专题07 复数的概念及几何意义（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题07 复数的概念及几何意义（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数的概念 题型02 复数的分类 题型03 复数相等的充要条件 题型04 复数与复平面内的点的关系 题型05 复数的模及其应用 题型06 复数的轨迹与最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围； 命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题； 易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆； 命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 易错点：（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 易错点：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 易错点：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模：设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 易错点：（1）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一 复数的概念 解｜题｜技｜巧 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【典例1】关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【变式1】设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【变式2】下列说法正确的是___________.（填序号） ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数（），若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是（a、）为纯虚数的充要条件. 题型二 复数的分类 解｜题｜技｜巧 解决复数分类问题的方法与步骤 1、化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 2、定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． 3、下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【典例1】复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 【变式1】若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 【变式2】复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 题型三 复数相等的充要条件 答｜题｜模｜板 复数相等问题的解题技巧 1、必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． 2、根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3、如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【典例1】求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【变式1】已知，i为虚数单位，且，则___________. 【变式2】设（是虚数单位，，），则________． 题型四 复数与复平面内的点的关系 答｜题｜模｜板 利用复数与点的对应关系解题的步骤 1、找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． 2、列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【典例1】已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【变式1】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 题型五 复数的模及其应用 答｜题｜模｜板 复数模的计算 1、计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 2、设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【典例1】已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【变式1】已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式2】已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 题型六 复数的轨迹与最值问题 答｜题｜模｜板 利用几何意义进行转化． 【典例1】已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【变式1】复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【变式2】下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若复数是纯虚数，则 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 3．已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 4．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 2．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 3．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 复数的概念及几何意义（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数的概念 题型02 复数的分类 题型03 复数相等的充要条件 题型04 复数与复平面内的点的关系 题型05 复数的模及其应用 题型06 复数的轨迹与最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的概念 1、能准确识别复数的实部和虚部，明确虚数、纯虚数的定义； 2、能利用复数相等的条件（实部相等、虚部相等）求解参数值； 3、能判断两个复数是否相等，区分实数、虚数、纯虚数 基础必考点，常以选择题、填空题形式出现； 高频易错点：混淆纯虚数的条件（实部为0且虚部不为0）；忽略虚部的取值范围； 命题趋势：侧重基础概念辨析，结合参数求解考查 复数的几何意义 1、能明确复平面的构成，掌握复数与复平面内点的一一对应关系； 2、能将复数转化为对应向量，理解复数的模的几何意义； 3、能根据复数的几何意义判断点的位置、求向量模长 中频考点，选择题、填空题为主，偶尔结合简单解答题； 易错点：混淆复平面内横纵坐标的对应关系（实部对应x轴，虚部对应y轴），误将复数模长与向量坐标运算混淆； 命题趋势：常与平面向量结合；考查模长计算、点的轨迹判断 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 易错点：（1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 易错点：（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 知识点03 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴：如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 易错点：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模：设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 易错点：（1）两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 题型一 复数的概念 解｜题｜技｜巧 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【典例1】关于复数z，下面是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】BD 【分析】对于AC，通过举特特例可判断选项正误；对于BD，设，由题意结合复数模计算公式可判断选项正误. 【详解】对于A， 当 时，，故A错误； 对于B，设，由题可得，则.故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，设，则 ，故D正确. 故选：BD 【变式1】设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 【变式2】下列说法正确的是___________.（填序号） ①自然数是有理数，但不是复数； ②的实部为3，虚部为； ③对于复数（），若，则z是实数；若，则z是纯虚数； ④是（a、）为纯虚数的充要条件. 【答案】④ 【分析】根据复数的相关概念结合充分、必要条件逐项分析判断. 【详解】对于①：因为，可知自然数是有理数，也是复数，故①错误； 对于②：的实部为3，虚部为4，故②错误； 对于③：对于复数（），若，则z是实数； 若且，则z是纯虚数；故③错误； 对于④：若，则，可知为纯虚数，即充分性成立； 若（a、）为纯虚数， 则，解得，即必要性成立； 所以是（a、）为纯虚数的充要条件，故④正确； 故答案为：④. 题型二 复数的分类 解｜题｜技｜巧 解决复数分类问题的方法与步骤 1、化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． 2、定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． 3、下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【典例1】复数的实部是（   ） A．1 B．-1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】由得，实部为， 故选：B. 【变式1】若复数满足，则的虚部是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据的幂次规律，，把化为复数标准形式，其虚部即为前 的系数. 【详解】因为， 代入原式得：， 所以复数标准形式中，虚部为3. 故选：D. 【变式2】复数的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的虚部定义直接判断即可. 【详解】因为复数，根据复数的虚部概念可知，该复数的虚部为1. 故选：A. 题型三 复数相等的充要条件 答｜题｜模｜板 复数相等问题的解题技巧 1、必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． 2、根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 3、如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【典例1】求适合下列方程的实数x，y的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据复数相等即可得到方程组，解出即可. 【详解】（1）由题意得，解得. （2）由题意得，解得. 【变式1】已知，i为虚数单位，且，则___________. 【答案】0 【分析】利用复数相等列方程组求解. 【详解】因为，则， 故答案为：0. 【变式2】设（是虚数单位，，），则________． 【答案】 【分析】复数相等即可求出值和值，表达出即可求出模长. 【详解】因为，所以，即，，所以，所以， 故答案为：. 题型四 复数与复平面内的点的关系 答｜题｜模｜板 利用复数与点的对应关系解题的步骤 1、找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． 2、列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【典例1】已知复数（是虚数单位），. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合纯虚数的定义，通过复数化简后的实部和虚部建立方程与不等式求解； （2）根据复平面第四象限点的坐标特征，列不等式组求解取值范围. 【详解】（1）， 若是纯虚数，则实部为0且虚部不为0，即 且 ，解得. （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于0且虚部小于0， 即 ，，解得，即. 【变式1】在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先计算复数的乘积，得到复数的代数形式，再确定其在复平面内对应的点的坐标，最后根据坐标判断所在象限. 【详解】由题意，复数，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D 【变式2】已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． （2）由复数为实数，可得， 解得或． （3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 题型五 复数的模及其应用 答｜题｜模｜板 复数模的计算 1、计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． 2、设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【典例1】已知复数，则（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】先应用复数的乘法及减法化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】， 故. 【变式1】已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数模的公式求解. 【详解】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 【变式2】已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【详解】（1）若是纯虚数，则，解得； （2）是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 题型六 复数的轨迹与最值问题 答｜题｜模｜板 利用几何意义进行转化． 【典例1】已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 【变式1】复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 【变式2】下列有关复数的结论正确的是（    ） A． B．若复数是纯虚数，则 C．若是关于的方程的一个根，则 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】BCD 【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D. 【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误； 因为复数是纯虚数， 所以，解得，故B正确； 因为是关于的方程的一个根，则另一根为， 由根与系数的关系可得，解得， 则，故C正确； 若复数满足， 由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示： 则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确； 故选：BCD. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 2．已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则（    ） A．，两点在以原点为圆心的同一个圆上 B．，两点之间的距离为 C．满足的复数z对应的点Z形成的图形的周长是25π D．满足的复数z对应的点Z形成的图形的面积是4π 【答案】BD 【分析】求出复数和的模比较即可判断选项A，利用复数的几何意义即可求解出俩个复数的距离即可判断选项B，满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，利用圆的周长公式即可求解选项C,满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，分别以，为半径的两个圆所夹的圆环，利用圆的面积公式即可求解. 【详解】对A：由题意得，， 所以，，所以， 所以，两点不在以原点为圆心的同一个圆上，故A错误； 对B：，两点之间的距离为，故B正确； 对C：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心，以5为半径的圆，所以其周长为，故C错误； 对D：满足的复数z对应的点Z形成的图形是以原点为圆心， 分别以，为半径的两个圆所夹的圆环， 所以其面积为，故D正确． 故选：BD. 3．已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 4．在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在第二、四象限； (4)在直线上，分别求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3)或 (4) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第二象限时，其实部小于0，虚部大于0，列式即可解出答案； （3）当复数在第二、四象限时，实部与虚部异号，列式即可解出答案； （4）当复数在上时，其实部等于虚部，列式即可解出答案. 【详解】（1）复数的实部为，虚部为, 由题意可得，解得或； （2）由题意可得，解得； （3）由题意可得， 或； （4）由题意可得，解得． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，且，. (1)当时，解关于的方程：. (2)当时，①若，求的最小值. ②若存在实部不为5，虚部不为12的虚数和实数，使得恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①；②. 【分析】（1）由题设得，将方程化为求解即可； （2）①令（，且），进而得到，且，结合求最值；②令（且，，），进而得到得代数形式，结合复数的性质有，进而有，即可得范围. 【详解】（1）当时，，则. 由，整理得，则； （2）①令（，且），因为，所以. ， 因为，所以. 因为，当时，. ②当时 令（且，，）， 则 ， 要使的恒成立，所以，即， 所以，则对应点在以为圆心，1为半径的圆周上(不含横坐标为5，纵坐标为12的点)， 所以. 2．（24-25高一下·江苏常州·期中）对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”. (1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围； (2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由； (3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在“长复数”，且“长复数”为 (3)或 【分析】（1），，，是复数组，，的“长复数”，从而，由此能求出结果； （2）由，存在“长复数”，只需要， 列不等式组求出结果； （3）由题意，得，，则可得，同理得，结合二倍角公式可求得的值． 【详解】（1）由题意可得：，又， 故，，， 故， 解得； （2）存在“长复数”，且“长复数”为，理由如下： 由题意可得， 若存在“长复数”，只需要， 又， 故，即，， 当或时，符合要求，故存在“长复数”，且“长复数”为； （3）由题意，得，， 即， 即，解得， 同理，所以，解得， 故， 因为，所以或. 3．复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为______． 【答案】 【分析】设，依题意，列出关于的方程组，解之得，求出，利用三角形面积公式计算即得. 【详解】设，依题意，， 即，解得.则有， 则, 由可得为直角三角形， 故的面积为. 故答案为：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $