专题06 余弦定理、正弦定理的应用（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题06 余弦定理、正弦定理的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正余弦定理判断三角形的形状 题型02 距离问题 题型03 高度问题 题型04 角度问题 题型05 证明三角形中的恒等式或不等式 题型06 解三角形求周长的最值（范围） 题型07 解三角形求面积的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理判定三角形形状 利用边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；结合三角恒等变换判断三角形形状 中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、等边）的判定条件，避免漏解 正余弦定理的应用 运用正余弦定理进行边角转化，结合三角函数求解三角形求值、判断形状并解决实际与最值问题。 基础题，注重数学建模素养，需准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角等） 求周长的最值（范围） 能将周长表示为某个角（或边）的函数；利用三角函数有界性或基本不等式求范围 中等难度，常出现在解答题第二问，需注意自变量范围和取等条件 求面积的最值（范围） 将面积表达为单变量函数（常用边或角）；结合三角函数值域、二次函数或基本不等式求解 高频考点，往往与周长最值并列，需灵活选择变量，注意定义域限制 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 知识点03 距离问题 测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 （1）两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 （2）两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 （3）两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 知识点04 高度问题 测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 （1）底部可达：利用直角三角形解 （2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 知识点05 测量角度问题 1、仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 题型一 正余弦定理判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 【典例1】的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【详解】对于A，因为在中，由正弦定理可得等价于，又因三角形中大边对大角，故等价于，选项A正确； 对于B，因为，所以或，即或，是等腰三角形或直角三角形，选项B错误； 对于C，由可以确定是锐角，但不能确定和的大小，所以不能判断是锐角三角形，选项C错误； 对于D，由正弦定理，结合条件， 得，， ，，，，又，， 所以，，所以是等腰直角三角形，选项D正确. 【变式1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A、D；利用余弦定理判断B；利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，由及由正弦定理，得，则，A正确； 对于B，由余弦定理，得为锐角，但无法判断角A和角B是否为锐角， 因此无法判断是否为锐角三角形，B错误； 对于C，由及正弦定理，得，即， 由，得，则或，即或， 因此为等腰三角形或直角三角形，C正确； 对于D，由三角形有两解，得，即，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD 【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】BC 【分析】利用余弦定理和面积公式求出角，利用内角和定理可判断A；利用余弦定理可逐项判断BCD. 【详解】由余弦定理和面积公式可得，，整理得， 因为，所以， 对A，若，则，为直角三角形，A错误； 对B，若，，则由余弦定理得， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，B正确； 对C，若，，则，解得（负根已舍去）， 易知此时角最大，因为，所以角为锐角，C正确； 对D，若，，则，无实数解，D错误. 故选：BC 题型二 距离问题 解｜题｜技｜巧 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 【典例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 【答案】C 【分析】在、中利用锐角三角函数求出、，再在中利用余弦定理计算可得. 【详解】在中， 在中， 在中 ． 故选：C 【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过向作垂线，垂足为，设，分别在直角三角形、、中依次求出，，，再由求出即可求解. 【详解】过向作垂线，垂足为，设， 则在直角三角形中可知，在直角三角形中可知， 在直角三角形中可知， 因为，所以，即， 因此可得． 故选：A 【变式2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】根据题意，过M作于C，结合正弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】 由题意可知，，，过M作于C， 设，根据正弦定理可得，， 又因为时没有触礁危险， 即，故（1）正确， ，（4）正确， 故选：C 题型三 高度问题 答｜题｜模｜板 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【典例1】奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如解析中图形，可在中，利用正弦定理求出，然后在中求出直角边即旗杆的高度，最后可得速度． 【详解】如图，由题意可得，， ∴， 在中由正弦定理，，即，解得． ∴，则（）． 故选：B． 【变式1】兴国寺塔（江苏省江阴市古塔）始建于北宋太平兴国（976～983）年间，新中国成立以后，人民政府对塔基、塔身数次进行整修加固.现塔身共存8层，如图所示，古塔高，点在地面上，某次整修前，测量人员（身高不计）在地面的处测得古塔顶在南偏西方向，仰角为，他沿南偏东方向前进40m到点处，测得塔顶的仰角为.则那次整修前，古塔高为________.    【答案】40 【分析】利用已知条件中的角度将中边长用表示，再利用余弦定理进行求解即可. 【详解】点在点南偏西方向，点在点南偏东方向， ， 在处测得古塔顶仰角为，垂直于地面， 为等腰直角三角形，， 点处测得塔顶的仰角为，，即， 在中，，，，， 由余弦定理得，， 解得，或(舍)，古塔高为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一下·江苏镇江·期中）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（     ）（参考数据：） A．68m B．70m C．72m D．74m 【答案】C 【分析】结合几何图形，根据三角函数表示长度关系，即可求解. 【详解】令直线的延长线交于点，则． 依题意，，，而， 所以，解得， 又，所以， 而， 所以． 故选：C 题型四 角度问题 【典例1】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【答案】(1)两船相距海里. (2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【分析】（1）在中，解三角形得，， 在中，由余弦定理求得. （2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，结合图形知巡逻艇的追赶方向. 【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时， 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， 故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里. （2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船， 则 在中，由正弦定理得： 则 所以， 在中，由正弦定理得： 则，故 （舍） 故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船. 【变式1】如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.    （1）求塔高________； （2）此人在线段上离点O________米，他直立看塔尖的视角最大？ 参考数据：，，. 【答案】 63.59 【分析】（1）根据题意在中，由正弦定理可求的值，进而求解的值，即可根据即可计算得解. （2）由（1）可求的值，可求，，，设此人应在线段上的F处，，直立时，眼睛处于G点，利用两角差的正切公式，基本不等式可求的最大值，即可求解. 【详解】（1），， . 在中，由正弦定理得，， 又， . ， 所以，. （2）由（1）知，. . ， . 设此人应在线段上的处，，直立时，眼睛处于点， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，他站在线段上到点的距离为为处时，看塔尖的视角最大. 故答案为：；63.59 【变式2】在市民运动公园有一个半径为的圆形湖泊，中心岛在圆心处，3座亭子在圆上，中心岛和3座亭子构成一个四边形，线段设计为健康步道，且. (1)为了给市民营造良好､安全的运动健身环境，拟在步道铺设防滑砖，若长为，则步道需要铺设多长的防滑砖？（不考虑步道宽度） (2)某人在中心岛观察到两处各有一人同时骑自行车，沿步道直线驶向，并且同时到达，现已知两人骑车的速度比为2：1.那么，从处观的视角的余弦为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆的垂径定理，以及几何关系，即可求解； （2）首先由条件可知，再根据边长关系，求，最后根据余弦定理求的值. 【详解】（1）点是的中点，则，作， 则四边形是矩形，， ， 所以步道需要铺设的防滑砖. （2）由条件可知，所以设，， ，， 中，，整理为：， 解得：或（舍）， 中，， 所以从处观的视角的余弦为. 题型五 证明三角形中的恒等式或不等式 【典例1】已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 【答案】ACD 【分析】对于A由正弦定理角化边即可判断;对于B根据余弦函数的单调性即可判断;对于C先确定最大角,再利用余弦定理求解即可;对于D,先根据为锐角三角形得到,再利用正弦函数的单调性即可判断. 【详解】对于A,由正弦定理得:,所以一定为等腰三角形,故A正确; 对于B,因为,又在时为减函数,所以,故B错误; 对于C,因为,所以角为最大角, 设,由余弦定理得: , 因为,所以,故C正确; 对于D,若为锐角三角形,则, 即, 因为, 所以, 因为函数在时为增函数, 所以,故D正确. 故选:ACD. 【变式1】已知分别为的三个内角的对边，. (1)求A； (2)若，证明：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知结合正弦定理角化边，可得，利用余弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角，化简，可得，结合辅助角公式化简可求得角B以及角C，利用直角三角形性质即可证明结论. 【详解】（1）由题意，由正弦定理可得， 即， 故 ， 而，故. （2）证明：因为，由正弦定理可得， 即, 所以，即， 因为，则， 故， 故在中，. 【变式2】已知在中，，且. （1）判断的形状； （2）若D为BC的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，求证：. 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）证明见解析 【分析】（1）由正弦定理得，进而可得的形状； （2）以B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，利用向量夹角的坐标运算得出，，可得相等. 【详解】解：（1）由正弦定理得：，其中R为外接圆的半径. ∵，且， ∴， ， ∴，      ∴， ∴为等腰直角三角形；             (2)以B为坐标原点，BC、BA所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系. 设A（0，2），C（2，0），则D（1，0），. 设，则， 又因为，， 所以， 所以， 解得， 所以， 所以，又因为， 所以， 又因为，且，， 所以. 题型六 解三角形求周长的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 【变式1】已知分别为的内角所对的边，且. (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与两角和的正弦公式求解即可； （2）利用平面向量，余弦定理，以及基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，即， 因为，所以，所以，所以． （2）因为，，所以， 因为是的中点，所以， 所以 ， 因为，所以，即， 所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最大值为． 【变式2】的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换先化简，进而得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由 ， 所以， 又，所以， 所以， 所以， 又，， 所以，所以， 又是的中点，所以， 由余弦定理有：， 又， 所以， 当时，，即. 题型七 解三角形求面积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】由题意可知，，，， 则， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为16， 所以三角形面积的最大值. 故选：A. 【变式1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【详解】（1），， ，， 由余弦定理得， 又，. （2）由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 【变式2】满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化为边，再利用余弦定理即可求解； （2）在中，利用余弦定理和基本不等式即可求解； （3）设，在中，由余弦定理得，四边形的面积为，利用三角恒等变换化简得，最后利用三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）根据题意由正弦定理有：，即， 由余弦定理有，又， 所以； （2）在中，， 由余弦定理有：， 所以， 所以 当时，即时，等号成立， 的最大值为； （3）设，在中，由余弦定理得， 所以， 又，所以为等边三角形， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，， 所以四边形的面积最大值为. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正弦定理可得，结合圆的性质有，设并应用三角形面积公式及余弦定理，根据基本不等式求的最大值，注意取值条件. 【详解】在中，由正弦定理得，即，解得， 由“同弧所对圆周角相等”知， 设，则， 在中， 故，当且仅当时等号成立， 所以新的种植区域的面积最大为. 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断；对于B，由余弦定理求出,利用三角形面积公式即可求解；对于C，利用余弦定理即可求解；对于D，由，结合正弦定理求,可得是直角三角形，利用勾股定理即可求解. 【详解】对于A，由,可得,故A正确， 对于B，若，则，所以，则的面积为，故B正确； 对于C，若，则，即,解得：或，满足条件， 当时，则是等腰三角形， 当时，则是直角三角形，故C不正确； 对于D，若，则，由正弦定理可得：, 所以，因为，所以，，， 则是直角三角形，，故D正确； 故选：ABD 3．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由题意利用同角三角函数关系求得，利用三角形面积公式得，结合，利用余弦定理求解即可． 【详解】由可知，三边成等差数列， 所以是长度居中的边，其所对的角也为大小居中的角， 因为三角形中若有钝角，则必为最大角，所以必为锐角， 又，所以. 由题意可得：，化简得， 又，， 所以， 所以，解得（负根舍去）. 故选：B． 4．在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）在中利用余弦定理求出的长，结合是边上的三等分点分情况进行计算即可. 【详解】（1），. 在中，，， ， ，又（三角形内角），， 又，. （2）如图，在中，，，， 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）. 是边上的三等分点，或. 当时， ； 当时，. 故的面积为或. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（    ） A． B． C．b的最大值为 D．BD的最大值为1 【答案】ABD 【分析】由题设及三角形内角关系，结合三角恒等变换得判断A，再由已知，三角形面积公式及正弦定理求面积判断B，根据，应用三角恒等变换和正弦函数的性质求范围判断C，由等面积法得，结合、基本不等式求最大值判断D. 【详解】由，则，故， 由正弦边角关系得，即， 而，则， 所以，则， 所以，而，可得， 由，可得，A对， 由，B对， 由题设 ，而，且且， 所以，显然，故无最大值，C错， 由题意 所以，可得， 由，可得，则， 即，当且仅当时取等号， 所以，D对. 2．在中，角的对应边分别为，则（   ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，为的中点，且，则 C．若是锐角三角形且，，则的最小值为 D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 【答案】ABD 【分析】对于A，由正弦定理得，从而由结合三角恒等变换公式得，进而得解；对于B，由，即结合余弦定理即可求；对于C，由已知得，再应用向量数量积的运算律、定义有，即可判断；对于D，设，由正弦定理和得，接着由余弦定理得，从而由一元二次函数性质结合即可得. 【详解】对于A，由题以及正弦定理得， 所以， 所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 所以，故周长的最大值为18，正确； 对于B，因为，所以， 所以即， 所以，正确；    对于C，由，且为锐角三角形，则，    所以，而， 所以，显然在上单调递增， 所以，错误； 对于D，设，则， 所以由正弦定理得， 所以，由题可知，所以，    所以由余弦定理得， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立，所以面积的最大值为3，正确. 故选：ABD 3．已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. (1)求角； (2)已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）在中，由三角形内角和定理及诱导公式可得，结合两角和的余弦公式整理化简可得，进而，即可求解. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得的值.根据角平分线的性质及三角形面积公式可得.结合余弦定理求出的值即可求解； （ii）由（1）知.由的外接圆的性质可知，，.根据向量数量积的运算可得 ，化简整理得，故，根据三角恒等变换及角的范围即可求解. 【详解】（1）在中，∵，∴， ∴，即， 即， ∴，即. ∵，∴.∵，∴. ∵，∴. （2）（i）由（1）知.由正弦定理可得. ∵是角的角平分线，∴. ∵，∴，∴，即. 由余弦定理可得，整理可得. 又，∴，即，∴，解得或（舍去）. ∴. （ii）由（1）知.∵点为的外接圆的圆心，∴，，. ∵，， ∴，即， 即，∴，∴， ∴. ∵，∴，∴，∴， 即的取值范围为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 余弦定理、正弦定理的应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 正余弦定理判断三角形的形状 题型02 距离问题 题型03 高度问题 题型04 角度问题 题型05 证明三角形中的恒等式或不等式 题型06 解三角形求周长的最值（范围） 题型07 解三角形求面积的最值（范围） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 正余弦定理判定三角形形状 利用边角互化将条件转化为边的关系或角的关系；结合三角恒等变换判断三角形形状 中等难度，注意特殊三角形（等腰、直角、等边）的判定条件，避免漏解 正余弦定理的应用 运用正余弦定理进行边角转化，结合三角函数求解三角形求值、判断形状并解决实际与最值问题。 基础题，注重数学建模素养，需准确理解角度术语（仰角、俯角、方向角等） 求周长的最值（范围） 能将周长表示为某个角（或边）的函数；利用三角函数有界性或基本不等式求范围 中等难度，常出现在解答题第二问，需注意自变量范围和取等条件 求面积的最值（范围） 将面积表达为单变量函数（常用边或角）；结合三角函数值域、二次函数或基本不等式求解 高频考点，往往与周长最值并列，需灵活选择变量，注意定义域限制 知识点01 三角形的面积公式 （r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径．） (三角形的底乘高) 知识点02 求三角形周长、边长或面积的最值 1、 利用余弦定理与正弦定理、面积公式化简计算三角形的边长或面积，然后利用基本不等式来求最值。 2、 利用正弦定理把其中的边都换成sin值，然后通过三角恒等变换合并化简，注意其中角的范围，然后根据三角函数求最值的方法如换元或辅助角公式简化后求最值。 知识点03 距离问题 测量距离问题：解三角形法测距的关键是将实际问题转化为三角形模型，选择可测数据作为已知量，通过正弦定理、余弦定理及三角函数的直角边关系逐步求出未知距离。画出清晰图形、选择合适的初始三角形是解题的突破口。 （1）两点间不可达又不可视，如图，A、B 两点间有障碍物，但分别可以到达和，并能测量、 及 。 方法：已知两边及夹角（），用余弦定理直接求 。 （2）两点间可视但不可达，如图，在河一侧点，要测对岸、两点间的距离。 方法：在处测得 ∠BAC，及AB、AC中的可测量边（如用直角三角形法测得AB）。已知两边及其夹角，可用余弦定理求。 （3）两点都不可达，如图，两点都不可到达（如河两岸的目标点）。 方法（基线法）：选取可到达的两点构成基线（可测长度），分别在处测量角度：在测与等，在测与等 通过多次正弦定理解三角形链： ① 在 中由及求或。 ② 在或中继续用正弦定理或余弦定理最终求。 知识点04 高度问题 测量高度问题：利用水平面（或基线）、视线构成的三角形，通过测量角度和可及距离，计算出不可直接测量的高度。基本关系（在直角三角形中）：，其中仰角是观测点与目标顶端连线和水平线的夹角。 （1）底部可达：利用直角三角形解 （2）底部不可达（仰角在不同位置测两次）：设两次测量点与塔底共线，测得仰α、β及两次距离差（或直接距离），建立方程求高。 测量高度问题关键：画图、标已知、选三角、列方程。 知识点05 测量角度问题 1、仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 2、方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 3、方向角：相对于某一正方向的水平角．例：北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向． 4、坡角与坡度：坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数；坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比．坡度又称为坡比 5、测量角度的核心思想是： 将待测角置于一个或一系列三角形中，通过测量足够数量的边和其他角，利用三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理反推出目标角。 题型一 正余弦定理判断三角形的形状 解｜题｜技｜巧 1、利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． 2、判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①为直角三角形或或． ②为锐角三角形，且，且． ③为钝角三角形或或． ④若，则或． 【典例1】的内角：所对边分别为，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是等腰直角三角形 【变式1】（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若，则为等腰三角形或直角三角形 D．若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【变式2】（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知中角，，所对的边分别为，，，满足，则下列条件能使成为锐角三角形的是（    ） A． B．， C．， D．， 题型二 距离问题 解｜题｜技｜巧 求不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形． 【典例1】（24-25高一下·江苏盐城·期中）如图，两座山峰的高度，为测量峰顶和峰顶之间的距离，测量队在点（，，在同一水平面上）测得点的仰角为，点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（   ）    A．200 m B．400 m C． D． 【变式1】（24-25高一下·江苏南京·期中）如图，，，为某山脚两侧共线的三点，在山顶处测得三点的俯角分别为，，，现需要沿直线开通穿山隧道，已知，，，则隧道的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东，前进m千米后在B处测得该岛的方位角为北偏东，已知该岛周围n千米范围内（包括边界）有暗礁，现该船继续东行，若该船没有触礁危险，则，满足的条件为（    ） ①②③ ④ A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 题型三 高度问题 答｜题｜模｜板 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题． 【典例1】奏唱中华人民共和国国歌需要．某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排和最后一排的距离为（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，则升旗手升旗的速度应为（   ） A． B． C． D． 【变式1】兴国寺塔（江苏省江阴市古塔）始建于北宋太平兴国（976～983）年间，新中国成立以后，人民政府对塔基、塔身数次进行整修加固.现塔身共存8层，如图所示，古塔高，点在地面上，某次整修前，测量人员（身高不计）在地面的处测得古塔顶在南偏西方向，仰角为，他沿南偏东方向前进40m到点处，测得塔顶的仰角为.则那次整修前，古塔高为________.    【变式2】（24-25高一下·江苏镇江·期中）雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为，在点D处测得点A，B的仰角分别为，，测得，则按此法测得的雷峰塔塔高为（     ）（参考数据：） A．68m B．70m C．72m D．74m 题型四 角度问题 【典例1】如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里 (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船 【变式1】如图，某人身高1.73m，他站的地点A和云南大理文笔塔塔底O在同水平线上，他直立时，测得塔顶M的仰角（点E在线段上，忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段向塔前进100m到达点B，在点B直立时，测得塔顶M的仰角：塔尖的视角（N是塔尖底，在线段上）.    （1）求塔高________； （2）此人在线段上离点O________米，他直立看塔尖的视角最大？ 参考数据：，，. 【变式2】在市民运动公园有一个半径为的圆形湖泊，中心岛在圆心处，3座亭子在圆上，中心岛和3座亭子构成一个四边形，线段设计为健康步道，且. (1)为了给市民营造良好､安全的运动健身环境，拟在步道铺设防滑砖，若长为，则步道需要铺设多长的防滑砖？（不考虑步道宽度） (2)某人在中心岛观察到两处各有一人同时骑自行车，沿步道直线驶向，并且同时到达，现已知两人骑车的速度比为2：1.那么，从处观的视角的余弦为多少？ 题型五 证明三角形中的恒等式或不等式 【典例1】已知的内角所对的边分别为,则下列命题正确的是（    ） A．若,则一定为等腰三角形 B．若,则 C．若,则的最大内角为 D．若为锐角三角形,则 【变式1】已知分别为的三个内角的对边，. (1)求A； (2)若，证明：. 【变式2】已知在中，，且. （1）判断的形状； （2）若D为BC的中点，BEAD，垂足为E，延长BE交AC于F，求证：. 题型六 解三角形求周长的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于周长的最值问题，题目简化成两个边的和的最值问题。通常有以下两种方法 1、 若已知面积，则可利用基本不等式可以把周长的最小值与面积挂钩。 2、 若能根据余弦定理，则可利用基本不等式 把周长的最大值与余弦值挂钩。 3、 若是求周长的范围问题，则通常会有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 注意：运用基本不等式时，看是否满足取等条件。如题有角度限制比如锐角或钝角，可以考虑转化成三角函数问题，这时要先求得被限制的角的取值范围。 【典例1】设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【变式1】已知分别为的内角所对的边，且. (1)求； (2)已知是边的中点，求的最大值. 【变式2】的内角，，的对边分别为，，.已知，，若是的中点，则的最小值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型七 解三角形求面积的最值（范围） 答｜题｜模｜板 关于面积的最值问题，通常有以下两种方法 1、利用基本不等式可以求面积的最大值。 2、若是求面积的范围问题，通常配合有角度限制，这时可以考虑把边化角，通过三角函数求范围问题来解决 【典例1】古希腊数学家海伦提出了一个计算三角形面积的公式：若三角形三边长分别为，，，则其面积，其中.现有一个三角形的边长满足，，则该三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 (1)求角的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【变式2】满足： (1)求角的大小； (2)为的中点，且，求的最大值 (3)若为外一点，，求四边形面积的最大值 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，海南中学校园内有一块圆形草坪，其内接锐角区域内种植花卉（阴影部分），已知，现为了扩大花卉的种植面积，欲在弧上找一点，使得新的种植区域锐角的面积S（单位：）最大，则S的值为（    ） A． B． C． D． 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，则的面积为 C．若，则是等腰三角形 D．若，则 3．在中，a、b、c分别为、、的对边，若，且，当的面积为时，则（   ） A． B．2 C．4 D． 4．在 中， 分别是角 所对的边， 满足. (1)求； (2)若是边上的三等分点，，，求的面积 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在中，角所对的边分别为，，，角B的平分线与AC交于点D，则（    ） A． B． C．b的最大值为 D．BD的最大值为1 2．在中，角的对应边分别为，则（   ） A．若，，则周长的最大值为18 B．若，，为的中点，且，则 C．若是锐角三角形且，，则的最小值为 D．若角的内角平分线交于，且，，则面积的最大值为3 3．已知的内角，，的对边分别为，，.且满足. (1)求角； (2)已知的外接圆的圆心为，半径. （i）作角的平分线交于，，求的面积； （ii）若，求的取值范围. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $