8.4.1 平面 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4.1平面 【学习目标】 了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法. 【学习重难点】 1. 掌握关于平面基本性质的三个基本事实．（重点） 2. 能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．（难点） 【学习过程】 一、新知引入 前面我们初步认识了简单几何体的组成元素，知道了顶点、棱(直线段)、平面多边形是构成棱柱、棱锥等多面体的基本元素，我们以直观感知的方式认识了这些基本元素之间的相互关系，从而得到了多面体的一些结构特征．为了进一步认识立体图形的结构特征，需要对点、直线、平面之间的位置关系进行研究．本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上，研究空间点、直线、平面之间的位置关系． 二、探究新知 问题1　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． 问题2　自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”，三脚架的三脚着地就可以支撑照相机.借助此类现象思考：两点确定一条直线，几个点确定一个平面呢？过空间一点有几个平面？两个点呢？三个点呢？ 提示　不共线的三个点；无数个平面；无数个平面；如果三点共线，则有无数个平面，如果三点不共线，有唯一的一个平面． 问题3　若把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在桌面上.借助此类现象思考：如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内呢？如果直线与平面有两个公共点，直线在平面内吗？ 提示　不在；在． 问题4　我们把三角尺的一个顶点直立在桌面上，则该三角尺所在的平面与桌面是否只有一个公共点？借助此类现象思考：两个不重合的平面相交有几条直线？ 提示 不是．三角尺所在的平面是可以无限延展的，用它去“穿透”课桌面，两个平面相交于一条直线． 结论形成： 1．平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点：平面ABCD； ②对角顶点：平面AC或平面BD； ③希腊字母：平面α，平面β，平面γ 2. 点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 直线l在平面α内 l⊂α 直线l不在平面α内 l⊄α 平面α，β相交于直线l α∩β＝l 3. 基本事实 内容 图形 符号 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 4. 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 例题解析 例1. (1)(多选题)下列说法正确的是(　　) A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001 cm 答案　AB 解析　平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． (2)若点A在直线b上，直线b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系可以记作(　　) A．A∈b∈β　　　　　　 B．A∈b⊂β C．A⊂b⊂β D．A⊂b∈β 答案 B 练习1. 如图所示，用符号语言可表述为(　　) A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 答案 A 例2. 求证：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内． 已知：AB∩AC＝A，AB∩BC＝B，AC∩BC＝C. 求证：直线AB，BC，AC共面． 证法一　∵AC∩AB＝A，∴直线AB，AC可确定一个平面α. ∵B∈AB⊂α，C∈AC⊂α，∴B∈α，C∈α，故BC⊂α. 因此直线AB，BC，AC都在平面α内，∴直线AB，BC，AC共面． 证法二　∵A不在直线BC上，∴点A和直线BC可确定一个平面α. ∵B∈BC⊂α，∴B∈α，又A∈α，∴AB⊂α. 同理AC⊂α，故直线AB，BC，AC共面． 证法三　∵A，B，C三点不在同一条直线上，∴A，B，C三点可以确定一个平面α. ∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α， 同理BC⊂α，AC⊂α， 故直线AB，BC，AC共面． 练习2. 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面． 证明　如图所示．由已知a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α. 设a∩l＝A，b∩l＝B， ∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l， ∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面． 例3.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． 证明　∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN⊂平面ABCD，Q∈直线EF⊂平面ADD1A1， 又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线． 练习3.如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点． 证明　∵梯形ABCD中，AD∥BC， ∴AB，CD是梯形ABCD的两腰， ∴AB，CD必定相交于一点， 如图，设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， 又∵α∩β＝l， ∴M∈l.即AB，CD，l共点． 四、布置作业 课本77页1-4题 五、课后反思 第 2 页 共 5页 学科网（北京）股份有限公司 $