专题06 四类分布（期中复习讲义）高二数学下学期苏教版

专题06 四类分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两点分布 题型02 二项分布的均值与方差 题型03 利用超几何分布的公式求概率 题型04 超几何分布的分布列 题型05 利用正态分布的对称性求概率 题型06 正态分布的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 掌握两点分布特征，熟记期望方差公式 两点分布是最简单的离散型分布，多以基础小题或大题背景出现，很少单独命题。常作为伯努利试验、二项分布的基础模型考查，核心是判断试验只有两种对立结果。题目侧重概念辨析与公式直接套用，难度较低。高频考法为给定参数直接求期望或方差，或在复杂分布中识别两点分布结构。掌握定义、参数含义及计算公式，即可快速解题，属于送分基础内容。 二项分布 识别二项分布模型，熟练计算期望与方差 二项分布是概率大题高频核心考点，多出现在实际应用问题中。题型以独立重复试验为主，判断成功概率固定、试验相互独立后，直接套用分布公式。常结合分布列、期望、方差综合考查，难度中等。解题关键是准确判定模型、确定n和p，再代入公式计算。考法稳定、思路固定，掌握判定条件与公式，规范书写步骤即可高效得分，是概率模块必须熟练掌握的重点内容。 超几何分布 识别超几何模型，熟记公式并正确计算 超几何分布是概率常考基础模型，多出现在抽样类小题或大题第一问。典型情景为无放回抽样，总体分两类，直接套用公式即可。命题侧重模型判断，区分有放回与无放回，避免与二项分布混淆。题目难度不高，重在识别特征、代入计算。常配合分布列、期望一起考查，步骤固定。掌握总体容量、次品数、抽取个数三个参数，就能快速列式，是概率题中易拿分的基础题型。 正态分布 理解正态曲线特征，活用对称性求概率 正态分布在高考中多以选择题、填空题出现，难度中等偏易，属于必考基础点。常围绕正态曲线对称性、3σ原则命题，重点考查区间概率计算。题目一般给出均值μ和标准差σ2，利用对称转化未知区间，结合总面积为1求解。很少出现复杂运算，重在图像理解与对称性应用。掌握对称轴位置、左右区域概率相等的规律，即可快速解题，是容易拿满分的基础题型。 知识点01 两点分布 于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． ·易错点：1. 把非对立结果当成两点分布，忽略只有两种互斥结果2. 混淆“成功”与“失败”对应的概率，导致 p 与 1-p 写反3. 忘记两点分布是特殊的二项分布，公式混用、计算出错4. 直接套用期望 E(X)=p、方差 D(X)=p(1-p) 时，参数代错5. 不验证概率和是否为 1，分布列书写不规范6. 题目多场景时，误将多个试验统一当成一个两点分布 知识点02 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ·易错点：1. 混淆独立重复试验条件，把非独立、概率不固定问题错用二项分布。2. 分不清抽取是否放回，把无放回抽样误判为二项分布，应是超几何分布。3. 公式记错，组合数下标上标写反，或概率 p 与 1-p 指数颠倒。4. 忽略随机变量取值范围，漏写可能取值导致分布列错误。5. 期望方差公式误用，错代 n,p 数值。6. 审题不清，把“至少”“至多”等事件转化错误。7. 计算组合数与乘方时粗心，结果出错。8. 步骤不规范，未先说明服从 X- B(n,p) 直接列式。 知识点03 超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． ·易错点：1.易与二项分布混淆，无放回抽样误用二项分布，有放回反而错用超几何分布。常混淆总体数量N、次品数M、抽取数n三个参数，代入公式时位置颠倒。组合数计算易错，分子分母结构记混，导致概率错误。忽略随机变量取值范围，出现超出合理区间的取值。期望公式E(X)=nM/N记错系数或比例关系。审题时忽略“不放回”关键条件，模型判断失误。计算时不化简、分步出错，最终结果偏差，步骤书写也常不规范。 知识点04 正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；(3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．正态分布的期望与方差:若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. ·易错点：混淆对称轴位置，错把标准差σ当作均值μ，或搞反μ与σ的意义。忽视正态曲线关于x=μ对称，导致区间概率转化错误。不会利用总面积为1进行补集运算，单侧概率计算易漏乘或多算。对3σ原则记忆模糊，常用区间概率数值记混。审题时忽略题目给定的μ和σ，盲目套用标准正态分布。将非对称区间强行对称拆分，造成逻辑错误。计算时不画示意图，仅凭想象导致概率区间判断失误。 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 先判断试验是否只有两种对立结果，符合即可用两点分布。设成功为1，概率为p；失败为0，概率为1-p，直接写出分布列。计算时牢记期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)，快速代入求解。解题先明确事件定义，分清成功与失败对应的概率，避免颠倒。最后用概率和为1检验结果。步骤简洁：判模型→定取值→写概率→套公式，注意规范书写分布列，确保基础计算不出错，快速拿到分数。 【典例1】分布列： 2 5 0.3 0.7 是两点分布吗？ 【答案】不是两点分布 【分析】由两点分布的概念判断即可. 【详解】不是.因为的取值不是0和1. 【变式1】对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列为： 0 1 ________ ________ 我们称服从两点分布或0－1分布. 【答案】 【变式2】已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 【答案】0.6/ 【分析】由两点分布可得答案. 【详解】由得， 所以． 故答案为：. 题型二 二项分布的均值与方差 解｜题｜技｜巧 先准确判断模型满足独立重复试验，确定试验次数 n 与单次成功概率 p，确认 X-B(n,p)。 直接套用公式：均值 E(X)=np，方差 D(X)=np(1-p)，无需再列分布列逐项计算。 审题时分清“至多、至少、恰好”等表述，不被复杂情境干扰，只抓 n 和 p 两个核心量。 计算前先简化数值，避免大数运算出错。牢记公式结构，不与超几何分布、两点分布混淆，步骤规范，直接代入即可快速得出结果。 【典例1】某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 【典例2】有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【答案】/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 【变式1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 题型三 利用超几何分布的公式求概率 解｜题｜技｜巧 先判断是否为无放回抽样，确定总体数N、目标类数量M、抽取数n。 严格套用超几何分布概率公式：，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 先确定k的合理取值范围，避免越界。 计算时分步算组合数，先约分再相乘减少运算量。 注意区分有放回与无放回，不与二项分布混淆。 分子为两类组合数相乘，分母为总组合数，结构清晰不易错。 最后核对参数位置与计算结果，保证概率准确。 【典例1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【答案】D 【分析】根据题意判断随机变量服从二项分布，根据二项分布期望方差的定义逐项判断. 【详解】由题意知，表示5个独立位置中出现1的个数，因此服从二项分布 . ，A错误； 二项分布期望，B错误； 两个五位二进制数都含2个1、3个0，概率均为 ，概率相同，C错误； 二项分布方差，D正确. 【典例2】已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出可能取值，求出可能取值的概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可能取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 期望. （2）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”； “甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . 【变式1】已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）求出可能取值，求出可能取值的概率，列出分布列，利用离散型随机变量的期望公式求出期望； （2）利用全概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可能取值为0，1，2， ， ， ， 0 1 2 期望. （2）设“甲箱中取出2个球都为白球”；“甲箱中取出2个球为一白一红”； “甲箱中取出2个球都为红球”；“乙箱中取出的1个球为白球” 由全概率公式： . 题型四 超几何分布的分布列 解｜题｜技｜巧 先判断为无放回抽样模型，确定总体N、目标个数M、抽取数n。写出随机变量X的所有可能取值，确保范围合理不越界。再逐一代入超几何概率公式计算对应概率，计算组合数时先约分简化运算。全部概率算出后，验证概率之和是否为1，自查正误。最后按规范列出分布列，清晰标注取值与对应概率。解题时注意区分与二项分布的场景差异，参数对应准确，计算细心，步骤完整即可快速完成。 【典例1】某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【答案】(1)分布列见解析(2) 【分析】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，由题意分析服从超几何分布，直接求出概率，写出分布列即可； （2）利用第一问直接求出能过关的概率． 【详解】（1）记抽到他会背诵的古诗词的数量为，则的所有可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 所以， 所以，， ，， 的概率分布列为： 0 1 2 3 （2）他能过关的概率为 【典例2】已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【答案】(1)，； (2) 0 1 2 3 4 【分析】（1）由二项分布进行求解； （2）由超几何分布进行求解． 【详解】（1）由题意知， 所以， （2）由题意知的所有可能取值为0，1，2，3，4， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 【变式1】一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)， 的分布列为： 【分析】（1）利用组合数求出样本空间中样本点的总数和随机事件中含有的样本点的个数，根据古典概型的概率公式可求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率. （2）先确定的可能的取值，再根据超几何分布可求 的分布列，最后根据期望公式可求. 【详解】（1）设为“抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元”， 则. （2）由题设有可取， 又，， ， 故的分布列为： 故. 题型五 利用正态分布的对称性求概率 解｜题｜技｜巧 先确定正态分布对称轴为 x=μ，曲线关于对称轴对称。解题时先画出示意图，标出μ 与σ2，将所求区间转化为对称区间。利用对称轴两侧概率相等，把不对称区间拆分为对称部分计算。结合总面积为1，用单侧概率求另一侧，或用补集间接计算。熟记 3σ原则常用区间概率，遇到对称区间直接取一半。先定对称轴，再转化区间，最后用对称性与总面积1联立求解，步骤清晰、计算简便。 【典例1】已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性，可得a值，根据基本不等式“1”的代换，计算化简，即可得答案. 【详解】因为，所以对称轴， 因为，所以， 则当时，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 【典例2】若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合正态分布曲线的对称性，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称， 因为，所以， 又因为，所以， 所以. 【变式1】已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8/ 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 题型六 正态分布的实际应用 解｜题｜技｜巧 解决正态分布实际问题，先从题意中提取均值μ和标准差σ，确定对称轴x=μ。借助对称性将所求区间转化为已知对称区间，结合总面积为1与3σ原则计算概率。遇到实际指标的合格范围、误差、身高成绩等服从正态分布的问题，先转化为标准区间，再用对称性与补集思想求解。注意分清左右侧概率，不混淆μ与σ，结合图像辅助判断，步骤规范、准确套用对称性即可快速得出实际概率或范围。 【典例1】某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】已知甲机器人作业时长，即，， 乙机器人作业时长，即，， ，故A错误； ，则，B正确； 设，则， ， ，故C正确； ， ，故D正确． 【典例2】某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【答案】(1) (2)合理，理由见解析. 【分析】（1）考察正态分布的对称性及其性质，重点在于理解正态分布密度曲线的对称性，利用给定区间概率计算概率. （2）理解小概率事件在统计决策中的含义. 【详解】（1）因为，即， 又因为， 所以 所以正常情况下，该AI单次分类的准确率得分大于99分的概率为 （2）测试人员的判断是合理的，理由如下： 设“AI单次分类的准确率得分大于99分的概率”为事件，则， 设 “两次分类准确率得分均大于99分”为事件，则两次测试相互独立， 因为是一个极小概率，根据小概率原理，小概率事件在一次实验中几乎不可能发生. 现在该事件发生了，说明“AI智能体运行正常”这一假设不成立，即出现了异常波动. 所以，测试人员的判断是合理的. 【变式1】为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】求出耗电量大于14kW·h/100km的汽车的概率，结合汽车总量1000即可得解. 【详解】由正态曲线的对称性知，， 于是耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过二项分布的期望，方差公式求解. 【详解】因为随机变量，所以， 解得，所以， 所以. 2．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 【答案】(1)分布列见解析； (2) 【分析】（1）由题意得，根据二项分布即可求解； （2）根据分布列先求，进而求解. 【详解】（1）由题意得：一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，则， 所以， ，， 所以的分布列为： 所以； （2）由（1）有：， 所以. 3．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】代入二项分布的期望和方差公式，以及方差的性质，即可求解. 【详解】由条件可知，，则，, 所以. 4．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 【答案】 0 1 2 3 ， 【分析】根据二项分布可求的分布列，再利用期望和方差公式可求的期望、方差. 【详解】设智能客服的回答被采纳的概率为， 由全概率公式可得， 智能客服每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布， 则，得到， ，， ，， 故， 得到的分布列为： 0 1 2 3 5．某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】C 【分析】根据题意可知属于二项分布，利用二项分布期望公式及期望性质求解. 【详解】设每个数据包成功接收的概率为， 由题意可知成功接收的数据包个数服从二项分布，即， 所以，. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 【答案】(1)甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为2人，乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为4人 (2)分布列见详解，的数学期望为2 (3) 【分析】（1）根据频率即可直接求得甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生人数； （2）记从乙班抽到的学生人数为，由题得随机变量符合超几何分布，则有，即可求，再计算均值即可. （3）从频率分布直方图，我们可以得到甲班的数据比较集中，乙班的数据比较分散，这说明甲班的离散程度小，数据波动小，方差也小，乙班的离散程度大，数据波动大，方差也大，故可得. 【详解】（1）甲班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人， 乙班每天学习时间不超过4小时的学生人数为人. （2）两个班级每天学习时间不超过4小时的学生人数共有6人，记从乙班抽到的学生人数为，易得随机变量符合超几何分布，的取值为 则有， 则，，， 则分布列为： 1 2 3 0.2 0.6 0.2 则，即的数学期望为2. （3）根据频率分布直方图，可以观察到甲班每天学习时间较为集中，乙班学习时间较为分散，故可得乙班数据波动较大，方差较大，则有. 2．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 3．在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出事件，由独立事件乘法公式求出结果； （2）根据独立重复试验概率公式求出结果； （3）判断出服从二项分布，代入公式即可求期望． 【详解】（1）设事件A表示“甲猜对”，事件B表示“乙猜对”，则，， 任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：； （2）任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次，乙猜对1次的概率为：； （3）甲猜对的次数为，，期望为. 4．一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的一等品件数，则的方差_____． 【答案】1.96 【详解】依题意，则. 5．某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由正态分布对称性可判断AB；由二项分布的知识判断CD. 【详解】A选项，由，得， 故， 由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，，B正确； C选项，由题意得，故，C错误； D选项，，D正确. 2．下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 3．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 【答案】(1)72分 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，可求得a值，分析可得选报物理方向的最低分在内，根据x值右侧面积和为，即可求得答案. （2）求出成绩在区间和的人数，分析可得X的可能取值，求出各个取值对应的概率，列出分布列，求出期望即可. 【详解】（1）由题意，解得， 成绩在的频率为0.1，在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为， 所以选报物理方向的最低分在内，则， 解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （2）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，的所有可能取值为， ， 故的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望为：． 4．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 【答案】(1) 0 1 2 3 4 5 ， (2) 0 1 2 3 4 5 【分析】（1）根据题意服从二项分布，然后求出的分布列、期望、方差； （2）为这名学生在首次停车前经过的路口数，即遇到红灯前经过的路口数或到校后经过的路口数，然后分别求概率. 【详解】（1）由题意可知，可取，服从二项分布， 则，， ，， ，. 由此得X的分布列 0 1 2 3 4 5 所以， . （2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数， 显然是随机变量，可取， ，，， ，，， 由此得Y的分布列 0 1 2 3 4 5 5．某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 【答案】(1)24 (2)0.18 【分析】（1）先算出两次摸到的球的颜色不同的概率，再根据二项分布期望公式求解； （2）运用全概率公式列方程求解. 【详解】（1）每次摸到黑球的概率，摸到红球的概率， 每名顾客两次摸到的球的颜色不同的概率． 由题意知，这名顾客中按方式①发放礼品的人数， 所以的数学期望． （2）记事件“按方式①发放礼品”，事件“按方式②发放礼品”，事件“发放礼品A一份”． 由（1）知，， ． 由全概率公式得， 所以，解得． 故估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于100元的比例为18%． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 四类分布（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 两点分布 题型02 二项分布的均值与方差 题型03 利用超几何分布的公式求概率 题型04 超几何分布的分布列 题型05 利用正态分布的对称性求概率 题型06 正态分布的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点分布 掌握两点分布特征，熟记期望方差公式 两点分布是最简单的离散型分布，多以基础小题或大题背景出现，很少单独命题。常作为伯努利试验、二项分布的基础模型考查，核心是判断试验只有两种对立结果。题目侧重概念辨析与公式直接套用，难度较低。高频考法为给定参数直接求期望或方差，或在复杂分布中识别两点分布结构。掌握定义、参数含义及计算公式，即可快速解题，属于送分基础内容。 二项分布 识别二项分布模型，熟练计算期望与方差 二项分布是概率大题高频核心考点，多出现在实际应用问题中。题型以独立重复试验为主，判断成功概率固定、试验相互独立后，直接套用分布公式。常结合分布列、期望、方差综合考查，难度中等。解题关键是准确判定模型、确定n和p，再代入公式计算。考法稳定、思路固定，掌握判定条件与公式，规范书写步骤即可高效得分，是概率模块必须熟练掌握的重点内容。 超几何分布 识别超几何模型，熟记公式并正确计算 超几何分布是概率常考基础模型，多出现在抽样类小题或大题第一问。典型情景为无放回抽样，总体分两类，直接套用公式即可。命题侧重模型判断，区分有放回与无放回，避免与二项分布混淆。题目难度不高，重在识别特征、代入计算。常配合分布列、期望一起考查，步骤固定。掌握总体容量、次品数、抽取个数三个参数，就能快速列式，是概率题中易拿分的基础题型。 正态分布 理解正态曲线特征，活用对称性求概率 正态分布在高考中多以选择题、填空题出现，难度中等偏易，属于必考基础点。常围绕正态曲线对称性、3σ原则命题，重点考查区间概率计算。题目一般给出均值μ和标准差σ2，利用对称转化未知区间，结合总面积为1求解。很少出现复杂运算，重在图像理解与对称性应用。掌握对称轴位置、左右区域概率相等的规律，即可快速解题，是容易拿满分的基础题型。 知识点01 两点分布 于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布． ·易错点：1. 把非对立结果当成两点分布，忽略只有两种互斥结果2. 混淆“成功”与“失败”对应的概率，导致 p 与 1-p 写反3. 忘记两点分布是特殊的二项分布，公式混用、计算出错4. 直接套用期望 E(X)=p、方差 D(X)=p(1-p) 时，参数代错5. 不验证概率和是否为 1，分布列书写不规范6. 题目多场景时，误将多个试验统一当成一个两点分布 知识点02 二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为： 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 4．一般地，可以证明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． ·易错点：1. 混淆独立重复试验条件，把非独立、概率不固定问题错用二项分布。2. 分不清抽取是否放回，把无放回抽样误判为二项分布，应是超几何分布。3. 公式记错，组合数下标上标写反，或概率 p 与 1-p 指数颠倒。4. 忽略随机变量取值范围，漏写可能取值导致分布列错误。5. 期望方差公式误用，错代 n,p 数值。6. 审题不清，把“至少”“至多”等事件转化错误。7. 计算组合数与乘方时粗心，结果出错。8. 步骤不规范，未先说明服从 X- B(n,p) 直接列式。 知识点03 超几何分布 超几何分布模型是一种不放回抽样 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N* ，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 2．超几何分布的期望 E(X)＝＝np(p为N件产品的次品率)． ·易错点：1.易与二项分布混淆，无放回抽样误用二项分布，有放回反而错用超几何分布。常混淆总体数量N、次品数M、抽取数n三个参数，代入公式时位置颠倒。组合数计算易错，分子分母结构记混，导致概率错误。忽略随机变量取值范围，出现超出合理区间的取值。期望公式E(X)=nM/N记错系数或比例关系。审题时忽略“不放回”关键条件，模型判断失误。计算时不化简、分步出错，最终结果偏差，步骤书写也常不规范。 知识点04 正态分布 1．正态曲线 正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线 函数f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数． 显然对于任意x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1．我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 2．由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(2)曲线在x＝μ处达到峰值；(3)当无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．正态分布的期望与方差:若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2． 4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. ·易错点：混淆对称轴位置，错把标准差σ当作均值μ，或搞反μ与σ的意义。忽视正态曲线关于x=μ对称，导致区间概率转化错误。不会利用总面积为1进行补集运算，单侧概率计算易漏乘或多算。对3σ原则记忆模糊，常用区间概率数值记混。审题时忽略题目给定的μ和σ，盲目套用标准正态分布。将非对称区间强行对称拆分，造成逻辑错误。计算时不画示意图，仅凭想象导致概率区间判断失误。 题型一 两点分布 解｜题｜技｜巧 先判断试验是否只有两种对立结果，符合即可用两点分布。设成功为1，概率为p；失败为0，概率为1-p，直接写出分布列。计算时牢记期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)，快速代入求解。解题先明确事件定义，分清成功与失败对应的概率，避免颠倒。最后用概率和为1检验结果。步骤简洁：判模型→定取值→写概率→套公式，注意规范书写分布列，确保基础计算不出错，快速拿到分数。 【典例1】分布列： 2 5 0.3 0.7 是两点分布吗？ 【变式1】对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列为： 0 1 ________ ________ 我们称服从两点分布或0－1分布. 【变式2】已知随机变量服从两点分布，且，令，则______． 题型二 二项分布的均值与方差 解｜题｜技｜巧 先准确判断模型满足独立重复试验，确定试验次数 n 与单次成功概率 p，确认 X-B(n,p)。 直接套用公式：均值 E(X)=np，方差 D(X)=np(1-p)，无需再列分布列逐项计算。 审题时分清“至多、至少、恰好”等表述，不被复杂情境干扰，只抓 n 和 p 两个核心量。 计算前先简化数值，避免大数运算出错。牢记公式结构，不与超几何分布、两点分布混淆，步骤规范，直接代入即可快速得出结果。 【典例1】某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【典例2】有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 【变式1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 题型三 利用超几何分布的公式求概率 解｜题｜技｜巧 先判断是否为无放回抽样，确定总体数N、目标类数量M、抽取数n。 严格套用超几何分布概率公式：，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 先确定k的合理取值范围，避免越界。 计算时分步算组合数，先约分再相乘减少运算量。 注意区分有放回与无放回，不与二项分布混淆。 分子为两类组合数相乘，分母为总组合数，结构清晰不易错。 最后核对参数位置与计算结果，保证概率准确。 【典例1】某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数（例如01001），每个位置出现的数字相互独立，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，下列说法正确的是（   ） A． B． C．五位二进制数10100与10001出现的概率不相同 D． 【典例2】已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 【变式1】已知甲箱子中有5个白球和3个红球，乙箱子中有4个白球和3个红球（两箱中的球除颜色外，没有其他区别）. (1)若从甲箱中任取2个球，求摸出的2个球中的红球的个数的概率分布列和期望； (2)若先从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个球，求取出的这个球是白球的概率. 题型四 超几何分布的分布列 解｜题｜技｜巧 先判断为无放回抽样模型，确定总体N、目标个数M、抽取数n。写出随机变量X的所有可能取值，确保范围合理不越界。再逐一代入超几何概率公式计算对应概率，计算组合数时先约分简化运算。全部概率算出后，验证概率之和是否为1，自查正误。最后按规范列出分布列，清晰标注取值与对应概率。解题时注意区分与二项分布的场景差异，参数对应准确，计算细心，步骤完整即可快速完成。 【典例1】某班组织同学开展古诗词背诵活动，老师要从10篇古诗词中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能过关．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的古诗词的数量的分布列； (2)他能过关的概率． 【典例2】已知甲盒中有2个红球，4个白球，乙盒中有3个红球，5个白球，这些球除了颜色外完全相同． (1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，记这3次中取出红球的次数为随机变量，求的数学期望和方差； (2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为随机变量，求的分布列． 【变式1】一个彩票盒中装有 12 张刮开前外表相同的彩票， 其中奖金为 500 元的一等奖彩票有 2 张， 奖金为 300 元的二等奖彩票有 3 张，奖金为 100 元的三等奖彩票有 7 张，从中随机抽出 3 张彩票. (1)求抽出的 3 张彩票的奖金总额不高于 700 元的概率； (2)记 表示抽出 3 张彩票中一等奖彩票的张数，求 的分布列与数学期望. 题型五 利用正态分布的对称性求概率 解｜题｜技｜巧 先确定正态分布对称轴为 x=μ，曲线关于对称轴对称。解题时先画出示意图，标出μ 与σ2，将所求区间转化为对称区间。利用对称轴两侧概率相等，把不对称区间拆分为对称部分计算。结合总面积为1，用单侧概率求另一侧，或用补集间接计算。熟记 3σ原则常用区间概率，遇到对称区间直接取一半。先定对称轴，再转化区间，最后用对称性与总面积1联立求解，步骤清晰、计算简便。 【典例1】已知随机变量，且，则当时，的最小值为___________. 【典例2】若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知随机变量服从正态分布，若，则______. 题型六 正态分布的实际应用 解｜题｜技｜巧 解决正态分布实际问题，先从题意中提取均值μ和标准差σ，确定对称轴x=μ。借助对称性将所求区间转化为已知对称区间，结合总面积为1与3σ原则计算概率。遇到实际指标的合格范围、误差、身高成绩等服从正态分布的问题，先转化为标准区间，再用对称性与补集思想求解。注意分清左右侧概率，不混淆μ与σ，结合图像辅助判断，步骤规范、准确套用对称性即可快速得出实际概率或范围。 【典例1】某智能生产线对甲、乙两种型号的工业机器人进行单次标准作业耗时测试（单位：秒），作业时长分别服从正态分布，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】某科技公司研发的AI智能体在进行图象分类任务时，单次分类的准确率X（单位：分）服从正态分布． (1)求正常情况下，该AI单次分类的准确率大于99分的概率； (2)某天测试人员随机抽取了该AI的两次分类结果，发现两次的准确率得分均大于99分．测试人员根据这两次测试结果，判断该AI智能体出现了异常波动，要求立即暂停研发更新并进行算法排查．请问测试人员的判断是否合理？请说明理由． 附：若，则，，． 【变式1】为研究某型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个该型号新能源汽车样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则该型号新能源汽车样本中耗电量大于14kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．设随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 2．抛掷一枚质地均匀的硬币4次，设正面朝上的次数为． (1)求的分布列、数学期望与方差； (2)求的值． 3．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 4．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．在某次测试中输入了3个问题，设表示智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差． 5．某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据.卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（    ） A．26 B．24 C．22 D．20 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间.这两个班级各有40名学生，均提供了有效的数据，将样本数据整理得到如下频率分布直方图： (1)已知该校高三年级共有600名学生，根据统计数据知，甲班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.05，乙班每天学习时间不超过4小时的学生频率为0.1，求甲、乙两班每天学习时间不超过4小时的学生各多少人？ (2)从甲、乙两个班级每天学习时间不超过4小时的学生中随机抽取3人，记从乙班抽到的学生人数为，求的分布列和数学期望； (3)记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较，的大小.（只需写出结论） 2．小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 3．在某次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，每道灯谜由甲、乙两名同学各自独立竞猜一次，甲同学猜对概率为0.4，乙同学猜对概率为0.6，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求： (1)任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率： (2)任选2道灯谜，恰好甲猜对了2次乙猜对1次的概率； (3)记20道灯谜猜灯谜活动中，甲猜对的次数为，求的期望． 4．一批产品的一等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的一等品件数，则的方差_____． 5．某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 3．某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图． (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (2)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量，求的分布列及数学期望． 4．一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差； (2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； 5．某商场为了吸引顾客，举办抽奖活动，顾客可凭购物发票参与活动一次，规则如下：一个袋子中装有5个除颜色不同外其余均相同的小球，其中2个黑球和3个红球，顾客从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球，若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①发放礼品，否则按方式②发放礼品． 方式①：若第一次摸到的是红球，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． 方式②：若购物发票上的金额不低于100元，则发放礼品A一份，否则发放礼品B一份． (1)若有名顾客参与抽奖活动，用X表示其中按方式①发放礼品的人数，求的数学期望； (2)抽奖活动后，统计得到，发放的礼品中，礼品A与礼品B的份数的比例为，试估计参与抽奖活动的顾客中，购物发票上的金额不低于元的比例．（结果保留两位有效数字） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $