数学二模模拟卷（湖南省卷专用，新题型）学易金卷：2026年中考第二次模拟考试

@学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考第二次模拟考试 数学 (考试时间：120分钟，分值：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列各数中，不是无理数的是() A.√2 B.0.5 C.2π D.0.151151115..(两个5之间依次多1个1) 2.篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳 动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为() 从正面看 B 3.下列计算正确的是（) A.2ab+3a'b=5a'b2 B.(-3a2=-9a C.3d.（-4ad2）=-12a D.(a-b)2=a2-b 4.下列命题是真命题的是() A.算术平方根等于本身的数是0和1 1/10 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B.如果4>b,那么a>b C.x轴上的点的横坐标等于0 D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 5.积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释.某 校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制 作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动.小芳从这些劳 动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是() A. C. n.君 6.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边落在含45°角的三角尺的一条直 角边上，则a的度数是() 4 45> B 丁30 D a A.45° B.609 C.75° D.80° 7.数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量（克)和沙子下漏的时间t(秒) 之间的关系.某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t(秒) 20 40 0 80 100 质量m(克) 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为() A.m=0.3t+5 B.=0.25t+6 C.m=0.3t-5 D.m=0.4t-1 8.若反比例函数y=(k≠0)的图象位于第二、 四象限，则关于x的一元二次方程x2-x+k=0的根的情 况是() 2110 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.如图，正五边形ABCDE内接于OO,P为D上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为 () A.36° B.18° C.54° D.72° 10.如图，正方形ABCD中，AB=I2,点E在边BC上，BE=EC,将△DCE沿DE对折至△DFE,延 长EF交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论：①△DAG2ADFG；②BG=2AG;③ S△ar=120;④BF∥DE.其中正确结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.函数y=2V2-x+1 中自变量x的取值范围是」 -1 12.计算： 21 （a≠1) a-1a-1 13.截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机 配送系统，工作人员对A,B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高， 影响程度越小，满分10分)： 影响因素 型号 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 3/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A型 8.5 9.5 8 8.3 B型 7.5 8.3 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按3：1：2：4的比例确定 无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是型（填“A或“B”). 14.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10.这样的数称为三角形数”，而把1、4、9、16.这样 的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形 数之和，例如4=1+3.把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则169= ●●●y/● ●●/● ●●/●● ●6●● 6●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 15.如图，在菱形ABCD中，点B、C在x轴上，点A的坐标为(0,2W3),分别以点A、B为圆心，大于 专B的长为半径作弧，两弧相交于点E、卫，直线P恰好经过点D,则点B的坐标为—一 B 16.在Rt△ABC中，AB=4,BC=3,∠ABC=90°，点N,M分别是边AB和AC上的动点，始终保持 CM=AN,连接CN,MB,则CN+MB的最小值为 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1.(本题6分)计算：5-小+(2026++写 tan 60 4/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2x-y=-5 18.(本题6分)解方程组： 4x+3y=10 19.(本题8分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文 明发展史.从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文 价值亟待被挖掘。 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文 化知识竞赛.并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组： A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80),下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76,78,80,82,87,87,87,93,93,97. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 A m C 20% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a= ,b= ,m= 【数据分析与运用】 (2)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人.估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀” 5/10 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (x≥90)的总共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由 即可). 20.(本题8分)如图，在口ABCD中，E,F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方)，AE=CF B E D (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (②)连接BD,下列条件能判定四边形BEDF为矩形的是 （多选). A.DE⊥BE B.DE=BE C.EF=BD D.DB⊥EF (3)当DE LAC时，且EF=8,DF=10,求B,D两点之间的距离. 6/10 耐学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(本题10分)“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.本届 运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿 三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景.全运会纪念品深受大家 喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购 买B型号纪念品数量的2倍， 吉祥物喜洋洋 吉祥样物乐融融 (1)求A,B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A,B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个A型 号的纪念品？ 22.(本题10分)问题情境：某中学九年级M班的数学老师和部分同学周末研、学、游期间来到沂水河的 边上，甲同学在拍照时，发现了河对岸有两棵古树A、B(AB与河岸平行). 问题提出：数学老师提出不过河的前提下，设法测量河对岸两棵树之间的距离. 方案设计：甲同学提出刚刚学习过的“解直角三角形的应用”就学习过测量的方法，建立直角三角形模型， 利用三角函数解决。 测量工具：皮尺、测角仪、标杆等 操作步骤：乙同学的方案是：如图1，在河岸一侧确定两个点C,D,使CD与河岸平行，且 7/10 @学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∠DCB=90°，经测量CD=20m,∠ADB=82°，∠BDC=45° 问题解决：(1)请根据乙同学的方案，计算出A,B两棵树之间的距离.（结果精确到0.1，参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 交流讨论：(2)丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C,D,使CD与河岸平行，且 ∠DCB=90°，测量出DC=m,DE=bm,∠D=a,即可计算出AB的长度，请帮助丙同学验证他的方 案的可行性 拓展反思：丁同学提出是否可以构造全等三角形，利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离，老师说 思想方法能行，但同学们观察当地的实际情况后，得出的结论是不可以，你能说出其中的理由吗（只要合 理即可)？ E'、 D 图1 图2 8/10 可学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(本题12分)综合与探究 【问题背景】如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,探究线段AC,BC,CD 之间的数量关系. 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处，点B,C分别落在点A, E处（如图②），易证点C,A,E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=√2CD, 从而得出结论：AC+BC=√2CD· 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【简单应用】 (1)在图①中，若AC=2√5，BC=3√2，则CD= (2)如图③，有一个圆形公园OO,直径AB是贯穿公园OO的一条小路，出口点C、D在公园OO上，且 AD=BD,线段BC也是一条小路，若路AB=1300米，BC=1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小 河CD,小河CD最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,若AC=a,BC=b(a<b),求CD的长（用含a,b的代数 式表示). (4)如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC,点P为AB的中点，若点E满足4AE=AC,CE=CA,点Q为AE的 中点，则线段PQ与AC的数量关系是_ ·（直接写出答案) 9/10 耐学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 24.(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y=2+bx+c(a≠0)的顶点(x。,y)满足 2x。+y。=0,我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”： YA (1)下列抛物线是“定斜抛物线”的有 (填序号)： ①y=x2;②y=-(x-1)(x-3):③y=-x2+2x-3;④y=(x+t)2+2t. (2)若抛物线C:y=2-bx+3是“定斜抛物线”，求a的取值范围： (3)已知顶点为A的抛物线C:y=-x2+bx+C和顶点为B的抛物线C2:y=-x2+b,x+C,都是“定斜抛物线” 点B在点A左侧)，且抛物线C经过点(O,,如图，两条抛物线相交于点C,若an∠ACB=,试判断 点B、点C的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 10/10 2026年中考第二次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B D C A B C A A A B 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．且 12．/ 13．B 14. 15． 16． 三、解答题：本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分） 【详解】解： …………………………2分 …………………………4分 ．…………………………6分 18． （6分） 【详解】解：， ，得③， ②+③，得， 解得：，…………………………2分 把代入①，得， 解得：，…………………………4分 ∴原方程组的解是.…………………………6分 19．（8分） 【详解】（1）解：八年级C组的人数为：（人），八年级B组有4人， 则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴， 故答案为：88，87，40；…………………………3分 （2）解：（人）， 答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的人有640人；…………………………5分 （3）解：八年级学生数学文化知识较好，…………………………6分 理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好．…………………………8分 20．（8分） 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形．…………………………3分 （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形．…………………………5分 （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为．…………………………8分 21．（10分） 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，，…………………………3分 经检验，当时，原方程有意义， ∴，…………………………4分 ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元；…………………5分 （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，，…………………………7分 ∴最多能购买16个型号的纪念品．…………………………8分 22.（10分） 【详解】解：（1）过D作于E， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形，…………………………2分 ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 答：，两棵树之间的距离为；…………………………4分 （2）在中，，，， ∴， 又， ∴，…………………………6分 ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴丙同学的方法可行；…………………………8分 拓展反思：如图， 可以利用皮尺测量出、、的长度， 但无法测量、的长度， 故不能证明， 故不能利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离．…………………………10分 23．（12分） 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴．…………………………2分 （2）解：由两点之间线段最短可知，小河的最小值为线段的长， 如图③，连接， ∵是的直径， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴如图③，将绕点顺时针旋转到处，点分别落在点处， ∴，米，，，…………………………4分 ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴米， ∵在中，， ∴米， 答：小河最短是米．…………………………6分 （3）解：如图④，以为直径作，连接，并延长交于点，连接， ∵，，， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， 由题干可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵，都是的直径， ∴，， ∴， ∴在中，．…………………………8分 （4）解：①如图⑤，当点在直线的左侧时，连接， ∵，，点为的中点， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴由题干可知，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 由得：， ∴；…………………………10分 ②如图⑥，当点在直线的右侧时，连接， 同理可得：， 设，则， 在中，， 由（3）可知，， ∴， 由得：， ∴； 综上，线段与的数量关系是或．…………………………12分 24．（12分） 【详解】（1）解：对于①，顶点坐标为，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于②，顶点横坐标，顶点纵坐标，，不满足定义，不是“定斜抛物线”； 对于③，顶点横坐标，顶点纵坐标，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于④，顶点坐标为，，恒满足定义，是“定斜抛物线”； 综上，是“定斜抛物线”的有①③④；…………………………3分 （2）解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵抛物线是“定斜抛物线”， ∴，即， 整理得， ∵关于的一元二次方程有实数解， ∴判别式， 即，解得， 又∵抛物线中， ∴的取值范围是且；…………………………6分 （3）解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即，…………………………8分 ∵抛物线经过点，代入得， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，顶点的坐标为； 设顶点的横坐标为， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即顶点的纵坐标， ∴抛物线. 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点在直线上．…………………………10分 过点作轴，交直线于点，与轴交于点， 设点的横坐标与点的横坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即． ∵，…………………………12分 ∴， ∴，即； 联立与的解析式：，得， 展开整理得， ∵， ∴，即，变形得， ∴． ； ∵点在上， ∴， ； ∴， 化简得， ，两边同除以，得：， 展开整理得， 因式分解得， 解得或或， 结合，只有符合条件， ∴， ∴， 即点、点的横坐标的和为定值． …………………………12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[]【V1【1小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[BIICJ[D] 5[A][B][C][D] [AJ[B][C][D] 2[AJ[BJICIID] 6[AJ[BIIC][D] 10.[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.[A1[B1[CI[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12. 13. 14. 15. 16. 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) A B E D C 22.(10分) A B E,' D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 24.(12分) B y 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！: 2026年中考第二次模拟考试 : 数学 ·: (考试时间：120分钟试卷满分：120分) : 注意丰项： 斯 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : 第一部分（选择题共30分） % : 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列各数中，不是无理数的是() : A.√2 B.0.5 C.2π D.0.151151115.(两个5之间依次多1个1) 2.篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动 综合实践课程中都开设了篆刻这一课程如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为() : : : 从正面看 : : : 3.下列计算正确的是() : K A.2ab+3a'b=5ab2 B.（←3a2)=-9a c.3d.（-4a2)=-12a D.(a-b)2=2-b2 : 4.下列命题是真命题的是() A.算术平方根等于本身的数是0和1 : 试题第1页（共8页） @©学科网·学易金卷德就：或限爱是鲁 B.如果d>b,那么a>b C.x轴上的点的横坐标等于0 D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行 5,积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释.某 校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制 作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动.小芳从这些劳 动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是() A.号 B. c 0. 6 6.将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边落在含45°角的三角尺的一条直角 边上，则&的度数是() A.45° B.60° C.75° D.80° 459 30o E 7.数学兴趣课上，同学们设计试验，深究沙漏下面瓶子内沙子的质量（克）和沙子下漏的时间t(秒) 之间的关系.某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t(秒) 20 40 60 80 100 质量（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为() A.m=0.3t+5B.m=0.25t+6 C.=0.3t-5 D.=0.4t-1 8.若反比例函数y=(化≠0)的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程x-x+k=0的根的情况 是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 9.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O,P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为() A.36 B.18° C.54° D.72° 试题第2页（共8页） 可学科网·学易金卷做就卷：就限是普 B 10.如图，正方形ABCD中，AB=I2,点E在边BC上，BE=EC,将△DCE沿DE对折至△DFE,延长 EF交边AB于点G,连接DG、BF,给出以下结论：①△DAG≌ADFG;②BG=2AG;③ S△ar=120;④BF∥DE.其中正确结论的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 A F B 第二部分（非选择题共0分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分) 11.函数y=2W2-x+1 中自变量x的取值范围是· -1 12.计算：41 (a≠1). a-1a-1 13.截至2025年底，国内某外卖平台己开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配 送系统，工作人员对A,B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响 程度越小，满分10分)： 影响因素 型号 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8.5 9.5 8 8.3 B型 9 7.5 8.3 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按3：1：2：4的比例确定无 人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是 型（填“A”或“B). 14.古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10.这样的数称为"三角形数”，而把1、4、9、16…这样的 数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之 试题第3页（共8页） 和，例如4=1+3.把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则169= ●●●y● ●●y/● ●● /9 06.6 6● 6●● 6●●● 4=1+3 9=3+6 16=6+10 15.如图，在菱形ABCD中，点B、C在x轴上，点A的坐标为(0,2W3),分别以点A、B为圆心，大于 & 迟的长为半径作弧，两弧相交于点R、人，直线P恰好经过点D,则点B的坐标为一 兵 张 16.在Rt△ABC中，AB=4,BC=3,∠ABC=90°，点N,M分别是边AB和AC上的动点，始终保持 数 CM=AN,连接CN,MB,则CN+MB的最小值为 游 S B 三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(木题6分)计第：5-+(2026+对+目 世 2x-y=-5 18.(本题6分)解方程组： 4x+3y=10 席 19.(本题8分)【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文 明发展史.从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文 : 价值亟待被挖掘， 试题第4页（共8页） 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化 o 知识竞赛.并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组： ·: A.90≤x≤100，B.80≤x<90,C.70≤x<80),下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76,78,80,82,87,87,87,93,93,97. 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 O O 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 % 八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 B mo : C 20% . O 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a= b= m= 【数据分析与运用】 (2)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人，估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀” : (x≥90)的总共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由 拟 : 即可) : ·: : 20.(本题8分)如图，在口ABCD中，E,F为对角线AC上的两点（点E在点F的上方)，AE=CF. (1)求证：四边形BEDF是平行四边形： (2)连接BD,下列条件能判定四边形BEDF为矩形的是」 (多选). A.DE⊥BE B.DE=BE C.EF=BDD.DB⊥EF .: (3)当DE LAC时，且EF=8,DF=10,求B,D两点之间的距离. O : 试题第5页（共8页） @学科网·学易金卷做概装：就限爱是带 D 21.（本题10分)“激情全运会，活力大湾区"第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕.本届 运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三 朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景.全运会纪念品深受大家喜 爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买 B型号纪念品数量的2倍， (1)求A,B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A,B两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个A型号 的纪念品？ 古禅物喜洋洋 古样物乐融融 22.(本题10分)问题情境：某中学九年级M班的数学老师和部分同学周末研、学、游期间来到沂水河的 边上，甲同学在拍照时，发现了河对岸有两棵古树A、B(AB与河岸平行). 问题提出：数学老师提出不过河的前提下，设法测量河对岸两棵树之间的距离 方案设计：甲同学提出刚刚学习过的“解直角三角形的应用”就学习过测量的方法，建立直角三角形模型，利 用三角函数解决. 测量工具：皮尺、测角仪、标杆等. 操作步骤：乙同学的方案是：如图1，在河岸一侧确定两个点C,D,使CD与河岸平行，且 ∠DCB=90°，经测量CD=20Im,∠ADB=82°，∠BDC=45° 试题第6页（共8页） 可学科网·学易金卷做好德：限是鲁普 问题解决：(1)请根据乙同学的方案，计算出A,B两棵树之间的距离.（结果精确到0.1m,参考数据： sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 交流讨论：(2)丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C,D,使CD与河岸平行，且 ∠DCB=90°，测量出DC=,DE=bm,∠D=a,即可计算出AB的长度，请帮助丙同学验证他的方案 的可行性. 拓展反思：丁同学提出是否可以构造全等三角形，利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离，老师说思 想方法能行，但同学们观察当地的实际情况后，得出的结论是不可以，你能说出其中的理由吗（只要合理 即可)？ D 图1 图2 23.(本题12分)综合与探究 【问题背景】如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,探究线段AC,BC,CD之 间的数量关系 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处，点B，,C分别落在点A, E处（如图②），易证点C,A,E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=√2CD,从 而得出结论：AC+BC=√2CD. 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 【简单应用】 (1)在图①中，若AC=2√2，BC=3√5，则CD= (2)如图③，有一个圆形公园O0,直径AB是贯穿公园OO的一条小路，出口点C、D在公园OO上，且 AD=BD,线段BC也是一条小路，若路AB=1300米，BC=1200米，现在要在出口C、D之间挖一条小 河CD,小河CD最短是多少米？ 【拓展规律】 试题第7页（共8页） (3)如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,若AC=a,BC=b(a<b),求CD的长（用含a,b的代数 式表示) (4)如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC,点P为AB的中点，若点E满足4AE=AC,CE=CA,点Q为AE的 中点，则线段PQ与AC的数量关系是 .（直接写出答案) 24.(本题12分)在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点(x。,)满足 2x。+y。=0,我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”： :: 年 张 加 (1)下列抛物线是“定斜抛物线”的有（填序号）： ①y=x2；②y=-(x-1)(x-3);③y=-x2+2x-3；④y=(x+t)2+2t. 游 (2)若抛物线C:y=2-br+3是“定斜抛物线”，求a的取值范围； (3)已知顶点为A的抛物线C1:y=-x2+bx+c,和顶点为B的抛物线C2:y=-x2+b,x+c2都是“定斜抛物线” S 《点s在点A左侧)，且抛物线C,经过点(Q,1),如图，两条抛物线相交于点C,若mAC8行，试判断点 B、点C的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值：若不是，请说明理由. YA E脚 世 试题第8页（共8页） 2026年中考第二次模拟考试 数学·全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B．0.5 C． D．0.151151115…（两个5之间依次多1个1） 【答案】B 【分析】本题根据无理数和有理数的定义判断即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数． 【详解】解： A选项：是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，不符合题意； B选项：是有限小数，可化为分数，属于有理数，不是无理数，符合题意； C选项：是无理数，因此也是无理数，不符合题意； D选项：（两个5之间依次多1个1）是无限不循环小数，属于无理数，不符合题意． 2．篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 根据主视图的定义即可得到答案． 【详解】解：一块篆刻印章的材料，其主视图为： ， 故选：D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握整式乘法的运算法则是解题的关键．根据合并同类项法则，幂的运算法则，单项式乘以单项式运算法则以及完全平方公式进行计算，即可判断答案． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B、，所以B选项错误，不符合题意； C、计算正确，符合题意； D、，所以D选项错误，不符合题意． 故选C． 4．下列命题是真命题的是（   ） A．算术平方根等于本身的数是和 B．如果，那么 C．轴上的点的横坐标等于 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】A 【详解】解：、算术平方根等于本身的数是和，该选项命题是真命题； 、举反例：若，，满足，但，该选项命题是假命题； 、轴上的点的纵坐标等于，横坐标可以为任意实数，该选项命题是假命题； 、只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，该选项命题是假命题． 5．积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了求概率，总共有6种劳动教育选择，校内劳动教育有2种，根据概率公式求解即可． 【详解】解：∵总劳动教育种类数为6种，校内劳动教育有2种， ∴小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是． 故选：B． 6．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的度数，得到的度数，由对顶角相等得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 7．数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察表中数据变化特征，设解析式()，运用待定系数法，解二元一次方程组求解． 【详解】解：由表格知，m随t的增大而增大， 设函数表达式为 ()， 则， 解得， ∴． 故选：A． 8．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限， ∴． 对于方程， 判别式． ∵， ∴， ∴， 即， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，先求出，再由圆周角定理可求出的度数． 【详解】解：连接、，如图， ∵正五边形， ∴， ∴． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．函数 中自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 12．计算：________． 【答案】/ 【分析】本题考查了同分母分式的减法，分式的化简，掌握其运算规则是解题的关键．根据题意，分母不变，分子相减，然后将分子进行因式分解，约分化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13．截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 【答案】B 【分析】本题考查加权平均数的应用．根据加权平均数的计算公式分别计算A、B两种型号无人机的综合得分，再通过比较得分大小确定应选择的型号． 【详解】解：根据加权平均数的计算公式： A型无人机的综合得分：（分） B型无人机的综合得分：（分） ∵，且评分越高影响程度越小， ∴平台应选择B型无人机． 故答案为：B． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10．这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则______． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，根据三角形数的特点，得到第个三角形数为，根据任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，得到相邻的两个三角形数的和为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴第个三角形数为， ∵任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和， ∴相邻的两个三角形数的和为， ∵， ∴， ∴第12个三角形数为：，第13个三角形数为， ∴； 故答案为：． 15．如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】由题可知，垂直平分，得到，推出，利用菱形的性质求得，根据代入数据求解即可． 【详解】解：如图， 由题可知，垂直平分， 设交于点G，则， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 16．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，绝对值，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握相关知识点并正确计算是解题的关键． 先将绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18．（本题6分）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是关键； 原方程组利用加减消元法求解即可. 【详解】解：， ，得③， ②+③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解是. 19．（本题8分）【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，_______； 【数据分析与运用】 (2)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)88，87，40 (2)640 (3)八年级学生数学文化知识较好，理由见解析 【分析】（1）分别根据中位数、众数的意义求解即可求出a、b，用“1”分别减去其它组所占百分比可得m的值；； （2）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解； （3）根据中位数和众数分析即可得解． 【详解】（1）解：八年级C组的人数为：（人），八年级B组有4人， 则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴， 故答案为：88，87，40； （2）解：（人）， 答：该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的人有640人； （3）解：八年级学生数学文化知识较好， 理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相等，但八年级抽取的学生的竞赛成绩的中位数和众数均高于七年级，故八年级学生数学文化知识较好． 20．（本题8分）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)AC (3) 【分析】（1）连接，交于点O，根据平行四边形的性质得到，，结合得到，即可根据对角线互相平分得证四边形是平行四边形； （2）根据矩形的判定方法逐项判断即可； （3）根据勾股定理求出，再由平行四边形的性质得到，，进而求出，从而，即可解答． 【详解】（1）证明：连接，交于点O， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：A、∵， ∴， ∴为矩形， 故选项A能判定四边形为矩形． B、∵， ∴为菱形， 故选项B不能判定四边形为矩形． C、∵， ∴为矩形， 故选项C能判定四边形为矩形． D、∵， ∴为菱形， 故选项D不能判定四边形为矩形． （3）解：∵，，， ∴在中，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴B，D两点之间的距离为． 21．（本题10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买16个型号的纪念品． 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意“用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍”列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，根据“所花费用不超过6300元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买16个型号的纪念品． 22．（本题10分）问题情境：某中学九年级M班的数学老师和部分同学周末研、学、游期间来到沂水河的边上，甲同学在拍照时，发现了河对岸有两棵古树、（与河岸平行）． 问题提出：数学老师提出不过河的前提下，设法测量河对岸两棵树之间的距离． 方案设计：甲同学提出刚刚学习过的“解直角三角形的应用”就学习过测量的方法，建立直角三角形模型，利用三角函数解决． 测量工具：皮尺、测角仪、标杆等． 操作步骤：乙同学的方案是：如图1，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，， 问题解决：（1）请根据乙同学的方案，计算出，两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 交流讨论：（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点，，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 拓展反思：丁同学提出是否可以构造全等三角形，利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离，老师说思想方法能行，但同学们观察当地的实际情况后，得出的结论是不可以，你能说出其中的理由吗（只要合理即可）？ 【答案】（1）；（2）；拓展反思：见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，相似矩形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）过D作于E，证明四边形是矩形，得出，求出，在中，根据正切的定义求出，求出，在中，根据正切的定义求出，即可求解； （2）在中，根据余弦的定义求出，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； 拓展反思：根据测量工具不能测量出A、B到对岸某点间的距离，即可说明方法不可行． 【详解】解：（1）过D作于E， ∵， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 答：，两棵树之间的距离为； （2）在中，，，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴丙同学的方法可行； 拓展反思：如图， 可以利用皮尺测量出、、的长度， 但无法测量、的长度， 故不能证明， 故不能利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离． 23．（本题12分）综合与探究 【问题背景】如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则__________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是__________．（直接写出答案） 【答案】(1)5 (2)米 (3) (4)或 【分析】（1）将，的值代入计算即可； （2）先得出小河的最小值为线段的长，再连接，根据解答即可； （3）以为直径作，连接，并延长交于点，连接，则可得，再求出的长，然后在中，利用勾股定理求解即可； （4）分两种情况：①当点在直线的左侧时，②当点在直线的右侧时，分别利用题干和（3）的结论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：由两点之间线段最短可知，小河的最小值为线段的长， 如图③，连接， ∵是的直径， ∴， ∵米，米， ∴米， ∵， ∴， ∴如图③，将绕点顺时针旋转到处，点分别落在点处， ∴，米，，， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴米， ∵在中，， ∴米， 答：小河最短是米． （3）解：如图④，以为直径作，连接，并延长交于点，连接， ∵，，， ∴垂直平分（等腰三角形的三线合一）， ∴， 由题干可知，， ∵，， ∴， ∴， ∵，都是的直径， ∴，， ∴， ∴在中，． （4）解：①如图⑤，当点在直线的左侧时，连接， ∵，，点为的中点， ∴， ∵，点为的中点， ∴，， ∴由题干可知，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 由得：， ∴； ②如图⑥，当点在直线的右侧时，连接， 同理可得：， 设，则， 在中，， 由（3）可知，， ∴， 由得：， ∴； 综上，线段与的数量关系是或． 【点睛】本题的难点在于利用旋转，构造全等三角形和等腰直角三角形． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点满足，我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”； (1)下列抛物线是“定斜抛物线”的有________（填序号）； ；；；． (2)若抛物线是“定斜抛物线”，求的取值范围； (3)已知顶点为的抛物线和顶点为的抛物线都是“定斜抛物线”（点在点左侧），且抛物线经过点，如图，两条抛物线相交于点，若，试判断点、点的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)且； (3)是定值，该定值为． 【分析】（1）根据“定斜抛物线”的定义，依次求出每个抛物线的顶点坐标，将顶点坐标代入进行验证，满足该等式的抛物线即为所求，据此判断对应序号即可； （2）先利用二次函数的顶点公式求出抛物线的顶点横、纵坐标，结合“定斜抛物线”的定义列出等式并整理为关于的一元二次方程，根据方程有实数解的条件，利用一元二次方程的根的判别式求出的取值范围，同时结合二次函数的定义注意二次项系数的限制条件； （3）先结合“定斜抛物线”的定义和抛物线经过点的条件，求出的解析式和顶点的坐标，设顶点的横坐标并结合定义表示出其纵坐标，用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴交直线于点，利用锐角三角函数的定义得到角相等的关系，结合公共角证明，得出的比例关系，再联立和的解析式，化简后得到与的数量关系，用表示出、和的表达式，代入比例关系列方程，通过因式分解解方程，筛选出符合条件的，进而求出，最终计算出点、点横坐标的和得到定值． 【详解】（1）解：对于①，顶点坐标为，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于②，顶点横坐标，顶点纵坐标，，不满足定义，不是“定斜抛物线”； 对于③，顶点横坐标，顶点纵坐标，，满足定义，是“定斜抛物线”； 对于④，顶点坐标为，，恒满足定义，是“定斜抛物线”； 综上，是“定斜抛物线”的有①③④； （2）解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵抛物线是“定斜抛物线”， ∴，即， 整理得， ∵关于的一元二次方程有实数解， ∴判别式， 即，解得， 又∵抛物线中， ∴的取值范围是且； （3）解：抛物线， 顶点横坐标，顶点纵坐标， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即， ∵抛物线经过点，代入得， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为，顶点的坐标为； 设顶点的横坐标为， ∵是“定斜抛物线”， ∴，即顶点的纵坐标， ∴抛物线. 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点在直线上． 过点作轴，交直线于点，与轴交于点， 设点的横坐标与点的横坐标为， ∴，， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴，即； 联立与的解析式：，得， 展开整理得， ∵， ∴，即，变形得， ∴． ； ∵点在上， ∴， ； ∴， 化简得， ，两边同除以，得：， 展开整理得， 因式分解得， 解得或或， 结合，只有符合条件， ∴， ∴， 即点、点的横坐标的和为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________ 15.________________ 16.________________ 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考第二次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必 须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第I卷（请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5 [A][B][c][D] 9[AJ[B][G][D] 2[A][B][CI[D] 6 [A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][CI[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12. 13. 14 15. 16. 三、解答题（共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) A B E D 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(10分) A E D D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 0 图① 图② 图③ 图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2026年中考数学第二次模拟考试 答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条 考生禁填：缺考标记 ▣ 形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 口 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无 选择题填涂样例： 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4,保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[凶1【W1[/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、 选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.AJ[B][C][D] 9.[A1[BJ[C][D] 2[A][B][C][D] 6.A][B][C]ID1 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 12 13. 14. 15. 16. 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) B 22.(10分) B E,、 D D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) D 图① 图② 图③ 图④ 图⑤ 24.(12分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B．0.5 C． D．0.151151115…（两个5之间依次多1个1） 2．篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（   ） A．算术平方根等于本身的数是和 B．如果，那么 C．轴上的点的横坐标等于 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 5．积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．函数 中自变量x的取值范围是______． 12．计算：________． 13．截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10．这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则______． 15．如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 16．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）解方程组： 19．（本题8分）【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，_______； 【数据分析与运用】 (2)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．（本题8分）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 21．（本题10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 22．（本题10分）问题情境：某中学九年级M班的数学老师和部分同学周末研、学、游期间来到沂水河的边上，甲同学在拍照时，发现了河对岸有两棵古树、（与河岸平行）． 问题提出：数学老师提出不过河的前提下，设法测量河对岸两棵树之间的距离． 方案设计：甲同学提出刚刚学习过的“解直角三角形的应用”就学习过测量的方法，建立直角三角形模型，利用三角函数解决． 测量工具：皮尺、测角仪、标杆等． 操作步骤：乙同学的方案是：如图1，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，， 问题解决：（1）请根据乙同学的方案，计算出，两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 交流讨论：（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点，，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 拓展反思：丁同学提出是否可以构造全等三角形，利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离，老师说思想方法能行，但同学们观察当地的实际情况后，得出的结论是不可以，你能说出其中的理由吗（只要合理即可）？ 23．（本题12分）综合与探究 【问题背景】如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则__________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是__________．（直接写出答案） 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点满足，我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”； (1)下列抛物线是“定斜抛物线”的有________（填序号）； ；；；． (2)若抛物线是“定斜抛物线”，求的取值范围； (3)已知顶点为的抛物线和顶点为的抛物线都是“定斜抛物线”（点在点左侧），且抛物线经过点，如图，两条抛物线相交于点，若，试判断点、点的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考第二次模拟考试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列各数中，不是无理数的是（  ） A． B．0.5 C． D．0.151151115…（两个5之间依次多1个1） 2．篆刻最早起源于先秦时期，是我国传统艺术之一.为了将这一传统艺术瑰宝发扬光大，不少中小学在劳动综合实践课程中都开设了篆刻这一课程.如图是一块篆刻印章的材料，其主视图为（   ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是真命题的是（   ） A．算术平方根等于本身的数是和 B．如果，那么 C．轴上的点的横坐标等于 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 5．积极开展中小学生劳动教育是对“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”的深刻诠释．某校积极开展劳动教育课程，现提供校内劳动教育和校外劳动教育两类，其中校内劳动教育有校园手工制作、校园日常劳动，校外劳动教育有校外义务卫生活动、农田劳动、社区服务、家庭劳动．小芳从这些劳动教育中任选一种，她恰好选中校内劳动教育的概率是（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角尺按如图所示的方式放置，使含角的三角尺的短直角边落在含角的三角尺的一条直角边上，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 8．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点D重合），则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．函数 中自变量x的取值范围是______． 12．计算：________． 13．截至2025年底，国内某外卖平台已开通53条无人机航线，累计配送订单超45万单，为优化无人机配送系统，工作人员对A，B两种型号的无人机受不同因素影响的程度进行评分，数据如下（评分越高，影响程度越小，满分10分）： 型号 影响因素 城市环境 山地地形 天气 障碍物识别 A型 8 B型 9 9 平台计划再购进一批无人机，将城市环境、山地地形、天气、障碍物识别四项得分按的比例确定无人机的综合得分，则平台应选择的无人机型号是______型（填“A”或“B”）． 14．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10．这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16……这样的数称为“正方形数”，从如图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，例如．把“正方形数”169写成两个相邻的“三角形数”之和，则______． 15．如图，在菱形中，点B、C在x轴上，点A的坐标为，分别以点A、B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点E、F，直线恰好经过点D，则点B的坐标为______． 16．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）解方程组： 19．（本题8分）【项目背景】数学文化有利于激发学生数学兴趣、数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史．从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛．并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80,83,88,88 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，_______； 【数据分析与运用】 (2)该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．（本题8分）如图，在中，E，F为对角线上的两点（点E在点F的上方），． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，下列条件能判定四边形为矩形的是__________（多选）． A． B． C． D． (3)当时，且，，求B，D两点之间的距离． 21．（本题10分）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6300元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 22．（本题10分）问题情境：某中学九年级M班的数学老师和部分同学周末研、学、游期间来到沂水河的边上，甲同学在拍照时，发现了河对岸有两棵古树、（与河岸平行）． 问题提出：数学老师提出不过河的前提下，设法测量河对岸两棵树之间的距离． 方案设计：甲同学提出刚刚学习过的“解直角三角形的应用”就学习过测量的方法，建立直角三角形模型，利用三角函数解决． 测量工具：皮尺、测角仪、标杆等． 操作步骤：乙同学的方案是：如图1，在河岸一侧确定两个点，，使与河岸平行，且，经测量，， 问题解决：（1）请根据乙同学的方案，计算出，两棵树之间的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 交流讨论：（2）丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点，，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度，请帮助丙同学验证他的方案的可行性． 拓展反思：丁同学提出是否可以构造全等三角形，利用“全等三角形”法测量两棵古树之间的距离，老师说思想方法能行，但同学们观察当地的实际情况后，得出的结论是不可以，你能说出其中的理由吗（只要合理即可）？ 23．（本题12分）综合与探究 【问题背景】如图①，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将绕点，逆时针旋转到处，点，分别落在点，处（如图②），易证点，，在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得出结论：． 【简单应用】 (1)在图①中，若，，则__________． (2)如图③，有一个圆形公园，直径是贯穿公园的一条小路，出口点、在公园上，且，线段也是一条小路，若路米，米，现在要在出口、之间挖一条小河，小河最短是多少米？ 【拓展规律】 (3)如图④，，，若，，求的长（用含，的代数式表示）． (4)如图⑤，，，点为的中点，若点满足，，点为的中点，则线段与的数量关系是__________．（直接写出答案） 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点满足，我们就称这样的抛物线为“定斜抛物线”； (1)下列抛物线是“定斜抛物线”的有________（填序号）； ；；；． (2)若抛物线是“定斜抛物线”，求的取值范围； (3)已知顶点为的抛物线和顶点为的抛物线都是“定斜抛物线”（点在点左侧），且抛物线经过点，如图，两条抛物线相交于点，若，试判断点、点的横坐标的和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $