专题04 排列与组合（期中复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题04 排列与组合（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 与排列数有关的运算 题型02 组合概念及组合数公式 题型03 相邻与不相邻问题 题型04 定序问题 题型05 分组分配问题 题型06 分堆问题 题型07 元素有限制的排列问题 题型08 全排列问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相邻与不相邻问题 掌握相邻捆绑不相邻插空，熟练解题 排列组合中相邻与不相邻问题是高频考点，多以选择填空出现，难度中等。常结合数字排列、座位排序、元素排布考查，侧重捆绑法、插空法基础应用。命题注重情景生活化，常与限制条件综合，强调分类分步逻辑。近年更倾向多条件叠加，考查思维严谨性与运算准确性，是必拿分题型，需熟练模型、规避重复遗漏，掌握通法即可稳定得分。 定序问题 掌握定序倍缩法，规范列式快速求解 定序问题是排列组合常考基础模型，多在选择、填空题中与相邻、分组问题结合考查，难度中等。核心考查“部分元素顺序固定”的排列处理，高频方法为倍缩法（总排列÷定序排列）。命题常设置座位、站队、数字排序等情景，侧重分步逻辑与公式应用。近年倾向多条件综合，强调思路简洁性，是提升解题速度的关键题型，熟练模型可避免复杂分类，稳定拿分。 分组分配问题 分清均分不均分，会分组能正确分配 分组分配是排列组合核心难点，选择填空常考，常与定序、不相邻综合。关键在区分平均分组、部分均分、非均分，平均分组需除序防重复。命题多以分物品、分人员、分任务为背景，侧重先分组再分配。近年更注重多限制条件叠加，考查分类讨论与逻辑严谨性，易因漏除序、重复计数失分。掌握模型与通法，能有效区分分组与分配，是突破中档题的关键。 分堆问题 辨清均分不均分，精准除序不重不漏 分堆问题是排列组合高频易错点，多以选择填空考查，常和分配问题结合命题。核心考点为平均分组、部分均分、非均匀分组，关键是平均分组必须除以组数的阶乘消序。命题常以分书本、分小球、分人员为情景，侧重分类与分步思想。近年命题趋向多条件叠加，易因忘记除序、重复计数失分。掌握分堆先定类型再计算的思路，能有效规避易错点，是稳定拿分的重要题型。 元素有限制的排列问题 紧抓特殊元素优先法，有序排列不重不漏 元素有限制的排列是排列组合必考题型，多以选择填空出现，难度中等偏上。常考特殊元素、特殊位置优先安排，如“在与不在”“邻与不邻”“首位末位限制”等情景。命题常结合数字排列、人员站队、座位安排，侧重分类讨论与分步计算。近年趋向多限制叠加，易因分类不全、重复计数出错。掌握优先法、间接法，思路清晰即可高效解题，是拉开计算速度的关键题型。 全排列问题 理解阶乘意义，熟练全排列公式与应用 全排列是排列组合的基础核心，多不单独命题，常作为相邻、定序、限制排列等综合题的基础步骤出现。核心为n个不同元素全排列数 Ann=n!，侧重阶乘运算与分步计数思想。命题多融入数字排列、站队排序等场景，常与特殊位置、元素限制结合考查。近年侧重基础运算与逻辑严谨性，熟练阶乘计算与全排列模型，是解决复杂排列题的前提，属于必须掌握的基础得分点。 知识点01 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． ·易错点：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点02 直线的方向向量和平面的法向量 排列数 1.排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2．排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． ·易错点：（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；（2）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。 知识点03 组合数及其公式 1.组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 2．组合数公式： (1)（、，且）(2)（、，且） ·易错点：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 知识点04 组合数的性质 性质1：（、，且） 性质2：（、，且） 知识点05 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 题型一 与排列数有关的运算 解｜题｜技｜巧 排列数运算核心是熟记公式与阶乘变形，优先约分简化计算，避免直接算大数阶乘。解题先判断是否有序，特殊元素、特殊位置优先排；相邻用捆绑法，不相邻用插空法，定序用倍缩法，分堆分配注意均分除序。多用间接法排除不符合情况，减少分类。多限制条件先分步再分类，防止重复或遗漏。计算时先化简再代入，灵活利用阶乘性质转换，提升速度与准确率，是快速突破排列选择填空的关键。 【典例1】求解下列问题： (1)解关于的不等式：； (2)化简：； 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据排列的含义求解不等式即可； （2）裂项得，再求和即可. 【详解】（1）依题意，有，可得，    由，得，即，    整理得，解得，所以，     又，得，所以的解集为. （2）由可得， 则． 所以． 【变式1】用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数. (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ 【答案】(1)300(2)156 【分析】（1）分含和不含两种情况分析，如果含，需先排这个特殊元素，再排列其他数字； （2）分末位是和末位不是两种情况进行排列. 【详解】（1）若这个四位数中含，则先从除千位外的三个位置中选一个排，再从其他5个元素中选3个在剩余位置排列， 共有种排法； 若这个四位数中不含，则从其他5个数字中选4个进行全排，共有种排法. 所以四位数共有个. （2）若个位是，则从其它5个数字中任选3个排列在剩余的三个位置，共有种排法； 若个位是或，则从其它4个不为的数字中选1个排在千位，再从除千位和个位所排数字之外的4个数中任选2个排在百位和十位， 共有种排法； 所以偶数共有个. 【变式2】小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，求得5个窗花的全排列，再求得春字在两端的种数，结合间接法，即可求解. 【详解】把5个窗花全排列有种情况，其中春字在两端的情况有种， 故春字不在两端的贴法有（种）． 题型二 组合概念及组合数公式 解｜题｜技｜巧 组合只关注选取不考虑顺序，核心公式为 常用性质 性质1：（、，且）性质2：（、，且） 简化运算。解题先分清有序排列、无序组合，避免混用。分组分堆、选人选物、抽取组合多用组合数，平均分组需除序消重。复杂问题多用间接法，先总后减不符合情况。多条件限制先分类再分步，计算优先约分，巧用性质降阶，减少大数运算。掌握组合本质与公式变形，能快速判断模型、规范列式，提升准确率与解题速度。 【典例1】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由组合公式判断A，B；由排列公式判断C；由组合性质，公式及排列公式判断D． 【详解】对于A，因为 ，故A错误； 对于B，因为， ，故B正确； 对于C，因为 ， ， 由此可得，故C错误； 对于D，因为， ， 所以，故D正确. 【典例2】若，则_______．（用数字作答） 【答案】 【详解】由组合数的性质结合得，解得， 则． 【变式1】（1）已知，；求的值； （2）解不等式. 【答案】（1）（2）不等式的解集为 【分析】（1）根据组合数的性质，先由，求得的值，代入，利用组合数的性质可得其值； （2）根据排列数的计算公式，化简可求得不等式的解集. 【详解】（1）由，得或， 所以或. 因为，所以. 所以. （2）由，得. 由，得，即， 即，即，解得， 因此，则， 即不等式的解集为. 题型三 相邻与不相邻问题 解｜题｜技｜巧 相邻元素用捆绑法，先将相邻元素视为一个整体参与全排列，再对整体内部元素自行排列。不相邻元素用插空法，先排无限制元素形成空位，再将不相邻元素插入空隙中。若同时存在相邻与不相邻条件，遵循“先捆绑、再排其他、最后插空”的顺序。遇到特殊位置或元素优先处理，必要时用间接法排除不符合情况。列式时注意分步相乘，分清排列与组合，避免重复或遗漏，熟练模型可快速准确求解。 【典例1】同学们为了艺术节准备了5个节目，分别是：舞蹈、小品、唱歌、朗诵、舞台剧，则下列说法正确的有（   ） A．若舞蹈，唱歌两节目相邻，则有48种不同的排法 B．若舞蹈，唱歌不相邻，则共有72种不同的排法 C．若舞蹈排在唱歌节目之前，则有60种不同的排法 D．若舞蹈，唱歌两节目相邻，朗诵和舞台剧也相邻，则有12种不同的排法 【答案】ABC 【详解】若舞蹈，唱歌两节目相邻，捆绑在一起看作一个元素，则共有种不同的排法，故A正确； 若舞蹈，唱歌不相邻，把舞蹈，唱歌放在余下的3个节目之间有4个空位中，则共有种不同的排法，故B正确； 若舞蹈排在唱歌节目之前，则有种不同的排法，故C正确； 若舞蹈，唱歌两节目相邻，朗诵和舞台剧也相邻，则有种不同的排法，故D错误. 【典例2】某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【答案】B 【分析】首先2名老师捆绑为一个元素和2名男同学全排列，再让女同学插空排列. 【详解】将2名老师作为一个元素和2名男男同学共3个元素全排列，共有种方法， 再让3名女同学插空，有种方法，所以满足条件的站法有种. 【变式1】某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 【答案】 【分析】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位，先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数，利用间接法可得结果. 【详解】将队伍从左向右依次按到编号，先将队长戊固定在号位， 先考虑甲和乙必须相邻的排法种数，将甲和乙捆绑，则甲、乙两人可排在号或号或号或号位， 所以甲、乙必须相邻的排法种数为， 接下来考虑甲和乙相邻，且丙和丁相邻的排法种数， 则甲、乙排在号或号位，有种排法， 丙、丁排在号或号位，有种排法， 或者丙、丁排在号或号位，甲、乙排在号或号位，剩余两人有种排法， 此时不同的排法种数为种， 由间接法可知队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数为种. 题型四 定序问题 解｜题｜技｜巧 定序问题核心技巧：部分元素顺序固定时，优先用倍缩法。先对所有元素做全排列，再除以定序元素的全排列，消除重复顺序。若多个元素分别定序，依次除以各组阶乘即可。也可先在总位置中选出定序元素的位置自动排好，再对剩余元素全排列。多条件综合题中，先处理定序，再结合相邻捆绑、不相邻插空。思路统一、计算简洁，能大幅减少分类讨论，避免重复计数，是快速解决排列定序题型的高效方法。 【典例1】甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【详解】当丙在最左端时，则甲只能站在从左至右的第二个位置， 则有种； 当丙不在最左端时，则只能丁、戊站最左端， 甲、丙必须相邻，将甲、丙捆绑， 则有种， 所以共有种不同的站法. 【典例2】如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】C 【分析】按第一行的染色分类，再计算对应第二行的染色数即可求解. 【详解】①第一行全蓝（蓝蓝蓝）：第一行无红色，第二行只需要满足自身相邻不能都红， 三个格子的染色共：1（全蓝）3（1个红）1（2个不相邻红）=5种； ②第一行只有第一个格子为红（红蓝蓝）：第二行第一个格子不能为红（和第一行第一个红相邻），第二行格式为（蓝XY）， 要求X、Y不都红，共3种符合要求的染色（蓝蓝蓝、蓝红蓝、蓝蓝红）； ③第一行只有中间格子为红（蓝红蓝）：第二行中间格子不能为红，第二行格式为（X蓝Y），X、Y无相邻限制，共种符合要求的染色； ④第一行只有第三个格子为红（蓝蓝红）：和第二种情况对称，共3种符合要求的染色； ⑤第一行两个红（红蓝红）：第二行第一、第三格子都不能为红，第二行格式为（蓝X蓝），X可红可蓝，共2种符合要求的染色； 所以总染色方法数：种. 【变式1】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的三位数，则其偶数的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】分个位数为与个位数为进行讨论即可得. 【详解】若个位数为，则需再从1，2，3中选出两个数字，共有种， 若个位数为，则百位从1，3中选出一个， 十位从及剩余数字中选出一个，共有种， 故共有种不同偶数. 题型五 分组分配问题 解｜题｜技｜巧 解题遵循先分组、再分配原则。分组时分清均匀分组、部分均匀、非均匀分组，均匀分组需除以对应组数阶乘消序，防止重复计数。分配问题按对象是否不同选择排列，对象不同用排列，对象相同用隔板法。多条件限制下先分类再分步，特殊元素优先安排。遇到复杂情景可采用间接法，先总后减。计算时先约分再运算，避免大数出错。牢记“均分必除序、分配看对象”，清晰分类、规范列式，即可高效解题、避免漏解重解。 【典例1】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的三位数，则其偶数的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】分个位数为与个位数为进行讨论即可得. 【详解】若个位数为，则需再从1，2，3中选出两个数字，共有种， 若个位数为，则百位从1，3中选出一个， 十位从及剩余数字中选出一个，共有种， 故共有种不同偶数. 【典例2】某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A．12 B．24 C．36 D．72 【答案】C 【详解】从4名党员中选出2人作为一组，剩余2人各成一组，分组方法数为组合数. 将分好的3组全排列，对应3个不同的社区，排列方法数为. 根据分步乘法计数原理，总安排方法数为种. 【变式1】2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自A省的2名代表和B省的2名代表，每名代表至少1张，邮票全部用完，则有___________种分配方法．（用数字作答） 【答案】1560 【详解】可分两类：第一类，按1，1，2，2分组，则有（种）分配方法； 第二类，按1，1，1，3分组，则有（种）分配方法. 由分类加法计数原理，共有（种）分配方法. 题型六 分堆问题 解｜题｜技｜巧 分堆核心是区分是否均匀，关键在均分除序。完全均匀分堆，要除以堆数的阶乘消去重复；部分均匀时，只对相同数量的堆除序；非均匀分堆直接组合，无需除序。解题先按数量分类，再依次选取组合，最后判断是否除序。多条件分堆先满足特殊限制，再常规分步。避免只组合不除序导致计数重复，也不漏看均匀类型。思路清晰、步骤规范，就能快速准确列式，是解决分堆易错题型的关键。 【典例1】中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480(2)360(3)540 【分析】（1）采用插空法，先排其余四科，再插空； （2）特殊的先排，再用分步乘法； （3）先分组后分配. 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 【典例2】用数字回答以下问题，并将答案写在显著位置. (1)用0、1、2、3、4、5六个数字 ①能排成几个可以有重复数字的三位数？ ②这6个数字组成没有重复数字的六位数、其中2与3之间恰有一个数字的个数是多少？ (2)泡泡玛特拉布布火遍全国，现有5个不同造型的拉布布A、B、C、D、E． ①把这5个拉布布装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有几种不同的装法？ ②店员想把这五只摆成一排，A不放最左边，但想让相邻，有多少种排法？ ③因数量有限，商铺共给出10个相同的购买名额分给相邻的3家店，给A店至少三个名额，给B店至少一个，可以不给C店，这样名额分配方式有多少种？ 【答案】(1)① ；② (2)① ；② ；③ 【分析】（1）①先确定百位选法，再确定十位和个位可重复的选法，最后根据分步乘法计数原理，得出总个数；②先确定、间隔位置及顺序，中间选数的选法，再确定剩余空位的选法，最后减去在首位的无效情况，进一步得出总个数. （2）①先确定分堆方式，用组合数算分堆情况，因有相同元素分组需除以重复排列数，再乘以全排列数得到不同分组方法，最后求和得总装法；②将相邻看作整体与其他元素排列，减去在最左的不符合情况，得到符合条件的排法；③用隔板法，通过变量代换将分配问题转化为非负整数解问题，利用组合数公式计算解的个数. 【详解】（1）①三位数的百位不能为，因此百位有种选择， 十位和个位可以重复，各有种选择，总个数为：， ②由题意可知：六位数中2、3间隔1个位置， 共有，，，共4组位置， 又因2、3可交换顺序，所以共种放法， 中间位置从剩余4个数字选1个，共种， 剩余3个空位全排列，共种， 减去0在首位的无效情况：0固定在首位， 剩余位置中符合条件的2、3位置共3组， 共种， 总个数为：. （2）①5个不同元素分3个非空不同组，只有两种分堆方式： 按分：， 按分：， 总装法：， ②相邻看作一个整体，共4个元素，总相邻排列为， 减去不符合情况：A在最左，仅当整体在首位且A在前， 剩余3个元素全排列共种，符合条件的排法：， ③相同元素分配用隔板法，设分配数为，，， 满足，，，， 令，，得（均为非负整数）， 非负整数解的个数为：. 【变式1】现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 【答案】AC 【分析】利用平均分组和不平均分组的相关公式进行求解 【详解】A选项，分给甲、乙两人，每人3本，有种分法，A正确； B选项，分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有种分法，B错误； C选项，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有种分法，C正确； D选项，分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有种，D错误 题型七 元素有限制的排列问题 解｜题｜技｜巧 优先采用特殊元素、特殊位置优先法，先排有约束的元素或位置，再处理无限制部分。相邻用捆绑，不相邻用插空，定序用倍缩法。条件复杂时用间接法，先算总排列再减去不符合条件的情况，减少分类。多限制条件要合理分步，不重不漏；元素相同注意去重，元素不同注意排序。遇到“在与不在”“邻与不邻”“首尾限制”等综合情景，统一先特殊后一般，先捆绑插空再整体排列，做到步骤清晰、列式规范，快速准确得出结果。 【典例1】某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【分析】由相邻问题捆绑法、不相邻插空法以及定序问题倍缩法即可求解判断ABC；由全排列减去甲5月1日值班以及乙5月5日值班的情况数，加上甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法即可求解判断D. 【详解】若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有种，A正确； 若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有种，B正确； 若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有种，C错误； 甲5月1日值班与乙5月5日值班不同的安排方法数之和为种，甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法有种， 所以若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有种，D正确. 【典例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【答案】(1)156(2)216(3)270 【分析】（1）由题意符合要求的四位偶数可分为三类：0在个位，2在个位，4在个位，对每一类分别计数再求它们的和即可得到无重复数字的四位偶数的个数； （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数与个位数字是5的五位数，分类计数再求它们的和； （3）由题意，符合要求的比1325大的四位数可分为三类，第一类，首位比1大的数，第二类首位是1，第二位比三大的数，第三类是前两位是13，第三位比2大的数，分类计数再求和． 【详解】（1）符合要求的四位偶数可分为三类： 第一类：0在个位时有个； 第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有种），十位和百位从余下的数字中选（有种），于是有个； 第三类：4在个位时，与第二类同理，也有个． 由分类加法计数原理知，共有四位偶数：个; （2）符合要求的数可分为两类：个位数上的数字是0的五位数有个； 个位数上的数字是5的五位数有个, 故满足条件的五位数的个数共有个； （3）符合要求的比1325大的四位数可分为三类： 第一类：形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共个； 第二类：形如14□□，15□□，共有个； 第三类：形如134□，135□，共有个； 由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：个． 【变式1】2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 【答案】(1)5040(2)720(3)480 【详解】（1）甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人， 即对七名志愿者进行全排列，则不同的排班方法有. （2）甲在第四天巡护，那么只需对其余六名志愿者进行全排列，则不同的排法有. （3）甲在第一天，那么只需对其余六名志愿者进行排列，乙丙不相邻，可采用插空法， 其余六名志愿者除乙丙之外的四人有种排法，这四人排好后形成5个空，再从这5个空中选2个空排乙丙，有种排法， 根据分步乘法计数原理，不同的排法有. 题型八 全排列问题 解｜题｜技｜巧 n个不同元素全排列公式为 Ann=n!，解题先判断元素是否互异，相同元素需去重。常作为基础步骤嵌入综合题，与相邻、不相邻、定序、限制排列结合使用。特殊元素优先排列，再对其余元素全排列；定序问题用总排列除以定序部分阶乘。计算时优先约分，避免直接计算大数阶乘，灵活运用阶乘变形简化运算。多条件综合题先分步处理限制条件，再整体全排列，做到有序列式、不重不漏，夯实基础可大幅提升解题速度。 【典例1】某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【答案】C 【分析】先排相邻的2道工序，再把它与其它3道工序作全排列，即可得. 【详解】由题意，把相邻的2道工序做排列，再把它与其它3道工序作全排， 所以加工顺序有种. 故选：C 【典例2】3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【答案】(1)144(2)960(3)4896 【分析】（1）利用分步乘法计数原理、排列计数问题列式计算. （2）按甲乙是否在第一排分类，结合不相邻问题列式求解. （3）结合（1）及已知，利用排除法列式求解. 【详解】（1）依题意，不同排法种数是. （2）甲乙都站在第一排，有种；甲乙都站在第二排，有种， 所以不同排法种数是. （3）7个人站7个位置的排列有种，其中语文小组成员站在一排的有， 所以不同站法种数是. 【变式1】为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 【答案】C 【分析】应用分步计数及排列数求不同的人员安排方案数. 【详解】先从5名男老师中任选2名负责陶艺和木工，则有种， 再从余下的6名老师中任选3名负责剪纸、面塑、扎染，则有种， 所以共有种. 故选：C 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 【答案】D 【详解】. 2．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 【答案】(1)是排列，理由见解析 (2)不是排列，理由见解析 (3)不是排列，理由见解析 (4)是排列，理由见解析 (5)是排列，理由见解析 【分析】（1）选出两个人参加两个不同的活动与顺序有关，所以是排列； （2）4名同学中选出2名参加一项活动，与顺序无关，所以不是排列； （3）选出两个三位数求和，交换两个结果不变，说明与顺序无关，不是排列； （4）选出两个互质的三位数求其商，交换两个数顺序，商的结果也不同，所以与顺序有关，所以是排列； （5）三名学生坐到4个空位，任意交换两个学生的位置，其结果也不相同，所以是排列. 【详解】（1）是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中． （2）不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分． （3）不是排列，因为选出的两个三位数求其和对顺序没有要求． （4）是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化， 且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列． （5）是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生． 3．排列的定义：从n个________对象中，任取个对象，按照一定的________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 【答案】 不同 顺序 【分析】结合排列的定义分析即可． 【详解】从n个不同对象中，任取个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 故答案为：不同；顺序． 4．一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 【答案】D 【分析】求六个互不相同的数的全排列即可. 【详解】六个互不相同的数的全排列共有个， 为使行中的任意两行都不重复，则需，故的最大值为720. 故选：D. 5．某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（    ） A．27 B．54 C．60 D．78 【答案】B 【详解】2人掌握的技艺类别不同的选法共有种. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 【答案】A 【详解】要求老师不能分开（即相邻），先把2位老师捆绑看作1个整体，两位老师内部不同顺序属于不同排法，内部排列数为 种； 将老师的整体与3名学生进行全排列，全排列数为种； 根据分步乘法计数原理，则不同的排法为 种. 2．若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 3．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 【答案】 【详解】若甲安排在星期五，则不同的安排方法有种， 若甲不安排在星期五，则不同的安排方法有种， 故不同的安排方法有种. 4．2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)24(2)16(3)144 【分析】（1）根据题意直接全排列即可； （2）根据题意利用分步乘法计数原理即可求得答案； （3）根据题意先选2人观看同一部电影，然后安排另外2人观看其余的3部电影即可． 【详解】（1）因为这4名同学选择观看的影片均不相同， 所以不同的选择方法共有种. （2）因为甲、乙2名同学选择观看的影片已确定， 所以其余2人观看影片的不同方法有种. （3）因为这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片， 所以不同的选择方法有种. 5．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 【答案】(1)243；(2)150；(3)12. 【分析】（1）利用分步乘法计数原理列式计算即得. （2）把5个小球按分组，再放入3个不同盒子即可. （3）按号盒子放3个球和放2个球分类，再求出每类的放法数即可. 【详解】（1）依题意，每个球有3种放法，所以不同放法种数是. （2）将5个球分成3组，有种方法，再将分成的3组放到3个不同盒子，有种放法， 所以每个盒子不空的不同放法种数是. （3）号盒子放3个球，且每个盒子不空，共有种放法； 号盒子放2个球，且每个盒子不空，将另3个球分成2组，放入余下两个盒子，共有种放法， 所以所求不同放法种数是. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A．144 B．114 C．94 D．72 【答案】B 【详解】现将5位同学分成三组有两种情况， 共有种方法， 再将这三组分给DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能，有种方法， 所以共有种方法， 若小李和小赵调研同一种模型，则有：， 所以若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为： 种方法. 2．某班计划从4名男生、3名女生中选2人分别报名参加春季运动会的跳高和短跑比赛，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的报名方法数为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，至少有一名男生，则有1男1女，共种选法， 或者2名男生，共种选法， 再对选出的两人进行排序，则一共有种选法，故A正确； 对于B，表示先从7人中随机选取2人，再减去2人都是女生的情况， 但最后未考虑两人的排序，故B错误； 对于C，表示先从7人中随机选取2人并排序， 再减去选取2名女生并排序的情况，剩余是至少有一名男生的情况，故C正确； 对于D，，对于选取两名男生的情况重复计算，故D错误． 3．某985大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“复变函数”“初等代数”“微分几何”“泛函分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院学生大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，并且每位同学每学年至多选3门，则每位同学的不同选修方式有（   ） A．150种 B．210种 C．300种 D．540种 【答案】B 【分析】分有一年选择三门，一年选择两门、有一年选择三门，另外两年各选一门及有一年选择一门，另外两年各选两门进行讨论即可得. 【详解】若有一年选择三门，有一年选择两门，则共有种， 若有一年选择三门，另外两年各选一门，则共有种， 若有一年选择一门，另外两年各选两门，则共有种， 故每位同学的不同选修方式有种. 4．某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 【答案】(1)2880(2)384 【详解】（1）先把4位学生看作1个元素，再与4位学生的爸爸进行排列，排法种数为， 4个学生之间再进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得学生站在一起的排法种数为． （2）先把每对父子看作1个元素进行排列，排法种数为， 再把每对父子进行排列，排法种数为， 由分步乘法计数原理可得每对父子都不分开的排法种数为． 5．3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为__________，2位老师相邻的排法种数为__________.（用数字填写） 【答案】 72 48 【分析】第一空可由插空法求解，第二空可由捆绑法求解。 【详解】2位老师不相邻时， 3名学生的排列方法有种，再将2位老师插空，有种排法， 总的排法种数为； 2位老师相邻时， 把2位老师捆绑成一个整体，再与3名学生全排列，排法种数为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 排列与组合（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 与排列数有关的运算 题型02 组合概念及组合数公式 题型03 相邻与不相邻问题 题型04 定序问题 题型05 分组分配问题 题型06 分堆问题 题型07 元素有限制的排列问题 题型08 全排列问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 相邻与不相邻问题 掌握相邻捆绑不相邻插空，熟练解题 排列组合中相邻与不相邻问题是高频考点，多以选择填空出现，难度中等。常结合数字排列、座位排序、元素排布考查，侧重捆绑法、插空法基础应用。命题注重情景生活化，常与限制条件综合，强调分类分步逻辑。近年更倾向多条件叠加，考查思维严谨性与运算准确性，是必拿分题型，需熟练模型、规避重复遗漏，掌握通法即可稳定得分。 定序问题 掌握定序倍缩法，规范列式快速求解 定序问题是排列组合常考基础模型，多在选择、填空题中与相邻、分组问题结合考查，难度中等。核心考查“部分元素顺序固定”的排列处理，高频方法为倍缩法（总排列÷定序排列）。命题常设置座位、站队、数字排序等情景，侧重分步逻辑与公式应用。近年倾向多条件综合，强调思路简洁性，是提升解题速度的关键题型，熟练模型可避免复杂分类，稳定拿分。 分组分配问题 分清均分不均分，会分组能正确分配 分组分配是排列组合核心难点，选择填空常考，常与定序、不相邻综合。关键在区分平均分组、部分均分、非均分，平均分组需除序防重复。命题多以分物品、分人员、分任务为背景，侧重先分组再分配。近年更注重多限制条件叠加，考查分类讨论与逻辑严谨性，易因漏除序、重复计数失分。掌握模型与通法，能有效区分分组与分配，是突破中档题的关键。 分堆问题 辨清均分不均分，精准除序不重不漏 分堆问题是排列组合高频易错点，多以选择填空考查，常和分配问题结合命题。核心考点为平均分组、部分均分、非均匀分组，关键是平均分组必须除以组数的阶乘消序。命题常以分书本、分小球、分人员为情景，侧重分类与分步思想。近年命题趋向多条件叠加，易因忘记除序、重复计数失分。掌握分堆先定类型再计算的思路，能有效规避易错点，是稳定拿分的重要题型。 元素有限制的排列问题 紧抓特殊元素优先法，有序排列不重不漏 元素有限制的排列是排列组合必考题型，多以选择填空出现，难度中等偏上。常考特殊元素、特殊位置优先安排，如“在与不在”“邻与不邻”“首位末位限制”等情景。命题常结合数字排列、人员站队、座位安排，侧重分类讨论与分步计算。近年趋向多限制叠加，易因分类不全、重复计数出错。掌握优先法、间接法，思路清晰即可高效解题，是拉开计算速度的关键题型。 全排列问题 理解阶乘意义，熟练全排列公式与应用 全排列是排列组合的基础核心，多不单独命题，常作为相邻、定序、限制排列等综合题的基础步骤出现。核心为n个不同元素全排列数 Ann=n!，侧重阶乘运算与分步计数思想。命题多融入数字排列、站队排序等场景，常与特殊位置、元素限制结合考查。近年侧重基础运算与逻辑严谨性，熟练阶乘计算与全排列模型，是解决复杂排列题的前提，属于必须掌握的基础得分点。 知识点01 排列的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． ·易错点：（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列． 知识点02 直线的方向向量和平面的法向量 排列数 1.排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示. 2．排列数公式 ，其中n，m∈N+，且m≤n． ·易错点：（1）“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；（2）公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数。 知识点03 组合数及其公式 1.组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作． 2．组合数公式： (1)（、，且）(2)（、，且） ·易错点：“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数．“组合”与“组合数”是两个不同的概念：一个组合是指“从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数”，它是一个数． 知识点04 组合数的性质 性质1：（、，且） 性质2：（、，且） 知识点05 组合问题常见题型 （1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取． （2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． （3）分堆问题①平均分堆，其分法数为：．②分堆但不平均，其分法数为． （4）定序问题．对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列． （5）相同元素分组问题用“隔板法”： 题型一 与排列数有关的运算 解｜题｜技｜巧 排列数运算核心是熟记公式与阶乘变形，优先约分简化计算，避免直接算大数阶乘。解题先判断是否有序，特殊元素、特殊位置优先排；相邻用捆绑法，不相邻用插空法，定序用倍缩法，分堆分配注意均分除序。多用间接法排除不符合情况，减少分类。多限制条件先分步再分类，防止重复或遗漏。计算时先化简再代入，灵活利用阶乘性质转换，提升速度与准确率，是快速突破排列选择填空的关键。 【典例1】求解下列问题： (1)解关于的不等式：； (2)化简：； 【变式1】用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数. (1)四位数共有多少个？ (2)偶数共有多少个？ 【变式2】小明家过年贴窗花，要把马、到、成、功、春五个字贴成一排，则春字不在两端的贴法有（   ） A．96种 B．72种 C．60种 D．48种 题型二 组合概念及组合数公式 解｜题｜技｜巧 组合只关注选取不考虑顺序，核心公式为 常用性质 性质1：（、，且）性质2：（、，且） 简化运算。解题先分清有序排列、无序组合，避免混用。分组分堆、选人选物、抽取组合多用组合数，平均分组需除序消重。复杂问题多用间接法，先总后减不符合情况。多条件限制先分类再分步，计算优先约分，巧用性质降阶，减少大数运算。掌握组合本质与公式变形，能快速判断模型、规范列式，提升准确率与解题速度。 【典例1】若，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】若，则_______．（用数字作答） 【变式1】（1）已知，；求的值； （2）解不等式. 题型三 相邻与不相邻问题 解｜题｜技｜巧 相邻元素用捆绑法，先将相邻元素视为一个整体参与全排列，再对整体内部元素自行排列。不相邻元素用插空法，先排无限制元素形成空位，再将不相邻元素插入空隙中。若同时存在相邻与不相邻条件，遵循“先捆绑、再排其他、最后插空”的顺序。遇到特殊位置或元素优先处理，必要时用间接法排除不符合情况。列式时注意分步相乘，分清排列与组合，避免重复或遗漏，熟练模型可快速准确求解。 【典例1】同学们为了艺术节准备了5个节目，分别是：舞蹈、小品、唱歌、朗诵、舞台剧，则下列说法正确的有（   ） A．若舞蹈，唱歌两节目相邻，则有48种不同的排法 B．若舞蹈，唱歌不相邻，则共有72种不同的排法 C．若舞蹈排在唱歌节目之前，则有60种不同的排法 D．若舞蹈，唱歌两节目相邻，朗诵和舞台剧也相邻，则有12种不同的排法 【典例2】某演讲比赛结束后，2名男同学、3名女同学和2位老师站成一排拍照留念，则2位老师相邻，且3名女同学不相邻的站法有（    ） A．264种 B．288种 C．312种 D．336种 【变式1】某年六月，“青松”团队的名成员（含队长“戊”）相约赏荷，人站在荷花池边排成一排合影留念，其中队长戊必须站在正中间，甲和乙必须相邻，丙和丁不能相邻，则符合条件的排法种数有______种（用数字作答）. 题型四 定序问题 解｜题｜技｜巧 定序问题核心技巧：部分元素顺序固定时，优先用倍缩法。先对所有元素做全排列，再除以定序元素的全排列，消除重复顺序。若多个元素分别定序，依次除以各组阶乘即可。也可先在总位置中选出定序元素的位置自动排好，再对剩余元素全排列。多条件综合题中，先处理定序，再结合相邻捆绑、不相邻插空。思路统一、计算简洁，能大幅减少分类讨论，避免重复计数，是快速解决排列定序题型的高效方法。 【典例1】甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站最左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有（   ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【典例2】如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【变式1】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的三位数，则其偶数的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 题型五 分组分配问题 解｜题｜技｜巧 解题遵循先分组、再分配原则。分组时分清均匀分组、部分均匀、非均匀分组，均匀分组需除以对应组数阶乘消序，防止重复计数。分配问题按对象是否不同选择排列，对象不同用排列，对象相同用隔板法。多条件限制下先分类再分步，特殊元素优先安排。遇到复杂情景可采用间接法，先总后减。计算时先约分再运算，避免大数出错。牢记“均分必除序、分配看对象”，清晰分类、规范列式，即可高效解题、避免漏解重解。 【典例1】用数字0，1，2，3组成没有重复数字的三位数，则其偶数的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【典例2】某中学第一党支部拟选4名党员到三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有（　　）种 A．12 B．24 C．36 D．72 【变式1】2023年3月13日，第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕，为记录这一历史时刻，会务组将6张不同的纪念邮票分配给来自A省的2名代表和B省的2名代表，每名代表至少1张，邮票全部用完，则有___________种分配方法．（用数字作答） 题型六 分堆问题 解｜题｜技｜巧 分堆核心是区分是否均匀，关键在均分除序。完全均匀分堆，要除以堆数的阶乘消去重复；部分均匀时，只对相同数量的堆除序；非均匀分堆直接组合，无需除序。解题先按数量分类，再依次选取组合，最后判断是否除序。多条件分堆先满足特殊限制，再常规分步。避免只组合不除序导致计数重复，也不漏看均匀类型。思路清晰、步骤规范，就能快速准确列式，是解决分堆易错题型的关键。 【典例1】中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【典例2】用数字回答以下问题，并将答案写在显著位置. (1)用0、1、2、3、4、5六个数字 ①能排成几个可以有重复数字的三位数？ ②这6个数字组成没有重复数字的六位数、其中2与3之间恰有一个数字的个数是多少？ (2)泡泡玛特拉布布火遍全国，现有5个不同造型的拉布布A、B、C、D、E． ①把这5个拉布布装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有几种不同的装法？ ②店员想把这五只摆成一排，A不放最左边，但想让相邻，有多少种排法？ ③因数量有限，商铺共给出10个相同的购买名额分给相邻的3家店，给A店至少三个名额，给B店至少一个，可以不给C店，这样名额分配方式有多少种？ 【变式1】现有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙两人，每人3本，有20种分法 B．分给甲、乙两人，一人4本，一人2本，有15种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法 题型七 元素有限制的排列问题 解｜题｜技｜巧 优先采用特殊元素、特殊位置优先法，先排有约束的元素或位置，再处理无限制部分。相邻用捆绑，不相邻用插空，定序用倍缩法。条件复杂时用间接法，先算总排列再减去不符合条件的情况，减少分类。多限制条件要合理分步，不重不漏；元素相同注意去重，元素不同注意排序。遇到“在与不在”“邻与不邻”“首尾限制”等综合情景，统一先特殊后一般，先捆绑插空再整体排列，做到步骤清晰、列式规范，快速准确得出结果。 【典例1】某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 【典例2】用0，1，2，3，4，5这六个数字： (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？ (2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？ (3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？ 【变式1】2026年元宵节以后，银川市兴庆区北塔湖迎来了从远方迁徙而来的大批红嘴鸥，碧水鸥影的生态美景吸引了众多市民前来打卡，为了更好地保护红嘴鸥，部分市民自发组织巡护红嘴鸥.已知甲、乙、丙等七名志愿者计划巡护红嘴鸥七天，每人巡护一天，每天一人(用数字作答)； (1)甲、乙、丙等七名志愿者，一共有多少种不同的排班方法? (2)甲在第四天巡护的不同排法有多少种? (3)7天中，甲在第一天，乙丙不相邻的不同排法有多少种? 题型八 全排列问题 解｜题｜技｜巧 n个不同元素全排列公式为 Ann=n!，解题先判断元素是否互异，相同元素需去重。常作为基础步骤嵌入综合题，与相邻、不相邻、定序、限制排列结合使用。特殊元素优先排列，再对其余元素全排列；定序问题用总排列除以定序部分阶乘。计算时优先约分，避免直接计算大数阶乘，灵活运用阶乘变形简化运算。多条件综合题先分步处理限制条件，再整体全排列，做到有序列式、不重不漏，夯实基础可大幅提升解题速度。 【典例1】某种产品的加工需要经过5道不同工序，如果指定其中某2道工序必须相邻，那么加工顺序共有（    ） A．96种 B．72种 C．48种 D．36种 【典例2】3名数学小组成员（包括甲、乙）和4名语文小组成员站成两排拍照，第一排站3人，第二排站4人. (1)若数学小组成员站在第一排，语文小组成员站在第二排，求不同的排法种数； (2)若甲、乙站在同一排且不相邻，求不同的排法种数； (3)若语文小组成员分成两排站（每排至少站1人），求不同的排法种数. 【变式1】为打造特色校园文化，某学校计划在艺术节期间举办“创意工坊”活动，提供陶艺、木工、剪纸、面塑、扎染5种手工体验项目．现从8名美术老师中任选5人分别负责一个项目，且要求负责陶艺和木工的老师是男老师，已知这8名老师中有5名男老师，3名女老师，则不同的人员安排方案有（   ） A．1200种 B．1800种 C．2400种 D．3600种 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.的值是（    ） A．3 B．6 C．15 D．18 2．判断下列问题是不是排列问题，并说明理由． (1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A，另一名同学参加活动B； (2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动； (3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和； (4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商； (5)高二（1）班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上． 3．排列的定义：从n个________对象中，任取个对象，按照一定的________排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列． 4．一个数阵有行6列，第一行的六个数互不相同，其余行都由这六个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，则的最大值是（    ） A．119 B．120 C．719 D．720 5．某非遗手工作坊中有剪纸艺人3人，刺绣艺人4人，木雕艺人6人，每人均只会一种技艺类别，现从中选取2人担任联合展示嘉宾，且这2人掌握的技艺类别不同，则不同的选法种数为（    ） A．27 B．54 C．60 D．78 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有（ ） A．48种 B．12种 C．36种 D．24种 2．若为正整数，则等于（   ） A． B． C． D． 3．现有甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者报名参加公益活动，在某星期的星期一到星期五每天安排1人参加公益活动，且每人只参加一天，甲要求不安排在星期一，戊要求不安排在星期五，则不同的安排方式共有__________种． 4．2025年春节期间，全国各大影院热映《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《封神2》、《射雕英雄传》4部优秀的影片．现有4名同学，每人选择这4部影片中的1部观看． (1)如果这4名同学选择观看的影片均不相同，那么共有多少种不同的选择方法？ (2)如果这4名同学中的甲、乙2名同学分别选择观看影片《哪吒之魔童闹海》、《封神2》，那么共有多少种不同的选择方法？ (3)如果这4名同学中恰有2名同学选择观看同一部影片，那么共有多少种不同的选择方法？ 5．有标号为1，2，3，4，5的五个不同的小球，标号为，，的三个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内. (1)共有多少种不同的放法？ (2)若每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ (3)若标号为1，2的两个小球必须放号盒子，每个盒子不空，则共有多少种不同的放法？ （注意：请写出式子再写计算结果） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（   ） A．144 B．114 C．94 D．72 2．某班计划从4名男生、3名女生中选2人分别报名参加春季运动会的跳高和短跑比赛，要求选出的2人中至少有一名男生，则不同的报名方法数为（    ） A． B． C． D． 3．某985大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“复变函数”“初等代数”“微分几何”“泛函分析”“拓扑学”五门选修课程，要求学院学生大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，并且每位同学每学年至多选3门，则每位同学的不同选修方式有（   ） A．150种 B．210种 C．300种 D．540种 4．某学校高中部举行成人礼仪式，邀请学生家长参加，仪式后，4位学生与这4位学生的爸爸站成一排照相． (1)如果要求4位学生站在一起，那么这8人有多少种不同的排法？ (2)如果要求每对父子都不分开，那么这8人有多少种不同的排法？ 5．3名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为__________，2位老师相邻的排法种数为__________.（用数字填写） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $