专题08 复数的运算（期中复习讲义）高一数学下学期苏教版

专题08 复数的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数代数形式的加、减运算 题型02 复数加减法的几何意义 题型03 复数代数形式的乘法运算 题型04 复数代数形式的除法运算 题型05 在复数范围内解方程 题型06 共轭复数的概念及计算 题型07 求共轭复数的复数特征 题型08 复数的三角形式 题型09 复数乘、除运算的三角表示 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题； 高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆； 命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 共轭复数 1、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大 知识点01 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 易错点：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 易错点：复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 易错点：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点03 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 易错点：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 知识点04 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 易错点：（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身； （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点05 复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 易错点：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 知识点06 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 知识点07 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一 复数代数形式的加、减运算 解｜题｜技｜巧 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【典例1】已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的加法法则可得出复数的值. 【详解】因为复数，，则. 【变式1】设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则化简所求复数. 【详解】因为，则. 故选：C 【变式2】若复数满足，则________. 【答案】 【分析】根据复数运算求得正确答案. 【详解】. 故答案为：. 题型二 复数加减法的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数与向量的对应关系的两个关注点 1、复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． 2、一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【典例1】已知复数z满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据复数模的几何意义，转化为点到圆心的距离加半径可得最大值，减半径可得最小值即可. 【详解】表示对应的点是单位圆上的点， 的几何意义表示单位圆上的点和之间的距离， 的取值范围转化为点到圆心的距离加上半径可得最大值， 减去半径可得最小值， 所以最大距离为，最小距离为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    【变式1】若复数z满足，则|z|的最大值为______________． 【答案】14 【分析】利用复数的三角不等式即可求解. 【详解】因为， 所以， 即，所以， 所以|z|的最大值为14. 故答案为：14 【变式2】如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用复数的几何意义、向量的平行四边形法则即可得出． 【详解】∵ ， ∴ 对应的复数为：， ∴点对应的复数为． 故选D． 题型三 复数代数形式的乘法运算 答｜题｜模｜板 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【典例1】已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 【变式1】若复数是纯虚数，则实数___________． 【答案】2 【分析】首先根据复数乘法公式化简复数，再根据纯虚数的特征列式求解. 【详解】因， 要使其为纯虚数，需使且，解得． 故答案为：2 【变式2】若复数z的虚部小于0，且，则______． 【答案】-4 【分析】设且，根据，求出，再根据复数的乘方运算即可得解. 【详解】设且， 则， 所以，则或（舍去）， 所以（舍去）或， 所以， 故答案为： 题型四 复数代数形式的除法运算 答｜题｜模｜板 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【典例1】，则________. 【答案】 【详解】由已知， 所以 . 【变式1】的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 【变式2】（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 题型五 在复数范围内解方程 答｜题｜模｜板 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： 1、求根公式法：①当时， ②当时， 2、利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例1】设，，是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A． B．若，则 C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，设，， 则， 而． 所以，故A正确． 对于B，取，，，则，但，故B错误． 对于C，设，， 则．所以． 又 因此．故C正确． 对于D，取，则，，所以．故D错误．故选AC． 【变式1】（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用复数模及共轭复数的意义，结合复数相等求出，再利用复数除法运算求解. （2）利用除法运算，结合纯虚数的定义列式求解. 【详解】（1）设，代入方程， 得出， 因此，解得， 则，复数，所以所求虚部为1． （2），且为纯虚数，则且，所以． 【变式2】下面命题中正确的有____________个． （1）两个共轭复数的差是纯虚数； （2）若，则； （3）若，，且，则； （4）若，则． 【答案】0 【分析】先写出两共轭复数的代数形式，由代数形式进行作差运算即可分析判断（1）；通过举反例即可分析判断（2）（3）；先由其大小关系得到两数属性为实数，进而得到、的属性即可判断（4）. 【详解】（1）设互为共轭复数的两个复数分别为及， 则或， 当时，，是纯虚数， 当时，，，故（1）不正确； （2）若取，则，故（2）不正确； （3）若取，， 则，但，不能比较大小，故（3）不正确； （4），，故，都是虚数，不能比较大小，故（4）不正确． 综上，命题中正确的有0个. 题型六 共轭复数的概念及计算 【典例1】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 【变式1】若，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先通过复数的乘除运算将复数，化为的形式，再求共轭复数. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部是-1. 故选：C 【变式2】已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依据向量除法规则去求的值； （2）先求得a的值，再去求的值. 【详解】（1） （2）因为是纯虚数 所以，，所以， 所以： 题型七 求共轭复数的复数特征 【典例1】已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 【变式1】若为虚数单位，则计算__________. 【答案】 【分析】由虚数的周期性质结合并项求合法分组分析计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以 . 故答案为： 【变式2】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算法则和模长公式求解. 【详解】，，， 故选：B. 题型八 复数的三角形式 解｜题｜技｜巧 1、判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． 2、变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【典例1】已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 【变式1】任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【答案】ABD 【分析】根据复数三角函数形式即可判断A;通过解方程求解验证即可判断B,利用复数用三角函数形式表示复数，然后根据模的公式求出模，最后利用余弦函数的有界性求出范围即可判断C；根据复数的几何意义求出交点即可判断D; 【详解】对于A；由， 复数 位于第二象限，其辐角为， 所以，故A对； 由得或， 由得， 因为是方程的虚数根， 不妨设， 所以，故B对； 因为，令， 则 ， 又，故C错； 的解是单位圆上的 2025 次单位根， 即所有复数 z满足且辐角为，其中， 所以，这些点均匀分布在单位圆上， 令，所以是6 次单位根： ， 所以， 这些点是以 −1 为中心、半径为 1 的圆上的 6 个点， 因为， 所以，即， 在，中，满足的为：， 此时 或， 综上，满足条件的复数共2个；故D对； 故选：ABD 【变式2】下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法运算化简，再转化为三角形式，从而确定正确答案. 【详解】由题设， ， 故A，C，D错误，B正确． 故选：B 题型九 复数乘、除法运算的三角表示 答｜题｜模｜板 1、两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 2、两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【典例1】设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数三角形式的乘方运算，化简计算即可得到答案. 【详解】根据复数的三角形式，复数，模为，极角为， 则.又因为， 所以， 所以， ，所以. ， 故选：A 【变式1】如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 【答案】 【分析】设，先相继求出、、对应的复数，再求，由条件列方程求，由此可得结论； 【详解】设，设对应的复数为，对应的复数为，则， ， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以， 又，所以， 所以， 故答案为：. 【变式2】设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 【答案】ABC 【分析】A选项，方法一：计算出，进而得到，再计算出，得到；方法二：设，计算出；B选项，分别计算出； C选项，方法一：计算出，从而得到，，所以或或；方法二：设，由得到或，故C正确；D选项，举出反例即可. 【详解】A选项，方法一： ， ， 又 ， 方法二：设， 则， 故， 又，故，故A正确； B选项，， ， ， ∴，故B正确； C选项，方法一：， ，， 将①式两边乘以得，代入②式得或， 或或； 方法二：设， 且不恒等于0， ，即或，故C正确； D选项，当时，，但虚数与不能比较大小，故D不正确. 故选：ABC 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则______. 【答案】 【分析】先设出复数的实部与虚部，再根据共轭复数的定义求出，然后代入已知等式，根据复数相等的条件求出，最后根据复数的模的计算公式求出. 【详解】设，其中，可得. 代入，可得：， 所以即. 可得， 可得，. 可得. 可得：. 故答案为：. 2．已知是虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则 C．已知，则 D．若，，则的最小值为1 【答案】ABD 【分析】根据纯虚数定义列式求解判断A，根据复数的乘法及模长公式计算判断B，应用复数性质判断C，根据模长关系列式求解判断D. 【详解】对于A，若复数，为纯虚数，则且不是0，所以，A选项正确； 对于B，若，则，，B选项正确； 对于C，复数不能比较大小，C选项错误； 对于D，若，，则，当时取最小值为1，D选项正确； 故选：ABD. 3．已知，其中i是虚数单位，. (1)求； (2)设（），若，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据复数的四则运算化简已知复数，结合复数相等列方程组即可得的值； （2）根据复数复数模长关系转化证明即可. 【详解】（1）由复数的四则运算法则，得， 则解得； （2）证明：因为，，， 所以可化为， 即， 所以， 整理得，得证. 4．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）结合已知条件，根据复数的四则运算法则计算即可； （2）将z代入二次方程即可求出m的值． 【详解】（1）复数为虚数单位， ， ∴复数的共轭复数； （2）是关于的方程的一个虚根， ，整理得：， 则，且， 解得：． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）由题意得，化简后利用一元二次方程的求根公式求解即可； （2）①设，代入结合可求得其最小值；②由题意设，代入化简，再由，可得为实数，从而可得，进而可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意得，整理得， ； （2）①当时，，设， 因为，所以， ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为； ②设，则 因为存在实数，使得成立， 所以为实数，所以， 因为，所以， 当时，，符合题意， 此时，则， 所以的取值范围为 2．人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 【答案】(1)， ， ． (2)， ， ． 【分析】（1）根据题意，代入公式直接求解； （2）根据已知可得，令，则， 代入公式求解即可. 【详解】（1）一元三次方程， 可得，， ， ， ． （2），, 令，则， 此时，， ， ， ． 3．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据复数的概念及运算性质，以及共轭复数的性质和复数模的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A中，若，因为，则，可得， 设，则，所以A正确； 对于B中，由A得，设，若， 则， 只要或，选项B就不正确； 例如：，此时， 可表示为或， 所以表示方法不唯一，所以B错误. 对于C中，若，则，可得， 则，所以且， 设，则，其中， 则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍， 故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确. 对于D中，若，可得，同理， 由，即，可得， 即， 即，即， 即， 因为，所以成立， 所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 复数的运算（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 复数代数形式的加、减运算 题型02 复数加减法的几何意义 题型03 复数代数形式的乘法运算 题型04 复数代数形式的除法运算 题型05 在复数范围内解方程 题型06 共轭复数的概念及计算 题型07 求共轭复数的复数特征 题型08 复数的三角形式 题型09 复数乘、除运算的三角表示 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 复数的四则运算 1、能熟练掌握复数加减运算的法则，准确计算两个复数的和与差； 2、能运用乘法法则进行复数乘法运算，掌握共轭复数的性质并灵活运用； 3、能熟练进行复数除法运算（分母实数化），准确化简复数表达式； 4、能利用i的幂运算性质（iⁿ的周期性）求解简单问题 核心必考点，贯穿小题和解答题； 高频易错点：除法运算中分母实数化出错，i的幂运算记错周期性（i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1），共轭复数的概念混淆； 命题趋势：以运算化简为主，偶尔结合概念考查，解答题多为基础运算，难度适中 共轭复数 1、能准确求出一个复数的共轭复数，掌握共轭复数的运算性质； 3、能利用模与共轭复数的性质解决简单的求值、判断问题 中频考点，多与复数运算结合考查； 易错点：模的性质记忆不牢固；共轭复数的运算出错（如共轭复数的和差积商性质）；命题趋势：常作为运算题的中间步骤，或单独考查模的计算，难度不大 知识点01 复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 易错点：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 易错点：复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义：如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 易错点：要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点03 复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 易错点：（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 知识点04 共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 易错点：（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身； （2） 在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点05 复数的三角表达式 一般地，任何一个复数都可以表示成的形式．其中，是复数的模；是复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来叫做复数的代数表示式，简称代数形式． 易错点：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连 知识点06 复数三角形式的乘法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相乘，幅角相加 几何意义：把复数对应的向量绕原点逆时针旋转的一个辐角，长度乘以的模，所得向量对应的复数就是． 知识点07 复数三角形式的除法及其几何意义 设、的三角形式分别是：，． 则． 简记为：模数相除，幅角相减 几何意义：把复数对应的向量绕原点顺时针旋转的一个辐角，长度除以的模，所得向量对应的复数就是． 题型一 复数代数形式的加、减运算 解｜题｜技｜巧 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【典例1】已知复数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】设（其中为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式2】若复数满足，则________. 题型二 复数加减法的几何意义 解｜题｜技｜巧 复数与向量的对应关系的两个关注点 1、复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． 2、一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【典例1】已知复数z满足，则的取值范围为______． 【变式1】若复数z满足，则|z|的最大值为______________． 【变式2】如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（    ）． A． B． C． D． 题型三 复数代数形式的乘法运算 答｜题｜模｜板 （1）两个复数代数形式乘法的一般方法 ①首先按多项式的乘法展开． ②再将换成． ③然后再讲行复数的加、减运簯． （2）常用公式 ①． ②． ③． 【典例1】已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】若复数是纯虚数，则实数___________． 【变式2】若复数z的虚部小于0，且，则______． 题型四 复数代数形式的除法运算 答｜题｜模｜板 （1）两个复数代数形式的除法运算步骤 ①首先将除式写为分式． ②再将分子、分母同乘以分母的共轭复数． ③然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． （2）常用公式 ①；②；③． 【典例1】，则________. 【变式1】的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 题型五 在复数范围内解方程 答｜题｜模｜板 在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法： 1、求根公式法：①当时， ②当时， 2、利用复数相等的定义求解，设方程的根为， 将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解． 【典例1】设，，是复数，则下列命题中的真命题是（    ） A． B．若，则 C． D． 【变式1】（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 【变式2】下面命题中正确的有____________个． （1）两个共轭复数的差是纯虚数； （2）若，则； （3）若，，且，则； （4）若，则． 题型六 共轭复数的概念及计算 【典例1】复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【变式1】若，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知复数，. (1)求； (2)若满足为纯虚数，是z的共轭复数，求. 题型七 求共轭复数的复数特征 【典例1】已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【变式1】若为虚数单位，则计算__________. 【变式2】若，则（   ） A． B． C． D． 题型八 复数的三角形式 解｜题｜技｜巧 1、判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． 2、变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限（此处可假定θ为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”． 【典例1】已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【变式1】任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即，，．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为，，则（    ） A． B．是方程的虚数根，则 C．，则的范围为 D．满足的复数z有且只有2个 【变式2】下列复数与复数相等的是（    ） A． B． C． D． 题型九 复数乘、除法运算的三角表示 答｜题｜模｜板 1、两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 2、两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【典例1】设有复数，，令，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图1点，我们知道复数可用点表示.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍.如图2，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为.若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数__________. 【变式2】设复数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则或 D．若，则 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则______. 2．已知是虚数单位，下列说法正确的是（   ） A．若复数，为纯虚数，则 B．若，则 C．已知，则 D．若，，则的最小值为1 3．已知，其中i是虚数单位，. (1)求； (2)设（），若，证明：. 4．已知复数（为虚数单位）． (1)若，求复数的共轭复数及； (2)若是关于的方程的一个虚根，求实数的值． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数.已知复变函数，，. (1)当时，解关于的方程：； (2)当时， ①若，求的最小值； ②若存在实部不为0的虚数和实数，使得成立，求的取值范围. 2．人们把一元三次方程的求根公式称为卡尔达诺公式，该公式为：对不完全的一元三次方程的三个根分别为：，，，其中，． (1)求的三个根； (2)求的三个根． 3．设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（    ）. A．若，则是实数 B．若，则存在唯一实数对使得 C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线 D．若，则 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $