第4章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版七年级下册

第4章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的判定，需依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，来逐一判断选项． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个最简整式乘积的形式， ∴A选项，是整式的乘法运算，从乘积形式化为多项式，不属于因式分解； B选项，右边的不是整式，不符合因式分解的定义； C选项，右边不是乘积形式，不属于因式分解； D选项，将多项式化为了，即整式的乘积形式，属于因式分解； 故选：D． 2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解——提取公因式，熟练掌握公因式定义是关键． 公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是， 故选：B． 3．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法与平方差公式分解因式，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，需将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止． 【详解】解：， 故选：C． 4．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据完全平方公式分解因式的条件，需紧扣“三项式，两个平方项符号相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍”这一特征逐一判断选项． 【详解】解：，第三项不是与乘积的2倍， 故A不符合条件； ，与符号不同， 故B不符合条件； ，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件； ，符合完全平方公式分解因式的条件， 故D符合条件， 故选：D． 5．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及了整体代入的思想方法．先对所求代数式因式分解，转化为含已知条件的形式，再代入已知值计算求解． 【详解】∵ 又∵ ∴ 且 ∴原式， 故选：A． 6．因式分解，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键． 将用平方差公式分解得，由等式性质两边除以即可得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ． 故选：D． 7．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算，对比原式即可求出的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 等式两边同时消去，得， ∴． 8．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题运用平方差公式分解因式，再结合已知条件化简，即可求出结果. 【详解】解：， ∴ . 9．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用（提取公因式法、平方差公式），先提取公因式，再用平方差公式分解因式，得到，结合给定的对应关系，即可得出密码信息． 【详解】解： ∵，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”， ∴密码是由“信”，“爱”，“我”，“立”这四个汉字组成的， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选：B． 10．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的意义，通过作差法可得，分解因式得到，再根据偶次方的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴ ∴，即， 故选：B． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 12．已知，，则的值为______． 【答案】12 【分析】把所求式子因式分解为，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 13．如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 14．若，则代数式的值等于______． 【答案】49 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，根据平方差公式结合整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：49． 15．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式 ； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键． 通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： =． 故答案为：． 16．分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先将原式变形为，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到原式为，将看作整体，利用多项式乘以多项式的运算法则计算得到，然后根据完全平方公式分解即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 18．（8分）已知为整数，求证：能被整除． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了利用平方差公式分解因式，分解因式可得：原式，可知代数式中一定有个因数为，所以代数式能被整除． 【详解】证明： ， 为整数， 是整数， 能被整除， 能被整除． 19．（8分）如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来．设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压． 【答案】线路两端的电压为 【分析】本题考查了因式分解的应用，串联电路的电压公式，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 先对电压公式提取公因式简化计算，再代入电阻和电流的数值求出总电压． 【详解】解：． 当，，，时， 原式， 线路两端的电压为． 20．（8分）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查分解因式与整式乘法的关系，可以根据二者为互逆过程进行解答； 直接利用多项式乘法进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 21．（10分）如图在边长为的正方形空地的四个角上均留出一块边长为的正方形用来建水池，其余地方全部用来种植花卉．当时，求种植花卉区域的面积． 【答案】8040 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，运用平方差公式进行运算，掌握知识点是解题的关键． 由正方形面积减去四个小正方形面积求出剩余的面积，将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】解：由题意及图，得 种植花卉区域的面积为， 当时， ． 答：种植花卉区域的面积为. 22．（10分）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）用配方法，将改写为，由，可得，即可求解； （2）移项，配方可得，由，，可得，，即可求解． 【详解】（1）解：， ∵ ， ∴， ∴代数式的最小值为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ，． 23．（10分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 【答案】(1)45是“完美数” (2)符合条件的的值为10 【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果； （2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴45是“完美数”； （2）解： ， ∵为“完美数”， ∴， ∴， ∴符合条件的的值为10． 24．（10分）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 【答案】(1)生成的六位数密码是130162 (2)生成的五位数密码是26188 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式． （1）先求出当时，的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式得，再求出当，时，各个式子的值，从而求出密码即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ， ∴生成的六位数密码是：130162； （2）解： ， 当时，， 将18，26，8这三个数值按从大到小的顺序排列为26，18，8， ∴生成的五位数密码是26188． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 因式分解（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 4．下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 5．若，则的值为（   ） A．6 B．12 C．18 D．24 6．因式分解，则代数式等于（   ） A． B． C． D． 7．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2 9．小明是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，，，，，，分别对应“信”，“爱”，“我”，“立”，“最”，“美”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我最爱美 B．我爱立信 C．最爱立信 D．最美立信 10．已知任意实数满足等式，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．分解因式：______． 12．已知，，则的值为______． 13．如果因式分解的结果为，那么_________． 14．若，则代数式的值等于______． 15．我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式， 例如：分解因式 ； 请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______． 16．分解因式：______． 3. 解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)． 18．（8分）已知为整数，求证：能被整除． 19．（8分）如下图，把（单位：）、、三个电阻串联起来．设线路上通过的电流为（单位：），线路两端的电压为（单位：），则．当，，，时，求线路两端的电压． 20．（8分）在分解因式时，甲看错了，分解结果为；乙看错了，分解结果为，求的值． 21．（10分）如图在边长为的正方形空地的四个角上均留出一块边长为的正方形用来建水池，其余地方全部用来种植花卉．当时，求种植花卉区域的面积． 22．（10分）求代数式的最小值． 解：原式． ， ， 的最小值为3. (1)仿照例题，用配方法求代数式的最小值． (2)若，求，的值 23．（10分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”． (1)通过计算判断45是否为“完美数”； (2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值． 24．（10分）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $