专题01 空间向量运算及基本定理（期中复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题01 空间向量运算及基本定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 题型02 共线向量定理的应用 题型03 共面向量及应用 题型04 空间向量的数量积 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 题型06 利用空间向量的数量积求线段的长度 题型07 利用空间向量的数量积证垂直 题型08 基底的运用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的有关概念 用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系 通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 共线向量定理的应用 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线 证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 共面向量及应用 用共面向量定理及其推论的充要条件判断向量共面 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 空间向量的数量积 向量的数量积运算都满足哪些规律 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 立体几何方法求异面直线BN和SM所成角新思路 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 基底的运用 空间几何体中如何选择基底 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b ·易错点：（1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 知识点02 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. ·易错点：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：； 知识点03 共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. ·易错点：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点04 向量共面问题 共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c ·易错点：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点06 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。 ·易错点：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 知识点07 空间向量的长度 定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 利用向量求线段的长度：将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 知识点08 空间向量基本定理 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一 空间向量的有关概念及线性运算 解｜题｜技｜巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【典例1】如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】. 故选：B 【变式1】如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 【变式2】如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 题型二 共线向量定理的应用 解｜题｜技｜巧 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【典例1】如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 【典例2】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，， 平面，平面，∴平面，∵平面， ∴，由（1）可知，在中，，∴， 则与相似，则，在中，，， ∴，∴， ∴. 题型三 共面向量及应用 解｜题｜技｜巧 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴. （2）由（1）可知，又，， 平面，平面，∴平面，∵平面， ∴，由（1）可知，在中，，∴， 则与相似，则，在中，，， ∴，∴， ∴. 【典例2】空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【分析】连接交平面于点，利用给定结论及空间向量基本定理可得，再利用三棱锥的体积求解即可. 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 【变式1】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 题型四 空间向量的数量积 解｜题｜技｜巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例1】在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 【典例2】下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 【变式1】已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 题型五 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 解｜题｜技｜巧 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【典例1】若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【答案】BC 【详解】 对于A，如图，在正方体中，不妨设， 此时，但是，故A错误； 对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于C，根据共面向量基本定理，可知C正确； 对于D，设向量之间的夹角为，因， 则，因，则， 故的取值范围为，故D错误. 【典例2】设、、为空间中三组单位向量，且，，与夹角为，为空间任意一点，且，满足，则最大值为________ 【答案】 【分析】以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系，由坐标表示得，画出可行域利用线性规划求解即可. 【详解】因为，，， 所以平面， 以为坐标原点，为轴，为轴，垂直于平面为轴建立空间直角坐标系， 因为、、都是单位向量，与夹角为， 所以，，， 设，且， 则，，，， 所以由可得： ，平方可得： ， 由可得： ， 所以或， 由及可得， 即， 综上满足的可行域如图所示： 令，则， 由可行域可得在点取得最大值，在点取得最小值， 由，解得，， 所以，， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1】三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 【答案】ABD 【分析】根据向量数量积的运算律以及完全平方公式，计算可得A正确，B正确，再由锥体的体积公式可验证C错误，利用向量夹角公式代入计算可得D正确. 【详解】对于A，易知， 因为两两垂直，所以，而，所以，即A正确； 对于B，知， 因为两两垂直，所以，所以，即B正确； 对于C，易知， 显然，所以， 因此， 又，，所以， 所以， 因为两两垂直，且， 所以三棱锥的体积为，即C错误； 对于D，因为， 又，所以， ， 同理， 设和的夹角为，可得，可得，即D正确. 故选：ABD. 题型六 利用空间向量的数量积求线段的长度 解｜题｜技｜巧 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【典例1】已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据，得出点在以为直径的球与底面的交线上，再通过建立空间直角坐标系得出球心的坐标，最后根据平面几何关系即可求出. 【详解】由，知，所以点在以为直径的球与底面的交线上. 以为坐标原点，平面内垂直于方向，方向，方向分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，故球的直径长为， 球心为的中点. 因为球心到底面的距离为1， 所以底面截球所得圆的半径为，圆心为， 则在以为直径的圆与菱形的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形中，则， 实际交线为劣弧和劣弧， 易知和为等边三角形，劣弧和劣弧相等， 则， 故的运动轨迹长为. 故选：A 【典例2】如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知垂直关系将线段表示为向量和，再利用向量数量积为零的性质计算模长，得到各段长度相等后，求和得出总长度. 【详解】依题意，，， 所以，，， 又， 所以 ， 所以， 同理可得， 所以丝线缠一圈的长度为． 故选：C. 【变式1】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用空间向量基本定理表示，再结合空间向量数量积的运算性质求即可. 【详解】因为，，，所以. 又，所以. 因为，，，，， 由， 所以. 所以. 故选：B 题型七 利用空间向量的数量积证垂直 解｜题｜技｜巧 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【典例1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1)(2)垂直 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【典例2】在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，根据三角形中位线以及线面平行的判定定理证明即可； （2）利用已知条件及线面垂直的性质先证明，然后利用向量数量积证明，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：连接，设与交于点，连接，如图所示： 因为是平行四边形，所以是的中点， 又是中点，在中，是中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是中点，且，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中， 因为，所以四边形为正方形， 又，， 且，是中点， 设，则， 所以 ， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 题型八 基底的运用 解｜题｜技｜巧 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【典例1】如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）连接，设与交于点，连接，根据三角形中位线以及线面平行的判定定理证明即可； （2）利用已知条件及线面垂直的性质先证明，然后利用向量数量积证明，最后利用面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）证明：连接，设与交于点，连接，如图所示： 因为是平行四边形，所以是的中点， 又是中点，在中，是中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）证明：因为是中点，且，所以， 在直三棱柱中，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中， 因为，所以四边形为正方形， 又，， 且，是中点， 设，则， 所以 ， 所以， 因为，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 【典例2】如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，长度为；(2)；(3). 【详解】（1）由平行六面体的性质可知， 是的中点， ， ， ， ， ． （2）． （3），， ， 又， ， ， 异面直线与所成角的余弦值为． 【变式1】在平行六面体中，，，，设，，．    (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量的数量积运算规则计算求解； （2）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （3）先求出向量，再求出，最后运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），，，，， ，， 又， ，， ． （2），， ，， 又， ． （3） ， ， ， ， ． 异面直线与所成角的余弦值为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 【答案】2 【详解】因为为平面内一点，所以存在实数，使得， 所以，即， 因为在三棱锥中，是不共面向量， 由空间向量基本定理知：用表示唯一， 所以，所以. 2．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 3．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 4．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 【答案】 【详解】由题可知，，， 所以． 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为四点共面，且， 所以由共面定理可得，，即. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，已知一点到平行四边形的三个顶点的向量分别为，求． 【答案】 【分析】由空间向量的加减法运算求解. 【详解】因为， ， 所以. 2．在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选：C. 4．三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由四点共面的充要条件列方程即可得解． 【详解】由题意三棱锥中，点面，且， 所以，解得． 故选：D． 5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据空间向量的线性运算即可得结果. 【详解】因为，为SC的中点， 所以， 故选：C. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 2．如图，四面体中，，，是的中点．若，是点在平面内的投影，存在实数满足． (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理求解. （2）用表示出，在内利用边角关系的限制求得范围. 【详解】（1）由，得， 而点平面，由空间向量基本定理可知，，解得. （2）连接，作. 如下图所示： 因为，为的中点，则，又，所以， 而，平面.则平面.又平面，则. 又，平面.所以平面， 即点与点在平面内的投影重合. 在中，， 在中，， 由，可知点为中点， 则，， 所以，即. 又，由得， 即，整理得，即. 综上所述，. 3．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)(2)， 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 4．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 5．如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，；(2). 【分析】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【详解】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量运算及基本定理（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 空间向量的有关概念及线性运算 题型02 共线向量定理的应用 题型03 共面向量及应用 题型04 空间向量的数量积 题型05 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 题型06 利用空间向量的数量积求线段的长度 题型07 利用空间向量的数量积证垂直 题型08 基底的运用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 空间向量的有关概念 用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系 通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 共线向量定理的应用 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线 证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 共面向量及应用 用共面向量定理及其推论的充要条件判断向量共面 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 空间向量的数量积 向量的数量积运算都满足哪些规律 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 立体几何方法求异面直线BN和SM所成角新思路 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 基底的运用 空间几何体中如何选择基底 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 知识点01 空间向量的有关概念 1．空间向量 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为|a|或||. 2．几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 任意 0 0 单位向量 任意 1 相反向量 相反 相等 a的相反向量：－a 的相反向量： 相等向量 相同 相等 a＝b ·易错点：（1）空间中点的一个平移就是一个向量； （2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。 知识点02 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝＋＝a＋b 减法 ＝－＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝b＋a ②结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍． ②运算律 结合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. ·易错点：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并； （2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则． （3）空间向量加法的运算的小技巧： ①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量； ②首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：； 知识点03 共线问题 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb. (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. ·易错点：证明平行时，先从两直线上取有向线段表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，这是证明平行问题的一种重要方法。证明三点共线问题，通常不用图形，直接利用向量的线性运算即可，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点。 知识点04 向量共面问题 共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y. 知识点05 空间向量数量积的运算 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝. (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c ·易错点：（1）由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同．（2）两向量的数量积，其结果是数而非向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定．（3）两个向量的数量积是两向量的点乘，与以前学过的向量之间的乘法是有区别的，在书写时一定要将它们区别开来，不可混淆． 知识点06 夹角问题 1.定义：已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图。 根据空间两个向量数量积的定义：，那么空间两个向量、的夹角的余弦。 ·易错点：（1）规定:（2）特别地，如果，那么与同向；如果，那么与反向;如果,那么与垂直,记作。 知识点07 空间向量的长度 定义：在空间两个向量的数量积中，特别地，所以向量的模： 将其推广： ；。 利用向量求线段的长度：将所求线段用向量表示，转化为求向量的模的问题。一般可以先选好基底，用基向量表示所求向量，然后利用来求解。 知识点08 空间向量基本定理 空间向量基本定理： 如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.此时，，，都称为基向量；如果，则称为在基底{，，}下的分解式. 空间向量的正交分解 单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示. 正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 用空间向量基本定理解决相关的几何问题 用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立 题型一 空间向量的有关概念及线性运算 解｜题｜技｜巧 在用已知向量表示未知向量的时候，要注意寻求两者之间的关系，通常可将未知向量进行一系列的转化，将其转化到与已知向量在同一四边形（更多的是平行四边形）或三角形中，从而可以建立已知与未知之间的关系式．另外，在平行六面体中，要注意相等向量之间的代换． 【典例1】如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二 共线向量定理的应用 解｜题｜技｜巧 利用共线向量定理可以判定两直线平行、证明三点共线．证平行时，先从直线上取有向线段来表示两个向量，然后利用向量的线性运算证明向量共线，进而可以得到线线平行，此为证明平行问题的一种重要方法；证明三点共线问题时，通常不用图形。直接利用向量的线性运算，但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点． 【典例1】如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【变式1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 题型三 共面向量及应用 解｜题｜技｜巧 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算． 【典例1】如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足.    (1)证明：； (2)若，求的值. 【典例2】空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【变式1】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型四 空间向量的数量积 解｜题｜技｜巧 向量的数量积运算除不满足乘法结合律外，其它都满足，所以其运算和实数的运算基本相同。求空间向量数量积的运算同平面向量一样，关键在于确定两个向量之间的夹角以及它们的模，利用公式：即可顺利计算． 【典例1】在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例2】下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【变式1】已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 题型五 利用空间向量的数量积求两向量的夹角 解｜题｜技｜巧 用传统立体几何方法求异面直线BN和SM所成角，可以利用中位线平移或补形在正方体中计算，但是图形添加辅助线后不易观察，计算量也稍大。如用向量夹角公式求解，无须添加辅助线，便于观察图形，更能有效地解决问题。 【典例1】若空间向量为非零向量，下列命题正确的有（    ） A．若，则. B．向量在向量上投影向量为. C．若不共线，则共面的充要条件是存在唯一实数对，使得. D．若向量两两夹角相同且是单位向量，则的取值范围为. 【典例2】设、、为空间中三组单位向量，且，，与夹角为，为空间任意一点，且，满足，则最大值为________ 【变式1】三棱锥中，，，两两垂直，且，下列命题中正确的是（   ） A． B． C．三棱锥的体积为 D．和的夹角为 题型六 利用空间向量的数量积求线段的长度 解｜题｜技｜巧 空间向量求模的运算要注意公式的准确应用。向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此求线段长度的总是可用向量求解。 【典例1】已知直四棱柱的棱长均为，设棱的中点分别为，若菱形内（含边界）的动点满足，则点的运动轨迹的长度为（　　） A． B． C． D． 【典例2】如图是缠线用的线拐子，在结构简图中线段与所在直线异面垂直，，分别为，的中点，且，，线拐子使用时将丝线从点出发，依次经过，，又回到点，这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”．图中，则丝线缠一圈的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，且垂直于.若，则线段的长度为（   ） A． B． C．2 D． 题型七 利用空间向量的数量积证垂直 解｜题｜技｜巧 立体几何中有关判断线线垂直问题，通常可以转化为求向量的数量积为零 【典例1】如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【典例2】在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 题型八 基底的运用 解｜题｜技｜巧 1.空间中，任一向量都可以用一组基底表示，且只要基底确定，则表示形式是唯一的. 2.用基底表示空间向量时，一般要结合图形，运用向量加法、减法的平行四边形法则、三角形法则，以及数乘向量的运算法则，逐步向基向量过渡，直至全部用基向量表示. 3.在空间几何体中选择基底时，通常选取公共起点最集中的向量或关系最明确的向量作为基底，例如，在正方体、长方体、平行六面体、四面体中，一般选用从同一顶点出发的三条棱所对应的向量作为基底. 【典例1】如图，在直三棱柱中，，，点分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【典例2】如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【变式1】在平行六面体中，，，，设，，．    (1)求的值； (2)若点，满足，，试用，，表示； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在三棱锥中，为平面内一点，且，则______. 2．如图，在平行六面体中，（   ） A． B． C． D． 3．已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，是空间中三个两两垂直的单位向量，则________． 5．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，已知一点到平行四边形的三个顶点的向量分别为，求． 2．在平行六面体中，，则__________. 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 4．三棱锥中，点面，且，则实数（   ） A． B． C． D． 5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，是底面圆的圆心，，为SC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 2．如图，四面体中，，，是的中点．若，是点在平面内的投影，存在实数满足． (1)求的值； (2)若，求的取值范围. 3．如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 4．如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 5．如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $