高二数学下学期期中模拟卷02（苏教版，测试范围：选择性必修第二册第6～8章）

2025-2026学年高二下学期期中模拟卷02 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 2．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【详解】如下图所示： 区域有种选择，区域有种选择， 若区域、种同一种花，则区域有种选择，区域有种选择； 若区域、种所种的花不同，则区域有种选择，区域有种选择. 由分步乘法和分类加法计数原理可知，不同的布置方案种数为. 故选：A. 3．某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（    ） A．800 B．600 C．400 D．200 【答案】A 【详解】由成绩，得， 由成绩分的人数有100人，得， 因此，则， 所以成绩在的人数大约有（人）． 故选：A 4．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 【答案】C 【详解】由题意可得：，解得， 则， 所以. 故选：C. 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意为正四面体，两两成角， 所以， 所以， 所以 ． 故选：B． 6．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 因为点为的中点，所以. 所以 . 故选：B. 7．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【详解】对于①，因为随机变量服从二项分布， 所以，故①正确； 对于②，小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游， 每人只去一个景点有种方案， 4个人去的景点互不相同且小赵独自去一个景点有种方案， 所以， 小赵独自去一个景点有种方案，所以， 所以，故②正确； 对于③，因为，故③错误. 综上可知，①②正确，③错误. 故选：A 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 【答案】D 【详解】由题意可知：前10项分别为， 则 ， 所以前10项的和为220. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误； 对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率， 当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知； 对于C，由B选项分析同理可得， 由条件概率的定义可知，故C正确； 对于D，由全概率公式可得，故D错误. 故选：BC. 10．下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 【答案】BC 【详解】根据分步乘法计数原理，将4本不同的书分给3个人，共有种分配方法，故A错误； 将2个a，3个b，1个排成一排，共有种排法，故B正确； 将6个名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，采用隔板法，共有种方法，故C正确； 从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，共有或种选法，故D错误. 故选：BC. 11．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【详解】将平面与平面展开在一个平面上， 此时的最小值为展开后与两点间的距离． 展开后得到一个矩形，矩形的两边长分别为和． 根据勾股定理，则，所以的最小值为，故A正确． 因为，，，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，又，平面， 所以平面平面，若平面，则点的轨迹是线段． 在正方形中，边长为，根据勾股定理可得， 即点的轨迹长度为，故B正确． 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系． 则，，，，设，． ，． 因为，所以， 即，解得，所以不是的中点，故C错误． 设，，，已知，由， 根据空间两点间距离公式可得：， 即（，）． 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 根据圆的周长公式，则点的轨迹长度为，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则______. 【答案】/ 【详解】依题意，， 因此，所以. 故答案为：0.2 13．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 【答案】144 【详解】总共有人，王老师必须站在中间，即第 4 个位置，只有1种选择， 甲必须与王老师站在一起，只能在第 3 或第 5 个位置，有 2种选择， 乙不能站在左右两端（第 1、7 位），此时已占用 2 个位置（王老师和甲），剩余 5 个位置中排除 2 个端点， 有 个可选位置，即3种选择， 剩下的 4 名同学可以在剩余的 4 个位置上全排列，有种方式. 因此，共有种站法. 故答案为：144. 14．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 【答案】/ 【详解】因， 则，即， 因不共线，则共面，则平面， 则的最小值是到平面的距离， 因正方体棱长为，则等边三角形的边长为， 因，则， 则， 故的最小值.    故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，可得， 即，解得或（舍），所以. （2）解：由（1）知二项式， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 16． （15分） 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 【答案】(1)（i）分布列见解析，；（ii） (2) 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，， 所以的分布列为： 2 3 . （ii）乙最终获胜的概率. （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则， ， 故． 17． （15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；（2）不存在，理由见解析 【详解】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，； （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故. 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即； ②设，则， 设，则，解得， 即，则， ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去， 故不存在点，使得与面所成的角为． 18． （17分） 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 【答案】(1)480 (2)360 (3)540 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种； （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况； 因此，所有选课种数为. （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况； ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况； ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况； 综上，所有的课程安排共有种情况. 19． （17分） 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 【答案】(1) (2)存在，证明见解析. 【详解】（1） 由，利用余弦定理可得：， 由可得：，利用内角和定理可得， 此时， 又因为，所以， 即， 根据四棱锥在点的曲率为， 可得，利用内角和定理可得， 此时， 再由点的曲率为， 可得， 因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形， 此时，由于， 所以，利用， 可知， 所以四棱锥的表面积为； （2） 取分别为的中点，，连接， 利用中位线可知， 又由，可得，即， 又可证得，即，又因为为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，同理由，可证明平面， 又因为，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 此时为的中点. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷02 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A C B B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC BC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. / 13. 144 14./ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项公式为， 因为第5项与第3项的系数之比为，可得，（3分） 即，解得或（舍），所以.（4分） （2）解：由（1）知二项式， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6项的二项式系数最大，（7分） 所以展开式中二项式系数最大的项为.（8分） （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正，（10分） 所以（11分） 令，可得， 即.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）（i）所有可能的取值为2，3 ，，（3分） 所以的分布列为： 2 3 .（6分） （ii）乙最终获胜的概率.（9分） （2）设事件“甲最终获胜”，事件“共进行了5场比赛”． 则，（12分） ，（13分） 故．（15分） 17．（15分） 【详解】（1）证明：，. 底面，底面，. 平面平面， 平面. 平面，；（4分） （2）①依题意可知，两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 由题， 则（6分） 设平面的法向量为，平面的法向量， 则有，取. ，取，则，故.（8分） 设平面与平面所成的锐二面角的平面角为， ，即；（9分） ②设，则，（10分） 设，则，解得， 即，则，（12分） ， 化简得：，平方得， 解得，又因，故舍去，（14分） 故不存在点，使得与面所成的角为．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）第一步，先将另外四门课排好，有种情况；（2分） 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；（4分） 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；（6分） （2）第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；（7分） 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；（8分） 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；（9分） 因此，所有选课种数为.（10分） （3）①将6个科目分成1、1、4三组，然后分给三名教师：种情况；（12分） ②将6个科目分成1、2、3三组，然后分给三名教师：种情况；（14分） ③将6个科目分成2、2、2三组，然后分给三名教师：种情况；（16分） 综上，所有的课程安排共有种情况.（17分） 19．（17分） 【详解】（1） 由，利用余弦定理可得：， 由可得：，利用内角和定理可得， 此时，（2分） 又因为，所以， 即，（4分） 根据四棱锥在点的曲率为， 可得，利用内角和定理可得， 此时，（6分） 再由点的曲率为， 可得，（7分） 因为，所以，又因为所以三角形是等边三角形， 此时，由于， 所以，利用， 可知，（9分） 所以四棱锥的表面积为；（10分） （2） 取分别为的中点，，连接， 利用中位线可知， 又由，可得，即，（12分） 又可证得，即，又因为为中点， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，同理由，可证明平面，（14分） 又因为，平面， 所以平面平面，（16分） 又因为平面，所以平面， 此时为的中点.（17分） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章（空间向量与立体几何+计数原理+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 2．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（    ） A．800 B．600 C．400 D．200 4．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 11．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则______. 13．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 14．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 16． （15分） 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 17． （15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 18． （17分） 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 19． （17分） 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期中模拟卷02 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版选择性必修第二册第6~8章（空间向量与立体几何+计数原理+概率） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 2．春节期间，某地政府在该地的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为个区域．中心区域为雕塑，四周种植花卉.现有种不同的花卉可供选择，要求相邻区域不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 3．某校高二年级1000名学生参加体能测试，经统计分析，成绩近似服从正态分布，已知成绩低于70分的人数有100人，则成绩在的人数大约有（    ） A．800 B．600 C．400 D．200 4．已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P m n 若，则（   ） A． B．7 C．21 D．22 5．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点分别是的中点，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6．如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的是（   ） ①设随机变量服从二项分布，则 ②小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ③；． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 8．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．在“杨辉三角”中从左往右第3斜行的数构成一个数列：，则该数列前10项的和为（ ） A．66 B．120 C．165 D．220 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．将4本不同的书分给3个人，则共有24种分配方法 B．将2个a，3个b，1个排成一排，则共有60种排法 C．将6个参加数学竞赛的名额分给甲、乙、丙三个班，每班至少一个名额，则共有10种方法 D．从4名男生和3名女生中选出3人参加数学竞赛，如果3人中必须既要有男生又有女生，则共有种选法 11．如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为2，是上底面内（包括边界）的动点，是侧棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．若平面，则点的轨迹的长度为 C．若，则点是的中点 D．若，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，，则______. 13．王老师与甲、乙等6名同学进行毕业合照，照相时他们站成一排，同学们要让王老师站在中间，甲同学与王老师站在一起，乙同学不站在左右两端，则他们不同的站法有_____种. 14．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7:6. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值. 16． （15分） 甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，经过大数据分析，每局比赛甲获胜的概率约为，乙获胜的概率约为． (1)若比赛为三局两胜制： （i）设比赛结束时比赛场次为，求的分布列与数学期望； （ii）求乙最终获胜的概率； (2)若比赛为五局三胜制，已知甲最终获胜了，求在此条件下进行了5局比赛的概率． 17． （15分） 如图，四棱锥中，平面，，点在线段上，． (1)求证：； (2)若，且，， ①求平面与平面所成锐二面角的大小； ②在棱上是否存在点，使得与平面所成的角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 18． （17分） 中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程． (1)若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数； (2)现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙仅有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数； (3)计划安排A、B、C三名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，求所有课程安排的种数． 19． （17分） 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为.已知四棱锥在点的曲率为，且. (1)若点的曲率为，求四棱锥的表面积； (2)若点在上，且.试探究：在棱上是否存在点，使平面？证明你的结论. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $