专题5.1 轴对称（1大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

本讲义聚焦轴对称核心知识点，系统梳理轴对称图形与两个图形成轴对称的概念及区别联系，深入讲解对应点连线被对称轴垂直平分等性质，构建从概念理解到性质应用再到作图与问题解决的学习支架。 通过观察折叠、推理证明等活动发展空间观念与几何直观，结合台球反射、最短路径等生活实例培养应用意识，分层题型设计助力学生从直观操作过渡到逻辑推理，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、弥补薄弱环节。

专题5.1 轴对称 教学目标 1. 理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能正确判断并找出对称轴；掌握轴对称基本性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段/角相等）。 2. 会用性质作简单图形的轴对称图形，能运用性质解决线段相等、角度相等及最短路径等基础几何问题。 3. 经历观察、折叠、推理等活动，发展空间观念、几何直观与初步推理能力，感受对称美，体会轴对称在生活与数学中的应用。 教学重难点 1.重点 （1）掌握轴对称图形与成轴对称的核心概念，理解并熟练运用轴对称的基本性质（对应点连线被对称轴垂直平分），这是本章作图与证明的基础。 （2）能准确画出点、线段、三角形等简单图形关于给定对称轴的对称图形，规范作图步骤，为后续复杂图形变换与应用奠基。 2.难点 （1）区分轴对称图形（一个图形）与两个图形成轴对称（两个图形的关系），理解两者联系与区别，避免概念混淆。 （2）从直观操作过渡到严谨推理，用轴对称性质进行逻辑证明；灵活运用性质解决最短路径等综合应用问题，建立图形变换的几何思维。 知识点01 轴对称 轴对称 1．轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点． 　　要点诠释： 1．轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合． 2．成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变． 2．轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． 轴对称与轴对称图形的性质 　　轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段． 【即学即练1】1．下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】平面内，沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】 解：A、C、D选项图形无法找到一条直线，使折叠后两旁的部分完全重合，故不是轴对称图形，故A、C、D均不符合题意； B选项图形可以找到直线折叠，使得直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故B符合题意． 2．如图，在长方形中，E为边上的一点，沿线段对折后，若比大，则的度数是______． 【答案】/24度 【分析】本题考查角的和差计算以及用一元一次方程解决几何问题，关键是利用折叠的性质得到相等的角，结合直角的度数建立方程求解． 【详解】解：设， ∵沿线段对折， ∴； 又∵比大， ∴； ∵四边形是长方形， ∴，即， ∴，解得； 故答案为： 3．如图，内一点，分别是点关于的对称点，交于，交于，若，则的周长是_______． 【答案】 【分析】此题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质得到，，，由此可得到的周长． 【详解】解：由于轴对称的性质， ∴，， 的周长为， 故答案为：． 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26九年级下·重庆·月考）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；据此逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C．不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D．是轴对称图形，故该选项符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上． 没有对称轴的图形是________． 有一条对称轴的图形是________． 有两条对称轴的图形是________． 有三条对称轴的图形是________． 有三条以上对称轴的图形是________． 【答案】 （1）、（6） （2）、（5） （4） （3） （7）、（8） 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两边的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此求解即可． 【详解】解：没有对称轴的图形是（1）、（6）， 有一条对称轴的图形是（2）、（5）， 有两条对称轴的图形是（4）， 有三条对称轴的图形是（3）， 有三条以上对称轴的图形是（7）、（8）， 故答案为：（1）、（6）；（2）、（5）；（4）；（3）；（7）、（8）． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·月考）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 题型02 对称轴 【典例2】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【变式1】（2026七年级下·江苏·专题练习）下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔钱”，图②是其轮廓图．已知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为_________．    【答案】4 【分析】根据轴对称图形的定义，分析图②的特征，确定对称轴的数量即可． 此题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握相关概念是解决此题的关键． 【详解】解：如图所示，    故答案为：4． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称轴的是______；只有2条对称轴的是______；只有4条对称轴的是______．（填序号） 【答案】 ①②⑩ ③④⑤⑥⑧⑨ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形对称轴的判断，根据定义逐项判断即可．将一个图形沿某直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形称为轴对称图形． 【详解】解：因为图①有1条对称轴，图②有1条对称轴，图③有2条对称轴，图④有2条对称轴，图⑤有2条对称轴，图⑥有2条对称轴，图⑦有4条对称轴，图⑧有2条对称轴，图⑨2条对称轴，图⑩有1条对称轴． 所以只有1条对称轴的是①②⑩；只有2条对称轴的是③④⑤⑥⑧⑨；只有4条对称轴的是⑦． 故答案为：①②⑩；③④⑤⑥⑧⑨；⑦． 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例3】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 【变式1】（25-26七年级下·全国·周测）如图，与关于直线l对称．若，，则________，________． 【答案】 2cm 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握该性质是解题的关键； 根据轴对称的性质解题即可得出答案． 【详解】解：∵与关于直线l对称 ∴ 故答案为：2cm， ． 【变式2】（25-26七年级上·江苏淮安·月考）如图，四边形与四边形关于所在直线对称．若的面积是，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是根据轴对称图形的性质得到四边形与四边形的面积相等． 由题意可得，四边形与四边形的面积相等，从而得到阴影部分的面积就是的面积，即可求解． 【详解】解：由四边形与四边形关于所在直线对称可得四边形与四边形的面积相等， 从而得到阴影部分的面积就是的面积，即阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，与的交点在直线上．若，，，． (1)求出的长度； (2)求的度数； (3)连接，线段与直线有什么关系？ 【答案】(1) (2) (3)直线垂直平分线段 【分析】本题主要考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）先根据轴对称的性质得出，再根据，求出的长度即可； （2）根据轴对称的性质得出，再根据求出结果即可； （3）直接根据轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （2）解：∵与关于直线对称，，， ∴， ∴． （3）解：直线垂直平分线段．理由如下：如图， ∵，关于直线对称， ∴直线垂直平分线段． 题型04 画轴对称图形 【典例4】（25-26七年级下·江苏泰州·月考）已知的顶点A、B、C在格点上，按要求在方格纸中画图． (1)画出向右平移4格后的图形，再画出向上平移5格后的图形． (2)画出关于水平直线l成轴对称的图形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【详解】（1）解：如图，、为所求作； （2）解：如图，为所求作． 【变式1】（21-22八年级下·江苏南通·期中）如图，平面直角坐标系中，的三个顶点，，． (1)画出先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到； (2)画出关于过点且平行于y的直线对称的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查平移作图，坐标与图形——轴对称变换： （1）将三个顶点分别先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到对应点后顺次连接即可； （2）作三个顶点关于过点且平行于y的直线对称点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵点，，，且先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 ∴点，，， 则即为所求， （2）解：如图，即为所求． 【变式2】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于直线l成轴对称的； (3)在直线l上找一点P，使最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据平移方式确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （2）根据轴对称的特点确定点的位置，描出点，并顺次连接点即可； （3）连接交直线l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点P即为所求． 【变式3】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）如图是由边长为的小正方形组成的网格，直线是一条网格线，点、在格点上，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上画出点，使四边形的周长最小． 【答案】(1) 即为所求； (2)见解析 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）连接交于即可． 【详解】（1）解：如图， 即为所求； （2）解：如图，点即为所求； 题型05 折叠问题 【典例5】（25-26七年级下·山东济宁·月考）图，把长方形纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出 的度数，再根据折叠的性质得出 ，最后利用平角的定义求出 的度数 【详解】解：四边形是长方形 由折叠的性质可知， 【变式1】（25-26八年级下·山东威海·月考）在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的纸，如图，他先将纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F，折痕为；再沿过点E的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点G，折痕为．已知，则的度数为___________ ． 【答案】/56度 【分析】由题意可知，而，进而可求的度数． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠，若，则________度． 【答案】 100 【分析】平行线的性质，求出的度数，折叠得到，进行求解即可. 【详解】解：∵长方形的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴， ∴. 【变式3】（25-26七年级上·江苏连云港·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得，折叠后的，落在同一条直线上，其中，为折痕． (1)和有怎样的位置关系？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题主要考查了折叠问题，角度和与差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意可得，，又，所以，则，得，从而求解； （）由题意可得，，又，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 题型06 台球桌上的轴对称问题 【典例6】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，桌球的桌面上有两个球，若要将球射向桌面的一边，反弹一次后击中球，则四个点中，可以反弹击中球的是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． 过直线作点N的对称点，连接，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据题意可知球的两段运动轨迹与直线的夹角相等， 如图，过直线作点N的对称点，连接， 根据图形可知经过点C，且，， 符合题目要求， 反弹击中球的是点C． 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 【变式2】（23-24八年级上·山东聊城·期中）数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为______．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【变式3】（23-24八年级上·辽宁铁岭·期中）2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是____________号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 题型07 轴对称中的光线反射问题 【典例7】（25-26八年级上·山西朔州·月考）如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式1】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式2】（2023八年级·全国·专题练习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·周测）如图，小华将小球放在两平行镜和之间，其球心为点A，点A在平面镜中的像为，在平面镜中的像为．已知点到的距离为，到的距离为，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是镜面反射的性质．根据经过反射后，，得出，即可求解． 【详解】解：经过反射后，， 故， 根据题意可得，， 故，， ∴． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 2．（2026·山西吕梁·一模）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．以下航天图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 3．（25-26八年级上·青海海东·期末）如图，直线表示一条河，表示两个村庄，欲在上的某处修建一个水泵站，向两个村庄供水．现有下面的四种铺设管道的方案，实线表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路线，利用对称的性质作出点M关于直线的对称点，然后将所求路线长转化为两定点之间的距离即可． 【详解】解：作点M关于直线的对称点，连接，交直线于点，如图所示，，此时所需的管道最短． 故选：D． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）在综合实践课上，老师要求验证纸条两边与是否平行，甲、乙、丙三位同学按照如图所示的方式折叠，并测量出部分数据，关于三人的方案及数据，下列判断正确的是（    ） ， A．甲、乙、丙都可行 B．只有甲、乙可行 C．只有乙、丙可行 D．只有乙可行 【答案】B 【分析】根据平行线的判定定理分别对三位同学的方式折叠判断即可． 【详解】解：甲：∵， ∴， 同理可得，， ∴ ∴，故甲可行； 乙：如图， 由折叠得， ∵ ∴ ∴，故乙可行； 丙：由无法判断与是否平行，故丙不可行； 综上所述，只有甲、乙可行． 5．（25-26七年级下·重庆·月考）如图，四边形为一张长方形纸片，点E，F分别为边上一点，将这张纸片沿折叠，使点A，B分别落在点M，N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质得，进而得到，再由两直线平行，同旁内角互补进行求解． 【详解】解：由折叠可知， 又， ， 在长方形中，， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）围棋起源于中国，古代称为“弈”．如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子，观察棋盘，白方如果落子于点 _______ 的位置，则所得的对弈图（不考虑颜色）是轴对称图形．（填写A，B，C，D中的一处即可，A，B，C，D位于棋盘的格点上） ． 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义判断白方落子的位置即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知：当白方落子于点A时，可以构成轴对称图形， 故答案为：A． 7．（25-26九年级下·重庆綦江·月考）如图，在中，，点在上，将沿直线翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是_______ ． 【答案】70 【分析】由平行线的性质可得，，由折叠的性质可得，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由折叠得，， ∵ ∴， ∴． 8．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）如图，在三角形纸片中，．沿过点的直线折叠这个三角形纸片，使点落在边上的点处．折痕为．若的面积为，则的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、比例的性质和同底等高的三角形面积，理解题意是解决本题的关键． 由题意得，设，，，由折叠得，即可求出，则根据同底等高的三角形面积相等进行求解即可． 【详解】解：由题意，设，，， 由折叠得， ∴ ， 由图可得，与等高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积 ， ∴的面积为： ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·江苏徐州·月考）如图，和关于所在的直线成轴对称，点，是中线上的两点，的面积是，则图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，根据轴对称的性质得出 和 关于直线 对称，面积相等，从而将阴影部分的面积转化为 的面积是解决本题的关键． 【详解】解： 和 关于 所在的直线成轴对称， 是 的对称轴， ， 点 在对称轴 上， 和 关于直线 对称， ， 由图可知，阴影部分的面积 ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南信阳·期末）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为2，则C点表示的数是_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查数轴上点的表示、数轴上点的特征，根据数轴上的距离表示点的数字是解题的关键． 首先根据点B表示的数分别是，点A落在射线上且到点B的距离为2即可表示出对折后点A表示的数可以为8或12，再根据点C为中点即可求得点C表示的数． 【详解】解：∵点B表示的数分别是，点A落在射线上且到点B的距离为2， ∴对折后点A表示的数可以为8或12， ∵点C为折点， ∴点C为中点， ∵点A表示的数分别是， ∴点C表示的数为或 ∴点C表示的数为或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（22-23七年级上·广东广州·期末）阅读下面材料：利用折纸可以作出角平分线． (1)如图1，若，则___________； (2)折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． ①如图2，当点在上时，求的大小； ②如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题主要考查了折叠的性质，角平分线定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握折叠的性质． （1）根据折叠性质，求出结果即可； （2）①根据折叠得出，，根据，得出，即可求出结果； ②根据折叠得出，，再求出即可． 【详解】（1）解：由折叠知，， ， ． （2）解：①由折叠知，， ， 由折叠知，， ， 点落在， ， ， ，即； ②由折叠知，，， ， ， ， 即． 12．（25-26七年级下·江苏盐城·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； 13．（25-26八年级上·江西赣州·期末）与关于直线对称，仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)在图中，作出直线． (2)在图中，是中点，在对称轴上作出一点，使得周长最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （）根据轴对称的性质即可求解； （）根据轴对称的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 14．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海虹口·期末）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点饮马，再去河岸同侧的营地开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点的方案． 正确的方案是_____（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是_____． 【解决问题】 （2）如图，在中，点与点关于直线成轴对称，点是直线上的动点．若，则周长的最小值为_____． 【类比探究】 （3）如图，点是内一定点，将军牵马从军营出发，先到河流边上一点饮马，再到草地边上一点吃草，最后回到军营 ①在上图上画图：使将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程最短，且时，则_____°． 【答案】（1）④，两点之间线段最短；（2）11；（3）①见解析；②70 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点． （1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短； ②由三角形内角和定理可得，由轴对称的性质可得，则，故，同理可得，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：（1）正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点， 由对称轴的性质可得，， ∴， ∴， ∴的周长最小值为， 故答案为：11； （3）①如图，最短， 过点分别作的对称点，连接与交点即为点 则， ∴； ②如图： 因为， 所以， 由轴对称的性质可得， 因为， 所以， 所以， 同理可得， ∴ 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题5.1 轴对称 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点】轴对称 知识清单 题型1轴对称图形的识别 题型2对称轴 轴对称 题型了根据成轴对称图形的特征进行求解 题型4画轴对称图形 题型精讲 题型5折叠问题 题型6台球桌上的轴对称问题 题型7轴对称中的光线反射问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解轴对称图形、两个图形成轴对称的概念，能正确判断并找出对称轴；掌握轴对 称基本性质（对应点连线被对称轴垂直平分、对应线段/角相等）。 2.会用性质作简单图形的轴对称图形，能运用性质解决线段相等、角度相等及最短路 教学目标 径等基础几何问题。 3.经历观察、折叠、推理等活动，发展空间观念、几何直观与初步推理能力，感受对 称美，体会轴对称在生活与数学中的应用。 1.重点 (1)掌握轴对称图形与成轴对称的核心概念，理解并熟练运用轴对称的基本性质（对 教学重难点 应点连线被对称轴垂直平分)，这是本章作图与证明的基础。 (2)能准确画出点、线段、三角形等简单图形关于给定对称轴的对称图形，规范作图 步骤，为后续复杂图形变换与应用奠基。 1/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.难点 (1)区分轴对称图形（一个图形）与两个图形成轴对称（两个图形的关系），理解两 者联系与区别，避免概念混淆。 (2)从直观操作过渡到严谨推理，用轴对称性质进行逻辑证明；灵活运用性质解决最 短路径等综合应用问题，建立图形变换的几何思维。 知识清单 知识点01轴对称 轴对称 1.轴对称定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线 成轴对称，这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点 要点诠释： 1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合. 2.成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状相同，大小不变 2.轴对称与轴对称图形的区别与联系 轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和 轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来， 若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称. 轴对称与轴对称图形的性质 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段： 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段 【即学即练1】1.下列图形中，是轴对称图形的是() 米米·专旅 2.如图，在长方形ABCD中，E为DC边上的一点，沿线段BE对折后，若∠ABF比∠EBF大I8°，则 ∠EBF的度数是 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，∠AOB内一点P,PP分别是点P关于OA、OB的对称点，PP交OA于M,交OB于N,若 PP=10cm,则aPMN的周长是 题型精讲 题型01轴对称图形的识别 【典例1】（25-26九年级下·重庆·月考)下列图形中，是轴对称图形的是() D 【变式1】(25-26八年级上·北京期中)以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有 国®从心⑨S 【变式2】(2025八年级上·全国·专题练习)观察下列图形，请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上· 2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 没有对称轴的图形是 有一条对称轴的图形是 有两条对称轴的图形是 有三条对称轴的图形是 有三条以上对称轴的图形是 3/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25七年级下·陕西西安·月考)《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印 象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（) B 题型02对称轴 【典例2】(25-26八年级上·河北廊坊·期中)如图是一个轴对称图形，对称轴是直线() A.4 B. c.1 D.4 【变式1】(2026七年级下·江苏.专题练习)下面各图的对称轴数量最多的是() B C D 【变式2】(25-26七年级下·全国·课后作业)“圆形方孔钱”是中国古钱币的突出代表，图①是一种“圆形方孔 钱”，图②是其轮廓图.己知古钱币的轮廓图是轴对称图形，则它的对称轴条数为 图① 图② 【变式3】(24-25七年级下·全国·课后作业)如图所示的图形都可以看成是轴对称图形，其中只有1条对称 轴的是 ；只有2条对称轴的是；只有4条对称轴的是 .(填序号) 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9g分张米8 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨⑩ 题型O3根据成轴对称图形的特征进行求解 【典例3】(2026七年级下江苏.专题练习)如图，△ABC和△AB'C'关于直线1对称，直线1与CC'相交于点 O,若AB=5,B'C'=2,C0=1,则五边形ABCC'B'的周长为() ⊙ COC' A.18 B.16 C.14 D.12 【变式1】(25-26七年级下·全国周测)如图，ABC与△AED关于直线1对称.若AB=2cm,，∠C=85°， 则AE=」 ,∠D= B 【变式2】(25-26七年级上江苏准安·月考)如图，四边形EFIH与四边形GEHJ关于AC所在直线对称.若 ABC的面积是20cm2,则阴影部分的面积为_cm2. 4 D E G H B 【变式3】(2026七年级下·全国.专题练习)如图，ABC与ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F 在直线MN上.若ED=4cm,FC=1cm,∠BAC=76°，∠EAC=58°. 5/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M (I)求出BF的长度； (2)求∠CAD的度数： (3)连接EC,线段EC与直线MN有什么关系？ 题型04画轴对称图形 【典例4】(25-26七年级下·江苏泰州月考)已知ABC的顶点A、B、C在格点上，按要求在方格纸中画图. 1-B (1)画出△ABC向右平移4格后的图形△A,B,C,再画出△AB,C向上平移5格后的图形△4，B,C,. (2)画出ABC关于水平直线1成轴对称的图形△A,B,C, 【变式1】(21-22八年级下·江苏南通·期中)如图，平面直角坐标系中，ABC的三个顶点A(0,5, B(-1,0,C-3,2. (I)画出ABC先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到△AB,C; (2)画出ABC关于过点(1,0)且平行于y的直线MN对称的△A,B,C2, 【变式2】(25-26七年级下·江苏连云港·月考)如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完 成下列各题 6/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)画出将ABC向下平移5个单位长度后的△A,BC; (2)画出ABC关于直线1成轴对称的△A,B,C2; (3)在直线1上找一点P,使AP+BP最小.（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【变式3】(24-25八年级上·甘肃临夏·期末)如图是由边长为1的小正方形组成的10×10网格，直线EF是一 条网格线，点E、F在格点上，ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上. (I)作出ABC关于直线EF对称的△A,B,C: (②)在直线EF上画出点M,使四边形AMBC的周长最小. 题型05折叠问题 【典例5】(25-26七年级下·山东济宁·月考)图，把长方形纸片EF沿折叠后，点C、D分别落在C',D'的位 置，若LEFB=65°，则LAED'等于() D D 65 C A.25° B.40° C.50° D.65° 【变式1】(25-26八年级下·山东威海·月考)在一次折纸活动中，小林同学选用了常见的A4纸，如图，他 先将A4纸沿过点E的直线折叠，点B的对应点为点F,折痕为EP;再沿过点E的直线折叠，使点C落在 EF上，点C的对应点为点G,折痕为EO.已知∠BEP=34°，则∠CEQ的度数为 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B------- 【变式2】(25-26七年级下·河北廊坊·月考)在数学综合与实践课中，王老师带领同学们进行折纸活动.如 图，把一个长方形纸片沿EF折叠，若∠1=40°，则∠2= 度 E 【变式3】(25-26七年级上江苏连云港·期末)将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，使得BA,BC折 叠后的BA',BC落在同一条直线上，其中BE,BD为折痕 B 0 (1)BE和BD有怎样的位置关系？请说明理由. (2)若∠ABE=23°，求∠CBD的度数， 题型06台球桌上的轴对称问题 【典例6】(25-26七年级上山东威海期末)如图，桌球的桌面上有M,V两个球，若要将球M射向桌面的 一边，反弹一次后击中球N,则A,B,C,D四个点中，可以反弹击中球N的是() N 4 ABC D A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式1】(24-25七年级下·全国·随堂练习)如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球 放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是() ④ ⑤ ⑥ d ③ ② ① 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.① B.② c.③ D.④ 【变式2】(23-24八年级上山东聊城期中)数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学 问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=35°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必 须保证∠1为 【变式3】(23-24八年级上·辽宁铁岭期中)2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊 晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改 造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可 以经过多次反射)，那么该球最后将落入的球袋是 号袋 1号袋 2号袋 3号袋 4号袋 5号袋 6号袋 题型07轴对称中的光线反射问题 【典例7】(25-26八年级上山西朔州月考)如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知 识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为() 入射光线人 平面镜7777777分77n7777n7 A.a B.b C.c D.d 【变式1】(2025·河南周口·二模)如图，水平地面AB上放置一平面镜，从激光笔的P点发出的光线照射到 平面镜的0处，反射光线为00，且点Q恰好落在与地面垂直的墙面AC上.若∠AQO=58°，则∠B0P的度 数为() P A.25° B.21 C.32° D.43° 【变式2】(2023八年级·全国·专题练习)如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中∠1 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 叫做入射角，∠2叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球 袋中的 A ⊙ 【变式3】(25-26七年级上·湖北武汉·周测)如图，小华将小球放在两平行镜L和L之间，其球心为点A, 点A在平面镜L中的像为A,在平面镜L中的像为”.已知点A到L的距离为20cm,到L的距离为 40cm,则A'A"= cm A 强化训练 一、单选题 1.(24-25七年级下·全国·随堂练习)如图，给出的虚线是图形的对称轴的是() ① ② ⑥ ⑤ ④ A.①③⑤ B.②④⑥ C.①②④ D.②⑤⑥ 2.(2026山西吕梁一模)中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧.以下航 天图标中，是轴对称图形的是() B 10/15