专题03 两角和与差、二倍角的三角函数（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题03 两角和与差、二倍角的三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两角和差的正余弦公式的应用 题型02 两角和差的正余弦公式的逆用 题型03 两角和差的正切公式的应用 题型04 两角和差的正切公式的逆用 题型05 二倍角公式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和差的正弦、余弦、正切公式 熟记两角和差公式，理解推导逻辑，灵活运用公式进行三角函数的求值、化简与证明。 必考题，选择填空多考查，解答题中作为化简变形的基础步骤出现，常与倍角公式结合。 二倍角公式 熟记二倍角公式及其变形，灵活用于三角函数求值、化简与解题应用。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式 倍角公式 ①； ②； ③； 易错点：在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 题型一 两角和差的正余弦公式的应用 解｜题｜技｜巧 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 3、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 4、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 【典例1】在中，内角的对边分别是，已知，，则____. 【答案】 【详解】，所以， ，，， 即，，，， ， , 由余弦定理得，. 【变式1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值. 【详解】因为，则， 所以， 因此 . 故选：A. 【变式2】已知，则__________． 【答案】1 【分析】由三角恒等变换求解． 【详解】，故，解得． 故答案为：1 题型二 两角和差的正余弦公式的逆用 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，匹配或 的形式，直接逆用公式写出或。 【典例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式及两角差的正弦公式即可求解． 【详解】 故选：B． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逆用差角余弦公式化简求值即可. 【详解】由. 故选：D 【变式2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解. 【详解】. 故选：C 题型三 两角和差的正切公式的应用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 【典例1】如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（     ）    A．存在使是正三角形 B．若的周长为，则 C．若为中点，则的周长的最小值为 D．若，则的面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】利用等边三角形性质建立方程，求解出的长度判断A，利用勾股定理得到，结合两角和的正切公式求出判断B，将线段长度合理转化，利用三角形性质得到，再求解周长最小值判断C，利用两角和的正切公式结合基本不等式得到，进而求解面积最值判断D即可. 【详解】对于A，设，则， 由勾股定理得， 由得，，解得（负根舍去），故A正确. 对于B，设，，由勾股定理得， 由题意得，即， ， ，故B正确. 对于C，因为，所以只需求的最小值即可. 如图，延长至点，使得，连接，此时可得，    则， 当仅当共线时等号成立，则的周长的最小值为．故C错误. 对于D，设，， ，， 则，即， 因为，当且仅当等号成立， 解得或，因为， 所以，则当时，的最大值为．故D正确. 故选：ABD 【变式1】已知， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正切公式计算； （2）待求值式弦化切后代入已知求解. 【详解】（1）由题意； （2）由已知. 【变式2】已知，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据两角和的正切公式求得，再结合的取值范围，由同角三角关系式，求得. 【详解】由，， 得. 因为，所以，所以. 所以 由，得. 故答案为：. 题型四 两角和差的正切公式的逆用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【典例1】已知，则_________． 【答案】 【分析】根据两角和与差的正切公式即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 【变式1】已知，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先由已知和余弦函数值确定，再由同角的三角函数关系化简计算即可； 【详解】因为，所以， 因为，所以， ， 所以，， 所以. 故选：A. 【变式2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知正方形的边长为1，点分别在边上，设． (1)若，求的最大值； (2)若的周长为2，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合三角函数的定义得，从而有，再利用，即可求出结果； （2）由条件得到，化简得到，即可求出结果. 【详解】（1）设，由， 所以， 又，当且仅当时，取等号， 所以，即的最大值为. （2）因为的周长为2，所以， 得到，两边同时平方并化简得到， 所以，又，所以， 所以. 题型五 二倍角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【典例1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用诱导公式结合已知条件化简所求式，计算求解； （2）运用二倍角公式及结合已知条件化简所求式，再计算求解． 【详解】（1），， ． （2），， ． 【变式2】若，则___________． 【答案】 【分析】由两角差的余弦公式和二倍角公式计算. 【详解】由题意得， 由二倍角的余弦公式得. 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）因为，所以化简即可求解； （2）因为，所以，即，化简可得，利用同角的三角函数关系求得,再利用两角差的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，所以， 即，解得或（舍去）， 又是锐角，故． （2）因为，所以，即，，即． 因为，所以， 从而． 2．已知锐角，满足，，则___________． 【答案】 【分析】由同角三角函数关系，求得，再利用余弦差角公式，代值计算即可． 【详解】，为锐角， ， 又，， ， ． 故答案为： 3．已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得的值，进而求得的值； （2）求得，得到，结合，利用两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 又因为，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，且为锐角，可得， 又因为，可得， 所以 . 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两角和的正弦公式以及商数关系求解出与的值，继而逆运用两角差的正弦公式求出，再运用余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即. 又因为， 所以.所以， 所以， 故选：D. 2．定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）化简函数，根据“积函数”的定义，得到，结合向量的模的计算公式，即可求解； （2）根据题意，由，求得，再由两角和与差的正弦公式，联立方程组，求得和，两式相除，即可得证； （3）根据题意，得到，得到，根据正弦函型函数的图象与性质，分类讨论，分别求得的表达式，进而求得其范围. 【详解】（1）由函数， 根据“积函数”的定义，可得， 所以. （2）证明：由函数为向量的积函数，可得， 因为，可得，即， 又因为，所以，所以，解得， 因为， 又因为，所以， 两式相加，可得，两式相减可得， 所以，所以. （3）由向量时，可得积函数为， 则， 设在区间上的最大值与最小值之差为， 因为，可得， ①当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ②当，时， 即时，可得， ， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ③当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ④当，且时，即时， 可得，，所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑤当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以； ⑥当，且时，即时， 可得，， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 综上可得：， 所以在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为. 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】将中的角变形，再利用两角和差公式得到，得到或，分别讨论求解，得到充分性不成立；由得到，分别讨论和两种情况进行求解，从而得到必要性不成立. 【详解】充分性分析： ，，， ， ， 或， 当时，，即，， 当时，，即， 综上可得，当时，或， 不能得到，充分性不成立； 必要性分析： ，， 当时，，不一定有成立， 当时，，则有成立， 综上，由不一定得到，故必要性不成立， 故选：D. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 两角和与差、二倍角的三角函数（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两角和差的正余弦公式的应用 题型02 两角和差的正余弦公式的逆用 题型03 两角和差的正切公式的应用 题型04 两角和差的正切公式的逆用 题型05 二倍角公式的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两角和差的正弦、余弦、正切公式 熟记两角和差公式，理解推导逻辑，灵活运用公式进行三角函数的求值、化简与证明。 必考题，选择填空多考查，解答题中作为化简变形的基础步骤出现，常与倍角公式结合。 二倍角公式 熟记二倍角公式及其变形，灵活用于三角函数求值、化简与解题应用。 高频考点，常在化简求值中作为核心步骤。常与两角和差公式结合考察。 知识点01 两角和差的正弦、余弦和正切 1、两角和与差的正余弦与正切公式 ①； ②； ③； 2、两角和与差正余弦公式的逆用 ①； ②； 3、两角和差的正切公式的逆用: 知识点02 二倍角公式 倍角公式 ①； ②； ③； 易错点：在求值的时候要注意角的范围，讨论正负。 题型一 两角和差的正余弦公式的应用 解｜题｜技｜巧 在运用两角和与差的三角函数公式时，若已知两角各自的正余弦时，则可以直接套用公式计算。 1、 注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。 2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。 3、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 4、对而言，可以把，看着两个整体，通过直接求这两个值来求。通常条件中出现三者关系时。 【典例1】在中，内角的对边分别是，已知，，则____. 【变式1】若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则__________． 题型二 两角和差的正余弦公式的逆用 解｜题｜技｜巧 观察式子结构，匹配或 的形式，直接逆用公式写出或。 【典例1】（24-25高一下·江苏南京·期中）的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·江苏扬州·期中）（   ） A． B． C． D． 题型三 两角和差的正切公式的应用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的应用，注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把所求的角拆成两个已知正切值的角，然后套用两角和差的正切公式。 【典例1】如图，正方形的边长为1，分别为边上的点．则以下选项正确的有（     ）    A．存在使是正三角形 B．若的周长为，则 C．若为中点，则的周长的最小值为 D．若，则的面积的最大值为 【变式1】已知， (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】已知，，，则________． 题型四 两角和差的正切公式的逆用 答｜题｜模｜板 对于两角和差的正切公式的逆用以及这个公式的一些变形，尤其是将1替换为  ​ 辅助凑形的变换。 【典例1】已知，则_________． 【变式1】已知，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【变式2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知正方形的边长为1，点分别在边上，设． (1)若，求的最大值； (2)若的周长为2，求的大小． 题型五 二倍角公式的应用 答｜题｜模｜板 1、化简求值：遇结构，直接展开转化为单角，遇，优先考虑化为 统一角度 2、统一角度策略：将表达式中不同角度（如 与 ）通过二倍角公式统一为同一角度，优先将高次、复杂角转化为低次、简单角 【典例1】已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2】若，则___________． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知向量，． (1)若，试求锐角的值； (2)若，且，求的值． 2．已知锐角，满足，，则___________． 3．已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．已知则（    ） A． B． C． D． 2．定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足，则称的“积向量”为，向量的“积函数”为． (1)若向量为函数的积向量，求； (2)若函数为向量的积函数，在中，，且，求证：； (3)当向量时，积函数为，函数，求在区间上最大值与最小值之差的取值范围． 3．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $