江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数x=(分+2i)(a-3i(a∈R)为纯虚数，则a= A-√2 B.-12 C.0 D.10 2.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3，且(3a一b)⊥b,则向量a,b的夹角的余弦值为 A得 B吗 C.5 D.√2 3.已知a,B表示两个不同的平面，m,n分别为平面a与平面B内的一条直线，则“a∥g”是 “m/n”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.tan600°+1+tan75° tan75-1- A.0 B.2w3 C.2 D.-23 5.已知平面向量a,b满足|a|=3,1b|=√2，a·b=√2，记a在b上的投影向量为λb,则入的 值为 A号 B号 C.1 D.2 6.已知cos(a一)= 5,co9 aos B=后，则cos(2a十29)= 1 A器 8-23 5 c居 D.一25 7.在正方体ABCD-A,B,C1D1中，AB=4,点E在线段AD1上，则B,E+CE的最小值是 A.6 B.6√3 C.46 D.8 【高一数学第1页（共4页）】 8,在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，△ABC的面积S=(b2-ab)tanC,角C的 角平分线交AB于点D,且a=2,CD=号，则BD= A号 B登 c号 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设z是z的共轭复数，下列说法正确的是 Alz·z|=lz2 且若2=子，则12=1 C.若引z1=z2l,则z好=z D.[z-il=+il 10.如图，在正方体ABCD-A,B1CD1中，点P在线段B,C上运动（包括端点），则下列结论正 确的是 D A直线B,D与BD,是异面直线 B.直线AP平面DA,C1 C异面直线AP与A,D所成角的取值范围是[号·】 D.当直线AP与直线BD1相交时，交点在靠近B的三等分点处 11.已知x1,x2,x3是方程sin3.x十sin4z=0的根，且0<x1<x2<x3<π，则 Ax1=牙 B.x1十x2十x3=2元 C.tan xa-tan z2-tan x=tan xitan xatan 23 1 D.cos 1Cos Z2cos 3=8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=5:7:8,则sinB=▲ 13.如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平 面内且相距20米的两个测量基点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点 C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，若河宽至少12米，则塔高 AB=▲米. 14.已知平面向量a,b,c满足对任意实数x,y,都有1a一xb|≥a一bl, la-ycl>la-cl.若|al=2,则b·(c一a)的最大值是▲_ [高一数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(1,2),b=(k,1). (1)若a十b与a一b垂直，求k的值； (2)若向量c=(2,3),若a十b与2b-c共线，求1a一7b. 16.(15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，点D在线段AC上. (1)若D是AC的中点，求证：AB1平面BC,D. (②若M为BC的中点，直线AB,/?面C,DM,求号的值 17.(15分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b=2,(W3a一bsin C)cosB=a十 bsin Bcos C. (1)求B; (2若△ABC的面积为2E,求△ABC的周长： 4 (3)求a一√3c的取值范围. 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 已知函数f(x)=sin(2x+石)十sin(2x-石)十cos2z-1, (1)若石<R<,且f8)=-1,求角 (2)在(1)的条件下，若关于x的不等式nsin(x+)≥sincos在区间[0,2]上恒成立， 求实数n的取值范围； (3)已知函数g(x)=x2-2x-3,若对任意x1∈[吾，】，总存在x:∈[0,4]，使得mf(x) =g(x2)成立，求实数m的取值范围. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bsin A十atan Acos B=2 asin C. (1)求A. (2)若M为BC边的中点，BC=√3，求AM的最大值. (3)奥古斯丁·路易斯·柯西(Augustin Louis Cauchy,1789年一1857年)是法国著名数学 家柯西在数学领域的造诣极高，诸多数学定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等 式、柯西积分公式，其中柯西不等式在求解不等式证明的相关问题中广泛应用，现保持 (I)的条件不变，若a=3,P是△ABC内一点，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足 分别为D,E,F,借助三维柯西不等式：(x1y1十x2y2十xay)≤(x+x十x)(y十y2 十y),其中1，x2,x,y1,y2,y3∈R*,当且仅当==时，等号成立.当T= y1 y2 y3 铝+S+品取得最小值时，求△ABC的面积