专题05 条件概率与随机变量分布列（期中复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题05 条件概率与随机变量分布列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用定义求条件概率 题型02 条件概率的性质及应用 题型03 全概率公式 题型04 贝叶斯公式 题型05 求离散型随机变量的分布列 题型06 分布列的性质及其应用 题型07 利用定义求离散型随机变量的均值 题型08 求离散型随机变量的方差 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用定义求条件概率 理解条件概率定义，掌握公式计算与实际应用 条件概率是概率基础必考内容，多以选择、填空或解答小题出现。命题侧重定义辨析、公式直接套用，常结合古典概型、抽样场景考查。题目难度中等偏易，注重分步判断先后事件，区分P(A|B)与P(B|A)。高频考法为已知总数与部分事件数，直接代入公式计算；偶尔与互斥、独立事件综合，考查概念辨析，整体重基础、重审题，掌握定义与公式即可稳定得分。 全概率公式 熟记全概率公式，掌握分情况求和计算 全概率公式是概率解答题高频考点，常与古典概型、条件概率结合考查。命题多以分步抽样、多场景分类为背景，要求先划分完备事件组，再分别计算概率后求和。题目侧重逻辑分层，难度中等，重在分类不重不漏。常出现在大题第一问，为后续贝叶斯计算做铺垫。考法固定，以实际应用为主，注重步骤规范与计算准确，掌握分类思路与公式结构即可高效解题。 贝叶斯公式 熟记贝叶斯公式结构，会逆推条件概率 贝叶斯公式常作为概率解答题压轴小问，与全概率公式配套考查。命题多以“已知结果反推原因”为背景，需先利用全概率算总概率，再代入公式求逆概率。题目侧重逻辑推理，难度中等偏上，关键是分清先验与后验概率。常结合产品检验、疾病检测、抽样判断等情境，步骤固定、套路清晰，掌握公式结构与解题顺序，规范书写步骤即可得分，是高考概率大题的稳定得分点。 求离散型随机变量的分布列 掌握变量取值，规范求概率列分布 离散型随机变量分布列是概率大题核心考点，常以实际应用为背景命题。题型固定为先确定随机变量所有可能取值，再逐一计算对应概率，最后列表验证概率和为1。常结合古典概型、互斥事件、独立重复试验考查，难度中等。注重计算准确性与步骤规范性，分布列常作为期望、方差计算的基础步骤，命题情景贴近生活，思路清晰套路明确，是必须拿满分的题型。 利用定义求离散型随机变量的均值 牢记均值定义公式，准确计算加权平均 离散型随机变量均值是概率解答题必考点，常紧跟分布列之后考查。直接依据定义，用取值乘对应概率再求和即可，计算思路固定。题目多结合比赛、抽检、生产等实际情境，难度偏低，重在细心运算。常与方差综合设问，是基础得分环节。命题侧重步骤规范与结果准确，极少设置复杂变形，只要分布列正确，按定义列式一般不易失分，属于高考概率题中的稳定得分点。 求离散型随机变量的方差 熟记方差定义与公式，精准计算并理解意义 离散型随机变量方差是概率解答题常考内容，一般紧随分布列与均值之后设问，属于基础必得分点。命题多依托实际应用场景，直接套用方差公式计算，侧重考查计算准确性与步骤规范性。常与均值综合考查，用于判断数据稳定性、风险差异等，难度不高。解题关键是先准确求出均值，再代入公式运算，避免计算失误。整体考法固定、思路清晰，熟练公式与运算即可稳拿分数。 知识点01 条件概率与全概率公式 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 6．在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 知识点02 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量：随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3.随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4．离散型随机变量的分布列：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点03 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的期望：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 4．离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 5．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 题型一 利用定义求条件概率 解｜题｜技｜巧 解题时先明确条件事件B与所求事件A，紧扣条件概率定义P(B|A)＝。先判断样本空间变化，确定在B发生前提下的基本事件数，区分联合概率与条件概率。结合古典概型数清总事件数、B包含事件数及AB公共事件数，直接代入公式计算。审题时分清先后顺序，避免混淆P(A|B)与P(B|A)。步骤上先写定义式，再代入概率值，最后化简结果。遇到复杂问题可先列举基本事件，确保计数不重不漏，保证计算准确，规范书写步骤。 【典例1】已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【答案】BC 【分析】对于A，结合相互独立事件、条件概率公式，即可判断；对于B，由题意可得，结合，从而可得，即可判断；对于C，结合对立事件及条件概率公式，即可判断；对于D，结合互斥事件及条件概率公式求解即可. 【详解】对于A，因为，且与互斥，所以， 所以, 又因为, 所以，故A正确； 对于B，因为，则， 所以, 只有当，即时，，即，故B错误； 对于C，因为，是对立事件， 所以，互斥，即，则, 根据条件概率公式，，故C错误； 对于D，因为，是互斥事件， 所以， 所以，故D正确. 【变式1】假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对A：由，故，故A正确； 对B：成立的条件为，为相互独立事件，故B错误； 对C：，， 成立的条件为，故C错误； 对D：，若，则， 成立的条件为，为相互独立事件，故D错误. 【变式2】将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】事件两次投掷点数和为9的所有情况为：，共4种； 总样本空间为种，则； 事件要求第一次为偶数且两次和为9，满足的情况为：，共2种： ； 由条件概率公式得：． 题型二 条件概率的性质及应用 解｜题｜技｜巧 解题先牢记条件概率核心性质：非负性、规范性、可加性，以及 P( )＝1－P(B) 简化运算。遇到复杂事件优先拆分，利用互斥事件性质转化，减少计算量。应用时先锁定条件事件，缩小样本空间，再结合古典概型计数。 多事件场景用概率加法公式，避免重复计算。题目求对立条件概率时，直接用补集性质快速求解。实际问题中先判断事件关系，规范套用公式，分步列式，先算条件概率再综合结果，注重逻辑清晰与计算准确，提升解题速度与正确率。 【典例1】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【答案】 【详解】已知， ， ， ． 【典例2】设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 【变式1】下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 【答案】BCD 【分析】利用互斥事件，相互独立事件同时发生乘法公式，条件概率公式来进行判断即可. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，对于古典概型，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，则， 所以，故与独立，即事件与独立，D对． 故选：BCD． 题型三 全概率公式 解｜题｜技｜巧 运用全概率公式解题，首先找准完备事件组，将复杂事件合理划分成互不重叠且覆盖全部情况的若干部分。明确每个原因事件发生的概率，以及在该条件下目标事件发生的条件概率。严格按照公式分步计算，先求每组乘积再求和。 解题时先梳理逻辑链条，分类做到不重不漏。遇到先后抽样、多环节结果、多原因导致同一结果的题型优先使用该公式。计算前先理清事件关系，书写时步骤规范，先写公式再代入数值，细心运算避免出错，常与贝叶斯公式配套使用，为逆概率计算打好基础。 【典例1】设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （     ） A． B．若 ，则 C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，举反例即可判断；利用条件概率公式及概率的性质可判断BC，利用全概率公式可判断D. 【详解】对于A，设为“掷骰子点数为偶数”，为“掷骰子点数为奇数”，为“掷骰子点数大于2”， 则，，此时，故A错误； 对于B，，所以， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 【典例2】若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意，结合全概率公式得，再解不等式即可得答案. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球、黑球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件， 则，，， 所以，根据全概率公式得： ， 所以，整理得：，解得， 所以满足题意的的最小值为. 【变式1】三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 / 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 题型四 贝叶斯公式 解｜题｜技｜巧 解题先分清“结果”与“原因”，用贝叶斯公式由果推因。先确定完备事件组，再用全概率算出总概率作分母，分子为对应原因概率与条件概率之积。审题时找准先验概率与后验概率，严格套用公式结构。常与产品检测、疾病筛查、分类判断等题型结合，步骤固定：先写公式，再代入全概率结果与已知条件概率，分步计算。注意区分先后条件，避免分子分母混淆，计算细心不失误。规范书写步骤，先求总概率再算逆概率，熟练套路即可快速得分。 【典例1】三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【答案】 / 【详解】用表示“取到第批产品”，用表示“取到次品” 则，， 则 ； . 【典例2】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件 根据题目可得，，，， 根据全概率公式，可得：. （2）根据贝叶斯公式，可得： . 【变式1】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 【答案】D 【分析】根据概率的性质判断A，求出条件概率判断B，分别讨论奖品在1，2，3，4号箱子时，根据全概率公式计算出，再由条件概率公式求出 【详解】对选项A，因为四个箱子中奖品是等可能放置的，因此每个箱子有奖品的概率都相等，即，A错； 对选项B，表示2号箱子中有奖品，因此主持人不能打开2号箱，所以主持人只能从3号和4号箱子中选择一个打开，所以，B错； 对选项C，D，，说明主持人打开了3号箱， 奖品在1号箱子里，主持人可打开2，3，4号箱子，故， 奖品在2号箱子里，主持人只能打开3，4号箱子，故， 奖品在3号箱子里，主持人不可打开3号箱子，故， 奖品在4号箱子里，主持人可打开2，3号箱子，故， 由全概率公式得， ， ， ， 因此C错D正确. 题型五 求离散型随机变量的分布列 解｜题｜技｜巧 先准确确定随机变量的所有可能取值，做到不重不漏。再根据题意，结合古典概型、互斥、独立事件等知识，逐一算出每个取值对应的概率。计算完成后，务必验证所有概率之和是否为1，这是检验对错的关键。解题时按步骤书写：先定变量取值，再逐个求概率，最后规范列表。遇到分类计数问题要条理清晰，避免重复或遗漏。分布列是后续求期望、方差的基础，步骤规范、计算准确，就能保证整道概率题稳定得分。 【典例1】某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 【典例2】某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【答案】(1)7.7分钟 (2)（i）证明见解析（ii）元 【分析】（1）利用组中值法计算样本均值即可. （2）（i）根据条件概率公式证明即可. （ii）结合指数分布的数学期望计算即可. 【详解】（1）平均时间. （2）（i）证明：由题意知，， 分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B， 则 . 所以对于任意的，有. （ii）由（i）知， ， 所以费用的期望是（元）. 【变式1】甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【答案】(1) (2)的分布列为： 2 3 4 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率： . （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ，，. 所以的分布列为： 2 3 4 题型六 分布列的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 解题先牢记分布列核心性质：所有概率非负且总和为1。常用来求未知参数、检验结果正误。已知部分概率时，利用总和为1快速补算缺失值。应用时先列出变量取值与对应概率，再用性质验证，避免计算错误。涉及期望、方差计算前，先用性质判断分布列是否合法。遇到含参数题型，通过概率和为1列方程求解，同时保证每个概率在0到1之间。解题步骤清晰，先定性再计算，巧用性质简化运算，既提高速度又能有效自查纠错，保障基础分不丢。 【典例1】随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用概率和为求出参数的值，再根据概率非负得到的范围，然后写出期望，将方差表示为关于b的二次函数，结合的范围求出方差的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为解得， 所以， ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D. 【典例2】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】不存在，理由见解析 【分析】先根据分布列的性质得到关于的表达式，再代入数学期望公式，通过分析方程是否有解来判断是否存在满足条件的值. 【详解】假设存在且，使，即 又，即， 两式相比，整理得， 化简得，即 令则， 因为，所以在上存在唯一的，使得， 所以，即， 且当时，，当时，， 则在上为增函数，在上为减函数, 则 所以当时，, 即不存在值，使得. 【变式1】已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 题型七 利用定义求离散型随机变量的均值 解｜题｜技｜巧 先根据题意写出完整规范的分布列，确认随机变量所有取值及对应概率，并用概率和为1进行校验。严格按照均值定义公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi计算，将每个取值与对应概率相乘后逐项求和。计算时注意分步运算、细心核对，避免符号与算术错误。若题目直接给出分布列，可直接代入定义计算；若未给出，则先合理确定变量取值并求出概率。步骤上先列分布列，再套定义公式，最后算出结果，思路固定、步骤清晰，保证基础得分。 【典例1】已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由概率之和为1，求解即可； （2）由，求解即可. 【详解】（1）由，得. （2）， . 【典例2】一个盒子里装有除颜色外大小相同的3个红球、3个黄球，现依次从盒中抽取小球．若抽取出的是红球，则放回盒中；若抽取出的是黄球，则用一个同样大小的红球替换放回盒中． (1)求第2次抽取到的是红球的概率； (2)记3次抽取结束后盒子中黄球的个数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 ． 【分析】（1）记第次取到红球为事件，第次取到黄球为事件，，利用全概率公式求解； （2）根据概率的乘法公式求出分布列，再利用期望公式求解. 【详解】（1）记第次取到红球为事件，第次取到黄球为事件，． 则． （2）由题意，可以为0，1，2，3， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3    所以． 【变式1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 【答案】(1) (2)的分布列为： ​ 数学期望为. (3) 【分析】（1）甲获得分，有和获胜两种情况，根据事件的相互独立性和互斥事件的加法即可求解； （2）先确定随机变量的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式计算； （3）先求出的表达式，再利用均值不等式得到表达式的最大值. 【详解】（1）根据题意，每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立． 甲获胜时，概率为； 甲获胜时，前局甲胜局输局，第局甲胜，概率为； 因此甲得分的概率为. （2）甲的总得分的可能取值为， ；​ 对应甲获胜，前局甲胜局输局，第局甲胜： ；​ 对应乙获胜，前局乙胜局输局，第局乙胜： ；​ 对应乙或获胜，.​ 的分布列为： ​ 数学期望为. （3）由定义， 代入得 由基本不等式，当且仅当即时取等号. 因此 ，即的最大值为. 题型八 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 先依据分布列算出均值 E(X)，再套用方差定义公式D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 计算。也可利用简化公式 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 减少运算，先求 X^2 的期望，再减去均值平方。解题前务必核对分布列概率和为1，确保基础数据无误。计算时分步展开，避免符号与平方运算出错。方差反映数据波动程度，常与均值结合考查，步骤规范、计算细心即可得分，是概率大题中固定得分环节。. 【典例1】已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 【典例2】已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 【答案】C 【分析】利用期望和方差公式求解即可. 【详解】设,则，所以，解得：， 所以， 则 【变式1】甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用独立事件概率乘积公式计算再根据条件概率公式计算求解. 【详解】第一次出现正面的概率是， 第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是， 则． 故选：A. 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式直接计算可得. 【详解】设为事件“数学不及格”，为事件“语文不及格”，则 由条件概率公式， 所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为． 故选：A 3．设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算求解. 【详解】． 故选：C. 4．口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题及古典概率求解. 【详解】依题意，的事件有个基本事件，的事件有个基本事件， 所以. 故选：B 5．设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 【答案】BCD 【分析】对于选项A，根据样本期望是随机变量，总体均值是定值即可判断；对于选项B，结合期望的含义即可判断；对于选项C，利用方差的非负性公式即可判断；对于选项D，结合期望计算公式判断. 【详解】对于A，用样本估计总体时，样本的均值为随机变量，总体的均值是固定的，故错误； 对于B，期望的含义是反映了随机变量取值的平均水平，故正确； 对于C,故正确； 对于D,分布的期望为，故正确． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 【答案】 【分析】分别求出事件的对立事件和事件包含的样本点个数，再利用求解即可. 【详解】两位游客从4个景点中任选，每人有4种选择，总事件数：种． 事件的对立事件为“两位游客都不选择古汉台”，的事件数：种， 事件分为两种情况：甲选古汉台，乙选其余3个景点，3种； 乙选古汉台，甲选其余3个景点，3种； 共种事件， 所以． 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分别求得事件和的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，共有种情形， 其中事件“至少出现一个6点”的情况数为种，可得， 又由事件“两个点数不相同”，可得，所以， 由条件概率的公式，可得. 3．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记取出的 2个球中，有一个标号为1为事件，另一个标号为1为事件， 则，， 则. 4．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 【答案】0.68 【分析】结合题意，设出事件，根据条件概率的计算公式，直接求解即可. 【详解】设事件表示对此建筑构件第一次打击后没有受损，事件表示对此建筑构件第二次打击后没有受损， 则表示对此建筑构件实施两次打击且没有受损， 由题可知：，，故. 故答案为：. 5．某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） (1)记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； (2)求单个数据包可正确解码的概率． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由题意知数据包中误码个数服从二项分布，直接代入二项分布的期望公式和方差公式计算即可； （2）正确解码的条件是误码数不超过2，即，利用二项分布概率公式分别计算即可. 【详解】（1）由题意知， 所以，； （2）由（1）知，所以单个数据包可正确解码的概率为 ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 【答案】(1) (2)的分布列为，当最大时． 【分析】（1）先定义“输入的问题没有语法错误”、“一次应答被采纳” 两个事件，明确已知概率后，直接套用全概率公式，分“无错采纳” 和“有错采纳” 两类情况相加即可． （2）依据 “次独立重复试验+固定成功概率” 判定服从二项分布，列出分布列；最后通过计算相邻概率比值，解不等式找到单调区间，确定概率最大时的值 【详解】（1）记“输入的问题没有语法错误”为事件， “一次应答被采纳”为事件， 由题意，，，则 ， ． （2）依题意，， 所以的分布列为， 当最大时，有 即， 解得，， 故当最大时，． 2．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】(1) (2)该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. （2）若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 3．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 4．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）分析可知甲最终获胜的两种可能的比分为或，利用独立重复试验的概率公式可求得所求得甲获胜的概率； （2）分析可知，可得，记，解不等式，可得结果. 【详解】（1）根据题意可知，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或. 因为每局比赛的结果是独立的， 所以甲最终获胜的概率； （2）易得，，， 记， 则， 由，得， 即当时，， 当时，， 故当时，最大，所以的估计值为. 5．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 条件概率与随机变量分布列（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 利用定义求条件概率 题型02 条件概率的性质及应用 题型03 全概率公式 题型04 贝叶斯公式 题型05 求离散型随机变量的分布列 题型06 分布列的性质及其应用 题型07 利用定义求离散型随机变量的均值 题型08 求离散型随机变量的方差 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 利用定义求条件概率 理解条件概率定义，掌握公式计算与实际应用 条件概率是概率基础必考内容，多以选择、填空或解答小题出现。命题侧重定义辨析、公式直接套用，常结合古典概型、抽样场景考查。题目难度中等偏易，注重分步判断先后事件，区分P(A|B)与P(B|A)。高频考法为已知总数与部分事件数，直接代入公式计算；偶尔与互斥、独立事件综合，考查概念辨析，整体重基础、重审题，掌握定义与公式即可稳定得分。 全概率公式 熟记全概率公式，掌握分情况求和计算 全概率公式是概率解答题高频考点，常与古典概型、条件概率结合考查。命题多以分步抽样、多场景分类为背景，要求先划分完备事件组，再分别计算概率后求和。题目侧重逻辑分层，难度中等，重在分类不重不漏。常出现在大题第一问，为后续贝叶斯计算做铺垫。考法固定，以实际应用为主，注重步骤规范与计算准确，掌握分类思路与公式结构即可高效解题。 贝叶斯公式 熟记贝叶斯公式结构，会逆推条件概率 贝叶斯公式常作为概率解答题压轴小问，与全概率公式配套考查。命题多以“已知结果反推原因”为背景，需先利用全概率算总概率，再代入公式求逆概率。题目侧重逻辑推理，难度中等偏上，关键是分清先验与后验概率。常结合产品检验、疾病检测、抽样判断等情境，步骤固定、套路清晰，掌握公式结构与解题顺序，规范书写步骤即可得分，是高考概率大题的稳定得分点。 求离散型随机变量的分布列 掌握变量取值，规范求概率列分布 离散型随机变量分布列是概率大题核心考点，常以实际应用为背景命题。题型固定为先确定随机变量所有可能取值，再逐一计算对应概率，最后列表验证概率和为1。常结合古典概型、互斥事件、独立重复试验考查，难度中等。注重计算准确性与步骤规范性，分布列常作为期望、方差计算的基础步骤，命题情景贴近生活，思路清晰套路明确，是必须拿满分的题型。 利用定义求离散型随机变量的均值 牢记均值定义公式，准确计算加权平均 离散型随机变量均值是概率解答题必考点，常紧跟分布列之后考查。直接依据定义，用取值乘对应概率再求和即可，计算思路固定。题目多结合比赛、抽检、生产等实际情境，难度偏低，重在细心运算。常与方差综合设问，是基础得分环节。命题侧重步骤规范与结果准确，极少设置复杂变形，只要分布列正确，按定义列式一般不易失分，属于高考概率题中的稳定得分点。 求离散型随机变量的方差 熟记方差定义与公式，精准计算并理解意义 离散型随机变量方差是概率解答题常考内容，一般紧随分布列与均值之后设问，属于基础必得分点。命题多依托实际应用场景，直接套用方差公式计算，侧重考查计算准确性与步骤规范性。常与均值综合考查，用于判断数据稳定性、风险差异等，难度不高。解题关键是先准确求出均值，再代入公式运算，避免计算失误。整体考法固定、思路清晰，熟练公式与运算即可稳拿分数。 知识点01 条件概率与全概率公式 1．条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．我们称上式为概率的乘法公式． 3．条件概率的性质 设P(A)>0，则(1)P(Ω|A)＝1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P( )＝1－P(B)． 4．全概率公式 在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝P(Ai)P(B. 5．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意事件B⊆Ω，P(B)>0， 有P(Ai＝ i＝1，2，…，n. 6．在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率． 知识点02 离散型随机变量及其分布列 1．随机变量：随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件． 定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值. 3.随机变量和函数的关系：随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集． 4．离散型随机变量的分布列：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和(1)离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为 x1，x2，…，xn ，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称为分布列． (2)可以用表格来表示X的分布列，如下表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图． 5．离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1，2，…，n；(2) p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点03 离散型随机变量的数字特征 1．离散型随机变量的均值或数学期望 正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 2．两点分布的期望：一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p； 3．离散型随机变量的均值的性质 设X的分布列为P(X＝xi)＝ pi，i＝1，2，…，n.一般地，下面的结论成立：E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 4．离散型随机变量的方差、标准差 正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2 ，…，(xn－E(X))2 ，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称 D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． 5．几个常见的结论 (1)D(aX＋b)＝a2D(X)．(2)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． 题型一 利用定义求条件概率 解｜题｜技｜巧 解题时先明确条件事件B与所求事件A，紧扣条件概率定义P(B|A)＝。先判断样本空间变化，确定在B发生前提下的基本事件数，区分联合概率与条件概率。结合古典概型数清总事件数、B包含事件数及AB公共事件数，直接代入公式计算。审题时分清先后顺序，避免混淆P(A|B)与P(B|A)。步骤上先写定义式，再代入概率值，最后化简结果。遇到复杂问题可先列举基本事件，确保计数不重不漏，保证计算准确，规范书写步骤。 【典例1】已知，是两个随机事件，，下列命题错误的是（    ） A．若，相互独立，则 B．若事件，则 C．若，是对立事件，则 D．若，是互斥事件，则 【变式1】假设，是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将一枚均匀的骰子掷两次，记事件A为“第一次出现偶数点”，事件B为“两次出现的点数和为9”，则（   ） A． B． C． D． 题型二 条件概率的性质及应用 解｜题｜技｜巧 解题先牢记条件概率核心性质：非负性、规范性、可加性，以及 P( )＝1－P(B) 简化运算。遇到复杂事件优先拆分，利用互斥事件性质转化，减少计算量。应用时先锁定条件事件，缩小样本空间，再结合古典概型计数。 多事件场景用概率加法公式，避免重复计算。题目求对立条件概率时，直接用补集性质快速求解。实际问题中先判断事件关系，规范套用公式，分步列式，先算条件概率再综合结果，注重逻辑清晰与计算准确，提升解题速度与正确率。 【典例1】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则______． 【典例2】设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于随机事件的概率说法正确的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．对于古典概型，若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，则事件与独立 题型三 全概率公式 解｜题｜技｜巧 运用全概率公式解题，首先找准完备事件组，将复杂事件合理划分成互不重叠且覆盖全部情况的若干部分。明确每个原因事件发生的概率，以及在该条件下目标事件发生的条件概率。严格按照公式分步计算，先求每组乘积再求和。 解题时先梳理逻辑链条，分类做到不重不漏。遇到先后抽样、多环节结果、多原因导致同一结果的题型优先使用该公式。计算前先理清事件关系，书写时步骤规范，先写公式再代入数值，细心运算避免出错，常与贝叶斯公式配套使用，为逆概率计算打好基础。 【典例1】设 分别为随机事件 的对立事件，以下概率均不为零，则下列结论正确的有 （     ） A． B．若 ，则 C． D． 【典例2】若甲盒中有3个白球，2个红球，1个黑球，乙盒中有个白球个红球，2个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒取出的球颜色相同”的概率不小于，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 题型四 贝叶斯公式 解｜题｜技｜巧 解题先分清“结果”与“原因”，用贝叶斯公式由果推因。先确定完备事件组，再用全概率算出总概率作分母，分子为对应原因概率与条件概率之积。审题时找准先验概率与后验概率，严格套用公式结构。常与产品检测、疾病筛查、分类判断等题型结合，步骤固定：先写公式，再代入全概率结果与已知条件概率，分步计算。注意区分先后条件，避免分子分母混淆，计算细心不失误。规范书写步骤，先求总概率再算逆概率，熟练套路即可快速得分。 【典例1】三批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为；第三批占，次品率为．将三批产品混合，从混合产品中任取一件，这件产品是次品的概率为______；如果取到的产品是次品，则它是取自第一批产品的概率为______． 【典例2】设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为. (1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率； (2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率. 【变式1】在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示i号箱有奖品（，2，3，4），用表示主持人打开j号箱子（，3，4），下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为 D．若，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个 题型五 求离散型随机变量的分布列 解｜题｜技｜巧 先准确确定随机变量的所有可能取值，做到不重不漏。再根据题意，结合古典概型、互斥、独立事件等知识，逐一算出每个取值对应的概率。计算完成后，务必验证所有概率之和是否为1，这是检验对错的关键。解题时按步骤书写：先定变量取值，再逐个求概率，最后规范列表。遇到分类计数问题要条理清晰，避免重复或遗漏。分布列是后续求期望、方差的基础，步骤规范、计算准确，就能保证整道概率题稳定得分。 【典例1】某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【典例2】某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）： 等待时间 频数 20 14 10 6 (1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数. （i）证明：对于任意的，有； （ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值. 【变式1】甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 题型六 分布列的性质及其应用 解｜题｜技｜巧 解题先牢记分布列核心性质：所有概率非负且总和为1。常用来求未知参数、检验结果正误。已知部分概率时，利用总和为1快速补算缺失值。应用时先列出变量取值与对应概率，再用性质验证，避免计算错误。涉及期望、方差计算前，先用性质判断分布列是否合法。遇到含参数题型，通过概率和为1列方程求解，同时保证每个概率在0到1之间。解题步骤清晰，先定性再计算，巧用性质简化运算，既提高速度又能有效自查纠错，保障基础分不丢。 【典例1】随机变量的分布列如表：则的取值范围是（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【典例2】在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 是否存在值且，使得，请说明理由. 【变式1】已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 题型七 利用定义求离散型随机变量的均值 解｜题｜技｜巧 先根据题意写出完整规范的分布列，确认随机变量所有取值及对应概率，并用概率和为1进行校验。严格按照均值定义公式 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…xnpn＝xipi计算，将每个取值与对应概率相乘后逐项求和。计算时注意分步运算、细心核对，避免符号与算术错误。若题目直接给出分布列，可直接代入定义计算；若未给出，则先合理确定变量取值并求出概率。步骤上先列分布列，再套定义公式，最后算出结果，思路固定、步骤清晰，保证基础得分。 【典例1】已知随机变量的分布列： 1 2 3 4 5 (1)求a； (2)求，. 【典例2】一个盒子里装有除颜色外大小相同的3个红球、3个黄球，现依次从盒中抽取小球．若抽取出的是红球，则放回盒中；若抽取出的是黄球，则用一个同样大小的红球替换放回盒中． (1)求第2次抽取到的是红球的概率； (2)记3次抽取结束后盒子中黄球的个数为，求的分布列与数学期望． 【变式1】甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（没有平局，先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为，各局结果相互独立．比赛计分规则如下：若一方以或获胜，则胜者得分，败者得分；若一方以获胜，则胜者得分，败者得分． (1)求甲获得分的概率； (2)若，设甲的总得分为随机变量，求的分布列和数学期望； (3)已知甲在比赛中的总得分的分布列由决定．定义意外指数为，求的最大值． 题型八 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 先依据分布列算出均值 E(X)，再套用方差定义公式D(X)＝(x1－E(X))2 p1 ＋(x2－E(X))2 p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 计算。也可利用简化公式 D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 减少运算，先求 X^2 的期望，再减去均值平方。解题前务必核对分布列概率和为1，确保基础数据无误。计算时分步展开，避免符号与平方运算出错。方差反映数据波动程度，常与均值结合考查，步骤规范、计算细心即可得分，是概率大题中固定得分环节。. 【典例1】已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】已知随机变量的所有可能取值为0，1，2，且，则（   ） A．0.48 B．0.54 C．0.76 D．0.92 【变式1】甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则等于（   ） A． B． C． D． 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占，语文不及格的占，两门都不及格的占，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．设，为两个事件，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．口袋中有编号为1-10的10个小球，其中红球6个（编号1-6）､白球3个（编号7-9）､黑球1个（编号10）.采用不放回抽样，依次抽取3个小球，记随机变量为抽取到的红球个数，为抽取到的白球个数.已知抽取结果中恰好有2个白球，求此时红球个数为1的条件概率（    ） A． B． C． D． 5．设为样本的一个随机变量，则关于数学期望的表述正确的有（    ） A．样本估计总体时，总体的均值一定为 B．反应了取值的平均水平 C． D．若服从分布，则 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．两位游客准备分别从古汉台、拜将台、兴汉胜境、石门栈道风景区4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择古汉台”，事件“两位游客选择的景点不同”，则______． 2．抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件为“两个点数不相同”，为“至少出现一个6点”，则（   ） A． B． C． D． 3．袋子中有大小相同5个球，标号为0的球1个，标号为1、2的球各两个，从中任取2个，已知有一个标号为1，求另外一个标号也为1的概率（   ） A． B． C． D． 4．质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施两次打击，若没有受损，则认为该构件通过质检．若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85，当第一次没有受损时第二次实施打击也没有受损的概率为0.80，则该构件通过质检的概率为 _________ ． 5．某无线通讯系统传输数据包时，受高斯白噪声影响，每个比特（二进制位，是信息领域最小的信息单位）在传输过程中发生误码的概率均为0.08，单个数据包有10个比特，每个比特的传输过程相互独立．若接收端采用纠错技术，当单个数据包中误码数不超过2个时，可正确解码，否则需要重传．（规定：） (1)记单个数据包中发生误码的个数为，求的期望与方差； (2)求单个数据包可正确解码的概率． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．聊天机器人是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序．当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为． (1)求一个问题的应答被采纳的概率； (2)在某次测试中，输入了个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为，求的分布列及当最大时的值． 2．2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. (1)若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； (2)若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 3．二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 4．甲､乙两位同学进行纸飞机比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.比赛规则如下：三局两胜制指有一方获胜两局，比赛结束；四局三胜制指有一方获胜三局，比赛结束. (1)若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； (2)若，甲、乙进行了局比赛，表示甲获胜的局数，当且仅当时，取得最大值，其中，求满足条件的的值. 5．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $