精品解析：江苏宿迁市泗洪县2024-2025学年高二下学期期中测试数学试卷

高二数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，作答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其它位置作答一律无效，如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 3. 的二项展开式中的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 4. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 8. 已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（ ） A. 12或13 B. 13 C. 13或14 D. 14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布：，则 B. 若，则的值为8 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 是1000的倍数 10. 一个不透明的盒子中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、绿，从盒子中不放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到绿球”为事件，则（ ） A. B. C. D. ，相互独立 11. 金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（ ） A. 为四面体外接球的球心 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有2个女生和3个男生站成一排，要求2个女生不相邻，不同的排法种数为_______. 13. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年澳门国际乒乓球男子及女子世界杯将于4月14日至4月20日在中国澳门举行，为了备战此次赛事，中国乒乓球队选派了10名运动员，其中女运动员4名，男运动员6名，现从这10名运动员中： （1）各选男、女1名运动员担任正、副队长，不同选法有多少种？ （2）选5名运动员，参加团体比赛，需选出3名男运动员和2名女运动员，若男运动员中的甲与女运动员中的乙至少有1人被选中，有多少种不同选法？ 16. “六一”期间，某商家为了吸引顾客消费.商店打算推出一款售价为2元/个且外观完全相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出三款不同颜色（红色、黄色、蓝色）的某一商品，已知开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为，，. （1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； （2）某顾客只想要红色商品，与商店老板达成协议：每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给该顾客.为了得到红色商品，求该顾客花费的数学期望. 17. 在三棱台中，，，，，，平面. （1）若平面平面，求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 设，求 （1）；（不必计算最终结果） （2）；（不必计算最终结果） （3）. 19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. （1）证明：平面； （2）若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，作答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其它位置作答一律无效，如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚. 3.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的坐标运算可得答案. 【详解】因为，，， 所以，解得. 2. 的结果是（ ） A. 85 B. 105 C. 180 D. 200 【答案】D 【解析】 【分析】应用组合数及排列数公式计算求解. 【详解】. 3. 的二项展开式中的常数项为（ ） A. B. 20 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式可得答案. 【详解】的通项公式为，令可得， 即其常数项为. 4. 如图，空间四边形中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 5. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】设正方体的棱长为2，以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设和所成角为，，即和所成角的余弦值为. 6. 甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取出一只袋子，再从该袋中随机取出一个球，则该球为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式求解即可. 【详解】若取出的是甲袋，取到红球的概率为， 若取出的是乙袋，取到红球的概率为， 故取到的球为红球的概率是. 7. 现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 8. 已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（ ） A. 12或13 B. 13 C. 13或14 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量服从二项分布：，则 B. 若，则的值为8 C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D. 是1000的倍数 【答案】AD 【解析】 【分析】利用二项分布的期望公式可判断A；结合组合数的公式可判断B；利用线面平行的特征可判断C；利用二项式展开式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以，A正确； 对于B，因为，所以或，解得或，经检验均符合，B不正确； 对于C，因为，所以，但可能在平面内，C不正确； 对于D， 由于最后一项，其余各项均含有，即均为1000的倍数 所以是1000的倍数，D正确. 10. 一个不透明的盒子中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、绿，从盒子中不放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到绿球”为事件，则（ ） A. B. C. D. ，相互独立 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用古典概率求出事件的概率，结合条件概率公式和事件独立性的定义可得答案. 【详解】总样本空间：不放回取 2 个球，所有可能的结果（按顺序）： (红，黄), (红，绿), (黄，红), (黄，绿), (绿，红), (绿，黄)，共种， 第一次取红球的情况：(红，黄), (红，绿)，共 2 种，所以，A正确； 第二次取绿球的情况：(红，绿), (黄，绿)，共 2 种，，而， 所以，B正确； 因为，所以，C正确； 因为，，，所以，不相互独立，D不正确. 11. 金刚石，俗称“金刚钻”，它是一种由碳元素组成的矿物，是自然界中天然存在的最坚硬的物质，如图1所示是组成金刚石的碳原子在空间中排列的结构示意图，组成金刚石的每个碳原子，都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接.从立体几何的角度来看，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的四个顶点处，而中间的那个碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置，如图2所示，，若正四面体的棱长为2，则（ ） A. 为四面体外接球的球心 B. 正四面体外接球的表面积为 C. 二面角的余弦值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正四面体外接球的特征可判断A,B，求出二面角的平面角可判断C，利用数量积的运算公式可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为四面体外接球的球心，A正确； 对于B，设底面正三角形的外接圆半径为，则，即， 正四面体的高为，设外接球的半径为，则， 解得，所以正四面体外接球的表面积为，B不正确； 对于C，取的中点 M，连接， 因为和都是正三角形，所以，就是二面角的平面角， 因为，所以，C正确； 对于D，在中，，，由余弦定理可得， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 现有2个女生和3个男生站成一排，要求2个女生不相邻，不同的排法种数为_______. 【答案】72 【解析】 【分析】利用插空法先排个男生，再将两个女生插入到个空位中即可. 【详解】采用插空法，先排3个男生有种，再排2个女生有种， 所以，不同排法的种数为种. 13. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示： 1 2 3 4 5 0.2 0.2 0.2 0.2 则的值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由分布列的性质求，再由均值定义求，再由方差定义求结论. 【详解】由分布列的性质可得， 所以， 由表中的数据有： ， . 14. 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，记次传球后球在甲手中的概率为，则_______，_______. 【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.3125 【解析】 【分析】得到的关系式，结合数列知识进行求解 【详解】由题意得，时，，即， 设，故， 所以，其中， 即是首项为，公比为的等比数列， 故，， ，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2025年澳门国际乒乓球男子及女子世界杯将于4月14日至4月20日在中国澳门举行，为了备战此次赛事，中国乒乓球队选派了10名运动员，其中女运动员4名，男运动员6名，现从这10名运动员中： （1）各选男、女1名运动员担任正、副队长，不同选法有多少种？ （2）选5名运动员，参加团体比赛，需选出3名男运动员和2名女运动员，若男运动员中的甲与女运动员中的乙至少有1人被选中，有多少种不同选法？ 【答案】（1）48 （2）90 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理即可求解； （2）利用间接法，即用选出3名男运动员和2名女运动员的总选法减去甲、乙都不被选中的选法即可求解. 【小问1详解】 根据题意，需要从6名男运动员选1人、4名女运动员选1人，再将2人分配为正、副队长： 第一步：选1名男运动员，共种选法；选1名女运动员，共种选法； 第二步：将选出的2人排列为正、副队长，共种排法； 故总选法有种. 【小问2详解】 选出3名男运动员和2名女运动员的总选法：种； 甲、乙都不被选中的选法有种； 因此满足“至少1人被选中”的选法有：种. 16. “六一”期间，某商家为了吸引顾客消费.商店打算推出一款售价为2元/个且外观完全相同的盲盒，每开一个盲盒，会开出三款不同颜色（红色、黄色、蓝色）的某一商品，已知开出红色、黄色、蓝色商品的概率分别为，，. （1）若某顾客一次性购买了3个盲盒，求该顾客恰好开出两个红色商品的概率； （2）某顾客只想要红色商品，与商店老板达成协议：每次开一个盲盒，如果开出红色商品则停止，否则再开一个盲盒，若连续4次均未开出红色商品，老板就赠送一个红色商品给该顾客.为了得到红色商品，求该顾客花费的数学期望. 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）由二项分布求解概率； （2）记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为，求出分布列，求出均值，即可求出平均消费. 【小问1详解】 记“该顾客恰好开出两个红色商品”为事件， 事件为3次独立重复试验，每次开出红色商品的概率为， 根据n次独立重复试验的概率公式可得． 【小问2详解】 为了得到红色商品，记该顾客打开盲盒的次数为，的所有可能取值为． ， ， 的分布列如下： 1 2 3 4 ， 则该顾客的平均花费为元． 17. 在三棱台中，，，，，，平面. （1）若平面平面，求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 因为，，所以为的中位线， 故，又，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以 （2） 【解析】 【分析】（1）先得到线面平行，由线面平行的性质得到线线平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，，所以， 因为平面，平面，所以， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为. 18. 设，求 （1）；（不必计算最终结果） （2）；（不必计算最终结果） （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）因为所求为偶数项系数和，所以可利用赋值法，分别令和代入已知等式，得到两个关于系数和的等式，再将两式相加后变形即可求解； （2）可令​代入已知等式，再减去​即可得到所求结果； （3）对已知等式两边关于x求导，再令代入求导后的等式即可求解. 【小问1详解】 由于， 令，得， 即； 令，得， 即， 两式相加再除以2可得； 【小问2详解】 令，可得， 令，可得， 得， 所以； 【小问3详解】 将等式 两边同时求导可得，， 再令，可得． 19. 如图平面，，是线段上的动点，是的中点，已知. （1）证明：平面； （2）若，. ①求点到平面的距离； ②试探究：在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） ，是的中点，， 平面，平面，， 又，又，平面，平面， 平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面； （2）①点到平面的距离为；②存在，或. 【解析】 【分析】（1）由线面垂直可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理得出线面垂直即可得证； （2）①建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面距离；②设存在，根据向量法由平面的夹角公式求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】  ①以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系： ，，，，， ，， 设平面的法向量为 则，即，取，可得， 所以，即点到平面的距离为；  ②， 设，则， ， 设平面的法向量为 则，即， 令，可得， 设平面与平面夹角， 所以， 又平面与平面夹角的正弦值为，所以，又， 所以，所以， 化简得，解得或， 所以或， 所以或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $