专题5.2 旋转（1大考点+9大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

本讲义聚焦初中数学“旋转”核心知识点，从生活实例（如风车、钟表指针）引入，明确旋转三要素，通过操作探究旋转性质，进而落实作图与应用，搭建从具体到抽象的几何变换学习支架。 资料以数学眼光观察生活现象，通过操作推理培养学生空间观念与推理意识，设计即学即练、典例变式等分层题型，课中辅助教师教学，课后助力学生巩固性质应用，查漏补缺提升几何直观与应用能力。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题5.2 旋转 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1旋转 知识清单 题型]判断生活中的旋转现象 题型2找旋转中心、旋转角、对应点 题型了根据旋转的性质求解 旋转 题型4根据旋转的性质说明线设或角相等 题型5旋转的性质及辨析 题型精讲 题型6画旋转图形 题型7判断由一个图形旋转而成的图案 题型8线的旋转综合 题型9三角形的旋转综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.认识旋转：通过生活实例（如风车、钟表指针），理解旋转是绕定点按一定方向和角 度的图形变换，明确旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素。 2.探究性质：经历操作、观察、推理，掌握旋转核心性质一一旋转前后图形形状、大 教学目标 小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。 3.应用作图：能按要求确定旋转要素，画出简单平面图形旋转后的图形，初步用旋转 性质解决角度计算、图形设计等基础问题，培养空间观念与几何直观。 1.重点 (1)核心概念与性质：掌握旋转的定义、三要素及核心性质，理解旋转不改变图形形 教学重难点 状与大小，对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角为旋转角，这是 本节知识的基础。 (2)旋转作图：掌握简单图形（如线段、三角形）的旋转作图方法，能依据旋转中心 1/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方向和角度，准确找到关键点的对应点并连线，落实性质的实践应用。 2.难点 (1)性质理解与辨析：旋转性质的抽象与内化，尤其是对应点与旋转中心连线夹角等 于旋转角的准确识别，易混淆旋转方向与角度，需通过操作与对比强化理解。 (2)旋转作图的准确性：作图中旋转中心的确定（尤其是图形外的中心）、对应点位 置的精准定位，以及复杂图形旋转的逻辑推理，是学生易出错的环节。 知识清单 知识点01旋转 定义：将一个图形上所有点绕一定点按某个方向转动一个角度. 定点叫旋转中心；转动的角度叫旋转角 性质：图形旋转后，对应点到旋转中心的距离相等：对应线段的长度、 旋转： 对应角的大小相等；旋转前后图形的大小与形状不变 旋转对称图形：把一图形绕一定点旋转一个角度后与初始图形重合. 个图 中心对称图形：把一图形绕一定点旋转180°后与初始图形重合. 中心对称：把一个图形绕一定点旋转一个角度后与另一个图形重合.}两个图！ 【即学即练1】1.如图，将等腰直角三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转60°，则∠BAC'的度数为() A.10° B.159 C.209 D.30 2.如图，在△ABC中，∠A=30°，将△ABC绕点B逆时针旋转Q得到aFBE,若EF‖AB,则a= c E 3.如图所示，点O,A在直线MN上，第一步，将OA,绕点O顺时针旋转a度(0°<a<30°)至0A;第 二步，将OA,绕点O顺时针旋转2a度至点OA2;第三步，将OA,绕点O顺时针旋转3a度至OA,,以此 类推，在旋转过程中若碰到直线MN,则立即绕点O反方向旋转，如果∠A,OA,=42°，那么α等于度. 2/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A3 A2 A M Ao O N 题型精讲 题型01判断生活中的旋转现象 【典例1】(25-26七年级上·上海宝山月考)下列生活中的现象是旋转的是() A.飞驰的汽车 B.匀速转动的摩天轮 C.运动员投掷标枪 D.乘坐升降电梯 【变式1】(25-26八年级上山东烟台·期中)下列选项中属于旋转运动的是() A.小华向西走10米再向北走10米 B.传送带传送货物 C.电梯从1楼到11楼再回到1楼 D.小亮正在荡秋千 【变式2】(25-26七年级上山东青岛·月考)时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了 的数学事实. 【变式3】(25-26七年级上·广西南宁·开学考试)汽车在笔直的公路上移动属于 现象，车轮绕其车轴 的运动属于现象.（填“平移”或“旋转”) 题型02找旋转中心、旋转角、对应点 【典例2】(2026海南省直辖县级单位一模)如图，在6×4的方格纸中，格点ABC(三个顶点都是小正 方形的顶点的三角形)经过旋转后得到格点△DEF,则其旋转中心是() A.格点M B.格点N C.格点P D.格点Q 【变式1】(23-24九年级上·福建厦门·月考)如图，将ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C,且点 B刚好落在A'B上.若LACA'=43°，∠BCA'=28°，则a等于() 3/17 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A A.71° B.15° C.28 D.43 【变式2】(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，ABC经过旋转后得到△DEC, E (1)旋转中心是点 旋转角是 (2)点A的对应点是点： (3)线段AC的对应线段是 ;∠ABC的对应角是 【变式3】(24-25八年级下·江苏宿迁·月考)如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AEFG的位置， 已知∠1=110°，则旋转角a= A B 4 题型03根据旋转的性质求解 【典例3】(2026七年级下江苏.专题练习)如图，把△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,若E,A,B三 点共线，AC=6,AD=4,则BE的长为() D A.8 B.10 C.12 D.16 【变式1】(25-26八年级上河南南阳·期末)如图，将ABC绕点A旋转至ADE的位置，若点D恰好落在 4/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边BC上，DE与AC相交于点F,若AB=6,△AEF的面积比CDF的面积大24，则△ABD的面积为() E B SC D A.12 B.21 C.24 D.27 【变式2】(25-26七年级上·上海浦东新期末)如图，将AOB绕点0顺时针旋转n°得△C0D(点A、B分 别对应点C、D),若5∠B0C=∠A0D=100°，则旋转角为 度 B 【变式3】(2026七年级下·全国.专题练习)小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板AB绕中心O上下转动.当 小强从A运动到A的位置时，∠A0A'=45°，则LB0B的度数为 ，理由是 B 题型04根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例4】(25-26九年级上·云南怒江·月考)如图，把A0B绕点O顺时针旋转一定角度得到△C0D.若 AB=12,A0=17,B0=21,则CD的长为() A.9 B.12 C.17 D.21 【变式1】(25-26九年级上·云南昆明·月考)如图，将四边形OABC绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形 ODEF,则下列结论不正确的是() 5/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A.OB=OE B.BC=DE C.∠AOB=∠DOED.△OBC≌△0EF 【变式2】(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，将ABC绕点A逆时针旋转一定的角度得到△AB'C', 此时边AC'经过点B,若AB=5,AC=9,则BC'的长是· C B B 【变式3】(25-26七年级下·全国·周测)如图，将ABC经过旋转得到ADE,则旋转中心是点 此时，∠B=∠ BC= ,∠1=∠ D B 3 E 题型05旋转的性质及辨析 【典例5】(2026河北石家庄一模)如图，将ABC绕点A逆时针旋转90°，则点C对应的点是() D。 E G A.点D B.点E C.点F D.点G 【变式1】(24-25七年级下·江苏南京·期中)如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图 ①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转：②2次轴对称，下面说法正确的是() 上上 ① ② A.①②都不行B.①②都可行 C.只有①可行 D.只有②可行 【变式2】(21-22七年级下·湖南怀化期末)如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中 6/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 心是点，逆时针方向旋转了度 p 公 【变式3】(25-26七年级上全国·课后作业)如图，请指出图形(2)，(3)，(4)中哪个是由图形(1)绕点 O旋转后得到的. (1) (2) (3) (4) 【变式1】 题型06画旋转图形 【典例6】(2026安徽蚌埠二模)如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格 点ABC(格点是网格线的交点). B (I)画出ABC关于BC所在直线对称的△A,BC; (2)将△A,BC绕点A逆时针旋转90°得到△AB,C2,画出△A,B,C2· 【变式1】(22-23八年级上·重庆·周测)ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示. 7/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -5-4-3-2-10 2345x .4 (I)作出ABC关于x轴对称的△A,B,C,并写出点A的坐标； (2)作出将ABC绕点O顺时针旋转180°后的△ABC2,并写出A的坐标. 【变式2】(25-26七年级下·全国·课后作业)ABC在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 B (1)将ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A,B,C,请画出△A,B,C; (2)连接AA与BB,线段AA,与BB,之间的关系是-，ABC扫过的面积为-； (3)画出△AB,C,绕点P旋转180°之后得到的△4，B,C2 【变式3】(25-26七年级上河北石家庄·期末)如图，在5×5的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要 求作图. B B 图1 图2 (I)如图1，作出ABC绕点O逆时针旋转90°得到的aDEF,则aDEF的面积为 (2)如图2，ABC旋转得到△DEF,标出旋转中心为点， 题型07判断由一个图形旋转而成的图案 8/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例7】(25-26九年级上·浙江金华期末)香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣” 变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是() A.轴对称 B.平移 C.旋转 D.位似 【变式1】(25-26九年级上·江西赣州·期末)下面图形不能通过旋转变换得到的是() 【变式2】(2025七年级下·全国专题练习)观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的 通 过 (方式)得到的. 【变式3】(25-26九年级上·全国·课后作业)如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有 可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有 ；既可以通过平移变换，又可以 通过旋转变换得到的图案有 (填序号)》 》 ⊕⊕⊕⊕ ② ③ ④ 题型08线的旋转综合 【典例8】(25-26七年级上·全国期末)如图，己知点O是直线AB上的一点，∠C0E=90°，0F是 ∠AOE的平分线.点C与点E,F在直线AB的两旁. 9/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (1)【问题探究】若∠B0E=140°，求LC0F的度数； (2)【方法迁移】若B0E=2a°，求∠C0F的度数； (3)【拓展探索】将图中的射线0F绕点O顺时针旋转m°(0<m<180),得到射线0D,设∠AOC=n°，若 求LDOE的度数（用含n的式子表示） 【变式1】(25-26七年级上江苏扬州月考)直线CD上有一条射线OE,在O处放一个直角三角板AB0, ∠A0B=90°，如图将三角板AB0绕O点逆时针旋转，速度为每秒5°，旋转180°停止. B A D (I)若∠C0E=50°，当射线OB平分LC0E时，求旋转时间t. (2)当OB平分LC0E时，OA也平分∠D0E么？说明理由. (3)若LC0E=40°，当AB与0C相交时，画出图形并求∠B0C与∠AOE的关系. 【变式2】(25-26七年级上·广东广州期末)己知∠A0B=90°，∠C0D=80°，0E是∠A0C的角平分线. 图1 图2 备用图 Q)如图1，若∠AOD=∠AOB,则∠D0E= 3 (2)如图2，若OF是LAOD的角平分线，求∠A0E-∠DOF的值； (3)在(1)的条件下，若射线OP从OE出发绕0点以每秒12°的速度逆时针旋转，射线0？从0D出发绕0点 以每秒8°的速度顺时针旋转，若0P,0Q同时开始旋转1秒0<1<6？ 后得到∠C0P=3∠40Q,直接写出 4 所有满足条件的1的值。 【变式3】(25-26七年级上河北衡水·期末)【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度 有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知∠AOB=I00°，OP是一条射线，射线OM,ON分别是 LAOP和∠POB的平分线. 10/17 专题5.2 旋转 教学目标 1. 认识旋转：通过生活实例（如风车、钟表指针），理解旋转是绕定点按一定方向和角度的图形变换，明确旋转中心、旋转方向、旋转角度三要素。 2. 探究性质：经历操作、观察、推理，掌握旋转核心性质——旋转前后图形形状、大小不变，对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。 3. 应用作图：能按要求确定旋转要素，画出简单平面图形旋转后的图形，初步用旋转性质解决角度计算、图形设计等基础问题，培养空间观念与几何直观。 教学重难点 1.重点 （1）核心概念与性质：掌握旋转的定义、三要素及核心性质，理解旋转不改变图形形状与大小，对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线夹角为旋转角，这是本节知识的基础。 （2）旋转作图：掌握简单图形（如线段、三角形）的旋转作图方法，能依据旋转中心、方向和角度，准确找到关键点的对应点并连线，落实性质的实践应用。 2.难点 （1）性质理解与辨析：旋转性质的抽象与内化，尤其是对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角的准确识别，易混淆旋转方向与角度，需通过操作与对比强化理解。 （2）旋转作图的准确性：作图中旋转中心的确定（尤其是图形外的中心）、对应点位置的精准定位，以及复杂图形旋转的逻辑推理，是学生易出错的环节。 知识点01 旋转 旋转： 【即学即练1】1．如图，将等腰直角三角尺绕顶点顺时针旋转，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质， 根据旋转可知，，，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：由题意可知，， 由旋转可知，，， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，，将绕点B逆时针旋转得到，若，则_______． 【答案】30 【分析】先根据旋转的性质得到，，然后根据平行线的性质得到从而得到的值． 【详解】解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 即． 3．如图所示，点O，在直线MN上，第一步，将绕点O顺时针旋转a度（）至；第二步，将绕点O顺时针旋转度至点；第三步，将绕点O顺时针旋转度至，…，以此类推，在旋转过程中若碰到直线，则立即绕点O反方向旋转，如果，那么a等于______度． 【答案】7或 【分析】本题考查旋转规律问题，解题关键是掌握分类讨论思想．根据题意分两种情况进行讨论分析即可． 【详解】解：由，（或反向旋转），，解得； 或反向旋转后，（均满足） 故答案为：7或 题型01 判断生活中的旋转现象 【典例1】（25-26七年级上·上海宝山·月考）下列生活中的现象是旋转的是（   ） A．飞驰的汽车 B．匀速转动的摩天轮 C．运动员投掷标枪 D．乘坐升降电梯 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义， 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，而摩天轮的运动是围绕中心轴旋转，符合旋转的定义． 【详解】解：∵旋转的定义是物体绕一个固定点或轴转动， ∴选项B中摩天轮匀速转动是典型的旋转现象； 选项A中汽车飞驰主要是平移运动； 选项C中标枪投掷可能涉及旋转但整体以平移为主； 选项D中升降电梯是垂直平移运动． 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列选项中属于旋转运动的是（    ） A．小华向西走10米再向北走10米 B．传送带传送货物 C．电梯从1楼到11楼再回到1楼 D．小亮正在荡秋千 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转运动；旋转运动是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．选项A、B、C均为平移运动，只有选项D的荡秋千是围绕固定点旋转． 【详解】解：∵ 旋转运动需围绕固定点转动， A项为平移运动，无旋转中心； B项传送带为平移运动； C项电梯为上下平移运动； D项荡秋千是围绕悬挂点做圆弧运动，属于旋转运动． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级上·山东青岛·月考）时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了______的数学事实． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体． 根据线动成面进行回答． 【详解】解：时钟秒针扫过的痕迹，由此说明了线动成面， 故答案为：线动成面． 【变式3】（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）汽车在笔直的公路上移动属于______现象，车轮绕其车轴的运动属于______现象．（填“平移”或“旋转”） 【答案】 平移 旋转 【分析】本题考查平移与旋转的认识，掌握知识点是解题的关键． 根据平移与旋转的定义，即可解答． 【详解】解：汽车在笔直的公路上移动属于平移现象，车轮运动属于旋转现象． 故答案为：平移，旋转． 题型02 找旋转中心、旋转角、对应点 【典例2】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是小正方形的顶点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（   ） A．格点 B．格点 C．格点 D．格点 【答案】D 【分析】先由图中两个三角形各边的长度得出旋转图形的对应顶点，再由旋转性质求解即可找到旋转中心． 【详解】解：由图可知，， 的对应点为、的对应点为、的对应点为， 由旋转性质可知，对应点与旋转中心的连接构成的线段相等，则格点中只有， 即其旋转中心是格点． 【变式1】（23-24九年级上·福建厦门·月考）如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，经过旋转后得到． （1）旋转中心是点______，旋转角是______； （2）点的对应点是点______； （3）线段的对应线段是______；的对应角是______． 【答案】 C （或） D 线段 【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等． 【详解】解：（1）∵经过旋转后得到， ∴旋转中心是点C，旋转角是（或）； （2）点的对应点是点D； （3）线段的对应线段是线段；的对应角是． 【变式3】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型03 根据旋转的性质求解 【典例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，把绕点逆时针旋转得到，若，，三点共线，，，则的长为(   ) A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据旋转的性质得到，，根据，即可求解． 【详解】解：把绕点逆时针旋转得到， ，， ． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，将绕点旋转至的位置，若点恰好落在边上，与相交于点，若的面积比的面积大24，则的面积为（） A．12 B．21 C．24 D．27 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质．由的面积比的面积大24，得到，由旋转的性质得到，再由即可求解． 【详解】解：∵的面积比的面积大24， ∴， ∴， 即， ∵旋转得到， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将绕点顺时针旋转得（点、分别对应点、），若，则旋转角为______度． 【答案】60 【分析】本题主要考查了旋转的性质，几何图形中角的计算，先根据，求出，根据旋转得出，然后求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 根据旋转可得：， ∴， ∴， 即旋转角为． 故答案为：60． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）小强和小丽一起玩跷跷板，如图，横板AB绕中心O上下转动．当小强从A运动到的位置时，，则的度数为________，理由是___________． 【答案】 对顶角相等 【分析】当图形绕定点旋转且两条线段始终共线时，形成的旋转角互为对顶角，可直接用 “对顶角相等” 快速得到角度相等，这是解决这类问题的最简思路. 横板 绕中心 转动时， 与 始终在同一直线上，转动后 与 也在同一直线上，因此 与 是对顶角，满足对顶角相等的性质. 【详解】解： 与 是对顶角， ， ， ，理由是：对顶角相等. 故答案为：，对顶角相等. 题型04 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例4】（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，把绕点O顺时针旋转一定角度得到．若，则的长为（   ） A．9 B．12 C．17 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转前后对应边相等是解题的关键． 直接利用旋转的性质解答即可． 【详解】解：根据旋转的性质可得：． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·月考）如图，将四边形绕点O顺时针旋转一定角度得到四边形，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质：旋转前后的图形，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，据此逐一判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，， 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，此时边经过点，若，，则的长是______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，由旋转得出，由解题． 【详解】解：由绕点逆时针旋转一定的角度得到， ， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，将经过旋转得到，则旋转中心是点________，此时，________，________，________． 【答案】 A D DE 3 【分析】本题考查了旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质，确定旋转的中心，找出对应角和对应边． 【详解】解：观察图片可知旋转中心为A， 在旋转过程中，对应角相等，对应边相等； ∴，， ∴ 故答案为：A，D，DE，3 ． 题型05 旋转的性质及辨析 【典例5】（2026·河北石家庄·一模）如图，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】由旋转的性质进行判断，注意旋转中心、旋转方向和旋转角度． 【详解】解：观察图象可知，将绕点逆时针旋转，则点对应的点是． 【变式1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，图②是由图①经过平移得到的，图②还可以看作是由图①经过怎样的变换得到的？现给出两种变换方式：①2次旋转；②2次轴对称，下面说法正确的是（   ） A．①②都不行 B．①②都可行 C．只有①可行 D．只有②可行 【答案】B 【分析】本题考查旋转和轴对称，理解旋转和轴对称的概念是解题的关键． 2次旋转就可以与原图重合，2次轴对称就可以与原图重合，据此判定即可． 【详解】图①每次旋转，2次旋转后可以得到图②，变换方式①可行； 图①沿竖直方向的直线，2次轴对称可以得到图②，变换方式②可行； 故选：B． 【变式2】（21-22七年级下·湖南怀化·期末）如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点____ ，逆时针方向旋转了____度. 【答案】 N 90 【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可． 【详解】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°， 故答案为：N，90． 【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，请指出图形（2），（3），（4）中哪个是由图形（1）绕点O旋转后得到的． 【答案】图形（2）是图形（1）绕点顺时针旋转得到的 【分析】本题考查了图形的旋转性质，解题的关键是通过跟踪涂色方格的位置变化，结合不同旋转角度分析对应图形． 分析图形（1）绕点顺时针旋转、、后涂色方格的位置，再与图形（2）（3）（4）对比． 【详解】解：分三种旋转情况讨论： 情况一： ⑴→⑵（顺时针旋转）图形 （1）涂色方格：左上角、右上角、右下角； 旋转后位置：左上角→右上角，右上角→右下角，右下角→左下角；对应涂色位置：右上角、右下角、左下角，与图形（2）一致． 情况二：⑴→⑶（顺时针旋转）图形 后左上角→右下角，右上角→左下角，右下角→左上角；对应涂色位置：右下角、左下角、左上角，与图形（3）不符． 情况三： ⑴→⑷（顺时针旋转）图形 后左上角→左下角，右上角→左上角，右下角→右上角；对应涂色位置：左下角、左上角、右上角，与图形（4）不符． 答：图形（2）是图形（1）绕点顺时针旋转得到的． 【变式1】 题型06 画旋转图形 【典例6】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，由若干个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点（格点是网格线的交点）． (1)画出关于所在直线对称的； (2)将绕点逆时针旋转得到，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作轴对称图形，画旋转图形等． （1）根据题意过点作关于直线的对称点，连接和，即可得到本题答案； （2）根据题意将绕点分别画出的对应点，再连接，即可得出． 【详解】（1）解：过点作关于直线的对称点，连接和，如图所示，即为所求； （2）解：先画出点绕点逆时针旋转的对应点，再画出点绕点逆时针旋转的对应点，再连接，和， 【变式1】（22-23八年级上·重庆·周测）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于x轴对称的，并写出点的坐标； (2)作出将绕点O顺时针旋转后的，并写出的坐标． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再连接即可； （2）首先确定A、B、C三点关于原点的对称点位置，再连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：如图，即为所求，． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为． (1)将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出； (2)连接与，线段与之间的关系是 ，扫过的面积为 ； (3)画出绕点旋转之后得到的． 【答案】(1)见解析； (2)平行且相等，； (3)见解析 【分析】（1）分别画出各点平移后的对应点，再顺次连接即可； （2）由平移的性质可得线段与之间的关系，扫过的面积是四边形与三角形的面积之和； （3）分别画出各点旋转后的对应点，再顺次连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由平移可得：线段与之间的关系是平行且相等， 扫过的面积为， 故答案为：平行且相等，； （3）解：如图，即为所求． 【变式3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 题型07 判断由一个图形旋转而成的图案 【典例7】（25-26九年级上·浙江金华·期末）香港特别行政区的区徽中间紫荆花图案如图所示，将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是（   ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．位似 【答案】C 【分析】此题考查几何变换的类型，关键是掌握旋转的概念． 根据旋转的概念解答即可． 【详解】解：将“一片花瓣”变成“整朵紫荆花”，主要运用的图形变换是旋转， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·江西赣州·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解． 【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意； C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意； 故选：C． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有________．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、旋转，掌握平移、旋转的性质是解题的关键． 平移变换是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向做相同距离的移动，据此可判断给出的图形中哪些图可由平移变换得到； 旋转变换是由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，原图上所有的点都绕一个固定的点按同一方向，转动同一个角度，据此可判断给出的图形中哪些图可由旋转变换得到； 最后，根据上面判断的结果，找出符合平移变换、旋转变换的图形填空即可． 【详解】可以通过平移换，但不可以通过旋转变换得到的图案是：； 可以通过旋转变换，但不可以通过平移变换得到的图案是：； 既可以由平移，也可以由旋转变换得到的图案是：. 故答案为:． 题型08 线的旋转综合 【典例8】（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知点O是直线上的一点，，是的平分线．点C与点E，F在直线的两旁． (1)【问题探究】若，求的度数； (2)【方法迁移】若，求的度数； (3)【拓展探索】将图中的射线绕点O顺时针旋转（），得到射线，设，若，求的度数（用含n的式子表示）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线定义，角的大小计算等知识点的应用，数形结合及分类讨论是解题的关键． （1）根据角平分线性质求出，再推出即可； （2）先得到，再根据即可推出答案； （3）先求出，再分在上方和在下方进行讨论求解． 【详解】（1）解：， ， 是的平分线， ， ； （2）解：由（1）知， 是的平分线， ， ， （3）， ， ， ， 分两种情况：①如图，当在上方时， ， ； ②如图，当在下方时， ， ， 通过观察可得，当时，，与不符，舍去． 综上所述，． 【变式1】（25-26七年级上·江苏扬州·月考）直线上有一条射线，在O处放一个直角三角板，，如图将三角板绕O点逆时针旋转，速度为每秒，旋转停止． (1)若，当射线平分时，求旋转时间． (2)当平分时，也平分么？说明理由． (3)若，当与相交时，画出图形并求与的关系． 【答案】(1)13 (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，设旋转时间为，则列方程为，解方程即可； （2）根据角平分线的性质可得，进而得到，从而得到结论平分； （3）当处于下方时，此时与相交，根据和，进行解答即可． 【详解】（1）解：射线平分， ， 设旋转时间为， 则， 解得， 因此，旋转时间为13秒； （2）解：也平分，理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：如图，此时与相交， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级上·广东广州·期末）已知是的角平分线． (1)如图1，若，则______； (2)如图2，若是的角平分线，求的值； (3)在（1）的条件下，若射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点以每秒的速度顺时针旋转，若同时开始旋转秒后得到，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算、角的和差、角平分线的定义等知识，正确的识别图形是解题的关键． （1）由题意得，再求出，即可得出答案； （2）先由角平分线定义得，，再证，即可得出答案； （3）分三种情况：①当射线、在内部时，即时，则，，由角的关系得，解得（舍去）；②当射线在内部时，射线在外部时，即时，由角的关系得，解得：；③当射线、在外部时，即时，由角的关系得，解得：． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ； 故答案为：； （2）解：平分， ， 平分， ， ， ， ； （3）解：分三种情况： ①当射线、在内部时， ， ， 即时， 由题意得：，， ，， ， ， 解得：（舍去）； ②当射线在内部时，射线在外部时， ， ， 即时， 则，， ， 解得：； ③当射线、在外部时， ， ， 即时， 则，， ， 解得：； 综上所述，的值为秒或秒． 【变式3】（25-26七年级上·河北衡水·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动：已知，是一条射线，射线，分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则__________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点转动时，则的度数是否发生变化？请判断并说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）；（2）的度数不发生变化，见解析；（3）或 【分析】（1）先利用两角的差求得，再用角平分线的意义分别求得，，从而可利用两角的和求得； （2）利用角平分线的意义分别得出，，从而可利用两角的和求得，以此说明的度数不会发生变化； （3）根据射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过，分在的外部、在的内部两种情况讨论，分别画出图形，求出即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：的度数不发生变化． 理由：∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴的度数不会发生变化，始终为； （3）解：射线绕点按顺时针方向转动，转动的角度不超过， 分两种情况： ①如图1，当在的外部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； ②如图2，当在的内部时， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了几何问题(一元一次方程的应用)，几何图形中角度计算问题，角平分线的有关计算，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 题型09 三角形的旋转综合 【典例9】（25-26七年级上·四川南充·期末）如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，，．三角板固定不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，设旋转时间为秒． (1)如图②，当时，______，______，______； (2)在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线中的某一条射线是另外两条射线构成夹角的平分线？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当三角板在直线上方旋转时，且平分平分，试探究的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】(1)，，； (2)存在，的值为5或20或50 (3)的度数不会发生变化，它的度数为 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算，角平分线的定义，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）分三种情况讨论，利用旋转的性质和角平分线的定义求解即可； （3）由题意可知：．结合角平分线的定义可得，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 故答案为：，，； （2）解：存在，理由如下： ①如图，当是构成的夹角的平分线， ． （秒）． ②如图，当是构成的夹角的平分线， ． （秒）． ③如图，当是构成的夹角的平分线， ． 绕旋转了． （秒）． 综上所述：的值为5或20或50； （3）解：的度数不会发生变化．理由如下： 由题意可知：． 平分平分，且始终在的右边， ， ． ． 的度数不会发生变化，它的度数为． 【变式1】（25-26七年级上·北京东城·期末）如图1，直角三角尺的一个顶点在直线上，且，平分． (1)若，则的度数为________； (2)将图1中的直角三角尺绕点顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将直角三角尺从图2的位置继续绕点顺时针旋转，其他条件不变，当点落在射线上时停止旋转，请直接写出在此旋转过程中和的度数之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了角平分线的定义、补角的性质和旋转的性质，理解题意是解决本题的关键． （1）由题意得，，，进而求出，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可； （2）由题意得，，，进而求出，再根据角平分线的定义和补角的性质求解即可； （3）分为两种情况：当直角三角尺旋转超过时和当直角三角尺旋转没超过时，分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴， ∵平分， ∴； ∴ ， 故答案为：； （2）解：，， ， 平分， ， ； （3）解：当直角三角尺旋转没超过时，如图， 设，则， 平分， ∴， ∴ ∴； 当直角三角尺旋转超过时，如图， 设，则， 平分， ∴， ∴ ， ∴， 综上所述，和的度数之间的数量关系为或． 【变式2】（2025七年级上·河北沧州·专题练习）把一副三角尺与按如图所示那样拼在一起，其中三点在同一直线上，，为的平分线． (1)求和的度数； (2)如图，若为的平分线，求的度数； (3)如图，若仍为的平分线，将图中三角尺逆时针旋转度（），请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，图形的旋转，熟练掌握知识点是解题的关键． （）由平角定义得，再根据角平分线的定义得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由平角定义得，再根据角平分线的定义得，进而根据角的和差关系即可求解； （）由旋转得，，进而由角平分线的定义得，，再根据角的和差关系即可求解； 【详解】（1）解：∵三点在同一直线上，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵三点在同一直线上，， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴； （3）解：∵三角尺逆时针旋转度时， ∴，， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，以直线上一点O为端点在上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，在直线上方． (1)如图①，将直角三角板的一边放在射线上，则的大小为______度； (2)将直角三角板绕点O转动到如图②所示的位置，若恰好平分，求与差的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，始终在的内部，探究与差的度数是否发生变化，请说明理由； (4)将直角三角板绕点O转动，始终在的外部，且，直接写出的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)与差的度数不发生变化，理由见解析 (4)的度数为或 【分析】本题考查了角平分线定义、余角、平角等知识；解题的关键是准确画出旋转后的三角板的位置． （1）根据图形得出，代入求出的度数即可； （2）根据角平分线定义求出，代入，即可求解； （3）根据图形得出，相减即可求出答案； （4）将直角三角板绕点转动，如果在的外部，在备用图中画出三角板的四个位置，即可求出的度数． 【详解】（1）解：若直角三角板的一边放在射线上， 则， 故答案为：； （2）解：∵平分， ，， ， ， ∴； （3）解：， 理由是：∵， ， 即； （4）解：如图， ， ， ； 如图，， ， ， ， 综上，的度数为或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京顺义·期末）如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【详解】解：如图，线段与线段的垂直平分线交于点B， ∴旋转中心是点B． 2．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，通过旋转后得到的图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】旋转吉祥物“冰墩墩”得到的图形与原图形成中心对称，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，选项A是旋转吉祥物“冰墩墩”可以得到的图形． 3．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，将绕点A顺时针旋转，旋转角为，得到，若点E恰好在的延长线上，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，证明，推出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．（25-26七年级上·河北沧州·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得出，又因为，故进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·天津河东·期末）如图，绕点逆时针旋转得到，连接，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转前后对应角相等，对应边相等，即可得出结论． 【详解】解：由旋转得，，，， 故选项D结论正确，符合题意； 现有条件不能得出，，， 故选项A，B，C结论不正确，不合题意； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东泰安·月考）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·云南昆明·期末）有两个直角三角形纸板，一个含角，另一个含角，如图1所示叠放，其中．含角的纸板固定不动，将含角的纸板绕点逆时针旋转，使，如图2所示，则的度数为___________． 【答案】/15度 【分析】本题考查了旋转的性质、三角板中角度的计算，熟练掌握三角板中角度的计算方法是解题关键．根据题意知，，又知，即可得出的度数． 【详解】解：根据题意知，，由旋转知， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）如图，将绕点A顺时针旋转得到，点D恰好落在边上．若，．则的长为 _____ ． 【答案】4 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转的性质可得，，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海普陀·期末）如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，如果点恰好落在延长线上的点处，那么_______． 【答案】40 【分析】本题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵点恰好落在延长线上的点处， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26七年级下·全国·课后作业）在直角三角形ABC中，，，，，点C，A在直线l上．将绕着点A顺时针旋转到图中的位置①，得到点，点在直线l上；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，点在直线l上；……．按照此规律继续旋转，则的长为________． 【答案】8105 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，正确找到规律是解题关键． 通过观察可以发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：在直角三角形中，，，，． 由旋转的性质，得，，， ；；…． 又， ． 故答案为：． 三、解答题 11．（2026·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和点M均为格点（网格线的交点）． (1)画出关于y轴对称的； (2)画出关于点M成中心对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先分别作点A，B，C关于y轴的对称点，，，再连接，，即可； （2）先分别作点A，B，C关于点M的对称点，，，再连接，，即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； （2）解：如图，就是所求作的三角形． 12．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）直角三角形纸板的直角顶点O在直线上（在的右侧）． (1)如图①，当时．的度数是 ； (2)如图②，平分，若，求的度数． (3)如图③，已知，将三角形纸板（未画出）绕直角顶点O旋转，当时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数为或 【分析】（1）根据平角和角的和差计算即可；、 （2）求出，根据即可求出答案； （3）分在内部和在外部两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵, ∴ （2）解：因为平分， 所以 ． 因为， 所以 ． 所以． 所以． （3）∠AOC的度数为或． 解：当在内部时， 因为， 所以． 因为， 所以．所以． 当在外部时， 因为，， 所以． 因为， 所以．所以． 综上所述，的度数为或 13．（25-26九年级上·全国·期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，与交于点D，与交于点，与交于点，当、、重合时停止旋转． (1)证明：在旋转过程中； (2)如图1，当平分时，证明：； (3)如图2，若，，在旋转过程中，当是等腰三角形时，求该等腰三角形底边的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰三角形底边的长度为3或或 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据旋转的性质得出，进而得到，再利用对顶角相等，等量代换后即可得证； （2）根据旋转的性质和角平分线的定义先证，得出，进而可得； （3）根据勾股定理求出的长，作，垂足为， 利用等面积法求得的长，再分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别计算出底边的长度即可． 【详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ． ， ． ， ． （2）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ，，，． 平分， ． ． ． ． ． （3）解：在中，，，， ． 如图，作，垂足为， ， ． ． ①当时，则， ． ②当时，则， ． ③当时，则． 综上，该等腰三角形底边的长度为3或或． 14．（25-26七年级上·福建龙岩·期末）数学活动小组在做角的拓展练习时，利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． (1)如图1，边，与直线重合，，，则的度数为___________； (2)如图2，在（1）的基础上，保持三角板不动，将三角板绕点逆时针旋转一个角度． ①当为直角时，求的度数； ②在转动过程中两块三角板都在直线的上方，当平分由其中任意两边组成的角时，请求出旋转角的度数． 【答案】(1) (2)①或；②或或 【分析】本题主要考查三角板中角的计算，角平分线的有关计算，旋转的性质，正确理解题意和画图是解题的关键． （1）根据平角的定义即可得出答案； （2）①根据平角的定义及角的和差，分两种情况即可得出答案； ②分为当平分时，当平分时，当平分时三种情况画图进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图1，， ． 故答案为：； （2）①如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，， ， ； 如图，当三角板绕点逆时针旋转到此位置时，， ，，， ， 则的度数为或； ②如下图，当平分时， 则， ， ； 如下图，当平分时， ， ； 如下图，当平分时， ，， ， ， ， 综上所述，旋转角的度数为或或． 15．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在该角的内部引两条射线，若该角是这两条射线所成角的倍（为正整数），则这两条射线叫做该角的“倍分线”． (1)如图1，，射线是的“2倍分线”，且，则____________°； (2)如图2，，射线重合，绕点顺时针旋转，旋转的角度为． ①若，是的“4倍分线”，求的度数； ②若，在绕点顺时针旋转一周的过程中，射线中，存在两条射线是另两条射线所成的角的“3倍分线”，则满足条件的旋转的角度的度数为___________°． 【答案】(1)； (2)①或；②或或或． 【分析】本题主要考查旋转的性质及角度的计算，理解“倍分线”的概念及分类讨论是解题的关键． （1）根据“2倍分线”，的概念可得，再由代入计算即可； （2）①分射线未旋转过，射线旋转过两种情况，结合是的“4倍分线”，列出等式求解即可； ②根据题意，当射线是的“3倍分线”两种，当射线是的“3倍分线”两种，共四种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：射线是的“2倍分线”， ，解得， ， 故答案为：； （2）解：①情况一：如图射线未旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 情况二：如图射线旋转过， ， 是的“4倍分线”， ，即，解得， ； 综上，的度数或； ②情况一：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况二：如图，射线是的“3倍分线”， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况三：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 情况四：如图，射线是的“3倍分线”， ， ， 是的“3倍分线”， ，即，解得； 综上，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $