专题04 复数（期中复习知识清单）高一数学下学期苏教版

专题04 复数 知识点1 复数的有关概念理解 1、复数的有关概念： （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分； （3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。 知识点2 复数的分类及应用 1、对于复数a＋bi，. 2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3 利用复数相等求参数 1、如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即，这就是说，两个复数相等的充要条件就是它们的实部和虚部分别相等。 2、复数相等的充要条件是“化实为虚”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤：分别分理处两个复数的实部和虚部，利用复数的实部与实部的相等，虚部与虚部的相等列方程组求解。 知识点4 复数的加减乘除运算 1、复数的四则运算规律 （1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； （2）复数的乘法：复数的乘法与多项式的乘法类似，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只需讲i2换成-1，并把实部与实部合并，虚部与虚部合并即可； （3）复数的除法运算：两个复数相除，可以先把它们的商写成分数形式，然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（互为共轭复数的两个数的乘积是一个实数），再对分子、分母分别进行乘法运算，最后整理、化简成负数的标准代数形式。 2、复数的运算技巧 （1）充分观察题中的数字特征： （2）充分利用复数模、共轭复数的运算性质： （3）利用一些基本结论简化计算：，，； 知识点5 共轭复数及其应用 1、求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算； 2、已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。 知识点6 复数范围内的解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 知识点7 复数对应点所在象限应用 1、由复平面内符合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是根据对应关系，列出方程（组）或不等式（组）求解； 2、复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着一一对应的关系。每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值范围。 知识点8 求复数的模长 1、定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 2、记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点9 平面向量的垂直问题三角形式下复数的乘除运算 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角倍； 复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减。 复数的概念 【例1】已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据虚数单位的性质和定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 【变式1】（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【答案】ABCD 【分析】根据虚数不能比大小可判断A的正误；取可判断B的正误；取可判断C的正误；根据纯虚集、虚数集、实数集三者之间的关系可判断D的正误. 【详解】对于A，当两个复数为不相等的实数时可以比较大小，故A错误； 对于B，取，则，但，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，实数集是纯虚数集相对复数集的补集的子集， 若D命题正确，则实数集为虚数集的子集，矛盾，故D错误． 故选：ABCD． 【变式2】下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可求解. 【详解】对A，当时，则是实数，故A错误； 对B，根据复数定义可知，故B正确； 对C，，那么是实数，故C错误； 对D，根据虚数，故D错误. 故选：ACD 确定复数的实部或虚部 【例1】已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求出复数，再利用复数虚部的定义求解即可. 【详解】因为复数， 所以， 则的共轭复数的虚部为 故选：D. 【变式1】已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】方法一、设代入化简，即可求得复数z； 方法二、利用为实数可得，即可得出的虚部. 【详解】方法一、设，， 所以， ，，所以的虚部为， 故选：A． 方法二、，得，则有， 所以的虚部为， 故选：A． 【变式2】已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【分析】由纯虚数的概念列出等式求出，即可求解. 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 根据相等条件求参数 【例1】已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】根据复数的实部、虚部定义计算可得结果. 【详解】易知复数的实部为，虚部为； 所以，解得. 故选：B 【变式1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【变式2】已知，则______. 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】因为，， 所以 解得. 所以 故答案为： 已知复数的类型求参数 【例1】若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的概念可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为复数（为虚数单位）为纯虚数，则，解得. 故选：A. 【变式1】复数为纯虚数（i为虚数单位），则__________. 【答案】 【分析】根据纯虚数得实部为零，虚部不为零，从而可求参数的值. 【详解】因为复数为纯虚数，故即， 故答案为： 【变式2】若复数是纯虚数，则_____． 【答案】 【分析】根据复数是纯虚数求得，进而求得. 【详解】由于是纯虚数，所以， 解得． 故答案为：. 复数对应的点所在象限问题 【例1】如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用两点距离公式判断A，根据复数对应点坐标写出复数，再由乘除运算及复数的性质判断B、C，由的几何表示，利用的几何意义求最值判断D. 【详解】由图知，则，A对， 由题意，，则为纯虚数，B对， ，对应点坐标为不在第一象限，C错， 令，，则，即圆心为原点且半径为， 而表示点到圆上的点的距离， 由点到圆心的距离为， 所以点到圆上的点的距离最大值为，即，D对. 【变式1】下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BCD 【详解】对于A，也满足，A错误． 对于B，因为，，所以，B正确． 对于C，复数对应的点为，则复数对应的点为，该点在第一象限，C正确． 对于D，复数对应的点构成的图形为圆环，它的面积为，D正确． 【变式2】复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【详解】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A 复数的模长问题 【例1】已知复数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【详解】. 【变式1】已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 【变式2】已知复数，且为纯虚数. (1)求的值； (2)若复数满足，，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算，结合纯虚数的概念，求的值. （2）根据复数模的概念列不等式，解不等式可求的取值范围. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以. （2）由题意：， 所以. 所以的取值范围为：. 复数方程问题 【例1】已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 【答案】 【详解】由题意可知，， 则，则， 故. 【变式1】设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）由复数的类型可得的实部为0，虚部不为0，以此求解即可； （2）利用实系数二次方程根与系数的关系及模长条件，求出，再代入所求式子化简即可. 【详解】（1）由题意得， 若复数为纯虚数，则有，且，解得. （2）方程的判别式， 故有两共轭复数根，设，则另一个根为， 因为对应的点在第一象限，所以， 由韦达定理得，解得，且， 所以有，解得， 所以， 则. 【变式2】（1）若，求实数，的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求实数的值. 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】（1）由复数相等的充要条件，比较等号两边复数的实部与虚部即可求解； （2）由题意，若复数为0，则有复数的实部和虚部都为0，由复数的运算法则求解即可； （3）由题意，不妨设关于的方程的实根为，将之代入后由复数的运算即可求解. 【详解】（1）由复数相等的充要条件，得，解得， （2）因为，，所以由， 可得，解得或， 所以. （3）设方程的实根为， 则有， 所以，解得或， 即或. 复数的运算 【例1】已知是复数的虚数单位，且，则的值为______． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为，所以. 【变式2】已知复数z，w是方程的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)求复数的实部； (3)设，求在复平面内对应的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程求根公式即可得出两个根，由于z在复平面内对应的点在第一象限确定根. （2）将（1）中得到的根代入进行复数运算. （3）先对分母实数化算出来，再利用幂次的周期性，由2025除以4的余数确定的值，最后得出对应点坐标. 【详解】（1）因为复数z，w是方程的两根， 由求根公式可得，， 因为z在复平面内对应的点在第一象限，故． （2）由（1）可得，，故，其实部为． （3）， 因为， 所以的幂次是以4为周期循环的，，其中1是余数， 所以，， 所以在复平面内对应的点的坐标为． 与复数模长有关的轨迹问题 【例1】若，且，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】根据复数模的几何意义，数形结合，可求解. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 表示点到点的距离. 如图：    可知当共线，且在之间时，取得最小值，为. 故答案为： 【变式1】已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据复数运算的几何意义求解. 【详解】因为， 所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆. 如图：    又因为表示点到的距离， 且， 所以. 故答案为： 【变式2】若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 求共轭复数的复数特征 【例1】已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用题给条件求得，再利用根与系数关系即可求得m，n的值； （2）先求得的表达式，再利用三角函数性质即可求得的值域． 【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，解之得 则，， 则， （2），， 则， 由，可得 则的值域为． 【变式1】关于的方程（）的两个根为，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）由得到，即可求解； （2）分别讨论方程有两实数根或方程有两虚数根，即可求解. 【详解】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以， 所以，所以. （2）①当，即时，方程有两实数根， 所以，， 则， 解得； ②当，即时，方程有两虚数根， 即，不妨设，； 则 解得； 综上：实数的值为或． 【变式2】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据复数除法运算，化简复数，再求其共轭复数. 【详解】， 所以. 故选：A 复数的三角表示 【例1】_________． 【答案】 【详解】 ． 【变式1】把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】求出各题中的三角函数值即可求解. 【详解】（1） （2） （3） （4）． 【变式2】已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数三角形式的乘法法则可得. 【详解】由题可知. 故选：C. 易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件 【例1】已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用纯虚数的定义和复数的运算求解即可. 【详解】，（易错点） 对复数乘法的运算法则不熟练，忽略i^2=-1这个关键性质，或者展开多项式时粗心大意。 复数为纯虚数，故且，则. 故选：C 【变式1】若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数的概念列方程求解. 【详解】根据题意，复数是纯虚数， 所以且，解得. 故选：A 【变式2】若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的概念求出，然后由共轭复数定义可得. 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得， 所以，所以. 故选：B 易错点2 误把复数当实数代入计算 【例1】已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设且，应用复数模长的求法及已知列方程求虚部. 【详解】设且，则， 由，则，解得.（易错点） 混淆了“虚部”和“虚数部分”的概念。复数z=a+bi的虚部是实数b，不是bi，这是复数概念中最容易混淆的细节。 故选：B 【变式1】（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】设复数根据复数的运算以及模的计算公式一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设复数，则， 则，为实数，A正确； ，，则，B正确； 若，不妨取，则不成立，C错误； ， 则， ， 则， 则，D正确， 故选：ABD 【变式2】（多选）若在复平面内对应的点为，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．直线的倾斜角为 【答案】AB 【分析】利用复数的几何意义结合给定条件求解参数，求出复数，利用复数模的求法判断C，利用复数的几何意义求出对应点坐标，再利用斜率的几何意义求解即可. 【详解】设，因为， 所以，即 解得，故A，B正确，此时， 此时，故C错误； 由复数的几何意义得对应的点为，且设直线的斜率为，倾斜角为， 由斜率公式得，由斜率的几何意义得， 因为，所以，则直线的倾斜角为，故D错误. 故选：AB. 易错点3 混淆虚部定义致错 【例1】已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数的定义求解即可. 【详解】由题易知，实部为1，虚部为-2.（易错点） 看到复数 z = 1 - 2i，直观地认为 i 前面的系数是 -2i，从而错选 C。 故选：A 【变式1】已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据虚数单位的性质可得，进而可得以及的虚部. 【详解】因为，则， 所以的虚部为. 故选：A. 【变式2】已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先得到，即可判断. 【详解】因为，所以， 所以的虚部是. 故选：A 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 知识点1 复数的有关概念理解 1、复数的有关概念： （1）定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，实部是 ，虚部是 . （2）虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． （3）表示方法：复数通常用字母z表示，代数形式为 (a，b∈R)． （4）复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 2、复数概念的几个关注点 （1）复数的代数形式：若z=a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部； （2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分； （3）举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答。 知识点2 复数的分类及应用 1、对于复数a＋bi，. 2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 知识点3 利用复数相等求参数 1、如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数 ，即，这就是说，两个复数相等的充要条件就是 。 2、复数相等的充要条件是“化实为虚”的主要依据，多用来求解参数。解决复数相等问题的步骤：分别分理处两个复数的实部和虚部，利用复数的实部与实部的相等，虚部与虚部的相等列方程组求解。 知识点4 复数的加减乘除运算 1、复数的四则运算规律 （1）复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项； （2）复数的乘法：复数的乘法与多项式的乘法类似，即把虚数单位i看作字母，然后按多项式的乘法法则进行运算，最后只需讲i2换成-1，并把实部与实部合并，虚部与虚部合并即可； （3）复数的除法运算：两个复数相除，可以先把它们的商写成分数形式，然后把分子、分母同乘分母的共轭复数（互为共轭复数的两个数的乘积是一个实数），再对分子、分母分别进行乘法运算，最后整理、化简成负数的标准代数形式。 2、复数的运算技巧 （1）充分观察题中的数字特征： （2）充分利用复数模、共轭复数的运算性质： （3）利用一些基本结论简化计算：，，； 知识点5 共轭复数及其应用 1、求复数的代数形式已知，则根据共轭复数的定义可以写出，再进行复数的四则运算； 2、已知关于与的方程，而复数的的代数式形式未知，求解。解此类题的常规思路为：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解。 知识点6 复数范围内的解方程 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： （1）求根公式法：①当时， ②当时， （2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解。 知识点7 复数对应点所在象限应用 1、由复平面内符合某种条件的点的集合求参数的取值时，通常是根据对应关系，列出方程（组）或不等式（组）求解； 2、复数集与复平面内所有的点所组成的集合之间存在着 的关系。每一个复数都对应唯一的一个有序实数对，只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数的实部、虚部的取值范围。 知识点8 求复数的模长 1、定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 2、记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. 3、公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点9 平面向量的垂直问题三角形式下复数的乘除运算 三角形式下复数的乘、除运算的关键点 复数三角形式下的乘法法则：模数相乘，辐角相加； 复数三角形式下的乘方法则：模数乘方，辐角倍； 复数三角形式下的除法法则：模数相除，辐角相减。 复数的概念 【例1】已知为虚数单位，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（多选）下列四个命题，错误的是（   ） A．两个复数不能比较大小 B．若复数z满足，则 C．若实数a与对应，则实数集与纯虚数集一一对应 D．纯虚数集相对复数集的补集是虚数集 【变式2】下列四种说法不正确的是（ ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 确定复数的实部或虚部 【例1】已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式1】已知i为虚数单位，复数，复数z的共轭复数为，则的虚部为（   ） A． B．3 C． D． 【变式2】已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 根据相等条件求参数 【例1】已知，复数的实部是虚部的3倍，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【变式1】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【变式2】已知，则______. 已知复数的类型求参数 【例1】若复数（为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D． 【变式1】复数为纯虚数（i为虚数单位），则__________. 【变式2】若复数是纯虚数，则_____． 复数对应的点所在象限问题 【例1】如图，向量，对应的复数分别为，，则下列选项正确的是（    ） A．，间的距离为 B．为纯虚数 C．在复平面内对应的点位于第一象限 D．若，则 【变式1】下列结论正确的是（   ） A．若复数满足，则 B．若复数与在复平面内分别对应向量与，则向量对应的复数为 C．若复数在复平面内对应的点为，则复数 在复平面内对应的点在第一象限 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【变式2】复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数的模长问题 【例1】已知复数，则（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【变式2】已知复数，且为纯虚数. (1)求的值； (2)若复数满足，，求的取值范围. 复数方程问题 【例1】已知i是虚数单位，是关于x的方程（p，）的一个根，则_____． 【变式1】设，均为复数，在复平面内，已知对应的点的坐标为，且对应的点在第一象限． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若，且是关于的方程的一个复数根，求． 【变式2】（1）若，求实数，的值； （2）已知成立，求实数的值； （3）若关于的方程有实根，求实数的值. 复数的运算 【例1】已知是复数的虚数单位，且，则的值为______． 【变式1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数z，w是方程的两个不同的根，且z在复平面内对应的点在第一象限． (1)求复数z； (2)求复数的实部； (3)设，求在复平面内对应的点的坐标． 与复数模长有关的轨迹问题 【例1】若，且，则的最小值是__________. 【变式1】已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为__________． 【变式2】若复数满足，则的最小值是_____ 求共轭复数的复数特征 【例1】已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 【变式1】关于的方程（）的两个根为，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式2】已知复数，则（    ） A． B． C． D． 复数的三角表示 【例1】_________． 【变式1】把下列复数表示成代数形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B． C． D． 易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件 【例1】已知复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式1】若复数是纯虚数，则实数a的值为（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【变式2】若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 易错点2 误把复数当实数代入计算 【例1】已知为虚数单位，复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知复数，，为的共轭复数，则下列结论中一定成立的是（    ） A．为实数 B． C．若，则 D． 【变式2】（多选）若在复平面内对应的点为，则（    ） A．的实部为1 B．的虚部为 C． D．直线的倾斜角为 易错点3 混淆虚部定义致错 【例1】已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（   ） A． B．2 C． D． 【变式1】已知复数，为z的共轭复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则的虚部是（    ） A．3 B． C． D．2 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $