清单04 复数（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单04】复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 【清单05】复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【考点题型一】复数与复平面内的点的关系 技巧：利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【例1】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D．1 【变式1-1】已知复数，则在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，若为纯虚数，则 . 【变式1-4】复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【变式2-1】已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 【变式2-2】已知，则 ． 【变式2-3】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【变式2-4】已知，其中、．求x、y的值． 【考点题型三】复数代数形式的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 【变式3-2】已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【考点题型四】复数加减法的几何意义 技巧：复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【例4】复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【变式4-1】已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【变式4-2】若，则（    ） A． B．   C． D． 【变式4-3】设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【变式4-4】关于复数 （ 为虚数单位），有下列四个命题：① ；②；③z·=4；④z+=||；且上述四个命题中只有一个是假命题． (1)请问假命题是哪一个，并求出复数z； (2)设复数z1、z2满足 ，求 ． 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【变式5-2】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-4】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【考点题型六】复数代数形式的乘法运算 技巧：（1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①．②．③． 【例6】已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】i是虚数单位，复数 ． 【变式6-2】复数满足（为虚数单位），则 . 【变式6-3】，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【变式6-4】下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 【考点题型七】复数代数形式的除法运算 技巧：（1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例7】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【变式7-1】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【变式7-2】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【变式7-3】在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【变式7-4】已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】已知是方程的一个根，则 ． 【变式8-1】已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【变式8-2】已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【变式8-3】复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 5、共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单04】复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 【清单05】复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【考点题型一】复数与复平面内的点的关系 技巧：利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【例1】在复平面内，复数对应的向量，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意得到，再求模长即可. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A. 【变式1-1】已知复数，则在复平面上对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义求出复数对应的点即可求解. 【详解】对应的点为，在复平面上对应的点在第四象限. 故选：D 【变式1-2】已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法求出的实部和虚部，即可得出其对应的点. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 所以，则在复平面内对应的点为. 故选：. 【变式1-3】已知，若为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】根据条件，得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】由为纯虚数，得，解得， 所以，则， 故答案为：. 【变式1-4】复数，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 【变式2-1】已知向量，，，若函数，且在区间上不具有单调性. (1)求的取值范围； (2)当取最小整数值时，若（其中，，是虚数单位），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积公式和三角恒等变换得到，求出，根据不单调得到不等式，求出； （2），根据复数相等得到方程，求出，，结合角的范围得到，，根据凑角法得到答案. 【详解】（1）函数， 由，得， 由函数在区间上不具有单调性，得，解得， 故的取值范围是. （2）依题意，得，，， 所以，， 所以，. 由，得， 所以， 由，得. 由，得， 同理，. 所以 . 【变式2-2】已知，则 ． 【答案】1 【分析】由复数分类的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可． 【详解】由，得，解得． 故答案为：1． 【变式2-3】已知复数等于，其中、．求x、y的值． 【答案】， 【分析】根据复数相等列出方程组，解出，的值． 【详解】解：由题意，， 可得， 由，解得， 则， 解得，． 故、的值分别为4，3． 【变式2-4】已知，其中、．求x、y的值． 【答案】或或或 【分析】利用复数的相等列出方程组，求解即可． 【详解】解：， 且， 解得：或且或， 或或或． 【考点题型三】复数代数形式的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-1】已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】设，根据可求出的值，由此可得结果. 【详解】设，则，而， ∴，解得， ∴，故. 故选：B. 【变式3-2】已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的加法运算求解即可. 【详解】因为，，则. 故选：. 【变式3-3】已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 【变式3-4】已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据复数乘除法运算化简复数，进而得结果 【详解】由，得， 故选：A 【考点题型四】复数加减法的几何意义 技巧：复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【例4】复数加减法的几何意义 （1）几何意义：复数加减法可按向量的 或 法则表示.    设复数，（）对应的向量分别为、，四边形为平行四边形，则与对应的向量是 ，与对应的向量是 . （2）实质：利用几何图形的变换解释复数的加减运算（数形结合）； （3）应用：广泛应用于复数的加减运算及复数与三角形、四边形等结合的题目. 【答案】 平行四边形 三角形 【分析】略 【详解】略 【变式4-1】已知复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】举出反例即可判断A；根据复数的乘法运算及复数的模的公式即可判断B；根据复数加减法的几何意义及坐标表示即可判断CD. 【详解】对于A，设，显然， 但，故A错； 对于B，设， 则， ， ， 所以，故B对； 对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量， 复数对应向量，复数加减法对应向量加减法， 故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度， 所以，，故C对，D对. 故选：BCD. 【变式4-2】若，则（    ） A． B．   C． D． 【答案】BC 【分析】复数的几何意义得出复数z所对应的点的轨迹，由共轭复数的定义及复数的运算可判断各选项. 【详解】利用复数的几何意义知在复平面内，对应的点在对应线段的中垂线即y轴上， 所以不一定是实数，所以A错误； 因为与关于实轴对称，且在y轴上，所以B，C正确； 取，则，所以D错误． 故选：BC. 【变式4-3】设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 【变式4-4】关于复数 （ 为虚数单位），有下列四个命题：① ；②；③z·=4；④z+=||；且上述四个命题中只有一个是假命题． (1)请问假命题是哪一个，并求出复数z； (2)设复数z1、z2满足 ，求 ． 【答案】(1)命题②③④皆成立，； (2)2 【分析】（1）根据复数的模长公式以及复数的四则运算即可分别假设4个命题分别为假命题时，验证是否符合题意即可求解. （2）利用向量的几何意义，由向量的模长公式即可求解. 【详解】（1）由③得， ，即 ；由④得； 若①是假命题，则，，且，所以 ，即 ，所以；符合要求， 若②是假命题，则需满足，，且，无解，故不符合要求， 若③是假命题，则需满足，，，不符合要求， 若④是假命题，则需满足，，，显然不符合要求， 所以假命题为①，即②③④皆成立，所以 ，即 ，所以； （2）由（1）得，；设复数 在复平面内分别对应向量，， 则||=||=2，|+|=2，所以2+2·+2=4，即2·=-4； 又|-|2=2-2·+2=12，则|-|=2，即|z1-z2|=2. 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 【变式5-1】若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 【变式5-2】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式计算得出实部. 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 【变式5-3】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断. 【详解】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式5-4】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【考点题型六】复数代数形式的乘法运算 技巧：（1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开．②再将换成．③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①．②．③． 【例6】已知复数，，则（   ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】应用特殊值判断A、D；由判断B；若，且，得，分类讨论判断C. 【详解】对于A、D：当时，，但，故A错误； 又，故D错误； 对于B：由，可得，故B正确； 对于C：设，且， 由，可得，则， 若，则或；若，则， 当，则， 当，则， 当，，则， 综上，，故D正确. 故选：BC. 【变式6-1】i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式6-2】复数满足（为虚数单位），则 . 【答案】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的公式计算即可. 【详解】因为复数满足，所以，所以， 故答案为： 【变式6-3】，是复数，下列说法正确的是（   ） A．若，则是纯虚数 B．若，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，设，由可得是纯虚数；对于B，由，互为共轭虚数可得，在复平面内对应的点关于实轴对称；对于C、D选项，举出反例即可判断. 【详解】对于A，设，则，则，解得且，所以是纯虚数，故A正确； 对于B，设，因为，互为共轭虚数，则，在复平面内对应的点，在复平面内对应的点，则，在复平面内对应的点关于实轴对称； 对于C，假设，，则，，，即，故C选项错误； 对于D， 假设，，则，，，即，但不都是实数，不能比较大小，不能得到，故D选项错误； 故选：AB 【变式6-4】下列命题是真命题的是（    ） A．对向量，，若，则或 B．对复数，，若，则或 C．对向量，，若，则 D．对复数，，若，则 【答案】BC 【分析】由平面向量数量积公式计算可判断A项，设出、，结合计算即可判断B项，由平面向量数量积公式可知计算可判断C项，举反例，可判断D项. 【详解】对于A项，因为， 所以或或，故A项错误； 对于B项，设（），（）， 则， 所以，解得或， 即或，故B项正确； 对于C项，因为， 所以，所以，故C项正确； 对于D项，若，，则满足， 但此时，故D项错误. 故选：BC. 【考点题型七】复数代数形式的除法运算 技巧：（1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式．②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【例7】已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 【变式7-1】已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】计算出，从而求出，以及的值. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故答案为：. 【变式7-2】如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若为“等部复数”，则实数的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】D 【分析】先运用复数的四则运算法则化简，再根据等部复数的定义列方程计算即得. 【详解】因，依题意得，. 故选：D. 【变式7-3】在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 【变式7-4】已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】已知是方程的一个根，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解. 【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根， 则，，解得， 所以. 故答案为：0 【变式8-1】已知复数满足. (1)求复数和； (2)若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【详解】（1）因为复数满足， 所以， 所以. 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 【变式8-2】已知复数（为虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A． B．复数的虚部为 C．若对应的向量为对应的向量为，则向量对应的复数为 D．若复数是关于的方程的一个根，则 【答案】ACD 【分析】A选项，根据模长公式进行计算；B选项，利用复数除法法则和虚部的概念得到B错误；C选项，根据复数的几何意义来判断；D选项，和均为方程的根，由韦达定理求解即可. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，故复数的虚部为，B错误； C选项，由题意，又，则向量， 故向量对应的复数为，C正确； D选项，若复数是关于的方程的一个根， 则，故和均为方程的根， 故， 所以， 故，，，D正确. 故选：ACD 【变式8-3】复数是方程的解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由方程解出,，代入所求式即得. 【详解】由方程得， 由求根公式可得， 不妨设，. 则， 故选：B 【变式8-4】已知复数z满足，且z是关于x的方程的一个根，则实数p，q的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及实系数多项式虚根成对定理，即可求解． 【详解】复数满足， 则， 是关于的方程的一个根， 则也是关于的方程的一个根， 故，解得． 故选：B． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$