8.4.1平面 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 【学习目标】 　　1.了解平面的概念,掌握平面的画法及表示方法. 　　2.了解平面的基本性质,即基本事实1、基本事实2、基本事实3. 　　3.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类及表示. ◆ 知识点一　平面 1.平面的概念:几何里所说的平面就是从桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来的,是向　　　　　　　　　　　　　　.  2.平面的画法与表示 平面 水平放置 竖直放置 画法 表示 ①希腊字母:平面α,平面β,平面γ; ②平行四边形的四个顶点:平面　　　　;  ③平行四边形的对角顶点:平面AC或平面BD 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面就是平行四边形. (　 ) (2)两个平面拼在一起,要比一个平面大. (　 ) (3)空间图形中,后引的辅助线都是虚线. (　 ) ◆ 知识点二　点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达 文字语言 符号语言 图形语言 点与 直线 A在l上 A∈l A在l外 A∉l 点与 平面 A在α内 A∈α A在α外 A∉α 直线与 直线 l,m相交于A l∩m=A 直线与 平面 l在α内 l⊂α l在α外 l⊄α 平面与 平面 α,β相交于l α∩β=l ◆ 知识点三　平面的基本性质 1.三个基本事实 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实1 过　　　　　　　　　　的三个点,有且只有一个平面  A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α,使A,B,C∈α ①确定平面的依据; ②判定点线共面 基本 事实2 如果一条直线上的　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α ①确定直线在平面内的依据; ②判定点在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有　　　公共点,那么它们有且只有　　　　　　　的公共直线  P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l ①判定两平面相交的依据; ②判定点在直线上 2.三个推论 推论1　经过一条直线和　　　　　　　　一点,有且只有一个平面,如图(1).  推论2　经过两条　　　　直线,有且只有一个平面,如图(2).  推论3　经过两条　　　　直线,有且只有一个平面,如图(3).  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合. (　 ) (2)平面α与平面β相交,它们有有限个公共点. (　 ) (3)若线段AB在平面α内,则直线AB可能不在平面α内. (　 ) (4)四边形可以确定一个平面. (　 ) ◆ 探究点一　对平面概念的理解 例1 下列说法正确的是 (　 ) A.铺的很平的一张白纸是一个平面 B.平面是矩形或平行四边形 C.两个平面叠在一起比一个平面厚 D.平面的直观图一般画成平行四边形 变式 (多选题)下列说法正确的是 (　 ) A.一个平面长3 m,宽2 m B.任何一个平面图形都是一个平面 C.平面内有无数个点,平面可以看成点的集合 D.一个平面可以将空间分成两部分 ◆ 探究点二　立体几何三种语言的相互转化 例2 用符号表示下列语句,并画出相应的图形: (1)点A在平面α内,点B在平面α外; (2)直线a经过平面α外的一点M; (3)直线a既在平面α内,又在平面β内. 变式 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系. (1)点P与直线AB; (2)点C与直线AB; (3)点M与平面ABCD; (4)点A1与平面ABCD; (5)直线AB与直线BC; (6)直线AB与平面ABCD; (7)平面A1B与平面ABCD. ◆ 探究点三　共点、共线问题 角度1　三线共点问题 例3 如图,已知平面α,β,且α∩β=l,设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证:AB,CD,l三线共点. 变式 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P,Q分别是棱A1B1,A1C1上的点,且四边形BCQP为梯形.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点. 角度2　三点共线问题 例4 [教材P132T8] 如图,△ABC在平面α外,AB∩α=P,BC∩α=Q,AC∩α=R,求证:P,Q,R三点共线. 变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若直线MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. [素养小结] (1)证明线共点问题常用的方法是先证明其中两条直线交于一点,再证明这一点在其余的直线上,在证明后者时,往往依据基本事实3,从而只需证明此点在两个平面的交线上. (2)点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上,主要证明依据是基本事实3,解决此类问题常用以下两种方法: ①首先找出两个相交平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3知,这些点都在这两个平面的交线上; ②选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. ◆ 探究点四　共面问题 例5 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 变式 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别是BC,PC的中点,点G在PD上,且PG=PD,证明:A,E,F,G四点共面. [素养小结] 证明共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题,主要依据是基本事实1、基本事实2及推论.通常有两种方法:(1)先由部分元素确定一个平面,再证明其余元素也在该平面内;(2)先由有关的点、线确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. 拓展 求证:两两相交但不过同一点的四条直线共面. 8.4　空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.1　平面 【课前预习】 知识点一 1.四周无限延展的　2.ABCD 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)平面是向四周无限延展的. 知识点三 1.不在一条直线上　两个点　一个　一条过该点 2.这条直线外　相交　平行 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)由基本事实1可知正确. (2)一定有无限个公共点. (3)由线段AB在平面α内知,直线AB上至少有两点在平面α内,则由基本事实2知,直线AB在平面α内. (4)空间四边形不能确定一个平面. 【课中探究】 探究点一 例1　D　[解析] 根据平面的定义得,平面是向四周无限延展的,且平面是没有厚度的,所以选项A,B,C都是错误的,D是正确的.故选D. 变式　CD　[解析] 对于A,平面可以无限延展,故A错误;对于B,平面图形和平面是完全不同的两个概念,平面图形是有大小的,它是不可以无限延展的,故B错误;对于C,由平面的性质可知,平面内有无数个点,平面可以看成点的集合,故C正确;对于D,平面是无限延展的,一个平面可以将空间分成两部分,故D正确.故选CD. 探究点二 例2　解:(1)A∈α,B∉α,如图①. (2)M∉α,M∈a,如图②. (3)a⊂α,a⊂β(或α∩β=a),如图③. 变式　解:(1)点P∈直线AB. (2)点C∉直线AB. (3)点M∈平面ABCD. (4)点A1∉平面ABCD. (5)直线AB∩直线BC=B. (6)直线AB⊂平面ABCD. (7)平面A1B∩平面ABCD=直线AB. 探究点三 例3　证明:∵梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两腰,∴AB,CD必定相交于一点. 设AB∩CD=M,∵AB⊂α,CD⊂β, ∴M∈α,M∈β,∴M∈α∩β. 又∵α∩β=l,∴M∈l,即AB,CD,l三线共点. 变式　证明:∵四边形BCQP为梯形,∴直线BP,CQ相交,设交点为R,则R∈BP,R∈CQ. ∵BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C,∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C, ∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上, 即R∈AA1,∴直线AA1,BP,CQ相交于一点. 例4　证明:∵AB∩α=P,AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. 又P∈α,∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q,R均在这条交线上, ∴P,Q,R三点共线. 变式　证明:∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF. ∵M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD, ∴MN⊂平面ABCD,∴Q∈平面ABCD. 同理,Q∈平面ADD1A1.∵平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 探究点四 例5　证明:方法一(纳入法):∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3=B,∴B∈l2, 又l2⊂α,∴B∈α.同理可证C∈α,又B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α,∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 方法二(重合法):∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α.∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β, ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内,∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 变式　证明:如图,在平面ABCD内,连接AE并延长,交DC的延长线于点M,则有CM=CD.在平面PCD内,连接GF并延长,交DC的延长线于点M1.取GD的中点N,连接CN,EF,则由PG=PD可知PG=GN=ND.∵点F为PC的中点,∴FG∥CN,即GM1∥CN,∴在△GM1D中,CM1=CD,∴点M与点M1重合,即AE与GF相交于点M,∴A,E,F,G四点共面. 拓展　证明:分两种情况讨论: (1)有三条直线过同一点,如图①所示.∵A∉d,∴点A与直线d可以确定一个平面α,又B,C,D∈d,∴B,C,D∈α,∴AB⊂α,AC⊂α,AD⊂α,∴a,b,c,d四条直线共面. (2)任意三条直线都不过同一点,如图②所示. ∵a∩b=A,∴直线a与直线b可以确定一个平面α, 又D,E∈b,B,C∈a,∴D,E∈α,B,C∈α. 由B,E∈α,得c⊂α;由C,D∈α,得d⊂α. 因此a,b,c,d四条直线共面. 综上,两两相交但不过同一点的四条直线共面. 学科网（北京）股份有限公司 $