专题02 空间向量坐标运算及应用（期中复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题02 空间向量坐标运算及应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间向量及其运算的坐标表示 题型02 求平面的法向量 题型03 利用向量研究平行问题 题型04 利用向量研究垂直问题 题型05 异面直线所成的角 题型06 线面角 题型07 二面角 题型08 距离问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的坐标表示 给定直角坐标系，求相关点的空间坐标 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 求平面的法向量 待定系数法 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 利用向量研究平行问题 线线平行 线面平行 面面平行 线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 利用向量研究垂直问题 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． 线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 异面直线所成的角 立体几何方法与空间向量求异面直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角 牢记公式 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 距离问题 求点面距的一般步骤 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 知识点01 空间向量及其运算的坐标表示 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② ·易错点：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 ①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 知识点02 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． ·易错点：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 知识点03 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点04 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点05 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． ·易错点：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 知识点06 用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一 空间向量的坐标表示 解｜题｜技｜巧 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【典例1】向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为. 【变式1】已知点，，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得， 所以. 【变式2】已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【答案】B 【详解】根据题意，， 则. 题型二 求平面的法向量 解｜题｜技｜巧 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【典例1】在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面经过点，且法向量为，则平面方程为求解即可. 【详解】结合题意，由平面的点法式方程可得，即，故A正确. 【典例2】若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 题型三 利用向量研究平行问题 解｜题｜技｜巧 （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【典例1】在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面ABC的法向量为，根据法向量的定义计算. 【详解】由题意得，，， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则， 则是平面ABC的一个法向量. 故选：D 【典例2】如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得向量和的坐标，得到，即可证得． （2）求得向量和平面的法向量，得到，即可证得平面． 【详解】（1）证明：正四棱锥的侧棱长与底边长都为， 可得，且， 由点， 则， 因为， 所以，所以． （2）解：由点，可得 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 又由点，可得， 则， 又因为平面，所以平面． 【变式1】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 【答案】证明见解析 【分析】先根据题设建立适当空间直角坐标系，求证出为的中点时，进而得，再利用线面平行判定定理和面面平行判定定理即可证明结论． 【详解】已知底面是正方形，平面，故可以为坐标原点，建立如下图所示空间直角坐标系， 则由题可得， ， 令，则， 所以即， 当时，为的中点， 此时， ，所以即， 所以，又平面，在平面外， 平面，平面， 又，平面， 平面平面． 题型四 利用向量研究垂直问题 解｜题｜技｜巧 （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例1】如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【典例2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【分析】过点作直线，交直线于点，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量关系证明平面平面. 【详解】过点作直线，交直线于点， 则，，所以． 以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，． ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，． 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以平面平面． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法判断两条直线的垂直关系可得. 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 所以，，，，则，． 因为， 所以，即． 题型五 异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【典例1】在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 【答案】CD 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出相关点坐标，利用向量数量积的运算可判断A；求出平面的法向量，根据空间位置关系的向量判断方法可判断B；根据空间角的向量求法可判断CD. 【详解】如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设， 则， ，， 故不垂直，A错误； 设平面的法向量为，, 则，可取，而， ，故和平面不平行，B错误； ，，, 设异面直线与所成角为，则，， 则，C正确； 设平面的法向量为，,， 则，可取，而， 则， 则直线与平面所成角的正弦值为， 故直线与平面所成角为，D正确. 【典例2】在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 【答案】AC 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，即， 选项A，时，，， 则，所以，A正确； 选项BC，，， 由，所以，所以， 由平面的一个法向量是， 则， 设直线与平面所成角为，则， 由，则，则，，B错误、C正确； 选项D，，，，， 令，则， 又，∴，即点存在，D错误. 【变式1】在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 【答案】AC 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断直线垂直，求线段长，线面角、异面直线所成的角，从而判断各选项． 【详解】如图，以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 由得，即， 选项A，时，，， 则，所以，A正确； 选项BC，，， 由，所以，所以， 由平面的一个法向量是， 则， 设直线与平面所成角为，则， 由，则，则，，B错误、C正确； 选项D，，，，， 令，则， 又，∴，即点存在，D错误. 题型六 线面角 解｜题｜技｜巧 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【典例1】如图，在几何体中，，四边形是边长为1的正方形，，点是棱上与不重合的点． (1)证明：平面平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）可由线面垂直推出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，转化成求直线方向向量与平面的法向量所成角来求解. 【详解】（1）（1）证明：由， 得，所以． 又，所以． 在正方形中，， 因为，所以． 又平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）（2）解：由（1）得，，两两垂直， 以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 如图所示， 则， 所以， 设，则， 所以，解得，即． 设平面的一个法向量为，则即 取，得． 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【典例2】如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）结合已知条件证明，，根据线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出与平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. （3）设，求出、，根据线线角的向量求法求出，结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）因为，，，所以，. 又，，所以，. 因为，所以， 又，，所以，则. 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以. 又，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）设，其中. 则，，， 所以. 令，则，， 当时，单调递增， 故当时，取最大值，此时. 故的最大值为. 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． (1)求证：平面平面； (2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明即可. （2）取的中点，结合为直角三角形，得到平面.建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用即可求出点坐标及外接球半径. （3）求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，，， 在中，. 又，所以为正三角形，所以. 又为正三角形，则，. 又，，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面． （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 取的中点，则. 在中，外接圆的圆心为的中点，连接，则平面， 设， 则外接球的半径，即， 解得，所以，. 故三棱锥外接球的半径． （3）由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， 设直线与平面所成角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为. 题型七 二面角 解｜题｜技｜巧 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 【典例1】如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先取线段的中点，线段靠近点的四等分点，再证明四边形为平行四边形，进而得出，进而由线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面及平面的法向量，利用二面角余弦公式计算，最后再由同角三角函数关系计算求解. 【详解】（1）取线段的中点，线段靠近点的四等分点， 连接，如图， 是的中点，，且，即， 又，且， ，且四边形为平行四边形， ， 平面平面， 平面. （2）已知平面，，则，两两垂直， 以C为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，又，则， 又是的中点，， 则， . 设平面的一个法向量为， 则，令，得. 取平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， ， 即平面与平面的夹角的正弦值为. 【典例2】如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. (1)证明：//平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值. 【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且相等； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2）设到平面的距离为， 则，故． 由于垂直于平面，建立如图的空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得， 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 【变式1】如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. (1)证明：//平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，证明为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求出； （2）先根据体积求出点到平面的距离，再建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，代入公式即可求出最大值. 【详解】（1）取的中点，连接，， ，分别是和的中点，与平行且相等； 和都垂直于平面，且，与平行且相等， 与平行且相等，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面． （2）设到平面的距离为， 则，故． 由于垂直于平面，建立如图的空间直角坐标系， ，， ，，，， 设，则， ，， 设平面的法向量为，则由得， 取，得，，因此平面的一个法向量． 由于垂直于平面，因此是平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 则， ∴平面与平面夹角的余弦值的最大值为． 题型八 距离问题 解｜题｜技｜巧 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例1】如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧，点恰好为正方形的中心，以为坐标原点，建立空间直角坐标系计算即可. 【详解】取的中点，连接，，因为底面是菱形，且， 所以. 又因为平面，平面，所以. 由于平面，所以平面. 因为与平面所成角为，所以与平面所成角也是. 由于为直线在平面上的射影，所以. 在中，，所以， 所以点的轨迹在正方形面内，以点为圆心，以1为半径的半圆弧. 当点在面对角线上时，记作，可知点恰好为正方形的中心. 取的中点，连接，则直线，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 记， 所以到直线的距离. 【典例2】在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得球与平面相切，结合三角形面积公式求得，进而建立空间直角坐标系利用点到面的距离公式求解. 【详解】设，则三棱锥的体积为， 由球的表面积为，得球的半径， 又球与平面只有1个公共点，则球与平面相切， 所以点到平面的距离为1. 在中，，， 所以的面积为， 所以，解得，即． 以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则， 所以到平面的距离为． 【变式1】已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行，由此证明结论； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求结论； （3）利用向量方法求点到平面的距离，再锥体体积公式求结论. 【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 设是平面的一个法向量， 则，则，取，可得， 所以是平面的一个法向量． 因为，则，所以平面． （2）因为，， 设是平面的一个法向量， 则，令，可得， 所以是平面的一个法向量， 由（1）知是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则． （3）因为，由（1）知是平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为， 因为是直角三角形，，， 所以， 所以． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 2．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 【答案】 【详解】由题意，则，所以， 解得，所以. 4．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 【答案】BC 【分析】根据向量的数量积为零判断AD，根据模长公式求解判断B，根据向量夹角的余弦公式求解判断C. 【详解】对于A，因为，故， 故，故A正确. 对于D，， 故即，故D正确. 对于B，，故B错误. 对于C，，,， 故，故C错误. 5．已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求出的坐标，结合模长的坐标运算可得答案； （2）根据向量夹角公式可得答案； （3）根据数量积为0可求答案. 【详解】（1）因为，所以； 所以. （2）因为，，所以， 因为，所以与的夹角为. （3）， 因为向量与互相垂直，所以， 即，解得. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 2．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【详解】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 3．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)1； 【分析】（1）根据正方体的性质，利用线面平行证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量的坐标，求出平面法向量，利用向量夹角余弦公式结合点到平面的距离公式求解． 【详解】（1）连接，由正方体可知，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ． （2） 如图，以D为原点，建立空间直角坐标系， 设的长为a，则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可得； 设直线与平面所成角为， 则，解得， ， 故的长度为1； ，点到平面的距离． 4．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点，根据题意可得，结合线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，结合面面夹角余弦公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接交于点，连接， 因为为菱形，则为的中点， 又因为为的中点，在三角形中，， 且平面，平面， 所以平面． （2）建立如图所示坐标系， 则，，，，， 可得，，， 设平面法向量， 则，令，则 设平面法向量， 则，令，则 设平面与平面夹角， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【详解】（1）因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. （2）由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， ，点分别为棱的中点. (1)证明: ； (2)若 ，三棱锥的体积为 时，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）通过证明平面 ，即可求证； （2）建系求得两平面法向量，代入夹角公式即可. 【详解】（1）已知 ，是 中点，所以， 又 分别为 中点，故 是 的中位线，得 ， 由 ，知 ，因此 ， 因为 ，且 平面 ，所以 平面 ， 又 平面 ，故 ，得证； （2） 由（1），以 为原点， 为 轴， 为 轴，过作平面 的垂线为轴， 又，可得： ，，，，， 由 ，，设， ， 三棱锥体积 ， 解得 ，即 ， 因为平面 ，故平面 的一个法向量为 ， 在平面 中，， 设其法向量为， 则 令，得， 即， 设平面与平面所成角为， 则， 即平面与平面所成角余弦值是. 2．如图，在三棱锥中，，分别是，上的点，，是等边三角形，． (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）通过已知的线面平行关系，结合两个平面的交线，利用线面平行的性质定理即可证明； （2）先利用面面垂直的性质定理证明平面，从而建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，计算法向量夹角的余弦值，以此得到二面角的余弦值. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 所以． （2）取的中点为，连接、． 因为，，所以，且. 又因为，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 因为，， 又是等边三角形，则， 则，所以． 以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，所以． 又因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为． 3．如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.    (1)当时，证明：平面平面. (2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）先证平面，再由得平面，进而可证面面的垂直； （2）建立空间直角坐标系，根据两个平面夹角的余弦值可得所求值. 【详解】（1）当时，，则点是的中点. 又因为，，且为的中点，所以. 因为点在底面上的投影为的中点，所以平面， 又因为平面，所以. 由，，，平面，所以平面. 又因为为的中点，点是的中点，连接，所以且，    所以四边形是平行四边形，所以，且平面， 所以平面，且平面，所以平面平面. （2）由（1）解析知， 故以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图.    因为，得，， 所以， 因为平面在坐标平面内，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为，， 由，得， 令，则可得 所以， 化简得，即， 解得或均符合题意， 故的值为或. 4．如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由射影得平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理得出. （2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，最后利用向量夹角公式求平面夹角余弦值. 【详解】（1）因为在底面内的射影为， 所以平面， 又平面，则， 在斜三棱柱中， ，​， 又因为侧面为矩形， 所以，因此， 因为​，平面， 所以平面，又平面， 所以，结合，得. （2）由（1）知两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，平行轴， 所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知， 设，则，， 又因为与底面所成角的余弦值为， 所以， 则，，，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 又因为两个平面的夹角范围为， 所以. 5．已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（   ） A．． B． C．该平行六面体的体积为 D．二面角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】、由即可判断A；由即可判断B；求出即可由正弦定理和柱体体积公式计算求解判断C；取AD中点O，连接得到是二面角的一个平面角，再计算即可求解二面角的正弦值. 【详解】由题可得， 因为，所以， 所以即，A正确； 因为 所以不垂直，B错误； 由该平行六面体的结构特征可知顶点在底面的投影落在直线上， 因为， ， 所以，所以， 所以该平行六面体的体积为， C正确； 取AD中点O，连接，则由题意易知， 所以是二面角的一个平面角， 因为， 则， ， 所以， 所以二面角的正弦值为，D正确. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量坐标运算及应用（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间向量及其运算的坐标表示 题型02 求平面的法向量 题型03 利用向量研究平行问题 题型04 利用向量研究垂直问题 题型05 异面直线所成的角 题型06 线面角 题型07 二面角 题型08 距离问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的坐标表示 给定直角坐标系，求相关点的空间坐标 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 求平面的法向量 待定系数法 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 利用向量研究平行问题 线线平行 线面平行 面面平行 线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 利用向量研究垂直问题 线线垂直 线面垂直 面面垂直 线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． 线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明．②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． 面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 异面直线所成的角 立体几何方法与空间向量求异面直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． 线面角 牢记公式 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有． 距离问题 求点面距的一般步骤 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 知识点01 空间向量及其运算的坐标表示 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为. 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点，则有 点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是； 点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是； 点关于坐标平面的对称点是. 空间向量的坐标运算 （1）空间两点的距离公式若，则 ① 即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 ②， 或. （2）空间线段中点坐标 空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为. （3）向量加减法、数乘的坐标运算 若，则 ①;②;③; （4）向量数量积的坐标运算 若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。 （5）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式 若，则 (1). (2). （6）空间向量平行和垂直的条件 若，则 ① ② ·易错点：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。 ①夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是②. ③用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。 知识点02 直线的方向向量和平面的法向量 1.直线的方向向量： 点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式. 2.平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 3.平面的法向量确定通常有两种方法： （1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2）几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i）设出平面的法向量为；（ii）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标，；（iii）根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程； （iv）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量． ·易错点：（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量． 知识点03 用向量方法判定空间中的平行关系 空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行． （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行线面平行的判定方法一般有三种： ①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即． ②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量． ③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． ②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 知识点04 用向量方法判定空间的垂直关系 空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直． （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 知识点05 用向量方法求空间角 （1）求异面直线所成的角已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则． （2）求直线和平面所成的角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． （3）求二面角 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角． ①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小． ②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小． ·易错点：两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角． 知识点06 用向量方法求空间距离 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量． 2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解． 直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量． 3. 点线距 设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 题型一 空间向量的坐标表示 解｜题｜技｜巧 解决这类给定直角坐标系，求相关点的空间坐标时，关键是确定这些点在坐标轴的三个不同方向上的分解向量的模．同一几何图形中，由于空间直角坐标系建立的不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但其实质是一样的．建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量先找到三条互相垂直且交于一点的线段，如若找不到，就要想办法构造． 【典例1】向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，向量，则向量（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 题型二 求平面的法向量 解｜题｜技｜巧 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 【典例1】在空间直角坐标系中，平面经过点，且以为法向量，则平面内任意一点满足（    ） A．B． C． D． 【典例2】若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用向量研究平行问题 解｜题｜技｜巧 （1）线线平行设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即． （2）线面平行 线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明，即．②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量．③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． （3）面面平行 ①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可．②若能求出平面，的法向量，则要证明，只需证明． 【典例1】在空间直角坐标系中，已知点，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在空间直角坐标系中，正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．试用向量法证明． (1)求证：； (2)取PC的中点E，求证：平面． 【变式1】已知四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点、分别是、的中点，点为线段上一点．确定点的位置，使平面平面，并证明． 题型四 利用向量研究垂直问题 解｜题｜技｜巧 （1）线线垂直设直线的方向向量分别为，则要证明，只需证明，即． （2）线面垂直①设直线的方向向量是，平面的向量是，则要证明，只需证明． ②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直． （3）面面垂直①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直．②证明两个平面的法向量互相垂直． 【典例1】如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【典例2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，且底面，点是线段的中点，，，．求证：平面平面. 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：． 题型五 异面直线所成的角 解｜题｜技｜巧 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为， 则． 【典例1】在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点E，F，G分别为棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成角的正切值为2 D．直线与平面所成角为 【典例2】在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 【变式1】在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时， B．当时，直线与平面所成角的最大值为 C．当时，线段长度的范围是 D．当时，不存在点使得直线与直线所成的角为 题型六 线面角 解｜题｜技｜巧 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 则有． 【典例1】如图，在几何体中，，四边形是边长为1的正方形，，点是棱上与不重合的点． (1)证明：平面平面； (2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【典例2】如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 【变式1】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． (1)求证：平面平面； (2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 题型七 二面角 解｜题｜技｜巧 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 【典例1】如图，在四面体中，平面是的中点，是的中点.点在线段上，且. (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【典例2】如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. (1)证明：//平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 【变式1】如图，和都垂直于平面，且，，是的中点. (1)证明：//平面； (2)若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值的最大值. 题型八 距离问题 解｜题｜技｜巧 1.求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点A到平面的距离，其中，是平面的法向量．2.设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离 . 【典例1】如图直四棱柱的各棱长均为2，且.动点P在侧面内（不含边界），满足与平面所成角为，当点P在面对角线上时，记作，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】在正四棱柱中，，以为球心，表面积为的球与平面只有1个公共点，若为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知正方体的棱长为2，M，F分别为，的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则______ 4．已知空间向量则下列说法不正确的是（   ） A． B． C．与夹角余弦值为 D． 5．已知空间三点.设. (1)求； (2)求与的夹角； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 2．如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． (1)求证：平面； (2)已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 3．如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面交棱于点F． (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面的距离． 4．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，平面，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 5．如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． (1)证明：； (2)若点是中点，求点到平面的距离． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，三棱锥的四个顶点均在半径为2的球O的球面上， ，点分别为棱的中点. (1)证明: ； (2)若 ，三棱锥的体积为 时，求平面与平面所成角的余弦值. 2．如图，在三棱锥中，，分别是，上的点，，是等边三角形，． (1)若平面，证明：； (2)若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值． 3．如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足.    (1)当时，证明：平面平面. (2)已知，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 4．如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为． (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值． 5．已知平行六面体中，，，则下列说法正确的是（   ） A．． B． C．该平行六面体的体积为 D．二面角的正弦值为 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $