2026年中考数学临考冲刺卷01（辽宁专用）

命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2026年中考数学临考冲刺卷（辽宁专用) 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 4 6 个 8 9 10 A 0 B B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 4 3√2-√6 11.x≥-4且x≠2 12. 3π-2V5 13.1014.1.8 15.3 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(本题7分) 【详解1D据.6-2+5x后十 31 3 2 (2)解：（a+1 a+1 4a-5-(a- a+1 4a-5a2-1a+1 a+1a+1a-2 4a-5-a2+1a+1 a+1a-2 =-a2+4a-4 a-2 =-a+2, 试卷第1页，共3页 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 当0一助，原式=写2 1 31 17.(本题8分) 【详解】(1)解：：七(2)班8名学生的竞赛成绩从小到大排列为61,75,79,83,85,90,90,95， 83+85=84 .m 2 由众数的定义可知，n=80, 由折线统计图可知，七(1)班抽取的学生竞赛成绩更集中， <网 (2)解：七(1)班的竞赛成绩较好. 理由如下： 从平均数和优秀率的角度来说，两个班级竞赛成绩的平均分一样，但七(1)班的优秀率高于七(2)班， .七(1)班的竞赛成绩比七(2)班好. (3)解： 800x6+5 8+8 =550(人) 答：估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数为550人. 18.(本题8分) 【详解】(1)解：晷面与地平面的夹角a为90°-23°=67°： (2)解：据题意可知：在R△ABC中，an∠AB0=10=05 B00.044≈11.4， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角∠ABO=85°， 在RtsAOC中，ian∠AC0=40_0.5 C00.5 故冬至时测量时光线与地平面夹角∠ABO=45°： (3)解：过F作FH⊥ED于H,如图所示： 冬至阳光、 春分阳光 北 D G 由(1)可知春分光线与地平面夹角为∠EGD=67°， 试卷第2页，共3页 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 DE 在RtEGD中，·tan∠EGD= DG,且DG=10米， DE 10 =2.4, 故DE=24(米) 由(2)可知冬至光线与地平面夹角为45°， .∠EFH=45°， .HF=HE=10米， 由条件可知，四边形DHFG为矩形， ∴.HD=FG, .FG=HD=DE-HE=24-10=14(米) 故树的高度FG为14米. 19.(本题8分) 【详解】(1)解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为x、y万元， 100x+200y=2600 根据题意，可得方程50x+150y=1600, [x=14 解得y=6, 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为14、6万元. (2)解：假设乙种型号新能源汽车定价为m万元， 7 -m -20m2+284m-984=-20(m-7.1)+24.2 则利润为 w=(m-620+2 、0.1 当m=7.1万元时，月销售乙种型号获取的利润最大. 20.(本题9分) 【详解】(1)解：当x=1和x=2时，y=3, 1+23 ∴抛物线的对称轴是x= 22’ 325、 抛物线的顶点坐标为气8： ”抛物线的对称轴是= 2 试卷第3页，共3页 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (0,2) (3,2) 点关于对称轴对称的点的坐标是 所以点(3,1)不在抛物线上： (2)解：设抛物线的关系式为'=a(r-)+k 325 :抛物线的顶点坐标是28 ∴抛物线的关系式为y=a(r- 8 925 将点(0,2)代入，得40+ 8 =2, 解得a=一2 1 小揽物线的关系式为多+ 8； 1 3 25 (3)解：当y=0时，即-2x -=0 21 8 解得方=4书=1 (不合题意舍去) 所以OP=4: （4)解：设抛物线的关系式为”=0-+ +h 8 D3,3),B(6,0) 由题意可知点 ,光点能跨过挡板时， 在y++中，当0时少0++6=+23， 21 8 ∴.此时OA>3」 ,光点能击中边缘OB, 当时，6-2+25+h≤0，解得h<7 28 在+总中.当x=0时)-2运9 试卷第4页，共3页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OA≤9 .OA的取值范围是3<OA≤9。 21.(本题10分) 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD, ∴.∠BAC=∠ACD, .BC=AE .'BC=AE (2)①证明：连接10并延长，交BC于点F,连接 ①) AO B D .AB=AC, :AB=AC 由垂径定理得AF⊥BC,即∠AFB=90°， ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC, .∠DAF=∠AFB=90°， 即OA⊥AD, :OA是⊙0的半径， .AD与⊙O相切： ②由(1)得BC=AE=4, 四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=4,∠ADC=∠B, ∠AED=∠B, ∴.∠AED=∠ADC, .AE =AD=4, 试卷第5页，共3页 可学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ,∠ADE=∠CDA,∠AED=∠CAD, .△ADE△CDA, AD DE :CD DA 42 即CD4' 解得CD=8, ∴.AB=AC=CD=8 在△ABC中，AB=AC=8,BC=4, ∴.BF=CF=2, .AF=V82-22=215 设0 的半径为'，则OF=2-r OB2=BF2+OF2 由勾股定理得： 2=22+215-, :rs165 15, 1615 .⊙0的半径为15. 22.(本题12分) 【详解】(I)解：连接CD, B A M 图2 ,AC=BC,∠ACB=90°，点D为AB的中点， 试卷第6页，共3页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 .AD=CD,∠ADC=90°， .'∠MDG=2∠FDG=90°， .∠ADM=∠CDG, ,△DGH沿DH折叠，点G落在点M处， .DG=DM, :△DAM≌DCG(ASA) .CG=AM, 故答案为：CG=AM: ②解+Go,是：装鞋 B D 图2 ,△DGH沿DH折叠，点G落在点M处， .HIM =HG 由(I)△DAM≌△DCG, ∠DCG=∠DAM=135°， .∠DAC=45° .∠HAM=90°， ∴.AH2+AM2=HM2, AM=CG,HM=HG, .AH+CG-HG2 (3)解：如图，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD, 试卷第7页，共3页 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B G M 设AH=3k,AM=4k, CA=CB,∠ACB=90°，AD=DB, .CD⊥AB,CD=DA=DB, .∠ACD=∠DCB=45°，∠DCG=135°， .∠EDF=∠EDM=45°，∠DG=DM, .∠ADC=∠MDG. ∴.∠ADM=∠CDG, :△ADM≌*CDG(SAS)) ∴.∠DAM=∠DCG=135°， .∠CAB=45° ∴.∠CAM=90°， .MHI=GH=VAM2+AH2+(3k)+(4k)2=5k .AG=AH+HG=4k+4k=8k, CG=4k, .AC=AG-CE=4k, .AC=BC=6 4%=62 解得：k=32 2 :4H=3k=92 2, 试卷第8页，共3页 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 ②如图，当点H在线段AC上，点G在AC上时，连接CD, B A H E F 设AH=3k,AM=4k, 同理可得：△ADM≌△CDG, .∠DAM=∠DCG=45°， .∠CAB=45°， ∴.∠CAM=90°， .MH =GH=AM2+AH2+(3k)+(4k)'=5k, .AC=AH+HG+CG=3k+5k+4k=12k, .AC=BC=62 :12k=62 解得，白 2 :H=3=3 2, 9W23√2 综上所述，满足条件的AH的值为：2或2· 923W2 故答案为：2或2. 23.(本题13分) 【详解】(1)解：把点C0,3)代入y=-+2x+C,得c=3, 试卷第9页，共3页 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 令y=0,则-x2+2x+3=0, 解得，=-】5=3 :点A在点B左边， -10) 起点0代入=- 8中，得： 解得：a= 2 2y解：0阳)：Cy243,Cy-点， :点F为线段OB上一点（不与点0,8重合），横坐标为， O,B 0-+a*-言》 m=f业 7 =-2t2+1+5 2 .-2<0 169 ∴当：名时，GH有最大值，最大值为%： ®cas.1a-2.Gk-++- 试卷第10页，共3页 2026年中考数学临考冲刺卷（辽宁专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．年是农历丙午马年，的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．春节期间各地文旅竞相展现自己的看家本领，吸引各地游客到当地旅游，领略当地美景．下列是四个地方文旅图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 4．图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 6．七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（    ） A． B．20 C． D．16 8．正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 9．如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线，交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 12．正方形和扇形按如图方式放置，其中，线段在线段上，点恰好是圆弧的中点，，，则阴影部分的面积是______． 13．如图，已知点A在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点B，点C是x轴上一点，连接为中点，连接并延长，交y轴于点E，连接．若的面积为5，则的值为____． 14．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 15．如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）计算、化简求值： (1)； (2)，其中． 17．（本题8分）2025年10月31日23时44分，我国成功发射了神舟二十一号载人飞船，此次发射标志着中国2025年载人航天发射任务的圆满收官.为普及航天知识，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀.从七（1）班和七（2）班各随机抽取8名学生，对这8名学生的竞赛成绩（单位：分）进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 七（1）班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75； 七（2）班8名学生的竞赛成绩：95，90，79，90，83，85，61，75. 【整理数据】 小聪同学将七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图. 七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩折线统计图 【分析数据】 七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七（1）班 七（2）班 【解决问题】 请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空： ， ， （填“”“”或“”）； (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩较好，并简要说明理由； (3)该校七年级共有800人参加了此次竞赛，估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数. 18．（本题8分）日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1），圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． (1)【探究】图3是该小组制作的惠州日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知惠州位于北纬，则晷面与地平面的夹角为___________°． (2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为0.044米，冬至正午时表的影长为0.5米，请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） (3)【实践】小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与晷面平行，若大楼与树干距离为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计）【参考数据：，，，，】 19．（本题8分）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 20．（本题9分）图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 (1)观察表格，抛物线的顶点坐标为________，点________（填“在”或“不在”）抛物线上； (2)求满足条件的抛物线解析式； (3)当光点P落在屏幕边缘上时，求的长； (4)如图2，电子屏幕边长为6，垂直的边长为无限长，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．若只改变光点P的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘时，请直接写出的取值范围． 21．（本题10分）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 22．（本题12分）如下图，在等腰直角中，，的顶点D是的中点，且．现将绕点D旋转一周，在旋转一周过程中，当的两边，分别交射线于点G，H，把沿折叠，点G落在点M处，连接； (1)如下图，填空：线段与的关系是 _____； (2)如下图，连接，写出、、三条线段之间的关系，并说明理由． (3)若，则的长为 _____． 23．（本题13分）如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)_______，______； (2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； (3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学临考冲刺卷（辽宁专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．年是农历丙午马年，的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的相反数是． 2．春节期间各地文旅竞相展现自己的看家本领，吸引各地游客到当地旅游，领略当地美景．下列是四个地方文旅图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A中的图形不是中心对称图形，故A不符合题意； 选项B的图形是中心对称图形，故B符合题意； 选项C的图形不是中心对称图形，故C不符合题意； 选项D的图形不是中心对称图形，故D不符合题意； 故选：B． 3．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘法、积的乘方、同底数幂的乘除法、完全平方公式、幂的乘方等知识点，需逐一验证每个选项的正确性． 【详解】解：A、∵，∴A错误． B、∵，∴B错误． C、∵，∴C错误． D、∵，∴D正确． 故选：D． 4．图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出左视图，确定小正方形的个数即可解答． 【详解】解：图中的几何体的左视图如下： 共有４个小正方形，面积为． 5．将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A．等腰三角形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可． 【详解】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称， ∴CA＝AB=CD=BD， ∴四边形BACD是菱形， 故选：C． 6．七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 7．如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 取的中点G，连接，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接， ∵E、F分别是边的中点， ∴且， 且， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 8．正六边形和的位置如图所示，其中点，在上，且，，将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆、多边形内角和定理、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直径所对的圆周角是直角、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．延长、交于点，连接交于点，连接，由正六边形的性质得，，求得，，则△是等边三角形，所以，则，求得，由，证明是的直径，则经过点，所以，则，可知在旋转过程中，点第一次落在上的点处，旋转角为，所以点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧，由弧长公式求得点的运动轨迹长为，于是得到问题的答案． 【详解】解：延长、交于点，连接交于点，连接， 六边形是正六边形，， ，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 是的直径， 经过点， ， ， ， 将正六边形绕点顺时针旋转，则点第一次落在上的点处，旋转角为， 点的运动轨迹为以点为圆心，长为半径，且圆心角等于的一段弧， 点的运动轨迹长， 故选：A． 9．如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，进而由可得，得到，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 同理可得，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线，交于点G，若点C，D，E，F的坐标分别为，，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作交轴于点，证明出，再由等角的三角函数值相等求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 过点作交轴于点， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为________． 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式及分式有意义的条件可直接进行求解． 【详解】解：由题意得： 且， 解得：且； 故答案为：且． 12．正方形和扇形按如图方式放置，其中，线段在线段上，点恰好是圆弧的中点，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】连接，点是圆弧的中点，先求出，由正方形的性质可得，设，由勾股定理得，再结合求出，最后由扇形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ， ∵点是圆弧的中点， ， 四边形是正方形 ， 设， 由勾股定理得， ， ， ， ∴． ∴阴影部分的面积是． 13．如图，已知点A在反比例函数（）的图象上，过点作轴于点B，点C是x轴上一点，连接为中点，连接并延长，交y轴于点E，连接．若的面积为5，则的值为____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，正确理解的几何意义是解题的关键． 连接，，可得，根据的几何意义可得，即可求得的值． 【详解】解：如图，连接，， ∵为中点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵反比例函数图象在第三象限， ∴． 故答案为：10． 14．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取，，，四点，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键；建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为， 故答案为：． 15．如图，在四边形中，，，连接，，且，过点B作的垂线，垂足为E，平分，交于点G．若，则线段的长为___________． 【答案】 【分析】延长，交于点F，延长，交于点H，由，结合平分，根据角的关系可得到是等腰三角形，同理可得是等腰直角三角形，再由勾股定理及角对应的直角边和斜边的关系，求出各边，由，，得到，从而得到线段比例关系，代入数值即可解出． 【详解】解：如图1所示，延长，交于点F，延长，交于点H， ， ， 平分， ， ， ∴， 是等腰三角形， ，，， ∴是的角平分线，， ∴同理可得是等腰三角形，， ，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，，， ，，，，． ，， ， ， ∴, ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题8分）计算、化简求值： (1)； (2)，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： （2）解： ， 当时，原式． 17．（本题8分）2025年10月31日23时44分，我国成功发射了神舟二十一号载人飞船，此次发射标志着中国2025年载人航天发射任务的圆满收官.为普及航天知识，某校举办了“航天知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀.从七（1）班和七（2）班各随机抽取8名学生，对这8名学生的竞赛成绩（单位：分）进行了收集、整理和分析. 【收集数据】 七（1）班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75； 七（2）班8名学生的竞赛成绩：95，90，79，90，83，85，61，75. 【整理数据】 小聪同学将七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图. 七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩折线统计图 【分析数据】 七（1）、七（2）两个班级抽取的学生竞赛成绩统计表 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 七（1）班 七（2）班 【解决问题】 请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空： ， ， （填“”“”或“”）； (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩较好，并简要说明理由； (3)该校七年级共有800人参加了此次竞赛，估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数. 【答案】(1)，， (2)七（1）班的竞赛成绩较好.理由见解析 (3)人 【详解】（1）解：∵七（2）班8名学生的竞赛成绩从小到大排列为， ∴， 由众数的定义可知，， 由折线统计图可知，七（1）班抽取的学生竞赛成绩更集中， ∴． （2）解：七（1）班的竞赛成绩较好． 理由如下： 从平均数和优秀率的角度来说，两个班级竞赛成绩的平均分一样，但七（1）班的优秀率高于七（2）班， ∴七（1）班的竞赛成绩比七（2）班好． （3）解： （人） 答：估计该校七年级参加此次竞赛成绩在80分及以上的学生人数为人. 18．（本题8分）日晷、圭表是我国古代先民的智慧结晶：日晷利用光影与刻度计量时辰（如图1），圭表凭借正午表杆影长测算节气（如图2）．某中学数学兴趣小组以“惠州地域下的古代计时工具”为主题开展项目式学习，请结合数学与地理知识解决以下问题． (1)【探究】图3是该小组制作的惠州日晷放置于地面的示意图，晷面与赤道平面平行，晷针与地轴平行．已知惠州位于北纬，则晷面与地平面的夹角为___________°． (2)【探究】图4是该小组制作的圭表的示意图，圭为南北向水平标尺，表为垂直立竿．已知为0.5米，在夏至正午时用该圭表测得表的影长为0.044米，冬至正午时表的影长为0.5米，请结合参考数据，分别估算夏至、冬至正午太阳光线与地平面的夹角．（测量误差忽略不计） (3)【实践】小组观察发现：如图5，冬至正午时，阳光从一栋南北朝向的大楼楼顶射入，恰好射到大楼北侧一棵木棉树的顶部；春分正午时，阳光从该楼顶射入，恰好照射到树的根部．已知春分日光线与晷面平行，若大楼与树干距离为10米，请结合上述探究的内容，求出此树的高度．（假设树的高度变化忽略不计）【参考数据：，，，，】 【答案】(1)67 (2)夏至时测量时光线与地平面夹角；冬至时测量时光线与地平面夹角 (3)树的高度为14米 【详解】（1）解：晷面与地平面的夹角为； （2）解：据题意可知：在中，， 故由参考数据估算得，夏至时测量时光线与地平面夹角， 在中，， 故冬至时测量时光线与地平面夹角； （3）解：过作于，如图所示： 由（1）可知春分光线与地平面夹角为， 在中，，且米， ， 故（米） 由（2）可知冬至光线与地平面夹角为， ， 米， 由条件可知，四边形为矩形， ， ∴（米） 故树的高度为14米． 19．（本题8分）因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆． (1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价； (2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？ 【答案】(1)甲型号新能源汽车每辆进价为万元，乙型号新能源汽车每辆进价为万元 (2)乙种型号新能源汽车定价为万元时，月销售获取的利润最大 【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元， 根据题意，可得方程， 解得， 故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元． （2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元， 则利润为， 当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大． 20．（本题9分）图1是矩形电子屏中某光点P的运动轨迹示意图．光点从屏幕点A处发出，运行路线近似抛物线的一部分，光点到屏幕底部的竖直高度记为y，光点运行的水平距离记为x．建立如图所示平面直角坐标系，测得如下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 2 3 3 (1)观察表格，抛物线的顶点坐标为________，点________（填“在”或“不在”）抛物线上； (2)求满足条件的抛物线解析式； (3)当光点P落在屏幕边缘上时，求的长； (4)如图2，电子屏幕边长为6，垂直的边长为无限长，中间位置为一挡板，挡板高为3，当光点击中底部边缘时，挡板就会发光．若只改变光点P的初始高度（光点的运行轨迹只发生上下平移），当光点既能跨过挡板（不含点P经过D的情况），又能击中边缘时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，不在； (2) (3) (4) 【详解】（1）解：当和时，， ∴抛物线的对称轴是， ∴抛物线的顶点坐标为； ∵抛物线的对称轴是， ∴点关于对称轴对称的点的坐标是， 所以点不在抛物线上； （2）解；设抛物线的关系式为， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的关系式为． 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的关系式为； （3）解：当时，即， 解得，（不合题意舍去） 所以； （4）解：设抛物线的关系式为， 由题意可知点， ∵光点能跨过挡板时， 当时，，解得， 在中，当时，， ∴此时． ∵光点能击中边缘， ∴当时，，解得， 在中，当时，， ∴， ∴的取值范围是． 21．（本题10分）如图，在中，连接，是的外接圆，交于点，连接． (1)求证：． (2)若． 求证：与相切． 若，．则的半径为 ． 【答案】(1)见解析； (2)见解析；． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， 由垂径定理得，即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴与相切； 由（）得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 设的半径为，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴的半径为． 22．（本题13分）如下图，在等腰直角中，，的顶点D是的中点，且．现将绕点D旋转一周，在旋转一周过程中，当的两边，分别交射线于点G，H，把沿折叠，点G落在点M处，连接； (1)如下图，填空：线段与的关系是 _____； (2)如下图，连接，写出、、三条线段之间的关系，并说明理由． (3)若，则的长为 _____． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【详解】（1）解：连接， ∵，，点D为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵沿折叠，点G落在点M处， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下：连接， ∵沿折叠，点G落在点M处， ∴， 由（1）， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，当点H在线段上，点G在的延长线上时，连接， 设，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴， ②如图，当点H在线段上，点G在上时，连接， 设，， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴， 综上所述，满足条件的的值为：或． 故答案为：或． 23．（本题13分）如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点． (1)_______，______； (2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2． ①用含的式子表示的长，并求出的最大值； ②当时，求的值； (3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式． 【答案】(1) (2)①，；②1或 (3) 【详解】（1）解：把点代入，得， 令，则， 解得，，， ∵点在点左边， ∴， 把点代入 中，得： ， 解得：； （2）解：①由（1）得：，， ∵点为线段上一点（不与点重合），横坐标为， ∴， ∴， ∵ ∴当时，有最大值，最大值为； ②∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得，（舍去），或； （3）解：设过K且与x轴平行的直线为，则可得，， 整理得，，， 由根与系数关系得， 而， 又， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $