专题08 正弦定理（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题08 正弦定理 题型1 正弦定理及其辨析 题型5 正弦定理边角互化的应用（常考点） 题型2 正弦定理解三角形（重点） 题型6 三角形面积公式及其应用（重点） 题型3 正弦定理判定三角形解的个数（重点） 题型7 射影公式 题型4 正弦定理求外接圆半径 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正弦定理及其辨析（共5小题） 1．已知的内角的对边分别为，    (1)请用数学语言叙述正弦定理： (2)用向量方法证明您的叙述（非向量方法不得分！） 【答案】(1)已知的内角的对边分别为，则． (2)证明见解析 【详解】（1）已知的内角的对边分别为，则． （2）①当为直角三角形时，    在中，若，则，， 所以，，又，所以． ②当为锐角三角形时，    在锐角中，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为， 所以， 因为，，， 所以，所以， 同理，过点作与垂直的单位向量，可得， 所以 ③当为钝角三角形时，    在钝角中，若为钝角，过点作与垂直的单位向量，则与的夹角为，与的夹角为， 根据锐角中的证明方法，同样可得， 综上所述，的内角的对边分别为，则． 2．在中，角，，的对应边分别为，，，根据各小题条件分别求解. (1)，，，求最小的内角. (2)，是方程的两个根，，求边的长. (3)，，，求边的长. 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）由小边对小角知最小，且， 又，故； （2）由题设，， 所以， 则； （3）由题设，则， 所以，则（负值舍）. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）. A．若，则 B．若，则△ABC为锐角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【分析】根据正弦定理即可判断AD，根据余弦定理判断B，根据正弦定理边化角，再结合二倍角的正弦公式，即可判断C. 【详解】A.根据正弦定理可知，，则，故A正确； B. 若，则是直角三角形， 若，则，只能说明为锐角，不能说明的形状，故B错误； C. ，即， 因为，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； D.由条件可知，，即，故D正确. 故选：AD 4．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ） A．若点是的中点，，则 B．若平分，则 C．三角形外接圆面积最大值为 D．若，则内切圆半径为2 【答案】AB 【分析】将平方求解即可判断A；由角平分线定理可判断B；利用正弦定理表示出半径，根据正弦函数的性质可判断C；注意到内切圆直径必小于边上的高，结合A即可判断D. 【详解】对于A，因为点是的中点，所以， 因为，所以， 所以， 故，故A正确； 对于B，由角平分线定理可知，故B正确； 对于C，根据正弦定理可得三角形外接圆半径，即， 因为，所以，所以三角形外接圆面积最小值为，故C错误； 对于D，由上知，则边上的中线长为，则边上的高小于， 所以内切圆直径小于，即半径小于，因为，故D错误. 故选：AB 5．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心； B．若，则点为的内心； C．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心； D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心． 【答案】AB 【分析】A、B，分别假设为的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；C由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心； 【详解】A：若为的外心，分别为的中点，则， 而，同理，又， 故，故A正确； B：若为的内心，如图示：， 同理，，， 所以， ，故B正确； C：由正弦定理可设，而， 所以，D为BC的中点，则， 即动点的轨迹一定经过的重心，故C错误. D：由，故，即，动点的轨迹一定经过的垂心，故D错误. 故选：AB 题型二 正弦定理解三角形（共5小题） 6．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】计算角判断三角形形状判断A；根据余弦定理及正弦定理计算判断B；根据三角形面积公式计算判断C；求解周长判断D. 【详解】对于A，因为，所以或， 因为，所以， 则，则是等腰三角形，故A正确. 对于B，在中，由余弦定理可得， 即，则， 由正弦定理可得，故B错误. 对于C，的面积为，故C正确， 对于D，周长为，故D错误. 7．在中，角的对边分别为，若，，. (1)求边和角； (2)求的面积. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）直接用正弦定理解三角形可得； （2）由（1）解析中两种情况分别求面积可得. 【详解】（1）因为中，，，，由正弦定理得， 又因为，所以或. 当时，， ， 由正弦定理； 当时，， ， 由正弦定理； 所以或. （2）由（1）知或. 当时，，所以三角形面积； 当时，，所以三角形面积； 所以或. 8．在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)． (2)或 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为的表达式，代入已知等式，通过代数化简直接求出的值； （2）先由正弦定理求出，分和两种情况，结合余弦定理与的条件列方程求解，再由正弦定理得到的所有可能值． 【详解】（1）由正弦定理得，所以，． 又，所以， 所以． （2）由正弦定理得， 又，所以， 因为，所以或． 由（1）知，． ①当时，， 所以． 因为，所以，所以， 所以． ②当时，， 因为，所以，所以，则， 所以． 综上所述，或 9．设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理求得，再由正弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得，解得， 因为为三角形内角，所以． 又， 由正弦定理可得， 所以的面积． 10．在中，． (1)若，的面积为，求边的长度； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理，可求角，再结合三角形的面积公式，可求的值，再利用余弦定理求边即可. （2）利用余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最大值即可. 【详解】（1）由题意得， 则由正弦定理可得， 得到， 可得 则，因为为的内角，所以， 得到，又，可得， 由，解得. 由余弦定理得， 而，则. （2）在中，，， 由余弦定理得，则， 因为，当且仅当时取等， 所以， 所以. 所以当为等边三角形时，面积取得最大值为. 题型三 正弦定理判定三角形解的个数（共5小题） 11．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因， 则当，即时，三角形有两解， 所以的取值范围是. 12．在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 13．在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用正弦定理求得，再根据三角形有两解的条件可得，且，由此求出的范围即可得解. 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 14．中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1），，    （2），， （3），，    （4），， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由正弦定理即可判断（1）（2）；利用余弦定理即可判断（3）（4）. 【详解】对于（1），，，，由正弦定理得， 因为且为锐角，所以只有一解， 对于（2），，，，因为， 所以三角形有两个解； 对于（3），，，， 由余弦定理可得， 则，唯一，所以三角形有唯一解； 对于（4），，，， 由余弦定理可得， 所以唯一，同理唯一，所以三角形有唯一解， 综上，（1）（3）（4）有唯一解，共3个. 15．在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 【答案】C 【分析】利用正弦定理得，然后根据三角形一解的条件列不等式即可求解. 【详解】中，，，， 由正弦定理得，即，可得， 根据，且仅一个解时，或， 即或，结合，解得或. 题型四 正弦定理求外接圆半径（共5小题） 16．在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】根据正弦定理求外接圆半径；将边化为角，运用辅助角公式化简，根据三角函数性质求最值得的取值范围. 【详解】已知，， ，. ， 设， ，其中， 要使取得最大值，需且， 因为，所以，则， 解不等式， 且， . 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 【答案】5 【分析】利用同角关系式可得，再利用正弦定理即求. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 故外接圆的半径为5. 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. (1)求的外接圆的半径； (2)求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用两角和的正弦公式及诱导公式得到，求出B，再由正弦定理即可得解； （2）利用余弦定理得到，再将两边平方，即可求出，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 即，又， 则， 又，所以，又， 所以，又，即. （2）由余弦定理，即， 又，所以，解得， 所以. 19．记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出边后，再利用正弦定理求出外接圆半径即可. 【详解】，. ，. 20．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的可能取值有（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】CD 【分析】以 为坐标原点,建立平面直角坐标系,设 .根据题意,求得 且 .得，结合三角函数的性质, 即可求解. 【详解】以 为坐标原点，过点 平行于 的直线为 轴建立平面直角坐标系. 如图所示,可得 ， 因为 是边长为 2 的等边三角形. 所以由正弦定理可得其外接圆的半径为 . 因为点 在 的外接圆上,设 ，其中 . 则 ，且 . 又因为 ，可得 且 . 所以. 当 时，即时, 取得最大值为， 当 时,即 时, 取得最小值为 ， 所以取得最大值为，取得最小值为，结合选项可知可能的值为. 题型五 正弦定理边角互化的应用（共5小题） 21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角； (2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理解三角形求解即可； （2）由三角形面积公式可得，再由结合向量数量积运算律计算即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； （2）因为，所以， 因为D为线段BC中点，所以， 则. 22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由结合三角形的面积公式得出，结合余弦定理可求得的值，即可得出的周长. 【详解】（1）因为及正弦定理，得， 而，则， 所以， 即， 因为、，则，所以，可得，故. （2）因为，即， 可得①， 由余弦定理可得②， 联立①②可得，即， 因为，解得，故的周长为. 23．在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 24．在中，，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中，令角所对边分别为， 由及正弦定理，得， 由三角形任意两边的和大于第三边，得，解得． 25．已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和公式即可求角，然后利用余弦定理求第三边； （2）利用正弦定理来边化角，借助三角函数性质来求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，结合正弦定理边化角可得： ，所以， 因为，，所以，则； 因为的面积为，所以，可得， 又由余弦定理可得 解得，所以周长为 （2）由正弦定理可得， 则，， 由， 因为为锐角三角形，则，，所以， 即，则， 故， 所以周长的取值范围为. 题型六 三角形面积公式及其应用（共5小题） 26．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 【答案】 【详解】由余弦定理，， 所以. 解得（舍去负根）． 因为AD平分，所以． 由， 得， 即． 整理得． 27．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【详解】因为的面积为， 所以， 所以由余弦定理可知：. 28．如图，某水域的两条直线型岸边，交于点，点在上，且千米，某渔民准备经过点安装一直线型隔离网（在上），围出养殖区，是线段的中点，且千米.设千米，千米. (1)当时，求的值. (2)将表示成的函数. (3)该渔民至多可以围出多少平方千米的养殖区？并求出此时隔离网的长度. 【答案】(1) (2) (3)8平方千米，千米 【分析】（1）在中，由余弦定理确定，再通过，结合余弦定理即可求解；也可以通过， ，在和通过余弦定理即可求解； （2）分别通过，，结合余弦定理联立化简即可求解；法2：通过，得到，结合余弦定理代入即可求解； （3）由三角形面积公式得到，再结合二次函数性质即可求解.法2，通过平方得到，再通过三角形面积公式得到，进而可求解. 【详解】（1）法1：，即. 因为是线段的中点，所以. 在中，由余弦定理可得， 即，解得. 在中，由余弦定理可得， 则，即的值是. 法2：在中，由余弦定理可得， 则， 因为， 所以， 则， 故，即的值是. （2）法1：在中，由余弦定理可得， 则，即①. 在中，由余弦定理可得， 则，即②. 由①②，得，则， 因为,故,故. 法2：在中，由余弦定理可得， 则， 同理可得， 因为， 所以， 所以， 即，，同法1，其中, 故. （3）法1：在中，，     的面积         ，         由（2）知，则， 当时，取得最大值64，即，     此时千米. 法2：因为是线段的中点， 所以， 所以， 即， 则， 故， 的面积， 所以， 当时，即时，（舍去）， ，则，即该渔民至多可以围出8平方千米的养殖区， 此时， 则， 故千米. 29．已知的面积为S，且，则角C的大小为__________． 【答案】 【详解】由得， 即，又因为，所以． 30．在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用和角公式及诱导公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得答案； （2）由三角形面积公式得，由等面积法得出，结合余弦定理即可求得边； （3）根据等面积法，可得与的关系，再利用基本不等式求得的最小值，继而可得三角形面积最小值． 【详解】（1）由，得， 所以， 所以，即. 因为，所以. （2）由题可知，化简得. 由余弦定理知，即， 所以，解得.    （3）因为的面积为， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以，即， 所以的面积， 当且仅当时，的面积取得最小值，最小值为.      题型七 射影公式（共5小题） 31．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 32．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 【答案】B 【分析】利用三角形射影定理求出角A，再利用面积定理求出角C即可计算作答. 【详解】在中，由射影定理及得：，解得， 而，则，由余弦定理及得：， 而，因此，，即，又，则， 所以. 故选：B 33．中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____. 【答案】 【分析】由正弦定理边角互化思想结合两角和的正弦公式得出，再利用余弦定理可求出、的值，然后利用三角形的面积公式可计算出的面积. 【详解】，由边角互化思想得， 即，， 由余弦定理得，， 所以，，因此，，故答案为. 34．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 35．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦函数单调性结合诱导公式判断A；利用余弦定理、正弦定理计算判断B，C；利用射影定理计算判断D作答. 【详解】对于A，锐角中，，即，而正弦函数在上单调递增， 则有，整理得，A正确； 对于B，的最大角为C，由余弦定理得，则C是锐角，B不正确； 对于C，由正弦定理得：，无解，即符合条件的三角形不存在，C正确； 对于D，在中，由射影定理及得：， 则，而，解得，即为直角三角形，D正确. 故选：ACD 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 正弦定理 题型1 正弦定理及其辨析 题型5 正弦定理边角互化的应用（常考点） 题型2 正弦定理解三角形（重点） 题型6 三角形面积公式及其应用（重点） 题型3 正弦定理判定三角形解的个数（重点） 题型7 射影公式 题型4 正弦定理求外接圆半径 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正弦定理及其辨析（共5小题） 1．已知的内角的对边分别为，    (1)请用数学语言叙述正弦定理： (2)用向量方法证明您的叙述（非向量方法不得分！） 2．在中，角，，的对应边分别为，，，根据各小题条件分别求解. (1)，，，求最小的内角. (2)，是方程的两个根，，求边的长. (3)，，，求边的长. 3．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）. A．若，则 B．若，则△ABC为锐角三角形 C．若，则△ABC为等腰三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 4．已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有（ ） A．若点是的中点，，则 B．若平分，则 C．三角形外接圆面积最大值为 D．若，则内切圆半径为2 5．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若，则点为的外心； B．若，则点为的内心； C．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的垂心； D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过的重心． 题型二 正弦定理解三角形（共5小题） 6．在中，角，，的对边分别为，，，且，，是边的中点，，则（    ） A．是等腰三角形 B． C．的面积为 D．的周长为 7．在中，角的对边分别为，若，，. (1)求边和角； (2)求的面积. 8．在中，设角所对的边分别为，已知，且的外接圆半径． (1)求的值； (2)若，求的值． 9．设的内角的对边分别为，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．在中，． (1)若，的面积为，求边的长度； (2)若，求面积的最大值． 题型三 正弦定理判定三角形解的个数（共5小题） 11．在中，角，，所对的边分别为，，.若，，且该三角形有两解，则的范围是（   ） A． B． C． D． 12．在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 14．中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有唯一解的有（   ）个 （1），，    （2），， （3），，    （4），， A．1 B．2 C．3 D．4 15．在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 题型四 正弦定理求外接圆半径（共5小题） 16．在中，角的对边分别为，，，则外接圆半径为_______，若有最大值，则实数的取值范围是_______． 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，则外接圆的半径为_____ 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，. (1)求的外接圆的半径； (2)求的面积. 19．记的内角的对边分别为，已知，则的外接圆的半径为______． 20．如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则的可能取值有（   ） A． B．2 C． D．1 题型五 正弦定理边角互化的应用（共5小题） 21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角； (2)若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 22．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)求角B； (2)若，角B的角平分线交AC于点D，，求的周长． 23．在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 24．在中，，则正数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．已知分别为三个内角的对边，且. (1)若，的面积为，求的周长； (2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围. 题型六 三角形面积公式及其应用（共5小题） 26．在中，，，，的平分线AD交BC于点D，则______． 27．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 28．如图，某水域的两条直线型岸边，交于点，点在上，且千米，某渔民准备经过点安装一直线型隔离网（在上），围出养殖区，是线段的中点，且千米.设千米，千米. (1)当时，求的值. (2)将表示成的函数. (3)该渔民至多可以围出多少平方千米的养殖区？并求出此时隔离网的长度. 29．已知的面积为S，且，则角C的大小为__________． 30．在中，角的对边分别为．且满足． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径为，求； (3)若的平分线交于，且，求的面积的最小值． 题型七 射影公式（共5小题） 31．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 32．在中，角所对的边分别为，表示的面积，若，，则（    ） A．90 B．60 C．45 D．30 33．中，内角、、所对的边分别是、、，已知，且，，则的面积为_____. 34．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 35．在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（    ） A．若是锐角三角形，则 B．若，，，则为钝角三角形 C．若，，，则符合条件的三角形不存在 D．若，则为直角三角形 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $