清单05 立体几何初步（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【变式1-1】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【变式1-3】《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺． 【变式1-4】已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【考点题型二】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【变式1-1】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【变式1-3】《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺． 【变式1-4】已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【变式3-1】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【变式3-2】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【变式3-3】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【变式3-4】用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴和轴，且，则在直观图中，．( ) 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【变式4-1】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是 . 【变式4-3】如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-4】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积 ，体积 . 【变式5-1】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【变式5-2】在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的表面积为 【变式5-3】已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【变式6-3】已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【变式6-4】如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹长度为 B．点到平面的距离是定值 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．的最小值为 【考点题型七】截面问题 技巧：截面问题：以点为主，各向延申，出现截面，方便求算 【例7】已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【变式7-4】过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【考点题型八】异面直线所成的角 技巧：（两异面直线所成角的常用方法） 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归 为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例8】如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【变式8-3】在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式8-4】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点的距离为1，则异面直线与夹角的余弦值为 . 【考点题型九】空间直线、平面的平行 技巧：（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 直线与平面平行的判定（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求． 常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【例9】如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【变式9-1】在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【变式9-2】如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【变式9-3】在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【变式9-4】如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【考点题型十】空间直线、平面的垂直 技巧：（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【例10】如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【变式10-1】如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【变式10-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【变式10-3】如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【变式10-4】如图，在四面体中，已知，，．是线段PB上一点，，点在线段AB上，且.求证：平面. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 立体几何初步 （16个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】棱柱的结构特征 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．在棱柱中，两个相互平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点．棱柱中不在同一平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面． 2、棱柱的分类：底面是三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 3、棱柱的表示方法： ①用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如下图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、； ②用棱柱的对角线表示棱柱，如上图，四棱柱可以表示为棱柱或棱柱等；五棱柱可表示为棱柱、棱柱等；六棱柱可表示为棱柱、棱柱、棱柱等． 4、棱柱的性质：棱柱的侧棱相互平行． 【清单02】棱锥的结构特征 1、定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥．这个多边形面叫做棱锥的底面．有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面．各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点．相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； 2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥 ……；S S D D C C B B A A E C B A S 3、棱锥的表示方法：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥． 【清单03】圆柱的结构特征 1、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴．垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的底面．平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线． 2、圆柱的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱 【清单04】圆锥的结构特征 1、定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴． 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面．无论旋转到什么位置不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线． 2、圆锥的表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆锥． 【清单05】棱台和圆台的结构特征 １、定义：用一个平行于棱锥（圆锥）底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之间的部分叫做棱台（圆台）；原棱锥（圆锥）的底面和截面分别叫做棱台（圆台）的下底面和上底面；原棱锥（圆锥）的侧面被截去后剩余的曲面叫做棱台（圆台）的侧面；原棱锥的侧棱被平面截去后剩余的部分叫做棱台的侧棱；原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分叫做圆台的母线；棱台的侧面与底面的公共顶点叫做棱台的顶点；圆台可以看做由直角梯形绕直角边旋转而成，因此旋转的轴叫做圆台的轴． 2、棱台的表示方法：用各顶点表示，如四棱台； 3、圆台的表示方法：用表示轴的字母表示，如圆台； 【清单06】球的结构特征 1、定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的半径叫做球的半径．半圆的圆心叫做球心．半圆的直径叫做球的直径． 2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O． （1）用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．如果截面经过球心，则截面圆的半径等于球的半径；如果截面不经过球心，则截面圆的半径小于球的半径． （2）若半径为的球的一个截面圆半径为，球心与截面圆的圆心的距离为，则有． 【清单07】特殊的棱柱、棱锥、棱台 特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱；垂直于底面的棱柱称为直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体； 特殊的棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体； 特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台； 【清单08】简单组合体的结构特征 1、组合体的基本形式：①由简单几何体拼接而成的简单组合体；②由简单几何体截去或挖去一部分而成的几何体； 2、常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组合． ①多面体与多面体的组合体 由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体．如下图（1）是一个四棱柱与一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（3）是一个三棱柱与一个三棱台的组合体． ②多面体与旋转体的组合体 由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图（1）是一个三棱柱与一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（3）是一个球与一个三棱锥组合而成的． ③旋转体与旋转体的组合体 由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体．如图（1）是由一个球体和一个圆柱体组合而成的；如图（2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（3）是由一个圆台、一个圆柱和一个圆锥组合而成的． 【清单09】几何体中的计算问题 几何体的有关计算中要注意下列方法与技巧： （1）在正棱锥中，要掌握正棱锥的高、侧面、等腰三角形中的斜高及高与侧棱所构成的两个直角三角形，有关证明及运算往往与两者相关． （2）正四棱台中要掌握其对角面与侧面两个等腰梯形中关于上、下底及梯形高的计算，有关问题往往要转化到这两个等腰梯形中．另外要能够将正四棱台、正三棱台中的高与其斜高、侧棱在合适的平面图形中联系起来． （3）研究圆柱、圆锥、圆台等问题的主要方法是研究它们的轴截面，这是因为在轴截面中，易找到所需有关元素之间的位置、数量关系． （4）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开是把立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段之一． （5）圆台问题有时需要还原为圆锥问题来解决． （6）关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面． 【清单10】斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 【清单11】圆台的表面积 （1）圆台的侧面积：如上图（2）所示，圆台的侧面展开图是一个扇环．如果圆台的上、下底面半径分别为r＇、r，母线长为，那么这个扇形的面积为，即圆台的侧面积为S圆台侧=． （2）圆台的表面积：． 【清单12】柱体、锥体、台体的体积 1、柱体的体积公式 棱柱的体积：棱柱的体积等于它的底面积S和高h的乘积，即V棱柱=Sh． 圆柱的体积：底面半径是r，高是h的圆柱的体积是V圆柱=Sh=πr2h．综上，柱体的体积公式为V=Sh． 2、锥体的体积公式 棱锥的体积：如果任意棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积． 圆锥的体积：如果圆锥的底面积是S，高是h，那么它的体积；如果底面积半径是r，用πr2表示S，则． 综上，锥体的体积公式为． 3、台体的体积公式 棱台的体积：如果棱台的上、下底面的面积分别为S＇、S，高是h，那么它的体积是． 圆台的体积：如果圆台的上、下底面半径分别是r＇、r，高是h，那么它的体积是 ． 综上，台体的体积公式为． 【清单13】球的表面积和体积 1、球的表面积 （1）球面不能展开成平面，要用其他方法求它的面积． （2）球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积公式S球=4πR2．即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 2、球的体积 设球的半径为R，它的体积只与半径R有关，是以R为自变量的函数．球的体积公式为． 【清单14】异面直线 1、定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． 2、画法： 3、两异面直线所成角的常用方法 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【清单15】空间平行关系的注意事项 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【清单16】有关垂直（1）判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视． （2）要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要． 相关的重要结论 ①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直． ③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 【考点题型一】简单几何体的结构特征 技巧：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱． 如下图所示的几何体满足“有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形”这一条件，但它不是棱柱． 判定一个几何体是否是棱柱时，除了看它是否满足：“有两个面互相平行， 其余各个面都是平行四边形”这两个条件外，还要看其余平行四边形中“每两个 相邻的四边形的公共边都互相平行”即“侧棱互相平行”这一条件，不具备这一条件的几何体不是棱柱． 圆锥：（1）用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面是一个比底面小的圆面． （2）经过圆锥的轴的截面是一个等腰三角形，其底边是圆锥底面的直径，两腰是圆锥侧面的两条母线． （3）圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线都是圆锥侧面的母线． 【例1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【答案】5 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5． 故答案为：5 【变式1-1】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 【变式1-3】《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺． 【答案】 【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，易知Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段AM的长度. 【详解】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆， 当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大， 由题意得，，， 因为圆所在平面，所以． 故答案为： 【变式1-4】已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 【考点题型二】简单几何体的组合体 技巧：解决简单几何体的判定问题，需要对简单几何体的有关结构特征熟练掌握， 如侧棱与底面的关系，底面、侧面的形状、截面形状等， 同时还要会计算棱柱、棱锥、棱台的顶点数、棱数及面数． 【例1】在以为顶点的三棱锥中，过的三条棱两两的交角都是，在一条侧棱上有，两点，，，以，为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周（绳和侧面无摩擦），则此绳在，之间的最短绳长为 . 【答案】5 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，进行求解即可． 【详解】解：作出三棱锥的侧面展开图，如图， 则A、B两点间的最短绳长就是线段AB的长度. 在中，， 由，得 即此绳在A、B之间的最短绳长为5． 故答案为：5 【变式1-1】图1为一个正方体的侧面展开图，在外表面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.若将这样三个相同的正方体叠放于地面上，如图2，则能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为 .    【答案】41 【分析】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对，有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对，由最大可得答案． 【详解】根据正方体的表面展开图，有数字1的正方形与有数字6的正方形相对， 有数字2的正方形与有数字4的正方形相对，有数字5的正方形与有数字3的正方形相对， 可得，， 要使能看见的13个正方形面上的数字和的最小， 最上面的一个正方体的有数字6的正方形面朝下，与中间的正方体面接触， 中间的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上下正方体接触， 最下面的正方体有数字5的正方形与有数字3的正方形面朝上下，与上面正方体和地面接触， 所以能看见的13个正方形面上的数字和的最小值为. 故答案为：41. 【变式1-2】下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】BC 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形，此几何体不是棱柱，故A错误； 棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形，则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥， 故B正确；由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故C正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。 有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体， 不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，故D错误. 故选：BC. 【变式1-3】《九章算术·商功》中有如下类似问题：今有刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．意思如下：今有一个刍童，上底面宽1尺、长2尺，下底面宽3尺、长4尺，高1尺．刍童是上、下底面为相互平行的不相似长方形，且两底面的中心连线与底面垂直的六面体，如图，若A是该六面体上底面的一个顶点，点M在下底面的外接圆上，则线段AM长度的最大值为 尺． 【答案】 【分析】设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆，易知Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大，再根据已知求线段AM的长度. 【详解】如图，设点A在底面上的射影是Q，上底面外接圆在下底面上的射影是圆， 当Q，，M三点共线时，线段AM的长度最大， 由题意得，，， 因为圆所在平面，所以． 故答案为： 【变式1-4】已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ． 【答案】 【分析】分别求解不同情况下的展开图的长度，即可比较作答. 【详解】如图正四棱柱中，若沿着侧棱展开，可得图（1） 此时, 若沿着侧重展开，可得图（2），此时, 若沿着侧重展开，可得图（3），此时 由于，故最短距离为， 故答案为： 【考点题型三】与直观图还原有关的计算问题 技巧：由于斜二测画法中平行于x轴的线段的长度在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜45°，因此平面多边形的直观图中的计算需注意两点． （1）直观图中任何一点距x′轴的距离都为原图形中相应点距x轴距离的sin45°＝倍． （2）S直观图＝S原图． 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换． 【例3】用“斜二测画法”画水平放置的长为6，宽为4的矩形，则其直观图的面积为 ． 【答案】 【分析】作出直观图，利用平行四边形的面积公式即可求解. 【详解】在矩形中，，作出其斜二测直观图，如下图所示： 由题意可知或， 由斜二测画法可知，四边形是平行四边形， 故矩形的直观图的面积为（或）. 故答案为：. 【变式3-1】已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是 . 【答案】/ 【详解】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解. 【解答】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积. 故答案为：. 【变式3-2】如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合，求出；B选项，由斜二测法可知；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，求出各边长，得到周长. 【详解】A选项，过点作⊥轴于点， 因为等腰梯形中，， 所以， 又，所以，A错误； B选项，由斜二测法可知，B正确； C选项，作出原图形，可知，，，⊥， 故四边形的面积为，C正确； D选项，过点作⊥于点， 则， 由勾股定理得， 四边形的周长为，D错误. 故选：BC 【变式3-3】的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【详解】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 【变式3-4】用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴和轴，且，则在直观图中，．( ) 【答案】错误 【分析】两边一条边与坐标轴正方向相同，一条与另一条坐标轴的正方向相反时得情况即得出另外的情况. 【详解】若的两边分别平行于轴和轴，且两边一条边与某个坐标轴正方向相同，一条与另一条坐标轴的正方向相反时，在直观图中的等于， 故答案为：错误. 【考点题型四】棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 技巧：1、多面体的表面积转化为各面面积之和． 2、解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路： 一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决． 3、常见的求几何体体积的方法 ①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面， 只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 4、求几何体体积时需注意的问题 柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、 轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算． 【例4】如图给出两个几何体：    (1)画出两个几何体的平面展开图； (2)图①是侧棱长为的正三棱锥，，过点作截面分别交BD，CD于点E，F，求截面三角形周长的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)6． 【分析】（1）作出展开图即可. （2）沿着侧棱DA把正三棱锥展开在一个平面内，利用两点间线段最短可求截面周长的最小值． 【详解】（1）展开图如下图所示．    （2）将三棱锥沿侧棱DA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图， 线段的长为所求周长的最小值，取的中点，则， 又，可求得，则，即截面三角形周长的最小值为6．    【变式4-1】正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 【变式4-2】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，其长分别为，则这个三棱锥的体积是 . 【答案】 【分析】根据三条侧棱两两垂直的关系,利用线面垂直的判定定理可得一条侧棱是相对应侧面上的高，进而得到底面面积和三棱锥的高，由三棱锥体积公式可求得结果. 【详解】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面，. 故答案为：. 【变式4-3】如图所示，在长方体的所有棱中，与平面垂直的棱有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用长方体的结构特征直接判断得解. 【详解】在长方体中，与平面垂直的棱有，共4条. 故选：D 【变式4-4】正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由截面图结合等面积法和勾股定理列出关于r的等量关系求出r即可求解. 【详解】由题可知上下底正三角形的高分别为， 由几何体结构特征结合题意可知内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如左图所示作截面，得到右图，设内切球半径为， 则有即， 所以正三棱台的高为6. 故选：D. 【考点题型五】圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 技巧：（求旋转体表面积注意事项） 旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥． （求几何体积的常用方法） （1）公式法：直接代入公式求解． （2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． （3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． （4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 【例5】已知某圆锥高，轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积 ，体积 . 【答案】 【分析】根据题意求出圆锥的底面圆半径和母线，然后根据公式即可求解. 【详解】    如图，为等腰直角三角形，且， 所以底面圆半径，母线长， 所以侧面积，体积. 故答案为：；. 【变式5-1】已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【分析】根据圆锥侧面展开图的知识求得正确答案. 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 【变式5-2】在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线折成四面体，使得，则（    ） A．直线与直线所成角为 B．直线与平面所成角的余弦值为 C．四面体的体积为 D．四面体外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】A.证明平面即可；B找出线面角，在中求解；C . 因平面，则；D作垂线，找球心，在中求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接， 因和为等边三角形，则， 因平面，平面，则平面， 因平面，则，故A正确； 因平面，则在平面内的投影落在直线上， 故为直线与平面所成角， 因，，则， 因，则在中边上的高为，则，故B正确； 因，平面，则，故C错误； 点分别为和的外心，过分别作平面，平面，，则点为球心， 则， 在中，，故， 则， 则四面体外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD 【变式5-3】已知四面体满足动点在四面体的外接球的球面上，且则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将该四面体放置在一个长方体中，通过题意可得到点的轨迹为一个圆，设其半径为利用勾股定理求解半径，即可求解． 【详解】解：如图，将该四面体放置在一个长方体中， 由题可知长方体的长、宽、高分别为 体对角线长为 其外接球半径 因为所以点的轨迹为一个圆，设其半径为 则即解得 或即此时无解， 故所求长度为． 故选：C． 【变式5-4】已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线.若一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是 .（结果保留根式）. 【答案】 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求 在中，，，. 故答案为：. 【考点题型六】球的表面积与体积 技巧：1、正方体的内切球 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面 2、球与正方体的各条棱相切球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面有r2＝， 3、长方体的外接球 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r3＝， 4、正方体的外接球正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a． 5、正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝a． 6、有关球的截面问题常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决． 【例6】已知长方体外接球的表面积为，其中为线段的中点，过点的平面与直线垂直，点在平面与底面形成的交线段上，且，则四面体外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据长方体外接球半径公式计算得出，再根据线面垂直判定定理得出四面体的特征计算得出外接球半径即可求解. 【详解】依题意得，解得， 如图，取线段的中点，连接，平面，平面， 所以，因为，所以 又平面，所以平面， 因为平面过点，所以平面即为平面，所以点在线段上， 因为，所以为线段的中点，且边上的高为， 故为等腰直角三角形，且其外接圆半径. 设四面体外接球的半径为，则， 故所求外接球的体积为. 故选:C.    【变式6-1】如图，已知正方形的边长为4，点在边上且，将沿翻折到的位置，使得．空间四点的外接球为球，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定球心的位置并求出球半径，再利用圆的截面性质求出截面面积最小值. 【详解】如图，取的中点为， 由正方形的边长为4，得， 因此为四面体的外接球球心，外接球半径， 设球心到平面的距离为，截面圆的半径为， 则有，即， 当截面时，最大，此时截面面积最小，且， 在中，，，． 由余弦定理可得，． 此时，所以截面面积最小值为. 故选：C 【变式6-2】下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【分析】根据正棱锥的概念判断A；根据直四棱柱的概念判断B；根据圆台的概念判断C；根据球的概念判断D. 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 【变式6-3】已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】依题意求得圆锥的母线长，确定轴截面的顶角，从而求出截面面积的取值的最大值，由此得解． 【详解】依题意，设圆锥的母线长为， 圆锥的底面半径为，高为1， ， 设圆锥的轴截面的两母线夹角为，则， ，， 则过该圆锥的母线作截面，截面上的两母线夹角设为， 故截面的面积为，当且仅当时，等号成立， 故截面的面积的最大值为2． 故答案为：2. 【变式6-4】如图，在棱长为2的正方体中，点是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹长度为 B．点到平面的距离是定值 C．直线与平面所成角的正切值的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】选项A：利用空间中到定点的距离为定长的点的集合为一个球，在正方体表面上的交线为圆求得的轨迹长度；选项B：可以证得平面，结合平面，所以点到平面的距离是定值；选项C：要求直线与平面所成角的正切值的最大值，则求得在平面的投影为，当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大；选项D：要求的最小值，则利用到直线的距离为，当点落在上时，求得的最小值. 【详解】对于A，因为，即，所以， 即点在底面内是以为圆心､半径为1的圆上， 所以点的轨迹长度为，故A错误； 对于B，在正方体中，， 又平面，所以平面， 所以点的轨迹为线段， 又平面，所以点到平面的距离是定值，故B正确； 对于C，因为平面，所以为直线与平面所成角， 因为点到的距离为定值2，记点在平面的投影为， 所以当取得最小值时，直线与平面所成角的正切值最大， 又， 所以直线与平面所成角的正切值的最大值为，故C正确； 对于D，到直线的距离为， 当点落在上时，，故D正确.故选：BCD. 【考点题型七】截面问题 技巧：截面问题：以点为主，各向延申，出现截面，方便求算 【例7】已知一个圆台母线长为3，侧面展开图是一个面积为的半圆形扇环（如图所示），在该圆台内能放入一个可以自由转动的正方体（圆台表面厚度忽略不计），则该正方体体积的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过空间想象将圆台内自由转动的正方体问题，转化为求解圆台内球最大问题.先由侧面展开前后图形关系建立方程求解各相关各量等，再计算比较圆台高与圆锥内切球直径的大小关系确定最大球状态，求解半径，进而求正方体棱长与体积可得. 【详解】要使圆台内能放入自由转动的正方体的体积最大，则该正方体的外接球恰好为该圆台内能放入的最大的球. 设圆台的侧面展开图半圆形扇环的内圆半径为，外圆半径为， 则，化简得，又圆台母线长为， 联立，解得. 设圆台上、下底面圆半径分别为，则， 解得. 如图1，还台为锥，设上、下底面圆心为， 在中，，又为锐角，则. 由相似性可知，圆台的轴截面等腰梯形的底角为， 故圆台的高. 如图2，圆锥轴截面为正三角形， 则正三角形内切圆即圆锥内切球半径长为， 因为正三角形内切圆直径， 故圆锥内切球即圆台内能放入的最大的球，直径为. 设正方体的棱长为，由正方体外接球直径即为体对角线可得， ，解得， 此时正方体的体积最大，最大为. 故选：B. 【变式7-1】在棱长为2的正方体中，分别为的中点，过直线的平面截该正方体的内切球，所得截面圆的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设是线段的中点，则，利用勾股定理求出，进而求出，找出当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小，再利用弦长公式和面积公式即可求得结果. 【详解】设是线段的中点，则， 由勾股定理， 球心到距离为， 当垂直于过的平面时，截得该正方体的内切球所得截面圆的面积最小， 被球截得的弦长为， 此时圆的半径就是，面积为. 故选：A. 【变式7-2】四面体的棱长为4，E为棱BC的中点，过点E作其外接球的截面，则截面面积的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四面体放置于正方体中，该正方体的外接球就是正四面体的外接球，求出半径，过点作其外接球的截面，当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小，据此即可求解. 【详解】将正四面体放置于如图所示的正方体中，可得该正方体的外接球就是正四面体的外接球， 设该外接球的球心为，半径为R， 正四面体的棱长为4，且正四面体的棱长是正方体的面对角线长， 正方体的棱长为， 正方体外接球的半径满足， 解得，为棱BC的中点， 过点作其外接球的截面， 当截面到外接球的球心的距离最大时，截面面积最小， 此时为截面圆心，球心到截面的距离， 由截面的性质可得截面半径， 故截面面积的最小值为． 故选： 【变式7-3】圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（    ） A． B．18 C． D．9 【答案】B 【分析】作出过圆锥顶点的截面，两条母线的夹角是时，截面三角形的最大面积，结合母线长为6，代入可得截面面积的最大值． 【详解】解：如图，过圆锥顶点认作一截面，交底面圆与， 圆锥轴截面的顶角为， 则时，截面面积取最大值， 过圆锥顶点的截面中，最大截面面积为， 故选：B． 【变式7-4】过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】根据球的截面圆半径、球半径、球心与截面圆距离满足的关系式即可求解. 【详解】设球的半径为，过球O半径中点且垂直于半径的球O的截面圆半径为， 则由题球心O与截面圆距离为，故截面圆的半径为， 所以截面圆的半径是球O半径的. 故选：C. 【考点题型八】异面直线所成的角 技巧：（两异面直线所成角的常用方法） 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归 为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时， 应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【例8】如图，三棱柱的所有棱长都为，且，、、分别为、、的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，推导出，可知异面直线和所成角等于或其补角，利用余弦定理求出、的长，推导出，可求出的余弦值，即为所求. 【详解】连接、，如下图所示：      因为、分别为、的中点，所以，且， 因为且，所以，四边形为平行四边形， 所以，且， 因为为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 故异面直线和所成角等于或其补角， 在菱形中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，， 由余弦定理可得， 在中，，，，所以，，故， 所以，. 因此，异面直线和所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式8-1】如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】利用异面直线的夹角定义和余弦定理求解. 【详解】 取的中点为，连接， 在中， ，且， 在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为， 所以直线的夹角为，则或， 所以在中， 当时，由余弦定理得， ，得， 当时，由余弦定理得， ，得， 故选：D. 【变式8-2】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：    因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 【变式8-3】在正四棱柱中，，点分别是的中点，则直线与所成夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，可证明，进而可得是直线与所成的角，取的中点，连接，则，可求得，，可求直线与所成夹角的余弦值. 【详解】如图，在正四棱柱中，取的中点，连接， 又因为是的中点，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 所以与所成的角就是与所成的角，即． 因为是的中点，所以是四边形的中心，所以， 取的中点，连接，则，且， 在矩形中，，所以，则， 在中，， 所以在中，. 故选：B． 【变式8-4】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点的距离为1，则异面直线与夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】先根据平面内仅有一点到的距离为1，则正四棱柱变为正方体，再根据线线角的余弦求解. 【详解】由平面ABCD内仅有一点到的距离为1，则. 此时正四棱柱变为正方体，连接，则, 由图知与夹角为，连接. 则为等边三角形， ， ，故异面直线与夹角的余弦值为. 故选：. 【考点题型九】空间直线、平面的平行 技巧：（证明两直线平行的常用方法） （1）利用平面几何的结论，如平行四边形的对边，三角形的中位线与底边； （2）定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点； （3）利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行． 直线与平面平行的判定（判定定理应用的注意事项） （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求． 常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【例9】如图，在正方体中，，点为AD的中点，点在CD上，若平面，求线段EF的长度． 【答案】 【分析】由线面平行的性质可得，结合已知可求的长. 【详解】平面，平面平面，平面ADC， ．是AD的中点， 是的中点， ． 【变式9-1】在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】取CD中点，连接OM，EM，利用平行四边形的判定与性质得，然后利用线面平行的判定定理证明即可. 【详解】如图所示，取CD中点，连接OM，EM， 在矩形中，且． 又且，则且． 所以四边形为平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面． 【变式9-2】如图，在直三棱柱中，，D，E分别是棱BC，上的点（点不同于点），且平面，F为的中点．求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【分析】先应用线面垂直的判定定理得出平面，再根据线面垂直的性质得出线线平行，进而得出线面平行即可. 【详解】因为，F为的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 又平面，平面，平面，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面，所以平面． 【变式9-3】在三棱柱中，E，F分别是的中点，如图，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】由已知可得，进而由线面平行的判定定理可证平面． 【详解】因为E，F分别是AC，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． 【变式9-4】如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【分析】（1）由已知结合线面平行的判定定理可得出结论； （2）连接交于，连接，由线面平行的性质定理可得出，利用计算出的值，进而可求得的值. 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【考点题型十】空间直线、平面的垂直 技巧：（证明两条直线平行的常见方法） （1）公理4：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过 这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行； （3）面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行； （4）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行． 【例10】如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连结交于点，连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）先证，再证，得平面，即得. 【详解】（1） 如图，连结交于点，连接. 因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故. 又因为面，面，所以平面； （2）因是菱形，则， 又平面，平面，则， 因平面，则平面， 又平面，故. 【变式10-1】如图，在正方体中． (1)求证：∥平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）连接，可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）因为为正方体，则∥，且， 可知为平行四边形，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. （2）连接， 因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面， 由平面，可得， 同理可得：， 且，平面， 所以平面. 【变式10-2】如图，在四棱锥中，底面是菱形．，分别为的中点，且． (1)证明：． (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而得证； （2）先求得，进而求得，利用等体积法可求得点到平面的距离. 【详解】（1）连接． 因为底面是菱形，分别为的中点， 所以，，所以． 又，，所以平面． 因为平面，所以． （2）因为，是的中点，所以． 又，，所以平面． 由题意得是边长为2的等边三角形，且为的中点， 所以， 又，所以． 在中，可得，， 所以． 设点到平面的距离为，则． 因为，所以，解得． 所以点到平面的距离为. 【变式10-3】如图所示，为所在平面外一点，平面，，于点．求证： (1)平面； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，即可证明； （2）根据（1）的结论，结合线面垂直的判断定理，即可证明. 【详解】（1）平面，平面， ． ，． 又，，平面， 平面． （2）平面，平面， ． ，，，平面， 平面． 【变式10-4】如图，在四面体中，已知，，．是线段PB上一点，，点在线段AB上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理逆定理说明，继而结合推出，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】在中， ，，，， ，为直角三角形，且， 又，. 又，，，平面，平面. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$