期中复习讲义04 复数10大考点【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测试

期中复习讲义04 复数 【考点一】复数的概念 【考点六】共轭复数的概念及计算 【考点二】复数加减法的代数运算 【考点七】复数的坐标表示 【考点三】复数代数形式的乘法运算 【考点八】判断复数对应的点所在的象限 【考点四】复数的乘方 【考点九】求复数的模 【考点五】复数的除法运算 【考点十】复数的三角形式 一、复数的概念 1. 复数定义 形如（）的数叫做复数，其中为虚数单位，满足： 2. 复数的代数形式 实部： 虚部：（注意：虚部是实数，不是） 3. 复数的分类 实数： 虚数： 纯虚数： 且 4. 复数相等 二、复数的几何意义 1. 复平面 复数与复平面内的点一一对应。 2. 复数的模 模的性质： 3. 共轭复数 若，则共轭复数，满足： 三、复数的四则运算 设，（） 1. 加法 2. 减法 3. 乘法 4. 除法（分母实数化） 四、复数的乘方与重要结论 1. 虚数单位的幂周期 周期为： （） 2. 常用公式 五、复数在方程中的应用 1. 实系数一元二次方程 判别式： ：两个不等实根 ：两个相等实根 ：一对共轭虚根，根的表达式为： 2. 根与系数关系（韦达定理） 对任意复数根仍成立：. 【考点一】复数的概念 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：B. 2．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用复数模的公式计算得解. 【详解】复数，所以. 故选：A 3.（24-25高一下·广西南宁·期中）若复数，则实数的值为______. 【答案】2 【分析】根据给定条件，可得该复数是实数，再建立方程求解参数即可. 【详解】因为复数， 且只能是实数才能比较大小，所以为实数， 得到，解得，即实数的值为. 故答案为：2 4．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【分析】利用定义运算可得，再利用复数相等的概念即可求出. 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 5.（23-24高一下·甘肃天水·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为实数时，虚部为； （2）为纯虚数时，实部为，虚部不为. 【详解】（1）因为为实数，所以， 解得； （2）因为为纯虚数，所以且， 解得. 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 【答案】(1)或 ； (2)且； (3). 【分析】（1）（2）（3）利用复数分别表示实数、虚数、纯虚数的充要条件列式计算即得. 【详解】（1）复数是实数，则， 所以或 . （2）复数是虚数，则， 所以且. （3）复数是纯虚数，则， 所以. 【考点二】复数加减法的代数运算 7.（24-25高一下·广东广州·期中）若复数，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则计算即得. 【详解】 故选：C. 8．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A．14 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的加减法化简，再判断其虚部即可. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部为. 故选：B 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法法则运算即可求解. 【详解】． 故选：C 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：B 11.若复数，，，其中，为实数，则______. 【答案】 【分析】先根据，其中，为实数，利用复数相等求得x，y求解. 【详解】解：因为数，，，其中，为实数， 所以，解得 ， 则，， 所以， 故答案为： 12.______． 【答案】 【分析】利用复数的加法化简即可. 【详解】. 故答案为： 【考点三】复数代数形式的乘法运算 13.（24-25高一下·陕西西安·期中）复数的实部和虚部之和是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】C 【分析】利用复数乘法求出，进而求出其实部、虚部得解. 【详解】依题意，，其实部为，虚部为10， 所以所求和为8. 故选：C 14．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部是（   ） A．3 B．3i C．-3 D．-3i 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算法则求得复数z，可求得z的虚部. 【详解】因为，所以z的虚部是. 故选：A. 15.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则__________. 【答案】 【分析】应用复数乘法及复数相等得，即可得. 【详解】由题设，则，可得. 故答案为： 16．（23-24高一下·广东佛山·期中）设，若复数为纯虚数，则______． 【答案】 【分析】由复数的乘法运算化简，再结合复数的概念及分类即可求出a的值. 【详解】， 所以，，解得． 故答案为：． 17.（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）由是实数，是纯虚数，列出等式求解即可； （2）由，且与不共线，列出不等式求解即可. 【详解】（1）设复数， 由是实数知，即， 所以． 又因为是纯虚数，则为纯虚数， 即且， 所以， 所以． （2）由（1）知， 则， 所以，， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，且与不共线， 即，且 解得且. 18．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知i为虚数单位，复数满足：，其中． (1)若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； (2)若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： (3)若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 【答案】(1)或； (2) (3). 【分析】（1）由虚部为0，求解值； （2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值； （3）设，整理复数的实部与虚部，令实部为0且虚部不为0，列式求解值． 【详解】（1）由题可知，复数， 当为实数时，则虚部为， 由，解得：或； （2）复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则， 解得：； （3）设，为实数， 所以 ， 因为复数为纯虚数，所以， 解得：，所以. 【考点四】复数的乘方 19.（24-25高一下·江苏南京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算化简即可. 【详解】， 故选：B 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）若，则（   ） A． B． C． D．-1 【答案】A 【分析】利用复数的乘法及乘方运算计算得解. 【详解】由，得. 故选：A 21.（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，则______． 【答案】或， 【分析】设，将代入方程列出方程组即可求解． 【详解】设，则， 将代入方程得，， 则，若则方程组无解，不合题意，故， 解得， 所以或， 故答案为：或． 22．（24-25高一下·广东江门·期中）已知是虚数单位，则___________．（用的形式表示，） 【答案】 【分析】根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】因为，，，， 所以 . 故答案为： 23．（23-24高一下·安徽·期中）若复数是纯虚数，则m的值为______. 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义求解. 【详解】， 令且，解得. 故答案为：. 24．（23-24高一下·浙江·期中）已知（是虚数单位），则__________ 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】由可得，所以， 故答案为： 【考点五】复数的除法运算 25.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的运算化简，再求出共轭可得. 【详解】， 所以，其虚部为. 故选：A. 26．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】根据复数的运算法计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】复数， ，， 所以. 故选：A 27.（24-25高一下·浙江温州·期中）已知复数，则的虚部为______. 【答案】/ 【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故答案为：. 28．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若复数满足，则_____. 【答案】 【分析】根据复数的四则运算即可得到答案. 【详解】由题意知，则. 故答案为：. 29.（24-25高一下·广东广州·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的加法计算结合复数的类型计算求参，最后结合乘法计算求解； （2）应用除法及乘法计算结合复数类型列式求参即可. 【详解】（1）， 因为是实数，所以有，解得， 因此 （2）， 因为是纯虚数，所以有 解得，所以． 30．（24-25高一下·广东汕头·期中）（1）计算：． （2）已知复数z与均是纯虚数，求z． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据复数的乘除法运算计算即可； （2）设（），由是纯虚数，结合复数的乘法运算列出方程，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ． （2）设（）， 则， 得，解得，故． 【考点六】共轭复数的概念及计算 31.（24-25高一下·四川泸州·期中）若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，再求共轭复数，即可判断其虚部. 【详解】由， 故，所以的虚部为1． 故选：A． 32.（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法运算化简，再结合共轭复数的定义即可求出. 【详解】∵，∴． 故选：D． 33.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）i是虚数单位，若复数z满足，则______. 【答案】 【分析】根据复数的除法求出，再求共轭复数即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 34．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知复数z满足，则__________． 【答案】 【分析】设出复数的代数形式，利用复数相等列式求解. 【详解】设，则， 由，得，则，解得， 所以. 故选： 35.（24-25高一下·浙江台州·期中）已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数相等可得答案； （2）利用复数的除法运算可得答案． 【详解】（1）设，， ； （2）原式． 36．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出关于方程，求解即可； （2）根据题意得出复数及共轭复数，利用复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意，因为z是纯虚数，所以有， 解得. （2）因为，所以，， 则， 所以，. 则. 【考点七】复数的坐标表示 37.（24-25高一下·吉林·期中）已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义，可得答案. 【详解】由题意可得，则，所以对应点坐标为. 故选：C. 38．（24-25高一下·广东·月考）已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，复数的乘法运算，复数相等的概念求解. 【详解】由复数的几何意义可得，， 故，所以，解得， 故. 故选：A． 39.（24-25高一下·新疆吐鲁番·期中）若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为___________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数乘方、除法求出复数即得. 【详解】复数， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 故答案为： 40．（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是________． 【答案】 【分析】由题意结合点的坐标和中点坐标公式求解点D的坐标即可. 【详解】由题意可得：，，， 设平行四边形ABCD的对角线的交点为，点D的坐标为， 结合中点坐标公式可得： ，解得：，则点D的坐标为， 点D对应的复数是. 故答案为： 41.（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据条件，利用复数的运算，即可求出；再利用复数的几何意义，得，，即可求解； （2）设是方程的一个实根，利用复数相等，得到，即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 得到，，所以． （2）设是方程的一个实根，则． 根据复数相等的意义知 解得：，，． 所以，当时，原方程有一实根． 42．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. （2）因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 【考点八】判断复数对应的点所在的象限 43.（24-25高一下·广东·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】利用复数乘法运算法则，写成的形式，得其对应点的坐标，判断即可. 【详解】因为. 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 44．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的向量表示求出，、，再利用复数除法求解判断. 【详解】根据复数的几何意义可得，，， 所以对应的复数分别为：，， 所以, 所以对应的点为，该点位于第二象限. 故选：B. 45．（24-25高一下·云南昆明·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先进行复数除法运算，再根据复数的几何意义求解. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第三象限． 故选：C 46．（24-25高一下·河北邢台·期中）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据共轭复数的定义以及复数的几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以，其对应的点坐标为； 因此复数z对应的点位于第三象限． 故选：C 47.（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 【答案】 【分析】由复数的几何意义及复数的运算求解． 【详解】因为复数z对应的点为，所以，所以． 故答案为： 48．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于______象限. 【答案】第二 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案. 【详解】由， 得， 则. 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故答案为：第二 【考点九】求复数的模 49.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据复数的模的计算公式得到，即可化简，从而判断其虚部. 【详解】因为，所以， 又，即，所以，所以的虚部为2. 故选：C 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由复数是关于x的方程的一个根，可得另一个根为，用韦达定理和模长公式即可得到结果. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 则另一个根为，由韦达定理得：，即：， 故， 故选：B 51.（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设复数，由已知可得，进而根据可求最小值. 【详解】设复数，因为， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故答案为：. 52．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是__________. 【答案】 【分析】借助复数的模的定义结合所给的范围计算即可得. 【详解】，因为， 所以，则， 所以复数的模的取值范围是. 故答案为：. 53.（24-25高一下·河南郑州·期中）设复数． (1)若是实数，求m的值； (2)若，求； (3)若为实数，求． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）求出的表达形式，根据其是实数，即可求得答案； （2）根据复数的乘法运算，即可得答案； （3）由为实数，求出m的值，根据复数的除法运算求出，结合模长的计算公式即可得答案. 【详解】（1）由题意得， 由于是实数，故； （2）当时，； （3）若为实数，则， 故， 故. 54．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据复数减法以及纯虚数的概念，建立方程与不等式，结合模长公式，可得答案； （2）根据复数的除法以及乘方，由方程的解以及复数相等，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由，且为纯虚数，则，解得， 所以，故. （2）由，则， 整理可得，可得，解得. 【考点十】复数的三角形式 55.复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出辐角为，利用公式计算出，，结合辐角主值的取值范围求出答案. 【详解】设复数的辐角为， 则， 所以，， 因为， 所以当时，满足要求， 所以辐角主值为. 故选：A 56．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形公式可求解. 【详解】解： 故选：C. 57．写出复数的三角形式是______．（辐角） 【答案】 【分析】利用复数的三角表示可得结果. 【详解】. 故答案为：. 58．已知复数为虚数单位），则的最大值为___________ 【答案】2 【分析】将复数带入，再利用模长公式化简即可得出答案. 【详解】由题意知; ; 当时，. 故答案为：2. 59（24-25高一下·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 【答案】(1)实部为，虚部为0； (2)证明见解析； (3)8. 【分析】（1）求出复数的三角形式，再利用给定的运算求出，进而求出其实部和虚部. （2）设模为1的复数为，直接计算出及借助复数乘方公式得到后，结合复数定义即可得. （3）应用正二十四边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，求出不同值的个数. 【详解】（1）， 则， 所以复数z的实部为，虚部为0. （2）设模为1的复数为， 则 ， 由复数乘方公式得， 所以，. （3）正二十四边形每边所对的中心角为，设（为常数）， 则， 所以 ， 由周期性知，共有8个不同的值， 所以复数所对应不同点的个数为8． 60．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习讲义04 复数 【考点一】复数的概念 【考点六】共轭复数的概念及计算 【考点二】复数加减法的代数运算 【考点七】复数的坐标表示 【考点三】复数代数形式的乘法运算 【考点八】判断复数对应的点所在的象限 【考点四】复数的乘方 【考点九】求复数的模 【考点五】复数的除法运算 【考点十】复数的三角形式 一、复数的概念 1. 复数定义 形如（）的数叫做复数，其中为虚数单位，满足： 2. 复数的代数形式 实部： 虚部：（注意：虚部是实数，不是） 3. 复数的分类 实数： 虚数： 纯虚数： 且 4. 复数相等 二、复数的几何意义 1. 复平面 复数与复平面内的点一一对应。 2. 复数的模 模的性质： 3. 共轭复数 若，则共轭复数，满足： 三、复数的四则运算 设，（） 1. 加法 2. 减法 3. 乘法 4. 除法（分母实数化） 四、复数的乘方与重要结论 1. 虚数单位的幂周期 周期为： （） 2. 常用公式 五、复数在方程中的应用 1. 实系数一元二次方程 判别式： ：两个不等实根 ：两个相等实根 ：一对共轭虚根，根的表达式为： 2. 根与系数关系（韦达定理） 对任意复数根仍成立：. 【考点一】复数的概念 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北石家庄·期中）已知复数，其中i为虚数单位，则（   ） A． B．1 C． D．2 3.（24-25高一下·广西南宁·期中）若复数，则实数的值为______. 4．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 5.（23-24高一下·甘肃天水·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； 6．（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知是虚数单位，当实数满足什么条件时，复数分别满足下列条件？ (1)为实数； (2)为虚数； (3)为纯虚数； 【考点二】复数加减法的代数运算 7.（24-25高一下·广东广州·期中）若复数，，则（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖南衡阳·期中）若复数满足，则的虚部为（    ） A．14 B．5 C． D． 9．（23-24高一下·陕西西安·期中）已知，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若复数满足，则（    ）． A． B． C． D． 11.若复数，，，其中，为实数，则______. 12.______． 【考点三】复数代数形式的乘法运算 13.（24-25高一下·陕西西安·期中）复数的实部和虚部之和是（    ） A． B． C．8 D．12 14．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部是（   ） A．3 B．3i C．-3 D．-3i 15.（24-25高一下·广东潮州·期中）已知为虚数单位，，若，则__________. 16．（23-24高一下·广东佛山·期中）设，若复数为纯虚数，则______． 17.（24-25高一下·湖南·期中）已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位． (1)求复数； (2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知i为虚数单位，复数满足：，其中． (1)若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； (2)若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： (3)若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 【考点四】复数的乘方 19.（24-25高一下·江苏南京·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）若，则（   ） A． B． C． D．-1 21.（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，则______． 22．（24-25高一下·广东江门·期中）已知是虚数单位，则___________．（用的形式表示，） 23．（23-24高一下·安徽·期中）若复数是纯虚数，则m的值为______. 24．（23-24高一下·浙江·期中）已知（是虚数单位），则__________ 【考点五】复数的除法运算 25.（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）设复数，则其共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知复数，则（ ） A． B． C． D．0 27.（24-25高一下·浙江温州·期中）已知复数，则的虚部为______. 28．（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）若复数满足，则_____. 29.（24-25高一下·广东广州·期中）设复数，． (1)若是实数，求； (2)若是纯虚数，求． 30．（24-25高一下·广东汕头·期中）（1）计算：． （2）已知复数z与均是纯虚数，求z． 【考点六】共轭复数的概念及计算 31.（24-25高一下·四川泸州·期中）若复数z满足，则的虚部为（   ） A．1 B．i C．-1 D．-i 32.（24-25高一下·山西忻州·期中）已知复数，则z的共轭复数（   ） A． B． C． D． 33.（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）i是虚数单位，若复数z满足，则______. 34．（24-25高一下·河南许昌·期中）已知复数z满足，则__________． 35.（24-25高一下·浙江台州·期中）已知复数满足： (1)求复数； (2)求的值． 36．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数，，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，，求的值． 【考点七】复数的坐标表示 37.（24-25高一下·吉林·期中）已知在复平面内对应的点为，则的共轭复数在复平面内对应的点为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·广东·月考）已知复数，在复平面内所对应的点分别为，，且，则（    ） A． B． C． D． 39.（24-25高一下·新疆吐鲁番·期中）若复数，则z在复平面内对应的点的坐标为___________. 40．（23-24高一下·广东广州·期中）平行四边形中，点分别对应复数，则点对应的复数是________． 41.（23-24高一下·河北·期中）在复平面内复数，，其所对应的点为，，为坐标原点，是虚数单位． (1)求与； (2)当为何值时，关于的二次方程有一个实根． 42．（24-25高一下·云南昆明·期中）已知复数，复数在复平面内对应的向量为． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【考点八】判断复数对应的点所在的象限 43.（24-25高一下·广东·期中）复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 44．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 45．（24-25高一下·云南昆明·期中）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 46．（24-25高一下·河北邢台·期中）若，则复平面内复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 47.（23-24高一下·青海海南·期中）在复平面内，复数z对应的点为，则_______． 48．（23-24高一下·吉林·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于______象限. 【考点九】求复数的模 49.（24-25高一下·山东济宁·期中）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．2 D． 50．（24-25高一下·浙江·期中）已知复数是关于x的方程的一个根，则等于（    ） A． B． C． D．5 51.（24-25高一下·重庆·期中）已知复数满足，则的最小值为______． 52．（23-24高一下·甘肃庆阳·期中）已知，则复数的模的取值范围是__________. 53.（24-25高一下·河南郑州·期中）设复数． (1)若是实数，求m的值； (2)若，求； (3)若为实数，求． 54．（24-25高一下·福建漳州·期中）复数，，．已知为纯虚数． (1)求m和； (2)复数是方程的一个根，求实数p，q的值． 【考点十】复数的三角形式 55.复数的辐角主值为（    ） A． B． C． D． 56．复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 57．写出复数的三角形式是______．（辐角） 58．已知复数为虚数单位），则的最大值为___________ 59（24-25高一下·四川成都·期中）一般地，任何一个复数（a，）可以写成，其中r是复数的模，是复数的辐角，我们称为复数的三角形式．利用复数的三角形式可以进行复数的乘法、乘方等运算，如：，． (1)若复数，求复数z的实部和虚部； (2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：；； (3)设复平面上单位圆内接正二十四边形的24个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数． 60．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 1 学科网（北京）股份有限公司 $