专题07 余弦定理（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题07 余弦定理 题型1 余弦定理及辨析 题型3 已知三边或三边的关系解三角形（重点） 题型2 已知两边一角解三角形（重点） 题型4 余弦定理边角互化的应用（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 余弦定理及辨析（共5小题） 1．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 2．如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则____________. 3．如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中错误的是（   ） A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 5．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型二 已知两边一角解三角形（共5小题） 6．在中，角的对边分别是，，，且，，，则______. 7．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 9．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 10．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 题型三 已知三边或三边的关系解三角形（共5小题） 11．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 12．在中，，，，则（    ） A．45° B． C． D． 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 14．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则为（   ） A． B． C． D． 15．已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 题型四 余弦定理边角互化的应用（共5小题） 16．已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 17．已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．，则△ABC为等腰三角形 18．已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 19．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 20．锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 余弦定理 题型1 余弦定理及辨析 题型3 已知三边或三边的关系解三角形（重点） 题型2 已知两边一角解三角形（重点） 题型4 余弦定理边角互化的应用（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 余弦定理及辨析（共5小题） 1．在中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．若，则的值为______． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得. 故答案为： 2．如图，在中，分别是边AB，AC上的点，，且，点是线段DE的中点，且，则____________. 【答案】 【分析】先用余弦定理可得，然后由向量的数量积计算可得，进而由平面向量的线性运算可得，从而由平面向量的基本定理可得的值，进而可得结论. 【详解】由中，， 得，则. 由，且得，则，即. 由是的中点，所以, 所以， 又， 所以， 化简可得， 又，所以，则. 故答案为：. 3．如图所示，中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，把为基底，用它表示，再由余弦定理可求，从而由平面向量的数量积求解即可. 【详解】由题意， ， . 在中，由余弦定理得. 所以 . 故选：A. 4．下列说法中错误的是（   ） A．在三角形中，勾股定理是余弦定理的特例 B．余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此它适用于任何三角形 C．利用余弦定理可以解决已知三角形三边求角的问题 D．在三角形中，已知两边及其中一边的对角，不能用余弦定理解三角形 【答案】D 【分析】根据正弦定理和余弦定理对各个命题进行分析判断即可得解． 【详解】对于A，当夹角为时，余弦定理就变成了勾股定理，故A正确； 对于B，余弦定理揭示了任意三角形中边角的关系，它适用于任意三角形，故B正确； 对于C，余弦定理可以直接解决已知三角形三边求角的问题，故C正确； 对于D，在三角形中，已知两边及其一边的对角， 可用余弦定理列出第三边的方程，解方程得第三边，故D错误； 故选：D. 5．设分别为内角的对边，则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，即可求解. 【详解】根据余弦定理可知，. 故选：B 题型二 已知两边一角解三角形（共5小题） 6．在中，角的对边分别是，，，且，，，则______. 【答案】 【分析】已知两边及夹角，余弦定理求第三边. 【详解】由余弦定理可得，则. 7．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 8．在中，角的对边分别为，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】D 【详解】在中，因为， 可知，所以， 所以A为锐角，可得， 由余弦定理可得， 即，即， 可得. 9．在钝角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2， 当时，为钝角三角形符合题意， 当时，为直角三角形不符合题意. 10．在中，已知，点在线段上，且满足，则的长度为__________. 【答案】 【分析】在中，由余弦定理可得，,从而可得，在中，由余弦定理求解即可. 【详解】如图所示： 由余弦定理可得 , 所以，又因为， 所以，在中，, 在中，由余弦定理可得：, 所以. 题型三 已知三边或三边的关系解三角形（共5小题） 11．在中，若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 12．在中，，，，则（    ） A．45° B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：， 由已知，， ，， 代入得：， 又因为，故. 13．已知的内角，，所对的边分别为，，，，，，若，（），若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦定理求出，当为线段的中点时，，即取最小值，结合已知条件将用表示，最后根据平面向量基本定理得解. 【详解】因为，，， 由余弦定理得：，所以. 因为，所以， 又因为，所以为正三角形. 则当为线段的中点时，，即取最小值， 此时； 又因为，，三点共线，所以， 由平面向量基本定理，得，解得. 14．中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】利用余弦定理： 15．已知的内角所对的边分别为，若，若与相交于点，则当取最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用平面向量共线定理，结合已知条件将用表示，然后根据向量的模的计算公式得到关于的表达式，最后根据二次函数的性质即可得解. 【详解】因为共线，所以存在实数，使得， 又，则， 因为共线，所以存在实数，使得， 又，则， 又不共线， 所以，解得， 从而可得， 所以 ， 在中，由余弦定理得， 则， 则 ， 令，因为，所以， 则， 则 ， 当，即，即时， 取得最小值， 所以当取最小值时，. 题型四 余弦定理边角互化的应用（共5小题） 16．已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 17．已知△ABC的内角的对边分别是，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．，则△ABC为等腰三角形 【答案】AC 【分析】对各选项分别采用和差化积公式、三角函数单调性、余弦定理展开等方法逐一验证，A、C通过三角恒等变换与函数单调性证明结论，B通过和差化积推导否定，D通过余弦定理展开分析三角形形状，排除错误选项. 【详解】对于选项A，. 在中，，故，； 由得，故，， 因此，即，A正确. 对于选项B，. 在中，，； 由得，， 因此，即，B错误. 对于选项C，为锐角三角形，则，即，且. 函数在上单调递增，故，C正确. 对于选项D，由，结合余弦定理， ，代入得， 约去后整理得， 故或，为等腰或直角三角形，D错误. 18．已知中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】，， 由余弦定理可得，去分母得：，即， 则为直角三角形. 19．在中，内角所对的边分别为，已知且. (1)求； (2)点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. （2）将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 20．锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角B； (2)求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由余弦定理进行角化边，即可得解； （2）利用是锐角三角形，且，解得角的范围，再将用进行表示，再运用差角的正弦公式与辅助角公式等进行化简，最后结合角的范围，即可得解. 【详解】（1）由题可得，，由余弦定理， 可得等式左边， 故有，得，, 故. （2）在锐角中，由，得，故， 且，， 即，解得. ， 因为，故， 故，则， 即的取值范围为. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $