第4章 因式分解（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材浙教版七年级下册

第4章 因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误． 【详解】A、，故本选项符合题意； B、，则，故本选项不符合题意； C、，则，故本选项不符合题意； D、，则，故本选项不符合题意． 2．若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式将变形为，再代入已知条件计算即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 【答案】C 【分析】根据因式分解和整式乘法的定义进行判断即可． 【详解】解：①左边多项式，右边整式乘积形式，属于因式分解； ②左边整式乘积，右边多项式，属于整式乘法． 综上，①是因式分解，②是整式乘法． 4．淇淇的因式分解为：，被覆盖处应为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的实际运用．熟悉运用提取公因式，利用公式法进行因式分解，是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：因式分解， 提取公因式，得：， 根据平方差公式因式分解，得：． 故选：． 5．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 【答案】C 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 本题主要考查了用公式法分解因式，能够将原式进行正确变形是解决此题的关键． 【详解】解：原式 = + + 故选：C． 6．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 7．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键．甲看错了，但正确；乙看错了，但正确，从甲的分解结果求出的值，从乙的分解结果求出的值，得到正确多项式后再因式分解即可． 【详解】解：甲看错了的值，分解的结果是， 正确，， 乙看错了的值，分解的结果是， 正确，， 正确多项式为， 因式分解得． 故选：A． 8．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，先将代数式分解因式，再根据密码手册匹配对应的字． 【详解】解： ． 根据密码手册：对应“勤”，对应“奋”，对应“自”，对应“主”， ∴密码信息为“勤奋自主”． 故选：D． 9．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】将三个等式相加后配方，利用非负数的性质求出m、n、p的值，再计算和即可． 【详解】解：将三个已知等式左右分别相加，得， 整理得， 对左边配方得， 即， ∵ 任意实数的平方为非负数，三个非负数的和为0， ∴ 每个平方均为0， ∴，，， ∴． 10．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式的应用知识点，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 本题根据完全平方公式，分析多项式的结构，得出“中间项系数需满足与首项、末项的关系”的结论，进而通过解方程求出的值，即可解决根据完全平方式的结构特征求字母参数的问题． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∵， ∴， 即：， 当时，； 当时，， 综上：或． 故选 ：B． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 12．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解． 【详解】解：展开 ，与原式比较系数， 得， 解得 ， 则． 故答案为：． 13．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 【答案】11 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 【答案】16 【分析】根据和完全平方公式解题即可． 【详解】解：由图可知， ， ∴， 解得． 15．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________． 【答案】6． 【分析】将所求代数式中的因式分解，再把代入，化简即可． 【详解】解：， 把代入得， 再把代入得； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了求代数式的值和因式分解以及整式计算，解题关键是熟练利用因式分解把所求代数式变形，然后整体代入求值． 16．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 【答案】或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 19．（8分）如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求可得，可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）证明：， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了列代数式，提公因式法分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据十进制数表示方法列出代数式即可； （2）根据（1）列出代数式，变形后，得出一定能被9整除． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∵， ∴ ∴一定能被9整除． 21．（10分）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)③ (2)有最大值，最大值为 【分析】本题主要考查了完全平方式的定义，用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式和完全平方式是解题的关键． （1）根据“完全平方式”的特点逐个判断即可； （2）利用完全平方公式把原代数式变形为，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：①②④都不是完全平方式，，则③是完全平方式； （2）解： ， ， ∴ ． 有最大值，最大值为． 22．（10分）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，正确理解题意是解题的关键． （1）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可； （2）先把原式变形为，再仿照题意分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 23．（10分）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 24．（10分）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了乘法公式的应用，会用规律进行逆向思维的应用是解决此题的关键． （1）分析题意，认真观察各式，等式右边的指数比左边的最高指数大1，利用此规律填空； （2）根据发现的规律，将其写成关于含有的式子即可； （3）将原式变形为，即可根据规律解答． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ； ； ． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为时，得数的次数应该为， ． 故答案为：． （3）原式 ． 故答案为： 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 3．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．都是因式分解 B．都是整式乘法 C．①是因式分解，②是整式乘法 D．①是整式乘法，②是因式分解 4．淇淇的因式分解为：，被覆盖处应为（    ）． A． B． C． D． 5．计算的结果为（    ） A．2026 B．20260 C．202600 D．2026000 6．如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 7．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么因式分解的正确结果为（    ） A． B． C． D． 8．小明是一名密码翻译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：勤，奋，博，自，主，学，现将因式分解，结果呈现的密码信息应是（） A．勤奋博学 B．博学自主 C．勤奋自学 D．勤奋自主 9．已知实数m、n、p满足，，，则的值等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 10．若是完全平方式，则实数的值为（   ） A． B．或 C．5 D．4 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：____________． 12．已知整式可以因式分解为，则的值为______． 13．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 14．边长分别为a和b的两个正方形按图的样式摆放，如果阴影部分的面积为58，，则_____． 15．若实数a，b满足，则代数式的值为_______________． 16．小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果：______________． 三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）分解因式： (1) (2) 19．（8分）如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 20．（8分）设是一个三位数，其中分别是这个三位数的百位、十位、个位上的数字． (1)用含的式子表示； (2)若，试说明一定能被9整除． 21．（10分）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式与叫做“完全平方式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小欣的解题步骤如下： ， ， ， 有最小值，最小值为4． 小欣的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式：①；②；③；④，其中是完全平方式的为______；（请填写序号） (2)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 22．（10分）阅读材料：我们知道 所以形如 的式子可以用完全平方公式因式分解． 类似地，对于 我们可以通过配方实现因式分解： 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解： (2)因式分解： 22．（10分）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 23．（10分）利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 24．（10分）观察下列各式 ； ； ； ．．． (1)根据以上规律，则：___________； (2)请归纳出一般规律：___________； (3)请根据你归纳出来的规律求的结果． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $