第5章 轴对称与旋转章节复习（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材湘教版七年级下册

该初中数学讲义以“轴对称与旋转”为核心，通过表格梳理教学目标与重难点，分点呈现轴对称（定义、性质、图形识别）和旋转（三要素、性质）知识脉络，突出全等变换本质及概念辨析（如轴对称图形与两图成轴对称的区分）。 讲义亮点在于题型设计梯度分明，典例1结合中国方块字识别轴对称图形培养几何直观，典例5通过光的反射问题发展推理能力。典例配变式练习覆盖作图、计算、实际应用，助力学生从基础到综合提升，教师可依此实施精准教学，强化空间观念与创新意识。

第5章 轴对称与旋转章节复习 教学目标 1. 理解轴对称、旋转的概念，掌握轴对称性质、旋转三要素（中心、方向、角度）与性质，能判断轴对称图形、识别旋转现象，会作简单对称与旋转图形。 2. 经历观察、操作、探究过程，发展空间观念、几何直观与合情推理能力，能运用变换性质解决简单计算、证明与实际问题。 3. 感受图形变换的美学价值与应用，激发数学兴趣，培养动手、合作与创新意识，体会全等变换的本质。 教学重难点 1.重点 （1）轴对称与旋转的核心概念、基本性质，包括轴对称对应点、线段、角关系，旋转对应点距离、旋转角相等及全等性。 （2）运用性质识别图形、规范作图，解决最短路径、线段与角度计算、简单几何证明等问题，建立变换与全等的联系。 2.难点 （1）区分轴对称图形与两图成轴对称，精准理解旋转“每点同中心、同方向、同角度”的数学本质，把握变换三要素与性质内涵。 （2）灵活运用变换性质进行复杂推理、综合作图与实际问题转化，建立空间想象与逻辑推理的衔接，规范表达解题依据。 知识点01 轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴．两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点． 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段； 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段． 知识点02 旋转 旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （1） 旋转的性质：　①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． （2） 旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（2026·湖北武汉·二模）中国的方块字中有些具有对称性．下列美术字是轴对称图形的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做该图形的对称轴，逐一判断各选项即可. 【详解】解：选项不是轴对称图形，无法由一条直线折叠后完全重合，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，可以由中间一条直线折叠后完全重合，选项符合题意． 【变式1】（2026·云南昆明·一模）下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，对四个选项逐一分析，即可解答． 【详解】解：A、两个黑点分别位于右上和左下，找不到一条直线使折叠后两侧完全重合，不是轴对称图形； B、图形上下、左右的文字/符号都不相同，无法找到对称轴使两侧重合，不是轴对称图形； C、左侧是，右侧是无穷大符号，二者不同，折叠后无法重合，不是轴对称图形； D、沿竖直中线（或水平中线）折叠后，直线两侧部分可以完全重合，是轴对称图形． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）鱼纹是中国传统纹样中最具生命力的符号之一，承载着丰富的文化寓意和艺术表现．下列鱼纹图案中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在平面内，沿某条直线对折后，直线两边的部分能够完全重合的图形，叫做轴对称图形． 【详解】解：结合轴对称图形的定义，A、B、D选项明显不符合题意，C选项的图形是轴对称图形 ． 【变式3】（2026·云南昆明·一模）下列四个选项中，是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】轴对称图形是指把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的概念逐一进行辨别，即可解答． 【详解】解： B、C、D选项均无法找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后， 直线两旁的部分能完全重合，故它们都不是轴对称图形； A选项，能找到这样的一条直线，使得沿着这条直线折叠之后，直线两旁的部分能完全重合， 故它是轴对称图形． 题型02 根据成轴对称的特征进行求解 【典例2】（25-26八年级上·广东肇庆·期中）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·云南临沧·期中）如图，是轴对称图形，是其对称轴，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形．根据轴对称图形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵是轴对称图形，是其对称轴， ∴和是对应角， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，．则四边形的周长为___________． 【答案】18 【分析】根据轴对称图形的性质可得到的长度，即可计算四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式3】（25-26八年级上·福建龙岩·月考）如图，在中，，点是边上的两个定点，点分别是边上的动点，当四边形的周长最小时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称结合线段和最小问题，三角形的内角和定理，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，则：，当在线段上时，四边形的周长最小，根据对称性结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接， 则：， ∴四边形的周长， ∴当在线段上时，四边形的周长最小，如图， ∵对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型03 画轴对称图形 【典例3】（25-26八年级上·四川广元·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格中，的三个顶点A、B、都在格点上． (1)在图1中画出与关于直线成轴对称的； (2)在直线上找一点，使得的周长最小．（不需要计算，在图2上直接标记出点的位置即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换作图； （1）依据轴对称的性质，即可得到与关于直线成轴对称的； （2）点B关于直线l的对称点，连接交直线l于P，则的周长最小． 【详解】（1）解：即为所求； （2）解：点P即为所求： 【变式1】（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的三个顶点均在格点上，已知与关于直线l对称．请在图中画出（点A，B，C的对称点分别为点，，）． 【答案】画图见详解 【分析】本题主要考查轴对称的定义，画出轴对称图形是解题的关键． 首先找到点A，B，C关于直线l的对称点，，，再依次连接点，，即可得到． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【变式2】（25-26八年级上·云南怒江·期中）如图，四边形的顶点均在正方形网格的格点上． (1)画出四边形关于直线l对称的四边形； (2)连接，，则与的位置关系为________． 【答案】(1)见解析 (2)平行 【分析】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． （1）根据对称的性质，画出A、B、C、D的对称点再顺次连接即可． （2）根据轴对称图形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，四边形为所作． （2）解：连接与， 由图知，与的位置关系为平行， 故答案为：平行． 【变式3】（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的． (2)在直线l上找一点，使的值最小， (3)在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 题型04 折叠问题 【典例4】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，把长方形纸片沿折叠后，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质、图形折叠的性质，根据可知，根据图形折叠的性质可知，进而可求得答案． 【详解】解：根据题意可知， 所以． 根据图形折叠的性质可知， 所以． 故选：A 【变式1】（25-26七年级下·河北廊坊·月考）如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先根据平行线的性质可得，从而可得，，再根据折叠的性质可得，由此建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ， 解得， 即． 【变式2】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在长方形纸片中，，将和对折，使边，均落在上，得到折痕，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质，可得，，再根据，可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵将和对折，使边，均落在上，得到折痕，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式3】（2023·浙江台州·模拟预测）如图，中，，，将它沿一条直线对折，使得顶点，重合，点是折痕上一点，连接，作点关于对称点，连接，则______°． 【答案】15 【分析】根据翻折的性质，进行角度计算即可． 【详解】解：翻折后图形如下： 根据翻折的性质， ， ∴， ∵作点关于对称点， ∴， ∴． 题型05 生活中的轴对称问题 【典例5】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·山西晋中·期末）在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片P放在张角为的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，解答即可． 【详解】解：根据题意得：一次反射成像有2个，即， 两次反射成像有2个，即， 三次反射成像有1个，即， 如图， 即可以看到完整的正方形（含原来的正方形P）的个数是6个． 故选：C 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为___________． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查反射，熟练掌握平面镜反射光线的规律是解题的关键．根据射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等即可得到答案． 【详解】解：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ． 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·山东德州·期中）如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的知识，注意结合图形解答，不要凭空想象，实际操作一下． 【详解】解：如图， 可以瞄准点击球． 故答案为：． 题型06 找旋转中心、旋转角、对应点 【典例6】（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在的正方形网格中，格点绕某点旋转一定角度，可得格点，则旋转中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，线段垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，三角形绕点顺时针旋转得到三角形．，，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 根据旋转的性质，利用旋转角，计算即可． 【详解】解：∵三角形绕点顺时针旋转得到三角形， ∴是旋转角， ∵，， ∴， ∴旋转角的度数是， 故选：D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，的顶点都在方格纸的格点上，将绕点按顺时针方向旋转得到，使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是______． 【答案】/90度 【分析】本题考查了旋转的性质，对应点B，与旋转中心O连线的夹角是旋转角，据此解答． 【详解】解：根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知是旋转角，且， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·北京·期末）如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是点__________________． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转角相等，解答即可． 【详解】解：根据旋转角相等，得， 故旋转中心可能是点B， 故答案为：B． 题型07 根据旋转的性质求解 【典例7】（25-26九年级上·广东韶关·期末）如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转前后角度相等是解题的关键． 由旋转可得，进而可得． 【详解】解：∵绕点A旋转得到， ， ， ∴． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，将绕着点C逆时针旋转得到，使得点B的对应点E落在边上，若，则线段的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查旋转的性质，线段的和与差，根据旋转的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵旋转，， ∴， ∵点E落在边上， ∴； 故答案为：6． 【变式2】（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，若，求的度数． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）一直角三角板CDO，（）从边CO与直线AB重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒． (1)当直角三角板CDO在直线AB上方时． ①当时，__________，__________； ②__________时，OC平分； ③求当t为何值时，的度数是度数的2倍； (2)当三角板CDO围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线AB将分成2∶3两部分时，直接写出满足条件的所有t的值． 【答案】(1)①40，80； ②30；③50 (2)72或78或162或168 【分析】本题考查旋转角度与时间的关系、角度和差关系．围绕直角三角板绕点O顺时针旋转展开，需结合旋转速度、角度和差关系及分类讨论思想解题． （1）利用旋转速度确定旋转角度，结合平角、角平分线定义及角度倍数关系列方程求解； （2）考虑直线分割的不同位置（或参与分割），分情况列方程求解． 【详解】（1）①三角板绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转时间秒，因此旋转角度为． 由于初始时与直线重合，旋转后等于旋转角度，即． ②已知，且（平角定义），因此： ． ③当直角三角板在直线上方时 ， ， 解得：， 答：①40、80，②30，③当t为50时，的度数是度数的2倍; （2）如图，当射线将分成2∶3两部分时， 若，则 所以， 解得：， 若，则 所以， 解得：，如图，当射线将分成2∶3两部分时， 若，则 所以， 解得：， 若，则 所以， 解得：， 综上所述，t的值为72或78或162或168 题型08 根据旋转的性质说明线段或角相等 【典例8】（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（    ） A．旋转中心是点 B．旋转角等于 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案． 【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意； B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意； C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意； D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（2025·河北邯郸·三模）如图，将绕点O顺时针旋转变为，则下列说法不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 结合旋转的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵绕点O顺时针旋转变为， ∴， 故A，B，D选项正确，不符合题意， C选项不正确，符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，将绕点逆时针方向旋转到的位置，点落在边上的点处，若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转得，，而点落在边上的点处，由，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针方向旋转到， ∴，， ∵点落在边上的点处， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，点为正方形内一点，经逆时针旋转后能与重合. (1)旋转中心是_____，旋转角度最小为_____度； (2)判断的形状，并说明理由； (3)若，说明. 【答案】(1)点，90 (2)等腰直角三角形，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查几何图形的旋转，熟悉“旋转的概念、性质”是解答本题的关键． （1）根据旋转的定义结合已知条件分析解答即可； （2）由旋转的性质可知，，，由此可得是等腰直角三角形； （3）由旋转可得，进而得到，从而证明结论． 【详解】（1）解：∵是正方形， ∴， ∵经逆时针旋转后能与重合， ∴旋转中心是点，旋转角度最小为， 故答案为：点，； （2）解：是等腰直角三角形，理由为 四边形是正方形， ， 由旋转，得，， 是等腰直角三角形； （3）证明：由旋转，得， ， ， ． 题型09 旋转作图 【典例9】（25-26七年级上·全国·月考）如图，将正方形图案绕中心O按顺时针旋转后，得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的旋转，根据图形旋转的性质直接判断即可． 【详解】解：将正方形图案绕中心O顺时针旋转后，得到的图案是： 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·青海海西·期末）在图中分别画出绕点O顺时针旋转的和后的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．根据旋转性质分别确定各顶点绕点O顺时针旋转和后的对应点，再顺次连接即可． 【详解】解：如图，和即为所求： 【变式2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）． (1)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的； (2)在图中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的． 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【分析】本题重点考查旋转的性质在网格作图中的应用，解题关键是利用网格格点间的距离和位置关系，精准定位旋转后各顶点的对应格点，以此培养空间观念与几何直观能力． （1）观察图1中相对于的位置关系（横向、纵向格数及方向），依据旋转后距离不变且顶点在格点的要求，找到满足条件的格点作为．同理，分析相对于的位置关系，找到使且在格点上的位置．连接、、，得到． （2）观察图2中相对于的位置关系，结合旋转性质，找到绕顺时针旋转后落在格点上的． 分析相对于的位置关系，找到满足且在格点上的位置．连接、、，得到． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图所示， 【变式3】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知和直线MN． (1)画出关于直线MN成轴对称的． (2)连接，取线段的中点O，画出绕点O按逆时针方向旋转后得到的（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先确定的三个顶点关于直线的对称点，再依次连接这些对称点，得到轴对称图形． （2）先连接并取其中点，再分别将 三点绕点按逆时针方向旋转，得到对应点，最后连接这些点得到旋转后的． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，点，即为所求． 【点睛】本题考查轴对称与旋转的作图，掌握轴对称作图中找对称点的方法，以及旋转作图中确定旋转中心、方向和角度的步骤是解题的关键． 题型10 平面图形变换的简单应用 【典例10】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是（   ） A．旋转 B．轴对称 C．轴对称和旋转 D．平移 【答案】D 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，熟知旋转、轴对称、平移的定义和性质是解题的关键． 观察时紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：平移是沿直线移动一定距离得到新图形， 旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形， 轴对称是沿某条直线翻折得到新图形． 观察图形结合上述知识可知，该图案不包含的变换是平移． 故选：D 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图是某公司商品标志图案，下列说法：①图案是按照轴对称设计的；②图案是按照平移设计的；③图案的外层“S”是按轴对称设计的，④图案的内层“A”是按轴对称设计的．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据轴对称的定义可判断①③④，如果图案沿着一条直线折叠后，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形；按照平移设计的图案会出现重复的图形，可判断②是错误的； 本题考查了利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案，轴对称图形的判断，熟练掌握轴对称的定义是解题的关键． 【详解】解：①图案没有对称轴，不是按照轴对称设计的，错误； ②图案没有重复的图形，不是按照平移设计的，错误； ③图案的外层“S”没有对称轴，不是按轴对称设计的，错误， ④图案的内层“A”是按轴对称设计的，正确． 故选：A． 【变式2】（24-25九年级上·广东东莞·月考）如图是一个正六边形雪花状饰品，它绕着它的中心至少旋转_____，能与自身重合． 【答案】 【分析】本题考查利用旋转设计图案，根据图形的对称性质，用除以计算即可得解．理解旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵如图是一个正六边形雪花状饰品， ∴它既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的旋转中心为正六边形的中心， ∴该图形绕着它的中心旋转的整数倍能与自身重合， 即它绕着它的中心至少旋转，能与自身重合． 故答案为：． 【变式3】（18-19七年级·全国·单元测试）如图所示，在正方形网格中，图①经过______变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点______.（填“”或“”或“”） 【答案】 平移 【分析】图形平移前后对应边平行，故由①到②属于平移；旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心. 【详解】根据题意可得：图①与图②的对应点位置不变，通过平移可以得到； 根据旋转中心的确定方法是，两组对应点连线的垂直平分线的交点，可确定图②经过旋转变换得到图③的旋转中心是点A. 故填平移；A. 【点睛】此题考查图形的旋转变换中旋转中心的确定方法，两组对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心. 一、单选题 1．（25-26九年级下·山东淄博·月考）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“临淄之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判定即可得解. 【详解】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形； D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形. 2．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为24平方厘米，且，则图中阴影部分的面积之和为（   ）平方厘米． A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转对称图形，根据图示，将不规则图形面积转化是解题的关键． 根据旋转可得一个叶片的总面积，进而可得答案. 【详解】解：∵三个叶片的总面积为， ∴一个叶片的面积为8平方厘米， ∵， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积即8平方厘米， 故选：D． 3．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，将绕点O逆时针旋转到的位置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，明确旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得到，利用角的和差即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转到的位置， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 4．（2026·湖北·模拟预测）如图折叠一张长方形纸片，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据平行线的性质求出，然后根据折叠的性质得到的度数. 【详解】解：根据折叠得出，， ， ， ， ， ． 5．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，将长方形翻折，使点，分别与点，重合，折痕为；再沿翻折，使点，分别与点，重合．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 设，则，由折叠得到，，根据周角列方程求出，得到，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：设，则， ∴， 由折叠得，，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·河北唐山·期末）如图，将三角形绕点O逆时针方向旋转后得到三角形，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的变换以及几何图形中角度计算，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质可得，再结合，利用求解即可． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，在正方形中，点E，F分别是，上的点，将四边形沿直线折叠后，点A落在线段上点处，正方形的边长为，则图中阴影部分的周长为 _______ ． 【答案】12 【分析】本题考查了折叠的性质，根据折叠的性质得出，，，再根据阴影部分周长得出结论，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 【详解】解：由折叠性质可得：，，， ∴阴影部分周长 ， 故答案为：12． 8．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则______°． 【答案】54 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握以上性质． 根据平行线的性质得出相关角的度数，根据翻折的性质得出相等的角，然后根据角的和差进行求解即可． 【详解】解：如图所示， 根据长方形纸条对边平行可得， 根据翻折的性质可得， 故答案为：54． 9．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在长方形纸片的边上取一点，连接，，将沿折叠，点落在处，将沿折叠，点落在处，若，则__________________． 【答案】 【详解】本题考查翻折变换，由，求出，即得结论． 【解答】解：由翻折变换的性质可知，， 观察图形可知， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上的动点，＞且，＝，则的最小值为 ______． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，垂线段最短，三角形的面积，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 三、解答题 11．（25-26八年级上·吉林·期末）如图（1）、（2）分别是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中部分小正方形涂黑，请你用两种不同的方法，分别在两个图中再涂黑两个空白的小正方形，使它（涂黑部分）成为轴对称图形． 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，准确分析作图是解题的关键． 根据轴对称图形的性质先确定一个对称轴，再找出阴影部分的图形的关键点的对称点，画出图形即可． 【详解】解：如图所示，即为所作图形： 12．（25-26九年级上·天津宝坻·月考）如图，正方形中，点为边上的一点，将顺时针旋转后得到． (1)指出旋转中心及旋转角的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由： 【答案】(1)旋转中心是，旋转角是 (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，旋转只是改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，旋转前后的两个图形一定全等． （1）将旋转后得到，要确定旋转中心及旋转的角度，首先确定哪个点是对应点，即可确定； （2）根据旋转的性质可知，旋转前后两个图形一定全等，根据全等三角形的对应角相等，即可作出判断． 【详解】（1）解：旋转中心是，旋转角是； （2），理由如下： 延长交于点． 由旋转可知：， ，． 又，， ， ． 13．（25-26七年级下·江苏南通·月考）在图中网格上按要求画出图形，并回答问题： (1)如果将三角形平移，使得点A平移到图中点D位置，点B、点C的对应点分别为点E、点F，请画出三角形； (2)画出三角形关于直线成轴对称的三角形； (3)线段扫过的面积为______． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)10 【分析】（1）根据题意，点A平移到点D位置，平移规律是向右平移3个单位，向下平移1个单位，由此即可得到平移图形； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据线段平移，网格求图形面积的方法求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求图形， （2）解：如图所示，即为所求图形； （3）解：从到，线段扫过的面积为． 14．（2026七年级下·江苏·专题练习）美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 15．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第5章 轴对称与旋转章节复习 内容概览 教学目标，教学重难点 知识点1轴对称 知识清单 知道点2旋转 题型1轴对称图形的识别 题型2根据成轴对称图形的特征进行求解 题型3画轴对称图形 轴对称与旋转章 题型4折叠问题 节复习 题型5生活中轴对称问题 题型精讲 题型6找旋转中心、旋转角、对应点 题型7根据旋转性质求解 题型8根据旋转的性质说明线设或角相等 题型9旋转作图 题型0平面图形变换的简单应用 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解轴对称、旋转的概念，掌握轴对称性质、旋转三要素（中心、方向、角度）与 性质，能判断轴对称图形、识别旋转现象，会作简单对称与旋转图形。 2.经历观察、操作、探究过程，发展空间观念、几何直观与合情推理能力，能运用变 教学目标 换性质解决简单计算、证明与实际问题。 3.感受图形变换的美学价值与应用，激发数学兴趣，培养动手、合作与创新意识，体 会全等变换的本质。 教学重难点 1.重点 (1)轴对称与旋转的核心概念、基本性质，包括轴对称对应点、线段、角关系，旋 转对应点距离、旋转角相等及全等性。 (2)运用性质识别图形、规范作图，解决最短路径、线段与角度计算、简单几何证 明等问题，建立变换与全等的联系。 2.难点 (1)区分轴对称图形与两图成轴对称，精准理解旋转“每点同中心、同方向、同角 1/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 度”的数学本质，把握变换三要素与性质内涵。 (2)灵活运用变换性质进行复杂推理、综合作图与实际问题转化，建立空间想象与 逻辑推理的衔接，规范表达解题依据。 知识清单 知识点01轴对称 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴 对称，这条直线叫做对称轴.两个图形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点。 轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴垂直平分任何一对对应点所连线段： 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也垂直平分任何一对对应点所连线段. 知识点02旋转 旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点0旋转一个角度的图形变换叫做旋转.点0叫做旋转中 心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P',那么这两个点叫做对应点 1)旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等。②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角· ③旋转前、后的图形全等。 (2)旋转三要素：①旋转中心：②旋转方向；③旋转角度 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样， 题型精讲 题型01轴对称图形的识别 【典例1】(2026湖北武汉·二模)中国的方块字中有些具有对称性.下列美术字是轴对称图形的是()· A. 梦想c成 。真 【变式1】(2026·云南昆明·一模)下列是某校数学社团成员用AI软件设计的四幅图案，是轴对称图形的 是() B 2/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【变式2】(25-26八年级下·重庆·月考)鱼纹是中国传统纹样中最具生命力的符号之一，承载着丰富的文 化寓意和艺术表现.下列鱼纹图案中，属于轴对称图形的是() D 【变式3】(2026云南昆明一模)下列四个选项中，是轴对称图形的为() L 题型02根据成轴对称的特征进行求解 【典例2】(25-26八年级上：广东肇庆期中)如图，直线4，☑2交于点O,点P关于1，12的对称点分别为 点，B.若OP=8,PB=14,则△POB的周长是(). 2 A.40 B.30 C.28 D.16 【变式1】(25-26八年级上·云南临沧期中)如图，△ABC是轴对称图形，AD是其对称轴，如果∠B=50°， 则∠C的度数是() 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.50° B.60° C.70° D.80° 【变式2】(25-26八年级上·内蒙古赤峰期末)如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它 的对称轴，AB=3,CD=6.则四边形ABCD的周长为 A B D C 【变式3】(25-26八年级上·福建龙岩·月考)如图，在△ABC中，∠A=80°，点D,E是边BC上的两个定 点，点M,N分别是边AB,AC上的动点，当四边形DMNE的周长最小时，∠DMN+∠ENM的度数为 A M N E 题型03画轴对称图形 【典例3】(25-26八年级上：四川广元·期末)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形网格 中，△ABC的三个顶点A、B、C都在格点上. 图1 图2 (I)在图1中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△AB,C: (2)在直线1上找一点P,使得△PAB的周长最小.（不需要计算，在图2上直接标记出点P的位置即可） 【变式1】(24-25七年级下·陕西汉中·期末)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三个顶点均在 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 格点上，已知△ABC与△ABC关于直线I对称.请在图中画出△ABC(点A,B,C的对称点分别为点 A,B,C). 【变式2】(25-26八年级上·云南怒江·期中)如图，四边形ABCD的顶点均在正方形网格的格点上. (I)画出四边形ABCD关于直线1对称的四边形AB,CD: (2)连接CC,DD,则CC与DD的位置关系为 【变式3】(25-26七年级上山东泰安·期中)如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点 A,B,C在正方形的顶点上 (I)在图中画出与△ABC关于直线1成轴对称的△AB'C'. (2)在直线1上找一点，使PB+PC的值最小， (3)在直线1上找一点M,使MC-MB值最大.（在图形中标出点P、M,保留作图痕迹）· 题型04折叠问题 5/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】(25-26七年级下·福建龙岩·月考)如图，把长方形纸片沿EF折叠后，若∠EFB=70°，则 ∠AED'等于() D D B 70〉 A.40° B.50° C.65 D.70° 【变式1】(25-26七年级下·河北廊坊·月考)如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD,将ABCD沿EF 折叠，A,D两点分别与A,D对应，若∠CFE=2∠CFD',则∠AEF的度数是() A.72° B.45 C.36° D.54° 【变式2】(2026七年级下江苏·专题练习)如图，在长方形纸片ABCD中，∠ABC=90°，将∠ABD和 ∠CBD对折，使边AB,CB均落在BD上，得到折痕BE,BF,则∠EBF的度数为 D B 【变式3】(2023·浙江台州·模拟预测)如图，△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，将它沿一条直线对折， 使得顶点B,C重合，点P是折痕上一点，连接PC,，作点A关于PC对称点A,连接AC,则∠A'CB= 0 题型05生活中的轴对称问题 【典例5】(2025·河南周口·二模)如图，水平地面AB上放置一平面镜，从激光笔的P点发出的光线照射 到平面镜的O处，反射光线为OQ,且点2恰好落在与地面垂直的墙面AC上.若∠AQO=58°，则∠BOP 的度数为() 6/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C P B A.25° B.21° C.32° D.43° 【变式1】(24-25七年级下山西晋中·期末)在制作万花筒活动中，小刚发现：如图，把一个正方形图片 P放在张角为60°的（用两面平面镜制作而成）中间，可以看到完整的正方形（含原来的正方形P)的个数 是() A.4 B.5 C.6 D.7 【变式2】(2025七年级下·全国·专题练习)如图是光的反射示意图，其中P0是入射光线，O是反射光 线，法线K0⊥MN.若∠1=50°，则∠2的度数为 K 反射面w M 【变式3】(23-24八年级上山东德州·期中)如图，桌球的桌面上有M,N两个球，若要将M球射向桌面 的一边，反弹一次后击中N球，则A,B,C,D,4个点中，可以反弹击中W球的是一点. M ABCD 题型06找旋转中心、旋转角、对应点 【典例6】(25-26八年级上·山东威海·期末)如图，在4×4的正方形网格中，格点△MNP绕某点旋转一定 角度，可得格点△MNB,则旋转中心是() 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B P A.点A B.点B C.点C D.点D 【变式1】(25-26七年级上河北唐山期末)如图，三角形ABC绕点A顺时针旋转得到三角形AEF. ∠BAC=25°，∠a=45°，则旋转角的度数是() A A.20° B.25° C.65° D.70 【变式2】(2025九年级上·全国·专题练习)如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC绕点O 按顺时针方向旋转得到△AB'C',使各顶点仍在格点上，则旋转角的度数是 【变式3】(25-26九年级上·北京·期末)如图，在正方形网格中，△MPW绕某一点旋转某一角度得到 △MPN',则旋转中心可能是点 题型07根据旋转的性质求解 【典例7】(25-26九年级上广东韶关·期末)如图，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE, AB=AD,若∠CAE=54°，则∠BAD的度数为() 8/17 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E A.360 B.26° C.37 D.54° 【变式1】(25-26九年级上·福建南平·期末)如图，将△ABC绕着点C逆时针旋转得到△DEC，使得点B 的对应点E落在边AC上，若BC=3,CD=9,则线段AE的长为 B E 【变式2】(25-26九年级上陕西延安·期末)如图，将△AOB绕点O逆时针旋转70°得到△COD,若 ∠AOB=30°，求∠AOD的度数. 【变式3】(25-26七年级上·河北石家庄·期末)一直角三角板CDO,(∠COD=60°)从边C0与直线AB 重合的位置（如图1）开始围绕点O按顺时针方向旋转，旋转速度为每秒2度，设旋转时间为t秒， B B B 图1 图2 备用图 (1)当直角三角板CDO在直线AB上方时， ①当t=20时，∠AOC= °，∠BOD= ②t= 时，OC平分∠AOD: ③求当t为何值时，∠AOD的度数是∠BOC度数的2倍： (2)当三角板CDO围绕点O按顺时针方向旋转一周的过程中，若直线AB将∠COD分成2：3两部分时，直 接写出满足条件的所有t的值 题型08根据旋转的性质说明线段或角相等 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例8】(24-25七年级下·河南周口·期末)如图，将△AOB按顺时针方向旋转后成为△COD,则下列说 法错误的是() D A.旋转中心是点O B.旋转角等于∠AOD C.OA=OC D.△AOB≌△COD 【变式1】(2025河北邯郸·三模)如图，将△ABC绕点O顺时针旋转80°变为△DEF,则下列说法不正确 的是( A.AB=DE B.∠CAB=∠FDEC.∠AOE=80° D.∠COF=80° 【变式2】(24-25七年级下·江苏期末)如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落 在AC边上的点D处，若AB=3,AE=5,则CD= D B 【变式3】(24-25七年级下·吉林长春·期末)如图，点F为正方形ABCD内一点，△BFC经逆时针旋转后 能与△BEA重合 A D F B C (1)旋转中心是， 旋转角度最小为度： (2)判断△BEF的形状，并说明理由： (3)若∠BFC=90°，说明AE∥BF. 10/17