级下册

考点02 一元一次不等式 考点一：一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等号两边都是整式；②不等式只含有一个未知数；③未知数的次数是1. 【注意】含有一个未知数就隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知ax+4＞1（a是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了a≠0. 一元一次不等式的一般形式：或. 考点二： 一元一次不等式的解集的表示方法 1）用不等式表示：如一元一次不等式的解集是x≥-2. 2）用数轴表示：要确定边界点和方向： （1）确定边界点，实心圆点表示该点的数值能取到，空心圆圈表示该点的数值取不到. （2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 考点三：一元一次不等式解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 考点四： 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤类似，即: (1)审:认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. (2)设:设出适当的未知数，并且用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. (3)列:根据题中的不等关系，列出不等式. (4)解:解出所列不等式的解集. (5)答:写出答案，并检验答案是否符合题意 题型一：一元一次不等式的判定 1）看式子是不是由不等号连接而成的；2）看不等式两边是不是整式(分母中是否含有未知数)； 3）看不等式两边是否只含有一个未知数；4）看未知数的次数是不是1. 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．根据一元一次不等式的定义分析判断即可． 【详解】解：①，是方程，不是一元一次不等式； ②，是一元一次不等式； ③，是代数式，不是不等式； ④，是一元一次不等式； 综上，一元一次不等式的个数为2个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①⑤为一元一次不等式，共2个，其它都不是． 故选B． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 题型二：根据一元一次不等式的定义求参数 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，解题关键是掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，得出，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得，且， ∴， 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解一元一次不等式，先根据一元一次不定式的定义求出k的值，再代入解不等式即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且， 解得， ∴原不等式为， 解得． 故选：D． 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）若是关于的一元一次不等式，则满足的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义：只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式是解题的关键．根据一元一次不等式的定义即可求解． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 8．（2024七年级下·安徽·专题练习）当_____时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型三：解一元一次不等式 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集．正确地求出不等式的解集是解题的关键．注意在数轴上表示不等式的解集时，含等号，用实心点，不含等号，用空心点． 先求出不等式的解集，在数轴上表示出解集，进行判断即可． 【详解】解： 解得， ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： ， 故选：D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的求解，需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步计算即可． 【详解】解： 两边同时乘3去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 故选：B． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示如图所示，则阴影部分盖住的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的基本步骤得出不等式解集，再将求得的不等式代入数轴上表示出即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 12．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）关于的不等式与的解集相同，求的值． 【答案】 【分析】首先根据解不等式的方法，求出两个不等式的解集和，根据两个不等式的解集相同，可知，进而求出答案． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∵两个不等式的解集相同， ∴， ∴ 13．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 【答案】(1) ，见解析 (2) ，见解析 【分析】（1）按照解不等式的步骤求解即可； （2）按照解不等式的步骤求解即可；系数化为时，注意不等号的方向是否变化. 【详解】（1）解：， ， ， ， ； 在数轴上表示为： （2）解：， ， ， ， ， . 在数轴上表示为： 题型四：判断解一元一次不等式的错误步骤 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……………………………………第一步 移项，得．………………………………………第二步 合并同类项，得．……………………………………………第三步 化系数为1，得．……………………………………………………第四步 (1)去分母的依据是______； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 【答案】(1)不等式的性质2 (2)三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查解不等式，并用数轴表示不等式的解集： （1）根据不等式的性质，进行作答即可； （2）根据解不等式的步骤，进行判断即可； （3）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，解不等式，进而在数轴上表示出解集即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2； （2）解：三，四，不等式的两边同除以时不等号方向未改变； （3）解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 化系数为1，得， 这个不等式的解集在数轴上表示如下图： 15．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得：，第一步 即，第二步 移项得：，第三步 计算得到：，第四步 系数化为1，两边同时除以，得：．第五步 任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ； （2）第五步的解题依据是 ； 任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ； 任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 【答案】（1）一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号；（2）不等式的基本性质3；（3）；（4）移项时，不等号的方向不变 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 任务一：（1）观察解答过程，按照解一元一次不等式的容易出现的问题进行解答即可； （2）观察第五步的解答过程，利用不等式的性质进行解答即可； 任务二：（3）按照解一元一次不等式的一般步骤，求出不等式的解集即可； 任务三：（4）按照解一元一次不等式容易出现的问题进行解答即可． 【详解】解：任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第一步开始出现错误，他的错误原因是：括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号， 故答案为：一；括号前是“－”号，去括号后第二项没有变号； （2）第五步的解题依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质3； 任务二：（3）， ， ， ， ， ， 故答案为： 任务三：（4）移项时，不等号的方向不变（答案不唯一）． 16．（24-25七年级下·河北承德·期末）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 【答案】(1)否 (2)一，当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可） (3) 【分析】本题主要考查解不等式，掌握不等式的性质是关键． （1）根据材料提示方法即可求解； （2）根据去分母、去括号的计算判定即可； （3）根据不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据去分母的计算得到，， 去括号得，， ∴原式计算错误，故解答错误， 故答案为：否； （2）解：根据去分母，去括号的计算得到从第一步开始出错， ∴当分子上是多项式时，去分母时，要用括号将分子放在括号中，去括号时，当括号外面是减号时，括号里各项要变号（答案合理即可）； （3）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类型得，， 系数化为1得，． 题型五：在数轴表示不等式的解集 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的性质是解题的关键． （1）去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，解集在数轴上表示即可． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 解集在数轴上表示如图所示． 18．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，数轴见解析 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，涉及去分母、去括号、移项、合并同类项和化系数为1等步骤，再把解集在数轴上表示，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号得 合并得 移项得 合并得 数轴表示： （2）解： 去分母，两边乘15得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： （3）解： 去分母，两边乘12得 去括号得 合并得 移项得 合并得 化系数为1得 数轴表示： 19．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）解下列不等式，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题考查解不等式，在数轴上表示出不等式的解集，熟练掌握解不等式的步骤，是解题的关键： （1）去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； 在数轴上表示解集如图： （2）， ， ， ， ， 解得； 在数轴上表示解集如图： 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)，见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． （3）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，在数轴上表示该不等式的解集，即可作答． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1，得； ∴在数轴上表示出来： （2）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 系数化1得，； ∴在数轴上表示出来： （3）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化1得，． ∴在数轴上表示出来： 题型六：已知一元一次不等式的解集求参数范围 21．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质及其解法，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．运用不等式的基本性质，不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．求解即可． 【详解】解：不等式的解集为， ， ∴； 故选：D． 22．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，根据不等式的性质，列出关于a的不等式，确定出a的范围即可，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得， 数轴上表示符合D， 故选：D． 23．（24-25七年级下·山东东营·期末）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，因为不等式的解集是，所以不等式的两边同时除以不等号的方向发生改变，根据不等式的基本性质三可知：，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， 不等式的两边同时除以时不等号的方向发生改变， ， 解得：． 故答案为：． 题型七：一元一次不等式与新定义问题 24．（24-25七年级下·山东泰安·期末）定义新运算，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义，解一元一次不等式，正确理解新定义是解题的关键． 根据新运算的定义，当左边的数小于右边的数时，结果为右边的数，因此，由可知，解此不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 因此，的取值范围是， 故选：B． 25．（24-25七年级下·全国·周测）新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据定义的新运算可得，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 26．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）定义一种新运算：，如：．若，求m的最小整数值． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据新定义将所求不等式化成一般不等式成为解题的关键． 先根据新运算的定义建立不等式，然后再解不等式并确定最小值整数解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小整数值2． 题型八：一元一次不等式与实际问题 27．（24-25七年级下·全国·期中）某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式，求解的最小整数值． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为，根据题意得： ， 解得， 为整数， ， 故至少答对道． 故选：D． 28．（25-26七年级上·重庆北碚·月考）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为12分钟时需要的抽水机台数． 【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b， 根据题意得：， 解得：，， 如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：      故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台． 故选：C． 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要________t龙眼加工成桂圆肉． 【答案】15 【分析】设用于加工桂圆肉的龙眼为 吨，则加工龙眼干的龙眼为 吨。根据加工效率和销售价格，列出销售额的不等式，解不等式即可． 本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意找出题目中的不等关系是解决问题的关键． 【详解】解：设把吨龙眼加工成桂圆肉，则加工成龙眼干的龙眼为吨． 桂圆肉的产量为吨，销售额为万元； 龙眼干的产量为吨，销售额为万元． 总销售额满足． 化简得，即， 则， 解得． 故答案为：15． 30．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 31．（24-25七年级下·全国·周测）“双十一”购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 0.8 1.2 售价/（万元/套） 1.5 2 A产品按原售价打八折出售，B产品按原售价打九五折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍．若使得促销获利不少于65万元，则B产品至少售出几套？ 【答案】44 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式解决问题． 设产品售出套，则产品售出套．利用单件利润=售价×折扣进价，总利润=单件利润×销售数量，结合促销获利不少于万元，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：设产品售出套，则产品售出套． 由题意，得， 解得． ∵为整数， ∴的最小整数值为． 答：产品至少售出套． 题型九：一元一次不等式与几何问题 32．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和图形列出不等式即可解得． 【详解】根据题意和图形可得， 解得：， 故选：D 【点睛】此题考查了不等式的应用，解题的关键是根据题意列出不等式． 33．（12-13八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 34．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 35．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，_______米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． (3)若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n（）块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是________．（写出满足条件的n的值） 【答案】(1)； (2)； (3)65或78． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的实际应用、列式计算等知识点，理解题意、读懂图形、找到等量关系，列出方程组或不等式是解题的关键． （1）根据方案一可得，由方案一、二可得乙和丙的宽相等，从而可得； （2）从窗户中得出丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，根据题意列出方程组求解即可； （3）设有a块大玻璃片按方案一切割，根据能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，确定a的范围，由丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，列出方程求出整数解即可． 【详解】（1）解：由方案一可知：(米)， 方案一、二可得乙和丙的宽相等，则(米)． 故答案为：． （2）解：根据题意得，丙型玻璃是乙型玻璃的2倍， 由题意可得：，解得：． （3）解：设有a块大玻璃片按方案一切割，则有块按方案二切割，根据有160块甲型玻璃，则乙型玻璃的个数不多于160片， ∴，即， ∵丙型玻璃是乙型玻璃的2倍， ∴，解得：（其中，且a，n都是正整数）， ∴当时，；当时，． 综上所述，n的值是65或78． 故答案为：65或78． 题型十：求一元一次不等式的特殊解 求一元一次不等式的整数解时，要注意端点的取舍，做到不重不漏，也可以借助数轴直观地求解. 36．（21-22八年级上·浙江嘉兴·月考）满足不等式的最小整数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是求解不等式的整数解，解不等式即可找到最小整数解． 【详解】解：∵ 移项：， 整理得：， 解得： 所以不等式的最小整数解为． 故答案为： 37．（24-25七年级下·四川巴中·期中）不等式的负整数解是_____，负整数解之和是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．把未知数的系数化为1，即可求解． 【详解】解：， 解得：， ∴负整数解是， ∴负整数解之和是． 故答案为：；． 38．（24-25七年级下·四川巴中·期中）不等式的所有非负整数解的和是_____． 【答案】6 【分析】本题考查了求一元一次不等式的整数解，先移项再合并同类项，系数化1，得，再结合非负整数解的定义进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴不等式的非负整数解分别为 则， 故答案为：6 39．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于的方程的解不小于，且是一个非负整数，试确定的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解题意． 解方程，写出关于的表达式，根据方程的解不小于，列不等式，结合是一个非负整数，可得的值，从而可得的值． 【详解】解：由得， ∵关于的方程的解不小于， ∴， ∴， 又∵是一个非负整数， ∴， 当时，， ∴， 答：的值为． 题型十一：求一元一次不等式解的最值 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 41．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 42．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 题型十二：解|x|≥a型的不等式 解含有绝对值的不等式有两种主要的方法:(1)根据绝对值的几何意义求解；(2)分类讨论去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式(组)求解. 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，利用“一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为非正数”这一性质列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， 移项得 两边同时除以3，得． 故选：C． 45．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义和绝对值不等式，由对值的几何意义得表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，即可求解；理解绝对值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为， 无解， ， 故选：D． 46．（24-25九年级上·上海·自主招生）若满足关于的不等式的解的最大值为，则_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、解不等式，由不等式解的最大值为，可知时不等式成立，且时不等式不成立，代入得，即，分别验证和，发现时，满足不等式，故排除；，时满足且时不满足，因此符合条件． 【详解】解：当时，不等式化为， 即， 解得：， 当时， 代入， 可得：，不等式成立， 但，与最大值为矛盾； 当时， 代入， 可得：，成立； 当时，， ， 左边， 当时，， 故不等式不成立； 满足条件． 故答案为：． 47．（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式： 【答案】或 【分析】本题主要考查了解带绝对值的不等式，分，和三种情况，分别去绝对值，再解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得； 当时， ∵， ∴，即，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴， 解得； 综上所述，或． 1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 【答案】 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 【答案】(1)①；；② (2)对或对 (3)当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同 【分析】本题考查了分段函数在实际问题中的应用，通过建立甲、乙两厂的收费函数，利用方程和不等式求解收费相同及费用更省的情况，熟练运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据甲厂“固定模具费每对制造费”的收费模式，以及乙厂“不超过对和超过对”的分段收费规则，分别列出对应 x 取值范围的收费表达式； （2）分“不超过对”和“超过对”两种情况，令甲、乙两厂收费函数相等，通过解方程求出收费相同时的采购数量； （3）分“不超过对”和“超过对”两种情况，分别建立甲厂收费小于、等于、大于乙厂收费的不等式，通过解不等式确定不同采购数量下更节省费用的工厂选择． 【详解】（1）解：由题意可得，当不超过时，甲厂的收费为元，乙厂的收费为元，当超过时，乙厂的收费为元； （2）解：当不超过时，， 解得：； 当超过时，， 解得：； 答：采购对或对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同； （3）解：当不超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 当超过时， ，解得：， ，解得：， ，解得：， 答：当或时，选乙厂更节省费用；当时，选甲厂更节省费用；当或时，两厂收费相同． 3．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次不等式，正确解方程和不等式是解题的关键．先解方程得到关于的表达式，再根据解为负数得到不等式，结合是非正整数，求出所有符合条件的值并求和． 【详解】解：， ， ， ， ， 关于的方程的解为负数， ， ， 所有符合条件的非正整数为：，，，，， 所有符合条件的非正整数的和为：． 5．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 【答案】(1)；或 (2) (3)；； (4)；；或 (5) 【分析】此题主要考查了一元一次不等式，理解绝对值的意义，掌握解一元一次不等式的方法解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于；：小于或大于的数的绝对值大于，即可得解； （2）根据题意可得出大于而小于的数的绝对值小于，列出不等式计算即可； （3）根据大于而小于的数的绝对值小于，可得不等式，分开写即为不等式组，然后解不等式组即可； （4）根据小于或大于的数的绝对值大于，得到不等式组求解即可； （5）根据大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于，得到不等式组求解即可． 【详解】（1）根据阅读材料可知，：大于而小于的数的绝对值小于， 的解集为：； 根据阅读材料可知，：小于或大于的数的绝对值大于， 的解集为：或． 故答案是：，或． （2）根据题意可得：大于而小于的数的绝对值小于， ， 解得：． 故答案是：． （3）根据题意可得，：大于而小于的数的绝对值小于， ， 化为不等式组为， 解得， 不等式的解集为． 故答案是：；；． （4）根据题意可得，：小于或大于的数的绝对值大于， 或， 解得：或． 故答案是：；；或． （5）由题意可得，：大于或等于而小于或等于的数的绝对值小于或等于， ， 可得不等式组， 解得， 不等式组的解集为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 一元一次不等式 考点一：一元一次不等式 定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等号两边都是整式；②不等式只含有一个未知数；③未知数的次数是1. 【注意】含有一个未知数就隐含着未知数的系数不等于0.例如，如果已知ax+4＞1（a是常数）是一元一次不等式，那么就隐含了a≠0. 一元一次不等式的一般形式：或. 考点二： 一元一次不等式的解集的表示方法 1）用不等式表示：如一元一次不等式的解集是x≥-2. 2）用数轴表示：要确定边界点和方向： （1）确定边界点，实心圆点表示该点的数值能取到，空心圆圈表示该点的数值取不到. （2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 考点三：一元一次不等式解法 步骤 具体做法 注意事项 去分母 把不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后分子整体加上括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外的因数是负数时，去括号后括号内的各项都要变号. 移项 把含有未知数的项移到不等式左边，常数项都移到不等式右边 1）移项时不等号的方向不改变； 2）所移的项改符号，不移的项不变号. 合并同类项 根据合并同类项法则，把不等式整理成或 的形式 只把系数（含符号）相加，字母及字母的指数不变 系数化为1 两边都除以a将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数； 2)根据a的符号决定不等号的方向是否发生改变. 考点四： 列一元一次不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤类似，即: (1)审:认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中的不等关系，要抓住题设中的关键字眼，如“大于”“小于”“不小于”“不大于”“至少”“最多”等. (2)设:设出适当的未知数，并且用含未知数的代数式表示出题目中涉及的量. (3)列:根据题中的不等关系，列出不等式. (4)解:解出所列不等式的解集. (5)答:写出答案，并检验答案是否符合题意 题型一：一元一次不等式的判定 1）看式子是不是由不等号连接而成的；2）看不等式两边是不是整式(分母中是否含有未知数)； 3）看不等式两边是否只含有一个未知数；4）看未知数的次数是不是1. 1．（24-25七年级下·上海·月考）下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·四川成都·月考）下列式子：①，②，③，④，一元一次不等式的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二：根据一元一次不等式的定义求参数 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式是一元一次不等式，则m的值是（   ） A．1 B． C． D．不能确定 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·河南周口·期中）若是关于的一元一次不等式，则满足的条件是______． 8．（2024七年级下·安徽·专题练习）当_____时，不等式是一元一次不等式． 题型三：解一元一次不等式 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）不等式的解集在数轴上表示如图所示，则阴影部分盖住的数是（   ） A． B． C． D． 12．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）关于的不等式与的解集相同，求的值． 13．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）解不等式，并把解集在数轴上表示出来 (1) (2) 题型四：判断解一元一次不等式的错误步骤 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得．……………………………………第一步 移项，得．………………………………………第二步 合并同类项，得．……………………………………………第三步 化系数为1，得．……………………………………………………第四步 (1)去分母的依据是______； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现______处错误，其中最后一处错误在第______步，错误的原因是______； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上； 15．（24-25七年级下·山西临汾·期末）下面是小茗同学解不等式的过程，请认真阅读，完成相应任务． 解：去括号，得：，第一步 即，第二步 移项得：，第三步 计算得到：，第四步 系数化为1，两边同时除以，得：．第五步 任务一：（1）小茗同学的解答过程中，从第 步开始出现错误．他的错误原因是 ； （2）第五步的解题依据是 ； 任务二：（3）直接写出这个不等式的解集： ； 任务三：（4）除小茗同学的错误外，在解不等式的过程中，还需要注意什么呢？（写出一条注意事项即可） 16．（24-25七年级下·河北承德·期末）数学课上，老师展示了嘉嘉同学解不等式的过程， 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)请你判断她的解答是否正确______；（填“是”或“否”） (2)如果有错误，第______步开始出现错误，请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出1条建议； (3)求出原不等式的正确解集． 题型五：在数轴表示不等式的解集 17．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式，并把其解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 18．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）解下列关于x的不等式，并把解集在数轴上表示出来． (1)； (2)； (3)． 19．（24-25七年级下·甘肃武威·月考）解下列不等式，并把解集表示在数轴上： (1) (2) 20．（24-25七年级下·全国·单元测试）解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来． (1) (2) (3) 题型六：已知一元一次不等式的解集求参数范围 21．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·河北张家口·期末）已知不等式的解集是，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·山东东营·期末）关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 题型七：一元一次不等式与新定义问题 24．（24-25七年级下·山东泰安·期末）定义新运算，若，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·全国·周测）新定义题定义新运算：对于任意实数a，b，都有．例如：．不等式的解集为_____________． 26．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）定义一种新运算：，如：．若，求m的最小整数值． 题型八：一元一次不等式与实际问题 27．（24-25七年级下·全国·期中）某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 28．（25-26七年级上·重庆北碚·月考）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 29．（24-25七年级下·全国·课后作业）某果蔬加工公司购买龙眼21t，公司把购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1t龙眼可加工成桂圆肉0.2t或龙眼干0.5t，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/t和3万元/t．若全部销售完的销售额不少于39万元，则至少需要________t龙眼加工成桂圆肉． 30．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 31．（24-25七年级下·全国·周测）“双十一”购物节期间，某商场对A，B两种品牌的教学设备进行促销活动，这两种教学设备的进价和售价如下表所示： A B 进价/（万元/套） 0.8 1.2 售价/（万元/套） 1.5 2 A产品按原售价打八折出售，B产品按原售价打九五折出售，促销活动中A产品的销售量是B产品的2倍．若使得促销获利不少于65万元，则B产品至少售出几套？ 题型九：一元一次不等式与几何问题 32．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）用长为 40 m 的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度 m，要使靠墙的一边长不小于 25 m，那么与墙垂直的一边长 x（m）的取值范围为（　　） A． B． C． D． 33．（12-13八年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 34．（25-26九年级上·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 35．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样． (1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边_______米，_______米． (2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入39块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值． (3)若厂家已有160块甲型玻璃片，再购入n（）块大玻璃片并按以上方案进行切割，所购大玻璃片无剩余，且能与原甲玻璃搭成若干扇窗户，则n的值是________．（写出满足条件的n的值） 题型十：求一元一次不等式的特殊解 求一元一次不等式的整数解时，要注意端点的取舍，做到不重不漏，也可以借助数轴直观地求解. 36．（21-22八年级上·浙江嘉兴·月考）满足不等式的最小整数是______． 37．（24-25七年级下·四川巴中·期中）不等式的负整数解是_____，负整数解之和是_____． 38．（24-25七年级下·四川巴中·期中）不等式的所有非负整数解的和是_____． 39．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）已知关于的方程的解不小于，且是一个非负整数，试确定的值． 题型十一：求一元一次不等式解的最值 40．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 42．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 43．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 题型十二：解|x|≥a型的不等式 解含有绝对值的不等式有两种主要的方法:(1)根据绝对值的几何意义求解；(2)分类讨论去掉绝对值符号，转化为一元一次不等式(组)求解. 44．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级下·湖南怀化·月考）若不等式无解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·上海·自主招生）若满足关于的不等式的解的最大值为，则_____________． 47．（24-25七年级下·广东江门·月考）解不等式： 1．（2025七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图是第十五届全运会吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，寓意为“喜气洋洋、其乐融融、团圆和美”．某商店计划采购x对吉祥物钥匙扣，两个工厂收费方式如下． 甲厂收费方式：收模具费元，另外每对收制造费元． 乙厂收费方式：不超过对时，每对钥匙扣收制造费元；超过对时，超过部分每对钥匙扣收费元： (1)①当不超过时，甲厂的收费为________元，乙厂的收费为________元；②当超过时，乙厂的收费为________元； (2)采购多少对吉祥物钥匙扣时，甲、乙两厂收费相同? (3)直接写出选择哪个厂更节省费用． 3．（2025七年级上·江苏苏州·专题练习）已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）若关于的方程的解为负数，求所有符合条件的非正整数的和． 5．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 6．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读材料，再完成下列问题： （i）解不等式．如图1，从数轴上可以发现，大于-2而小于2的数的绝对值小于2，所以的解集应为．    （ii）满足的数用数轴表示如图2所示，也就是说，小于-2的数或大于2的数的绝对值大于2，所以的解集应为或．      请完成： (1)的解集为_____，的解集为_____． (2)试着写出不等式的解集：______． (3)解不等式的实质是求不等式_______的解集，即求不等式组_______的解集，其解集为______； (4)求不等式的解集应先求出不等式_____与不等式______的解集，请直接写出该绝对值不等式的解集：______． (5)解不等式：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $