专题04 函数综合（辽宁专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题04 函数综合 考点01 平面直角坐标系 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由点A和点确定平移方式，即可求出点的坐标． 【详解】解：由点平移至点得，点A向上平移了2个单位得到点， ∴向上平移2个单位后得到点， 故答案为：． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点，，点C在x轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．    【答案】 或 【分析】过点C作于点E，根据，设，则，根据勾股定理可得求出，用等面积法推出，最后在中，根据勾股定理可得：，列出方程求出x的值，即可得出点C的坐标；易得，设，根据两点之间的距离公式得出，，根据等边三角形的性质得出，即可罗列出方程组，求解即可． 【详解】解：过点C作于点E， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理可得：， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得：， ∵， ∴，整理得：， 在中，根据勾股定理可得：， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴    ∵，， ∴， ∴， 设， 则，， ∵为等边三角形， ∴， 即， 整理得， 得：，则， 将代入①得：， 解得：，， 当时，，即， 当时，，即， 故答案为：；或． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理． 4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      【答案】或/或 【分析】根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，在中，勾股定理求得，进而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中， ∴， ∴设，则， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 6．（2023·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】向左平移5个单位长度，即点的横坐标减5，纵坐标不变，从而即可得到的坐标． 【详解】解：点向左平移5个单位长度后， 坐标为， 即的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标系中点的平移规律，在平面直角坐标系中，点的平移规律变化是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据位似图形的概念得到四边形和四边形相似，根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵四边形的面积是四边形面积的4倍， ∴四边形和四边形的相似比为， ∵， ∴第一象限内点 ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 8．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 9．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得点的位置每4个一循环，经计算得出在第三象限，与，，，…符合同一规律，探究出，，，...的规律即可． 【详解】解：由图得，，… 点C的位置每4个一循环， ， ∴在第三象限，与，，，… 符合规律， ∴坐标为． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标的规律的探究，理解题意求出坐标是解题关键． 考点02 一次函数的图像性质 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 11．（2023·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    【答案】4 【分析】先根据图象得甲乙的速度差为4，再根据相遇时用了小时，列方程求解． 【详解】解：设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为千米/小时， 则：， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息，正确提取图象中的信息是解题的关键． 12．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而增大， ∴． ∴． 时， ∵图象与y轴的交点在原点下方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的性质；掌握一次函数的性质是解题的关键． 考点03 二次函数的图像性质 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】根据抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限． 解：， 顶点坐标为， 顶点在第二象限． 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由图可知，即可判断①；易得向上平移个到位长度得到，则的对称轴也为直线，根据，得出，则离对称轴的距离大于离对称轴的距离，即可判断②；作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P，把代入得到，根据对称轴得到，则，进而得出，把代入得出，用待定系数法求出直线的函数解析式为，即可判断③；由图可知，当时，抛物线与直线没有交点，则原方程无实数根，求出，结合，即可判断④． 【详解】解：由图可知， ∵该抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①不正确，不符合题意； ∵向上平移个到位长度得到， ∴的对称轴也为直线， ∵， ∴， ∵， ∴离对称轴的距离大于离对称轴的距离， ∵函数开口向上，离对称轴越远函数值越大， ∴，故②不正确，不符合题意； 作点C关于x轴对称的对应点，连接，交x轴于点P， 把代入得：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，则， ∴，整理得：， ∴，则， 把代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴，故③正确，符合题意；    方程整理为， ∵， 由图可知，当时，抛物线与直线没有交点， 则原方程无实数根， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴b的取值范围为，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有③，共1个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出a、b、c的符号，利用抛物线的对称性和增减性是解析的关键． 16．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标． 【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意； B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意； C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意； D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键． 17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤， 故选C． 【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键． 考点04 动点问题与函数图像 18．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】求出在点左侧时的两段图象，即可得出结论． 【详解】解：当在点左侧，即：时： ①当正方形的边在的外部时，重叠部分为矩形，如图：      设分别交于点， ∵垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，图象为开口向下的一段抛物线； ②当正方形的边在的内部时，与重叠部分即为正方形，如图：      由①可知：， ∴，图象是一段开口向上的抛物线； 当过点时，即时，重合，此时，； 综上：满足题意的只有B选项， 故选B． 【点睛】本题考查动点的函数图象问题．解题的关键是确定动点的位置，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 19．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，， 三种情况，分别求出函数解析即可判断． 【详解】解：过点D作于H， ， ∵，， ∴， ∴ 当时， 如图，重叠部分为，此时，， ， ∴， ∴，即， ∴ ∴； 当时， 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴，， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 当 时 如图，重叠部分为四边形，此时，，    ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， 综上，， ∴符合题意的函数图象是选项A． 故选：A． 【点睛】此题结合图像平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度． 20．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先证明菱形是边长为x，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解． 【详解】解：作于点D，作于点E，    由题意得，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， 当点M运动到直线上时，    此时，是等边三角形， ∴，； 当点Q、N运动到与点重合时，    ∴，； 当点P运动到与点重合时， ∴，； ∴当时，， 当时，如图，作于点G，交于点R，    则，，， ∴， 当时，如图，作于点I，    则，， ∴， 综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线， 只有选项A符合题意， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 21．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   【答案】A 【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴是边长为6的正三角形， ∵平分， ∴，，， ①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②如图3时，当， 则，解得， 由图2到图3，此时，      如图4，记，的交点为，则是正三角形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴ ， ③如图6时，，由图3到图6，此时，    如图5，同理是正三角形， ∴，，， ∴ ， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键． 22．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．    【答案】 【分析】根据题意和图形可先求得，，，，，，，，，从而得，，，，利用三角形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴点与点的横坐标相同，，，，， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形，，，，…都是平行四边形， ∴，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，，，，，， ∴，， ∴， ∵在上， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质，坐标与图形，坐标规律，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及平行四边形的性质是解题关键． 23．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．   B．       C．   D．   【答案】A 【分析】先根据菱形的性质求出各点坐标，分M的横坐标x在，，之间三个阶段，用含x的代数式表示出的底和高，进而求出分段函数的解析式，根据解析式判断图象即可． 【详解】解：菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上， ，， ， ， ，，， 设直线的解析式为，将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为． 轴， N的横坐标为x， （1）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， ， ， ， 该段图象为开口向上的抛物线； （2）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中，上的高为， ， 该段图象为直线； （3）当M的横坐标x在之间时，点N在线段上，中上的高为， 由，可得直线的解析式为， ，， ， ， 该段图象为开口向下的抛物线； 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，涉及坐标与图形，菱形的性质，二次函数、一次函数的应用等知识点，解题的关键是分段求出函数解析式． 考点05 反比例函数的图像性质 24．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，设电流与电阻之间的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设电流与电阻之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 25．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 【答案】 【分析】连结、，轴，由得到．由得到，则，再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连结、，    ∵轴， ∴． ∴． ∵， ∵， ∴， ∵图象位于第一象限，则， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形结合的思想是解答问题的关键． 26．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    【答案】4 【分析】过点作轴于点，证明，得，再根据，可得，再证明，得到的长，设，，得到的坐标，根据两点在同一反比例函数上，可解得的值，从而可得，再利用勾股定理解得，从而求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，   轴，     ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， 即， 同理可得， ， ， ， 设，则，， ， 都在反比例函数上， ， 解得， ， 在中，， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，相似三角形的判定及性质，勾股定理，理解反比例函数图像上的点横坐标与纵坐标的乘积相同，是解题的关键． 27．（2023·辽宁阜新·中考真题）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】根据反比例函数k的几何意义直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数k的几何意义：反比例函数图像上一点与原点的连线和到坐标轴垂线围成的三角形面积是． 28．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．      【答案】4 【分析】过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，设B点坐标为，则，由点B为的中点，推出C点坐标为，求得直线的解析式，得到A点坐标，根据的面积是6，列式计算即可求解． 【详解】解：过B，C两点分别作y轴的垂线，垂足分别为D，E，    ∴， ∴， ∴， 设B点坐标为，则， ∵点B为的中点， ∴， ∴， ∴C点坐标为， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴A点坐标为， 根据题意得， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、相似三角形的判定及性质、求一次函数解析式、坐标与图形，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质及相似三角形的性质． 29．（2023·辽宁沈阳·中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 【答案】 【分析】把和分别代入反比例函数中计算y的值，即可做出判断． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴令，则； 令，则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，计算y的值是解题的关键． 30．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．    【答案】 【分析】过点作轴于点，由旋转的性质得，，，在中求出、的长，即可得出点的坐标，代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解∶过点作轴于点，    由旋转的性质得，，， ∵点的坐标为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得． ∴， ∴点的坐标为，， ∵点恰好落在反比例函数的图象上， ∴， 故答案为∶． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化之旋转，解答本题的关键是求出点的坐标． 31．（2023·辽宁·中考真题）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．    【答案】6 【分析】延长交x轴于点F，设，利用相似三角形的判定与性质可求得矩形的长与宽，再由矩形的面积即可求和k的值． 【详解】解：延长交x轴于点F，如图， 由点D在反比例函数的图象上，则设， ∵矩形的边平行于轴，，， ∴轴，， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：6．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征，其中相似三角形的判定与性质是关键． 考点06 解直角三角形的应用 32．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 33．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．    【答案】轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为 【分析】过点B作于点D，则，进而得出，，根据，得出，即可求解． 【详解】解：过点B作于点D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为．    【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤． 34．（2023·辽宁·中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    (1)求两楼之间的距离（结果保留根号）； (2)求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 【答案】(1)米 (2)92米 【分析】（1）作于点E，利用三角函数解即可； （2）先证四边形是矩形，再利用三角函数解求出，进而可求． 【详解】（1）解：如图，作于点E，则，    由题意知，，， 故， 即两楼之间的距离为米； （2）解：由题意知， 四边形是矩形， ，， 中，， ， ， 即大厦的高度为92米． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，通过添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． 35．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 【答案】(1)登山缆车上升的高度； (2)从山底A处到达山顶处大约需要. 【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可； （2）在中，求得的长，再计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形， 在中，，， ∴， ∴， 答：登山缆车上升的高度； （2）解：在中，，， ∴， ∴从山底A处到达山顶处大约需要： ， 答：从山底A处到达山顶处大约需要. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键． 36．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    【答案】甲组同学比乙组同学大约多走米的路程 【分析】过B点作于点D，根据题意有：，，，进而可得，，，结合直角三角形的知识可得（米），（米），（米），即有（米），问题随之得解． 【详解】如图，过B点作于点D，    根据题意有：，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵（米）， ∴（米）， ∵在中，，（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， 即（米）， 答：甲组同学比乙组同学大约多走米的路程． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用以及方位角的知识，正确理解方位角，是解答本题的关键． 37．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    【答案】 【分析】过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，分别解作出的直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，过点A作于点G，与直线交于点H，过点B作于点M，过点D作于点N，    ∴四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：展板最高点A到地面的距离为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造出直角三角形，熟练通过解直角三角形求相应未知量是解题的关键． 38．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．    (1)求两楼之间的距离． (2)求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)两楼之间的距离约为 (2)大厦的高度为 【分析】（1）过点A作于点E，易得，根据，即可求解： （2）易证四边形为矩形，则，根据等腰直角三角形的性质得出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， 解得：， 答：两楼之间的距离约为．    （2）解：根据题意可得：， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 答：大厦的高度为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，掌握解直角三角形的方法和步骤． 39．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）    【答案】的长约为 【分析】延长交于点，过点B作，垂足为G，可得，，从而，，设，则，分别在直角和直角中求出的长，最后利用平角定义可得，从而在中，求出的长，再利用线段的和差关系计算即可解答 ． 【详解】解：如图，延长交于点，过点B作，垂足为G，    由题意得：，， ，， 设， ， 则， 在中，， 在中，， ， 解得：， , ， ， 在中，， ， ， ， 的长约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加适当的辅助线是解决问题的关键． 40．（2023·辽宁鞍山·中考真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)    【答案】遮阳棚的宽度约为 【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，，，从而可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，   ， ， 四边形是矩形， ，，， ， 在中，， ， 遮阳棚的宽度约为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 考点07 函数的实际应用 41．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 【答案】(1) (2)这根材料的长度够用 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可； （2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可． 【详解】（1）解：由题意，得：，， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）由题意，可知：， ∴关于轴对称， ∵， ∴当时，， ∴， ∵， 故这根材料的长度够用． 42．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 43．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．      (1)求反比例函数的解析式． (2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）作轴于点G，如图，证明四边形是矩形，得到， 推出，证明，得到，得出矩形是正方形，可得，然后由A、B的坐标求出，进而得到点C的坐标为，再代入反比例函数的解析式即可； （2）根据（1）中结论可得，由，利用两点距离公式求得，再由轴，，的平分线交直线于点，证明，即可分别求出的横纵坐标． 【详解】（1）解：作轴于点G，如图，          图1 ∵轴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，    ∴， ∵，， ∴， 设，则，解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 代入，得； ∴反比例函数的解析式为； （2）解：当在A点右侧时：如图1中图所示， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵平分， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标是． ，， 当在A点左侧时，如图2： 轴，的平分线交直线于点， 点纵坐标为2，， ， ， 点横坐标为， ， 综上所述：F或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、矩形和正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 44．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据，可得三角形面积之比，计算出的面积，面积乘2即为，解析式可得； （2）根据点的坐标求出直线的解析式为，设符合条件的点，利用面积的倍数关系建立方程解出即可． 【详解】（1）解：∵，的面积是6， ∴， ∴， ∵图象在第二象限， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）∵点，，在的图象上， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴交x轴于点C， ∴， ∴， 设直线上在第一象限的点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式． 45．（2023·辽宁阜新·中考真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 【答案】(1) (2)4，图像见详解； (3)，图像见详解； (4)答案见详解； 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； （2）将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案； 【详解】（1）解：当时， ， 故答案为：； （2）解：①当时， ， 故答案为：4； ②根据表格描点再连接起来，如图所示，   ； （3）解：①当时， ， 故答案为：； ②当时， ， 当时，， 当时，， 当时，， 描点如图所示，   ； （4）解：由解析式得，当时， ， 当时，时，y随x增大而增大， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，， 当时，时，y随x增大而减小， 当时，时，y随x增大而增大， 故答案为：当时，时，y随x增大而增大，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而减小，当时，时，y随x增大而增大（写其中任意一条即可）． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，解题的关键是根据绝对值的性质化简出解析式． 46．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正切值，求出，进而得到，即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，得到，，再证明是等腰直角三角形，得到，进而得到，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，联立反比例函数和一次函数，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）解：轴， ， ， ， ， ， ， 点A在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图，过点A作轴于点E， ， 四边形是矩形， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 点A、C是反比例函数和一次函数的交点， 联立，解得：或， ， ．    【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了锐角三角函数值，矩形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数和一次函数交点问题等知识，求出直线的解析式是解题关键． 47．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据直线的解析式求出点C的坐标，用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①用含m的代数式表示出的长，再根据得出结论即可；②根据面积得出l的值，然后根据①的关系式的出m的值． 【详解】（1）点在直线上， ， 一次函数的图象过点和点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）①点在直线上，且的横坐标为， 的纵坐标为：， 点在直线上，且点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 点，线段的长度为， ， ， ， 即； ②的面积为， ， 即， 解得， 由①知，， ， 解得， 即的值为或． 【点睛】本题考查一次函数的知识，熟练掌握一次函数的图象和性质，待定系数法求解析式是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 函数综合 考点01 平面直角坐标系 1．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，将线段平移后，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ． 3．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点，，点C在x轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点C的坐标为 ；点D的坐标为 ．    4．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为 ．      5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    6．（2023·辽宁营口·中考真题）在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度，得到点，则点的坐标是 ． 7．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别是，若四边形与四边形关于原点位似，且四边形的面积是四边形面积的4倍，则第一象限内点的坐标为 ．    8．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中，，，，…的圆心依次按O，A，B，循环．当时，点的坐标是(    )    A． B． C． D． 考点02 一次函数的图像性质 10．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 11．（2023·辽宁阜新·中考真题）德力格尔草原位于彰武县境内，以草场资源丰富，景色优美著称．今年5月在此举办的“漠上草原欢乐跑”首届马拉松比赛，吸引了千余名国内外选手参加．甲、乙两名选手同时参加了往返（单程）的业余组比赛，如果全程保持匀速，甲、乙之间的距离s（）与甲所用的时间（h）之间的函数关系如图所示，那么当甲到达终点时，乙距离终点 ．    12．（2023·辽宁盘锦·中考真题）关于x的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ． 考点03 二次函数的图像性质 13．（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为 ．    14．（2023·辽宁沈阳·中考真题）二次函数图象的顶点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下4个结论：①；②，是抛物线上的两个点，若，且，则；③在轴上有一动点P，当的值最小时，则点P的坐标为；④若关于x的方程无实数根，则b的取值范围是．其中正确的结论有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．点在函数图象上 17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点04 动点问题与函数图像 18．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，垂直于的直线从出发，沿方向以每秒个单位长度的速度平移，当直线与重合时停止运动，运动过程中分别交矩形的对角线于点E，F，以为边在左侧作正方形，设正方形与重叠部分的面积为S，直线的运动时间为ts，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（    ）      A．   B．   C．   D．   19．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，在中，，，与在同一条直线上，点C与点E重合．以每秒1个单位长度的速度沿线段所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，停止运动．设运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（        ）    A．   B．   C．   D．   20．（2023·辽宁·中考真题）如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映与之间函数关系的图象是（　　）    A．   B．   C．   D．   21．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   22．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形，，，，…都是平行四边形，顶点，，，，，…都在轴上，顶点，，，，…都在正比例函数（）的图象上，且，，，…，连接，，，，…，分别交射线于点，，，，…，连接，，，…，得到，，，…．若，，，则的面积为 ．    23．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B、C在x轴的正半轴上，，．点M在菱形的边和上运动（不与点A，C重合），过点M作轴，与菱形的另一边交于点N，连接，，设点M的横坐标为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（    ）      A．   B．       C．   D．   考点05 反比例函数的图像性质 24．（2025·辽宁·中考真题）在电压不变的情况下，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系．当时，．则电流与电阻之间的函数表达式为 ． 25．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为点C，延长至点B，使，点D是y轴上任意一点，连接，，若的面积是6，则 ． 26．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在中，，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数的图象交AC于点E，过点E作轴，垂足为点F．若点E为的中点，，，则k的值为 ．    27．（2023·辽宁阜新·中考真题）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点C，连接，则的面积是 ． 28．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，点C在第一象限内，点B为的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若的面积是6，则k的值为 ．      29．（2023·辽宁沈阳·中考真题）若点和点都在反比例函数的图象上，则 ．（用“”“”或“”填空） 30．（2023·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，点恰好落在反比例函数（）的图象上，则的值是 ．    31．（2023·辽宁·中考真题）如图，矩形的边平行于轴，反比例函数的图象经过点，对角线的延长线经过原点，且，若矩形的面积是8，则的值为 ．    考点06 解直角三角形的应用 32．（2025·辽宁·中考真题）如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为 （结果精确到．参考数据：，）． 33．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东方向上，继续向东航行到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）．    34．（2023·辽宁·中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度进行测量，他在自家楼顶B处测得大厦底部的俯角是，测得大厦顶部的仰角是，已知他家楼顶B处距地面的高度为40米（图中点A，B，C，D均在同一平面内）．    (1)求两楼之间的距离（结果保留根号）； (2)求大厦的高度（结果取整数）． （参考数据：，，，） 35．（2023·辽宁·中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）    (1)求登山缆车上升的高度； (2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到） （参考数据：） 36．（2023·辽宁营口·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西方向上，B位于C的北偏西方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：，）    37．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得，，，，底座四边形为矩形，．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，）    38．（2023·辽宁阜新·中考真题）如图，小颖家所在居民楼高为，从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角是，而大厦底部D的俯角是．    (1)求两楼之间的距离． (2)求大厦的高度． （结果精确到．参考数据：，，） 39．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路．当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，，，，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数．参考数据：，，，）    40．（2023·辽宁鞍山·中考真题）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示．在截面图中，墙面垂直于地面，遮阳棚与墙面连接处点距地面高，即，遮阳棚与窗户所在墙面垂直，即．假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为(若经过点的光线恰好照射在地面点处，则)，为使正午时窗前地面上能有宽的阴影区域，即，求遮阳棚的宽度．(结果精确到．参考数据：)    考点07 函数的实际应用 41．（2025·辽宁·中考真题）为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱 活动准备 1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下： 1．大门形状为矩形（矩形）； 2．底部跨度（的长）为； 3．立柱的长为，且，垂足为． 设计方案 考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计） 42．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 43．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数在第一象限的图象经过点C，，，过点C作直线轴，交y轴于点E．      (1)求反比例函数的解析式． (2)若点D是x轴上一点（不与点A重合），的平分线交直线于点F，请直接写出点F的坐标． 44．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，过点A作轴交x轴于点C，在x轴正半轴上取一点D，使，连接，．若的面积是6．    (1)求反比例函数的解析式． (2)点P为第一象限内直线上一点，且的面积等于面积的2倍，求点P的坐标． 45．（2023·辽宁阜新·中考真题）某中学数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b，c是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当，时，即，当时，函数化简为；当时，函数化简为______． (2)当，，时，即． ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： … 0 1 2 3 4 … … 6 2 0 2 4 6 … 其中______． ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数的图象．    (3)当时，即． ①当时，函数化简为______． ②在图2所示的平面直角坐标系内画出函数的图象． (4)请写出函数（a，b，c是常数，）的一条性质：______．（若所列性质多于一条，则仅以第一条为准） 46．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，且，求点C的坐标． 47．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点直线与轴交于点，与直线交于点点是线段上的一个动点（点不与点重合），过点作轴的垂线交直线于点设点的横坐标为．      (1)求的值和直线的函数表达式； (2)以线段，为邻边作▱，直线与轴交于点． ①当时，设线段的长度为，求与之间的关系式； ②连接，，当的面积为时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$