专题05菱形期中复习讲义(复习重点+核心题型+巩固提升)-2025-2026学年苏科版数学八年级下学期.

专题05菱形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.核心基础： 定义：有一组邻边相等的平行四边形（需掌握几何语言表述），菱形具备平行四边形全部基础性质。 2.必记性质： 重点掌握：四条边相等、对角线互相垂直且平分（平分一组对角），核心面积公式S=AC·BD。 3.求解关键： 利用四条边相等求边长、周长；结合勾股定理求对角线长度；优先用对角线乘积求面积，可借助平行线间距离简化计算。 4.高频题型： 判定类：判断四边形是否为菱形（牢记“平行四边形”前提）； 计算类：求边长、周长、面积及对角线长度； 拓展类：折叠问题、多图形综合（菱形与直角三角形、平行四边形结合）、最值计算，均为期中高频考查内容。 核心题型◆归纳 题型1利用菱形的性质求角度 题型2利用菱形的性质求线段长 题型3利用菱形的性质求面积 题型4利用菱形的性质证明 题型5添一个条件判定四边形是菱形 题型6菱形与平面直角坐标系的应用 题型7菱形与折叠问题 题型8根据菱形的性质与判定求解 题型9菱形与最值问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01菱形定义 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 补充：四条边都相等的四边形是菱形； 菱形是特殊的平行四边形，邻边相等。 知识点02菱形的性质 1.边：对边平行，四条边全相等. 几何语言：∵ABCD是菱形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=BC=CD=DA. 2.角：对角相等，邻角互补； 3.对角线：互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角. 几何语言：∵对角线AC、BD交于O，∴AO=OC、BO=OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）； 4.对称性：中心对称，对称中心为对角线交点；轴对称，有2条对称轴，即两条对角线所在直线。 5.推论：菱形对角线将其分成4个全等直角三角形，直角边为对角线的一半，斜边为菱形边长； 知识点03菱形判定方法 判定类型 判定定理 几何语言 边判定1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC∴四边形ABCD是菱形 边判定2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形是菱形 知识点04菱形的面积公式 1.通用公式：S=底×高 2.对角线公式：S=AC·BD 知识点05解题核心技巧 1.求边长、线段长：优先用对角线垂直，结合勾股定理计算； 2.求角度：利用对角线平分对角、邻角互补性质转化； 3.判定题型：先看已知条件，优先用“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”快速判定； 4.面积计算：已知对角线选对角线公式，已知底高选基础公式，灵活切换。 识点06易错点提醒 1.混淆菱形与矩形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等，不可记混； 2.判定逻辑错误：用“对角线互相垂直的四边形”直接判定菱形，忽略“平行四边形”前提； 3.面积计算误用：仅用底×高，忘记对角线乘积的一半公式，导致计算繁琐出错； 4.几何语言书写不规范：未先标注平行四边形，直接写邻边相等判定菱形。 题型解析◆精准备考 题型1利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 3．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 【答案】 【分析】连接，可得是等边三角形，由菱形的性质可得平分，继而可得． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∵菱形的边长， ∴，平分， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 题型2利用菱形的性质求线段长 1．如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与交于点，根据菱形的性质可得，，，利用勾股定理求出的长，再根据菱形的面积公式即可求出的长． 【详解】解：设与交于点， 四边形是菱形，，， ，，， 在中，， ， ， ． 2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，于点，若，则点到的距离为__________． 【答案】2 【分析】过点F作交于点G，利用菱形的性质得出平分，再根据角平分线的性质定理得出． 【详解】解：过点F作交于点G， ∵是菱形， ∴平分， ∵，， ∴． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为120，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，可证，，再证，从而可证四边形是平行四边形，再根据，即可求证； （2）根据菱形的性质和“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，可得，再根据菱形的面积公式“对角线之积的一半”，可得，从而，再根据勾股定理，可求，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：菱形， ，， ， ，即， ， ，即， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：菱形， 与互相平分，， ， ， ， ， 菱形的面积为120， ， ， ， 在中，， ， ． 题型3利用菱形的性质求面积 1．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 2．若菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的面积为_____． 【答案】120 【分析】利用菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，计算即可. 【详解】解：由题意，. 3．如下图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则菱形的面积？ 【答案】 【分析】根据菱形的性质易证是等边三角形，再利用勾股定理求出，则，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【详解】解：在菱形中，，， ，，，， 是等边三角形， ， ， 在中，， ， 菱形的面积=． 题型4利用菱形的性质证明 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对边平行且相等 【答案】B 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项对比，即可找出符合要求的选项． 【详解】解：A、菱形的四条边相等，矩形的四条边不一定相等，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线互相平分但不一定互相垂直，不符合题意； D、菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，不符合题意； 2．如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 【答案】5 【分析】如图，在的上方作，且使得，连接．证明，得到．易证．当三点共线时，取最小值，即为的长．即可求解． 【详解】如图，在的上方作，且使得，连接． ∵四边形是菱形，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当三点共线时，取最小值，即为的长． ∵的长为， ∴，即的长为． 3．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】利用菱形的性质，证明即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴， ∵在与中 ∴， ∴， ∴． 题型5添一个条件判定四边形是菱形 1．在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B．C．D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和特殊平行四边形的判定定理，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 对于A，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，A不符合要求； 对于B，∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，B不符合要求； 对于C，∵对角线相等的平行四边形是矩形，， ∴平行四边形为矩形，不一定是菱形，C符合要求； 对于D，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，D不符合要求． 2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得． 【详解】解： ①，不能作为构成菱形的条件； ②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； ③时，平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 3．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据菱形的判定依次进行证明即可； （2）根据菱形的性质得出，再由勾股定理得出，利用直角三角形斜边中线的性质即可求解 【详解】（1）解：选①作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选②平分作为条件 ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ③选作为条件， ∵在四边形中，对角线，相交于点，，． ∴四边形为平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：由（1）知：四边形是菱形 ∴且与互相平分 ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∵点为的中点， ∴． 题型6菱形与平面直角坐标系的应用 1．在平面直角坐标系中，点A为轴正半轴上一点，．按下述步骤画图：①以点为中心，将逆时针旋转，得到线段；②分别以点A、点为圆心，以长为半径作弧，两弧在第一象限交于点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图、坐标与图形变化-旋转、菱形的判定与性质等知识点，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 如图：连接，过点C作轴于点D，由作图过程可知，，可得四边形为菱形，则，，可得，，然后确定点C的坐标即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作轴于点D， 由作图过程可知，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D． 2．如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为______． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，利用勾股定理求出菱形边长为，利用行程问题中的相遇问题，根据两个点的速度，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：∵、关于原点O对称的点分别为C、D， ∴， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 根据题意设点N的速度为x，则点M的速度为， ∴点M和点N第1次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为，则点M在点上，坐标为； 点M和点N第2次相遇时，经过时间为，此时点M运动的路程为， ∵， ∴点M在点的三等分点上，且靠近点C， 如图，设相遇点为，过点作轴的垂线，垂足为，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 点M和点N第3次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点的三等分点上，且靠近点A， 如图，设相遇点为，同理得， 点M和点N第4次相遇时，同理得经过时间为，此时点M运动的路程为，点M在点上， ； 则点M和点N相遇点依次为， ∵， ∴点M和点N第2025次相遇时，相遇位置为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，勾股定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质及菱形的判定与性质，找到规律是解题的关键． 3．在平面直角坐标系中，点，如图，以点四点作矩形，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是________； (2)点E是轴一动点，连接，将沿翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形； ③在坐标平面内，是否存在这样的点F，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②见解析；③或或 【分析】本题是四边形的综合题，坐标与图形，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质等，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由题意可求得和的值，根据矩形的性质即可确定的坐标； （2）①根据折叠的性质得出，设，结合图形，利用勾股定理求解即可；②根据折叠的性质及平行四边形的判定证明即可；③分两种情况分析：当为对角线时，当为菱形的边时，分别作出图形，利用菱形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解： ，， 点，点， ∵矩形， 点， 故答案为：； （2）①∵沿翻折，点G落在对角线上， ∴， 设， ∵点，点， ∴， ∴， ∴， ∴即， 解得：， ∴， ∴； ②证明：是中点， ， 折叠， ，， ， ∴ ， ， ， ， ∵ 四边形是平行四边形； ③当为对角线时，如图所示， ∵菱形， ∴设， ∴即， 解得：， ∴， ∴； 当为菱形的边时，如图所示， 四边形为菱形， ∴， ∴； 四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， 设， ∴, ， 解得：， ∴ 综上可得：或或 ． 题型7菱形与折叠问题 1．把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 【答案】D 【分析】根据翻折的性质和菱形的性质可得答案． 【详解】解：为了得到一个锐角为的菱形， 菱形的内角度数为或， 根据菱形的对角线平分每一组对角得，或， 故选：D． 【点睛】本题考查了剪纸问题，翻折的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的对角线平分每一组对角． 2．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 【答案】 /度 或 【分析】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 翻折变换的性质及正方形的判定进行可得四边形是是菱形，据此分析从而得到最后答案． 【详解】解：（1）一张矩形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形． （2）有一个内角为的菱形，出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线， 故，a的值等于， 或是， 故答案为：（1）；（2）或. 3．在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 【答案】(1)详见解析；等腰三角形 (2) 【分析】（1）①由折叠得，，，由，得，得，所以，则，即可证明四边形为菱形； ②由，，点D是斜边的中点，得，，，而，，所以，，则，推导出，则是等腰三角形，于是得到问题的答案； （2）连接、，则，所以，而，则，所以，则，所以，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）①证明：由折叠得，，， ， ， ， ， ， 四边形为菱形． ②解：是等腰直角三角形，点D是斜边的中点， ，，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． （2）解：如图②，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定、勾股定理等知识，推导出是解题的关键． 题型8根据菱形的性质与判定求解 1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 【答案】66 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：由作图可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （）由得四边形是菱形，即得，，，再利用矩形的性质和勾股定理求出和即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型9菱形与最值问题 1．如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查图形旋转的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、菱形的性质、含有的直角三角形的性质．连接，过点作于点，证明，求出的大小，根据直角三角形边长关系求得的最小值为． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将绕点D逆时针旋转至， ∴， ，即， 连接，在和中，， ， ， ， ∴． 过点作于点， 则， ∴当点与点重合时，取最小值， 在中，，， ，， ， 在中，，， ， ∴最小值为． 故选：B． 2．如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为_________． 【答案】37 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，平行线的性质，轴对称−最短路线问题等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由折叠的性质可得，可证四边形是菱形，可得平分，由轴对称的性质可得，则，即当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， 作点P关于对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点B，点，点三点共线，且时，的值最小， 此时，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：37． 3．已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用含30度的直角三角形的性质求出，从而得到，利用勾股定理求出，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案； （2）过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点，连接，则，，当点与重合时，的值最小，当点与重合时，．再根据菱形性质和等腰直角三角形性质即可求得答案． 【详解】（1）解：，， 则，， ，， 在菱形中， ， 在中，， 点是线段的中点， ； （2）如图，过点在直线的上方作，分别过点、作于点，于点，交于点， 连接，则， 由菱形的性质可知，、关于直线对称， ， ， 当点与重合时，的值最小， 当点与重合时，． 当点与不重合时，． 四边形是菱形，， ， 又， ， ， ∴，则， ∵， ， 即的最小值是． 的最小值是． 【点睛】本题是菱形综合题，考查的是轴对称最短路径问题、点到直线的距离垂线段最短，菱形的性质、直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等，掌握轴对称最短路径的确定方法、灵活运用勾股定理是解题的关键． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，在菱形中，点是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键．由菱形的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 3．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 【答案】D 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解题关键，根据判定定理对各选项逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 选项A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故A结论正确，不符合题意； 选项B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此当时，四边形是菱形，故B结论正确，不符合题意； 选项C、有一个内角是直角的平行四边形是矩形，因此当时，四边形是矩形，故C结论正确，不符合题意； 选项D、对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，因此当时，四边形是矩形，不一定是正方形，故D结论错误，符合题意． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 二、填空题 5．如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 【答案】52 【分析】本题考查菱形的性质与勾股定理的应用，利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，再用勾股定理求出菱形的边长，最后根据菱形四边相等计算周长． 【详解】解：如图，四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， 菱形的周长为． 6．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】先证明是等边三角形，求出，，进而利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，交于O， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 7．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形面积公式． 根据菱形的性质和勾股定理求出，然后利用菱形的面积公式即可解决问题． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， 为的中点， ， 菱形的面积， 故答案为：． 8．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】 ②③ 【分析】先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，，， 当时， 四边形是矩形，不是菱形，则①不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则②符合题意； ∵且E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形，则③符合题意； 所以选择②③能使四边形是菱形． 三、解答题 9．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，利用菱形的判定定理即可得到四边形是菱形； （2）利用勾股定理求得，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是边上的高线，即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 10．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，可利用即可证明； （2）结合菱形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角得出，结合得出，根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线的性质得出，根据等角对等边得出，然后根据证明即可； （2）连接，证明四边形是平行四边形，得出，，再证明四边形是菱形，然后根据菱形的性质即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形， ∴平分． 12．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是菱形，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，勾股定理： （1）根据平行线的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，可证明四边形是平行四边形，再由，即可求证； （2）设，在中，利用勾股定理可得，连接，在中，利用勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： 如图，   ， ． 纸片沿折叠， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． （2）解：由（1）得， 设， 在中，， ∴， ∴， 解得：， 即， 连接，    在中，， ． ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05菱形期中复习讲义 期中复习◆重点 1.核心基础： 定义：有一组邻边相等的平行四边形（需掌握几何语言表述），菱形具备平行四边形全部基础性质。 2.必记性质： 重点掌握：四条边相等、对角线互相垂直且平分（平分一组对角），核心面积公式S=AC·BD。 3.求解关键： 利用四条边相等求边长、周长；结合勾股定理求对角线长度；优先用对角线乘积求面积，可借助平行线间距离简化计算。 4.高频题型： 判定类：判断四边形是否为菱形（牢记“平行四边形”前提）； 计算类：求边长、周长、面积及对角线长度； 拓展类：折叠问题、多图形综合（菱形与直角三角形、平行四边形结合）、最值计算，均为期中高频考查内容。 核心题型◆归纳 题型1利用菱形的性质求角度 题型2利用菱形的性质求线段长 题型3利用菱形的性质求面积 题型4利用菱形的性质证明 题型5添一个条件判定四边形是菱形 题型6菱形与平面直角坐标系的应用 题型7菱形与折叠问题 题型8根据菱形的性质与判定求解 题型9菱形与最值问题 题型10提升测试 重点知识◆梳理 知识点01菱形定义 1. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 补充：四条边都相等的四边形是菱形； 菱形是特殊的平行四边形，邻边相等。 知识点02菱形的性质 1.边：对边平行，四条边全相等. 几何语言：∵ABCD是菱形，∴AB∥CD、AD∥BC，AB=BC=CD=DA. 2.角：对角相等，邻角互补； 3.对角线：互相平分且垂直，每条对角线平分一组对角. 几何语言：∵对角线AC、BD交于O，∴AO=OC、BO=OD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC）； 4.对称性：中心对称，对称中心为对角线交点；轴对称，有2条对称轴，即两条对角线所在直线。 5.推论：菱形对角线将其分成4个全等直角三角形，直角边为对角线的一半，斜边为菱形边长； 知识点03菱形判定方法 判定类型 判定定理 几何语言 边判定1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AD=BC∴四边形ABCD是菱形 边判定2 四条边都相等的四边形是菱形 ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 对角线判定 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD∴四边形是菱形 知识点04菱形的面积公式 1.通用公式：S=底×高 2.对角线公式：S=AC·BD 知识点05解题核心技巧 1.求边长、线段长：优先用对角线垂直，结合勾股定理计算； 2.求角度：利用对角线平分对角、邻角互补性质转化； 3.判定题型：先看已知条件，优先用“平行四边形+邻边相等/对角线垂直”快速判定； 4.面积计算：已知对角线选对角线公式，已知底高选基础公式，灵活切换。 识点06易错点提醒 1.混淆菱形与矩形性质：菱形对角线垂直，矩形对角线相等，不可记混； 2.判定逻辑错误：用“对角线互相垂直的四边形”直接判定菱形，忽略“平行四边形”前提； 3.面积计算误用：仅用底×高，忘记对角线乘积的一半公式，导致计算繁琐出错； 4.几何语言书写不规范：未先标注平行四边形，直接写邻边相等判定菱形。 题型解析◆精准备考 题型1利用菱形的性质求角度 1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 3．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，求的度数． 题型2利用菱形的性质求线段长 1．如图，四边形是菱形，于，则等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点为对角线上一点，于点，若，则点到的距离为__________． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作的垂线，垂足为点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若菱形的面积为120，，求的长． 题型3利用菱形的性质求面积 1．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 2．若菱形的两条对角线长分别为和，则菱形的面积为_____． 3．如下图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则菱形的面积？ 题型4利用菱形的性质证明 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对边平行且相等 2．如图，在菱形中，，连接，点分别是边，对角线上的动点，且，连接，当取得最小值时，的长为__________． 3．如图，在菱形中，过点分别作于点，于点，连接． 求证：． 题型5添一个条件判定四边形是菱形 1．在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B．C．D． 2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 3．如图，在四边形中，对角线，相交于点，，． (1)从①，②平分，③中任选一个作为条件．求证：四边形是菱形； (2)在（1）的条件下，若，，点为的中点，连接，求的长． 题型6菱形与平面直角坐标系的应用 1．在平面直角坐标系中，点A为轴正半轴上一点，．按下述步骤画图：①以点为中心，将逆时针旋转，得到线段；②分别以点A、点为圆心，以长为半径作弧，两弧在第一象限交于点．则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，、关于原点O对称的点分别为C、D，点M从点B出发，按顺时针方向绕四边形的边运动，点N从点A出发，按逆时针方向绕四边形的边运动，若点M的速度是点N的速度的2倍，则点M和点N第2025次相遇时，点M的坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，点，如图，以点四点作矩形，且x、y满足． (1)矩形的顶点B的坐标是________； (2)点E是轴一动点，连接，将沿翻折，使点O落在点G处． ①如图1，若点G落在对角线上，求点E的坐标； ②如图2，若点E是线段的中点，连接并延长交于点H，求证：四边形是平行四边形； ③在坐标平面内，是否存在这样的点F，使得为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由． 题型7菱形与折叠问题 1．把一个长方形的纸片按如甲乙图形对折两次，然后剪下图丙中的①部分，为了得到一个锐角为30°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（    ） A．60°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．75°或15° 2．把一张矩形纸片按如图1的方式连续折叠两次，并沿图2中的虚线，将重叠的部分剪下来一个角，展开这个角后可以得到一个四边形，已知剪口与折痕的夹角为a． （1）当这个四边形是正方形时，a的值为______； （2）若这个四边形是有一个内角为的菱形，a的值为______． 3．在等腰直角三角形纸片中，点D是斜边的中点，，点E为上一点，将纸片沿折叠，点B的对应点为点，与交于点 (1)如图，连接、，若，则： 求证：四边形为菱形； 的形状为______； (2)如图，若与不平行，则的周长为______． 题型8根据菱形的性质与判定求解 1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，某同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则________． 3．如图，矩形中，，，点是对角线的中点，过点的直线分别交边于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 题型9菱形与最值问题 1．如图，在菱形中，，，对角线和交于点O，E为对角线上一动点，将绕点D逆时针旋转至，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 2．如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为_________． 3．已知在菱形中，． (1)如图1．过点作点，连接，点是线段的中点，连接，若，求线段的长度； (2)如图2，连接．若，点是对角线上的一个动点，求的最小值． 过关检测◆提升 一、单选题 1．如图，在菱形中，点是边上一点，，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，四边形是菱形； B．当时，四边形是菱形； C．当时，四边形是矩形； D．当时，四边形是正方形． 4．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 二、填空题 5．如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 6．如图，在菱形中，，，则菱形的面积为________． 7．方胜纹是中国传统纹样，寓意吉祥．如图①是一个刻有方胜纹的方胜盘，图②是方胜盘的示意图，菱形与菱形是完全相同的两个菱形，中间四边形也是菱形，若，，，为的中点，则四边形的面积为______． 8．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 三、解答题 9．如图，在中，，是边上的高线，延长到E，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 10．如图，点G在菱形纸板的对角线上，且，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． (1)求证：； (2)若，求“翼角”的度数． 11．如图，在中，点F为上一点，连接并延长到点E，使，连接，，连接交于点G．若． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 12．如图，在四边形纸片中，，，点是上一点，将纸片沿折叠，点恰好落在点处，连接．    (1)判断四边形的形状并证明； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $