专题4.4 平行线的判定（1大考点+6大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.4平行线的判定 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点！平行线的判定 知识清单 题型1同位角相等两直线平行 题型2内错角相等两直线平行 平行线的判定 题型3同旁内角互补两直线平行 题型精讲 题型4根据平行线的性质与判定求角度 题型5根据平行线的性质与判定证明 题型6平行线的性质与判定实际应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.知识建构：掌握平行线的三个判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）， 厘清“基本事实”与“判定定理”的逻辑层次，能准确表述定理内容并结合图形识别 角关系。 教学目标 2.推理能力：经历从同位角判定出发推导内错角、同旁内角判定的过程，发展演绎推 理能力，初步掌握规范的几何证明与语言表达。 3.实际应用：能在简单及稍复杂图形中灵活选用判定方法判定直线平行，规范书写推 理步骤，并用几何知识解释生活中的平行现象。 1.重点 (1)核心内容掌握：聚焦平行线的三个判定方法，强调“同位角相等”作为基本事实 的核心地位，让学生理解角的数量关系与直线平行的因果关联，能准确识别并表述判 定定理。 教学重难点 (2)初步应用能力：通过实例与练习，引导学生运用判定方法解决简单几何推理问题， 规范书写“，……”的推理格式，夯实几何基础。 2.难点 (1)逻辑推理突破：衔接动手操作与几何说理，帮助学生理解判定定理的严谨推导过 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 程，从直观感受过渡到规范证明，避免仅停留在操作层面。 (2)方法选择与表达：引导学生根据图形条件灵活选择恰当的判定方法，克服“生搬 硬套”的问题；同时强化几何语言的规范表达，提升推理的条理性 知识清单 知识点01平行线的判定 平行线的判定 (1)定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等， 两直线平行 (2)定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等， 两直线平行 (3)定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：同旁内角 互补，两直线平行. (4)定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【即学即练1】1.(25-26七年级下·云南曲靖期中)如图，下列条件中不能判定AB∥CD的是() D 4 ō5 E C A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠ABC=L5 D.∠BAD+∠ADC=180° 2.(25-26七年级下·吉林月考)如图，点E、H在线段AB上，点F在线段CD上，连接AC、EF、FH, 若∠A+∠C=180°，EF⊥AB,∠EHF=46°，则∠EFH= 度 HB D 3.(22-23七年级下·浙江绍兴期中)如图所示，已知AB∥CD,AE平分∠BAD,CD与AE相交于点F, LCFE=ZE. D E (I)AD与BC平行吗？请说明理由； 2/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若∠B=70°，求∠ADC的度数， 题型精讲 题型01同位角相等两直线平行 【典例1】(25-26七年级下·云南曲靖·月考)下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是() B D D A D 人1 2 D 【变式1】(24-25七年级下.全国·周测)如图，当∠A=(写出一个角)时，能得到AB∥EF. 【变式2】(25-26七年级上全国课后作业)如图，已知∠2=∠3，AB∥CD吗？为什么？ E B D 解：AB∥CD,因为∠2=∠3，又∠1=∠3 所以 ,所以AB∥CD 【变式3】(25-26七年级上·湖南衡阳·期末)如图所示，以下条件中能判断DE∥BC的是() A.∠I=∠E B.∠1=∠B C.∠2=∠B D.∠2=∠E 题型02内错角相等两直线平行 3/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】(23-24七年级下，贵州贵阳·期中)如图，DE是过点A的直线，要使DE∥BC,应有() D B A.∠2=∠3B.∠C=∠3 C.Lc=∠1 D.∠B=LC 【变式1】(25-26七年级下·天津西青·月考)下列图形中，由∠1=∠2，能得到AB∥CD的是() B A. B D M -B B D 0 D 【变式2】(24-25七年级下，全国课后作业)如图，已知∠1=∠2，要使AB∥EF,还需再添加一个条件： —B 2 C D E G 一F 【变式3】(25-26七年级下，全国课后作业)如图，∠1=120°，∠2=60°，∠3=60°，则∠4的度数为 时，AB∥CD. B D 题型03同旁内角互补两直线平行 【典例3】(2026云南昆明一模)如图，已知∠1=80°，要使AB∥CD,则需具备另一个条件() A A.∠2=100° B.∠3=1009 C.∠4=80° D.∠5=80 【变式1】(25-26七年级下·四川成都月考)如图，下列条件能判定AB∥FD的是() 4/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 1 D A.∠4+∠2=1809 B.∠1=∠4 C.∠1=∠A D ∠4=∠3 【变式2】(2026七年级下·全国专题练习)如图，点D,E,F分别在AB,BC,AC上，若 ∠1+∠2=180°，则 ;若∠1+∠3=180°，则 D B E 【变式3】(25-26七年级下·全国·周测)如图，有以下条件：①∠1=∠ABC；②∠2=∠C;③ ∠ABD=LBDC;④LADB=LCBD;⑤∠1+∠2=180°.其中能判定AB∥CD的是 (填序号). B D 题型04根据平行线的性质与判定求角度 【典例4】(25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考)把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若∠1=35°，则 ∠2的度数等于() 2 A.65° B.55° C.45 D.60° 【变式1】(25-26七年级下·广西崇左·月考)如图所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=124°，则∠4的度数是 5/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 d 3 64 2 6 【变式2】(25-26七年级下·江苏无锡·开学考试)如图，直线l∥12，∠CAB=124°，∠ABD=86°，则 LC+2D=. C A 124 86°AB D -12 【变式3】(25-26七年级下福建南平.月考)完成下面的求解过程. 如图，FG∥CD,∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数， D E 2 B G 解：FG∥CD(), ∠2=-(_)， 又∠1=∠3(-)， ∠3=∠-(_)， _∥_（_)， ∠B+_=180°(_)， 又∠B=50°， ∠BDE=_°. 题型05根据平行线的性质与判定证明 【典例5】(2026七年级上·江苏南京.专题练习)如图，给出下列条件：①∠1=∠4；②∠2=∠3；③ AB∥CD,且∠A=∠C;④LEBC=∠A,其中能推出AD∥BC的条件有·（填写序号） A 2 E 6/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26七年级上·福建泉州·期末)中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九” 字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中AB‖CD,且∠AGH=∠B,BC‖DE.求证：∠AGF=∠D. G B 图1 图2 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：AB‖CD(已知)， ∠B=∠C( :∠AGH=∠B(已知)， :ZC= (等量代换)， BC DE(己知) ·∠C+∠D=180°( :∠AGH+ =180°（平角的定义）， :∠AGF=∠D(等角的补角相等) 【变式2】(25-26七年级下河北石家庄·月考)完成下面的证明. 己知：如图，∠ADC+∠DCE=180°，∠1=∠E. B 求证：∠B=∠CDE. 证明：∠ADC+∠DCE=180°（已知）， .AD‖CE( ∠2=∠ (两直线平行，内错角相等. :∠1=∠E(已知)， :∠1=∠2（等量代换）， :ZB ZCDE ( 【变式3】(25-26七年级下山东枣庄月考)读懂下面的推理过程，并填空： 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图 形，其中AB∥CD,点E,M,F在同一直线上，点G,H,N在同一条直线上，且∠AEF=∠GHD, 7/14 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MG∥FN.求证：∠EFN=∠G E 互 M G P H 图1) 图(2) 证明：如图2，延长EF交CD于点P. :ABICD(已知)， .∠AEF=∠EPD( 又：∠AEF=LGHD(已知)， LEPD=∠GHD EP∥GH( :∠EFN+∠FNG=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又：MG∥FN(己知)， .∠FNG+∠G=180°( .∠EFN=∠G( 题型06平行线的性质与判定的实际应用 【典例6】(25-26七年级下·河北廊坊·月考)如图是一个工业机械臂调整场景，AB是操作台的基准轴线， 点A,B,M,N,P在同一平面内.当∠1=∠2，且∠3=∠4时，可判定机械臂PM与PN在同一条直线上， 判定依据是() -M A3 A.两点确定一条直线 B.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式1】(25-26七年级下·河北廊坊·月考)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推 出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中CB⊥AB,ED∥AB,经使用发现， 当∠EDC=126°时，台灯光线最佳.此时∠DCB的度数为() 8/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D E B A A.144° B.136° C.132° D.126° 【变式2】(25-26八年级上江西宜春·期末)为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将 国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2 的数学问题：己知AB∥CD,LBAE=75°，∠DCE=120°，则∠E= B 图1 图2 【变式3】(25-26七年级下·全国·周测)某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型.己知AB 垂直于水平地面AE,当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直 保持水平状态上升(CD与AE始终平行)，在该运动过程中，LABC+LC的度数始终等于 nii y 强化训练 一、单选题 1.(25-26九年级下…河北石家庄·开学考试)如图所示，下列说法正确的是（) 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D N A.∠MEA与∠MFC是同位角 B.因为∠MEA与∠MFD是同位角，所以这两个角相等 C.∠BEF与∠MFC是同旁内角，当这两个角相等时，直线AB与直线CD平行， D.∠MEA=∠BEN 2.(2026广东深圳一模)深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图①是某品牌共享单车放 在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB,CD都与地面1平行，∠BCD=60°，∠BAC=45°，当 ∠MAC为()度时，AM∥BE. B 图① 图② A.45 B.60 C.75 D.105 3.(25-26七年级下·河北廊坊月考)如图，添加下列条件后，不能够得到AB∥CD的是() 31 B A.∠1=∠B B.∠2=∠5 C.∠BCD+∠B=180 D.∠3=∠4 4.(25-26七年级下·陕西榆林月考)如图，已知AB∥CD,CD∥EF,连接AC,CE,AE,且AE平分 ∠BAC,有下列结论：①AB∥EF;②∠3+∠1=180°；③∠3=2∠1；④2L1+∠2=180°.其中正确的结论 有() 10/14 专题4.4 平行线的判定 教学目标 1. 知识建构：掌握平行线的三个判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），厘清“基本事实”与“判定定理”的逻辑层次，能准确表述定理内容并结合图形识别角关系。 2. 推理能力：经历从同位角判定出发推导内错角、同旁内角判定的过程，发展演绎推理能力，初步掌握规范的几何证明与语言表达。 3. 实际应用：能在简单及稍复杂图形中灵活选用判定方法判定直线平行，规范书写推理步骤，并用几何知识解释生活中的平行现象。 教学重难点 1.重点 （1）核心内容掌握：聚焦平行线的三个判定方法，强调“同位角相等”作为基本事实的核心地位，让学生理解角的数量关系与直线平行的因果关联，能准确识别并表述判定定理。 （2）初步应用能力：通过实例与练习，引导学生运用判定方法解决简单几何推理问题，规范书写“∵…∴…”的推理格式，夯实几何基础。 2.难点 （1）逻辑推理突破：衔接动手操作与几何说理，帮助学生理解判定定理的严谨推导过程，从直观感受过渡到规范证明，避免仅停留在操作层面。 （2）方法选择与表达：引导学生根据图形条件灵活选择恰当的判定方法，克服“生搬硬套”的问题；同时强化几何语言的规范表达，提升推理的条理性。 知识点01 平行线的判定 平行线的判定 （1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． （2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行． （3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【即学即练1】1．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：、∵， ∴，不符合题意； 、∵， ∴，符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、， ∴，不符合题意． 2．（25-26七年级下·吉林·月考）如图，点、在线段上，点在线段上，连接、、，若，，，则__________度． 【答案】44 【分析】由，可得到，由，得，继而结合平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）如图所示，已知，平分，与相交于点，． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由角平分线的定义和已知条件可证明，则可证明； （2）由平行线的性质即可求出答案． 【详解】（1）证明：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型01 同位角相等两直线平行 【典例1】（25-26七年级下·云南曲靖·月考）下列图形中，由能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的判定方法逐一排除即可． 【详解】解：、是同旁内角，不能得到，不符合题意； 、如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； 、∵， ∴，不符合题意； 、由，不能得到，不符合题意． 【变式1】（24-25七年级下·全国·周测）如图，当＝________（写出一个角）时，能得到． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 要使，需找到与被第三条直线截得的同位角相等的情况，观察图形，是截线，与是同位角，据此确定相等的角． 【详解】解：观察图形，与被所截，与是同位角， 根据同位角相等，两直线平行，当时，能得到． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，已知，吗？为什么？ 解：，因为，又___________，所以___________,___________，所以___________． 【答案】 对顶角相等 等量代换 同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，对顶角的性质，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 根据先由对顶角和等量代换得到，再由同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】解：， 因为，又（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行． 【变式3】（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）如图所示，以下条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定方法；根据同位角相等，两直线平行即可判断 ． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 题型02 内错角相等两直线平行 【典例2】（23-24七年级下·贵州贵阳·期中）如图，是过点A的直线，要使，应有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定逐项判断即可． 【详解】解：，，均不能判定， 当时，根据内错角相等，两直线平行可得， 故选项C符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·天津西青·月考）下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行），分析各选项中与的位置关系及所涉及的直线即可． 【详解】解：A．∵， ∴，不能得到，不符合题意； B．由不能得到，不符合题意； C．如图， ∵，， ∴， ∴，符合题意； D．由不能得到，不符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知，要使，还需再添加一个条件：________________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握内错角相等，两直线平行及平行的传递性是解题的关键． 本题先根据已知推出一组直线平行，再添加条件使这组直线与平行，利用平行的传递性得到． 【详解】解：添加条件（答案不唯一）． ∵， ∴． ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为_____________时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 题型03 同旁内角互补两直线平行 【典例3】（2026·云南昆明·一模）如图，已知，要使，则需具备另一个条件（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，只要满足同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，都能得出两直线平行． 【详解】解：，， ， （同旁内角互补，两直线平行），故A正确； 为邻补角，不能判断，故B错误； 为邻补角，不能判断，故C错误； 为对顶角，不能判断，故D错误． 【变式1】（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题需根据平行线的判定定理，逐一分析每个选项中的角的关系，判断能否推出，最终确定正确选项． 【详解】解：选项A ， （同旁内角互补，两直线平行），无法推出，故A项错误，不符合题意． 选项B ， ∴（内错角相等，两直线平行），故B项正确，符合题意． 选项C ， （同位角相等，两直线平行），无法推出，故C项错误，不符合题意． 选项D ， （内错角相等，两直线平行），无法推出，故D项错误，不符合题意． 【变式2】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是____________（填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 题型04 根据平行线的性质与判定求角度 【典例4】（25-26九年级下·内蒙古赤峰·月考）把一块直角三角板和一把直尺如图放置，若，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，过A作， 则， 由题意知：，， ∴，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广西崇左·月考）如图所示，已知，，则的度数是__________． 【答案】 【分析】由对顶角相等得出，则可判定，由平行线的性质得出，再由对顶角相等得出，最后可得出． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·福建南平·月考）完成下面的求解过程． 如图，，，，求的度数． 解： （ ）， （ ）， 又（ ）， （ ）， ∴ （ ）， （ ）， 又， ． 【答案】已知；；两直线平行，同位角相等；已知；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 【分析】由得出，从而得出，推出，再由两直线平行，同旁内角互补得出，从而得出答案，熟练掌握平行线的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ． 题型05 根据平行线的性质与判定证明 【典例5】（2026七年级上·江苏南京·专题练习）如图，给出下列条件：①；②；③，且；④，其中能推出的条件有______．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然． 根据平行线的性质和判定逐一判断即可． 【详解】解：①能推出，故①不符合题意； ②能推出，故②符合题意； ③由得出，结合可得，故能推出，故③符合题意； ④能推出，故④符合题意； 综上所述，能推出的条件有②③④． 故答案为：②③④． 【变式1】（25-26七年级上·福建泉州·期末）中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质、补角的性质，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，根据等角的补角相等，可证结论成立． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （平角的定义）， （等角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；． 【变式2】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）完成下面的证明． 已知：如图，，． 求证：． 证明：（已知）， （___________________）， ______（两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）， ____________（_________________________）， （_________________________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和判定进行证明即可． 【详解】解：证明：（已知）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 【变式3】（25-26七年级下·山东枣庄·月考）读懂下面的推理过程，并填空： 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷，如图1是一个“互”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，且，．求证：． 证明：如图2，延长交于点． （已知）， （_____________________） 又（已知）， （_____________________） （_____________________） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （_____________________） （_____________________）． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等． 【分析】首先由得到，等量代换得到，证明出，利用平行线的性质求解即可． 【详解】证明：如图2，延长交于点． （已知）， （两直线平行，内错角相等） 又（已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补） （同角的补角相等）． 题型06 平行线的性质与判定的实际应用 【典例6】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图是一个工业机械臂调整场景，是操作台的基准轴线，点A，B，M，N，P在同一平面内．当，且时，可判定机械臂与在同一条直线上，判定依据是（   ） A．两点确定一条直线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：当时，；时，， 根据“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”就可以确定点N，P，M在同一直线上． 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作，由平行公理的推论可得，利用两直线平行，同旁内角互补，进行角度的计算即可求得的度数． 【详解】解：如图，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）某小区车库门口的曲臂直杆道闸可抽象为如图所示的模型．已知AB垂直于水平地面AE，当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（CD与AE始终平行），在该运动过程中，的度数始终等于__________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 根据题意，结合图形，得到，再利用两直线平行，同旁内角互补，得到，则，最后． 【详解】解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）如图所示，下列说法正确的是（   ） A．与是同位角 B．因为与是同位角，所以这两个角相等 C．与是同旁内角，当这两个角相等时，直线与直线平行， D． 【答案】D 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角等知识，逐个分析求解即可． 【详解】解：A．与不是同位角，该项错误，不符合题意； B．因为与是同位角，与不一定平行，所以这两个角不一定相等，该项错误，不符合题意； C．与是同旁内角，当这两个角互补时，直线与直线平行，该项错误，不符合题意； D．∵与为对顶角， ∴，该项正确，符合题意． 2．（2026·广东深圳·一模）深圳市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面平行，，，当为（    ）度时，． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得出，利用三角形内角和定理得出，再利用平行线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，都与地面平行， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，添加下列条件后，不能够得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定分别进行分析即可． 【详解】解：A、可根据同位角相等，两直线平行判定； B、可根据内错角相等，两直线平行判定； C、可根据同旁内角互补，两直线平行判定； D、可根据内错角相等，两直线平行判定，不能判定， 4．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，已知，，连接，且平分，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行公理可证明，则由平行线的性质得到，，根据角平分线的定义得到，据此可判断①②④；根据现有条件无法证明，则可判断③． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵平分， ∴， ∴，，故②④正确； 根据现有条件无法证明，故③错误； ∴正确的有3个． 5．（25-26七年级下·广西崇左·月考）将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作直线，由结合平行公理的推论可得，再根据两直线平行内错角相等，得到，结合三角尺的角算出，最后依据，两直线平行同旁内角互补，通过求出． 【详解】解：如图，作直线，由题意得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为_______． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 7．（25-26六年级下·全国·单元测试）如图，两束光线从成像图层的点O处发射，经过平面镜的反射后在成像图层上形成光点M和N，若入射角，，则与所夹锐角为___． 【答案】75 【分析】此题考查了平行线的性质，如图所示，设与交于点E，过点E作，首先得到，然后由平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交于点E，过点E作 由反射性质得，， ∵， ∴， ∵由题意有， ∴， ∴， ∴． 故答案为：75． 8．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，若，，则________． 【答案】 【分析】根据 利用内错角相等判定，再根据两直线平行同旁内角互补求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示，直线，被直线，所截，下列条件能判定的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③④ 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．据此逐个判断即可． 【详解】解：① ，则，故不能判定； ②，则，故不能判定； ③设的对顶角为， ， ， ， ∵和是同旁内角， ； ④∵， 和是同旁内角，   ． 故答案为：③④． 10．（24-25七年级下·辽宁营口·月考）如图，已知，于点E，点G在直线上，且位于直线的右侧．若，，则的度数是______． 【答案】 【分析】过点H作，过点F作，推出，，再根据平行线的性质求出的度数，得出的度数，再根据平行线的性质分别求出、的度数，即可得解． 【详解】解：过点H作，过点F作， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题 11．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，已知，，，求的度数，请说明理由． 解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） ___________ ___________（___________） ___________（___________） （已知） ___________． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】按照推理过程，结合平行线的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：（已知） （两直线平行，同位角相等） 又（已知） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知） ． 12．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 13．（25-26七年级下·陕西榆林·月考）如图，在三角形中，点是三角形外一点，连接，点是线段上一点，连接交于点，若，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图1，已知，，，且满足． (1)求、的数量关系； (2)求证：； (3)如图2，当时，在、内部有一点，射线交延长线于，，，当为定值时，求的值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，，消去即可推导出与的数量关系； （2）过点作，利用平行线的性质得到，结合已知角度关系推出，从而证明，进而得到； （3）先根据求出，，再利用表示出相关角度，利用三角形内角和表示出，通过作辅助线利用平行线的性质表示出，最后根据为定值的条件，令的系数为0求解． 【详解】（1）解：，，， ，， 即，． 将代入得：， 整理得：． （2）解：如图，过点作， ， ， ∴． ，， ． 又， ， ． 且， ． （3）解：当时，，， 即，，． ， ，， ∴， 在中，， ∴． 如图，过点作， ， ， ，． ， ， 又， ， 则． 要使为定值，需的系数为0， 即：，解得． 15．（25-26七年级下·河北廊坊·月考）【学科融合】把一根筷子的一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．如图，，光线从空气射向水中发生折射，路径为．延长与交于点． (1)写出的两个同位角：________；（答案不唯一） (2)比较和的大小；（直接写结果） (3)若，，求的度数． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】本题考查平行线的知识，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，即可； （2）根据对顶角相等，则，根据，可得到，的大小关系； （3）根据平行线的性质，可得，求出；再根据，即可求出． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． （2）解：． ∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $