第5章 轴对称与旋转（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材湘教版七年级下册

第5章 轴对称与旋转 （高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，不是轴对称图案的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫作轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此选择即可． 【详解】 不是轴对称图案． 2．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 3．将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形．将下列正方形沿虚线剪开后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的性质，平移、旋转的性质解答即可． 本题考查了正方形的性质，平移、旋转的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】 解：根据正方形的性质，平移、旋转性质，得到图案为． 故选：B． 4．如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故选：D． 5．如图，若将绕点逆时针旋转后与重合，在下列四个角中，度数最小的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，角的大小比较，根据旋转的性质可得，再结合图形即可得到答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴四个角度中，度数最小的角是， 故选：D． 6．如图所示，绕着五个浮标划行．问绕行哪些浮标时是按顺时针方向？（   ） A．1，2，3 B．1，3，5 C．2，3，4 D．2，3，5 E．2，4，5 【答案】D 【分析】根据图形结合旋转的定义逐一分析各个浮标的旋转方向即可判断． 【详解】解：由图可知，按照路线向上延伸，从浮标1的右侧绕过， ∴绕行浮标1是按逆时针方向； ∵接着路线向下延伸，从浮标2的上方绕过， ∴绕行浮标2是按顺时针方向； ∵接着路线向右延伸，从浮标3的左侧绕过， ∴绕行浮标3是按顺时针方向； ∵接着路线向上延伸，从浮标4的下方绕过， ∴绕行浮标4是按逆时针方向； ∵最后路线向右延伸，从浮标5的上方绕过，并从下方离开， ∴绕行浮标5是按顺时针方向， 综上所述，绕行浮标2，3，5时是按顺时针方向． 7．如图，在中，，分别沿，折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】首先由折叠得到，，然后根据三角形周长公式求解． 【详解】解：由折叠得，，， ∴的周长为． 8．如图，在中，，将在平面内绕点C逆时针方向旋转到的位置，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质得，再根据计算即可． 【详解】解：由在平面内绕点C逆时针方向旋转得到的， ， ， . 9．如图，把长方形沿对角线折叠，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定与长方形的直角的关系，再利用折叠性质求，最后利用平行线性质求． 【详解】∵ 四边形是长方形，∴． 由折叠性质可知． 已知， ∴． 由折叠得， ∴． ∵长方形中，， ∴， ∴． 10．将一条长方形纸带先沿折叠，再沿折叠，如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出，然后由折叠得到，然后根据平行线的性质得到，，然后由折叠得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 12．如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个． 【答案】2 【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解． 【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点． 13．如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 14．如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为秒． （1）当时，__________； （2）在射线与旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”．当__________时，图中为“完美时刻”． 【答案】 9或或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和分类讨论思想． （1）当时，，再结合即可求解； （2）根据“完美时刻”的定义，分、、、、、六种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，， 于是； （2），， 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得，不符合题意； 当，解得； 当，解得； 当时，解得； 综上，“完美时刻”时，或或． 故答案为：（1）；（2）9或或． 15．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】由题意可得，则有，结合所给的条件可求得，再由平行线的性质得，由折叠的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴，， ∵， 解得：， ∴， ∵将长方形纸片进行折叠， ∴， ∴， ∵， ∴． 16．小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点的对应点恰好落在折痕上，进而研究该折纸过程中角的变化．若，则用含的式子表示为________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，平角的定义，设，则，根据折叠的性质可得，，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵折叠， ∴， 又∵ 即 ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，求的面积． 【答案】2 【分析】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质，得到旋转角的度数，再求出，，用面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，，，将绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ． 18．将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF，EG为折痕，试问的度数是多少？ 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到的度数． 【我的解答】 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质与平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，结合平角的定义计算角度和是解题的关键． 利用折叠的性质得到相等的角，再结合平角的定义，通过角度和的关系计算的度数． 【详解】解：由折叠可知，，． ， ． 19．在中，，，点D为内一点，连接、． (1)把绕点C逆时针旋转得到了，旋转中心是点 ，旋转角是 ° (2)延长交于F，交于M，求证：． 【答案】(1)C；90 (2)见解析 【分析】本题考查了图形的旋转及性质，垂直定义，三角形的内角和定理等知识，正确理解相关的概念及性质是解决本题的关键． （1）根据图形旋转的定义求出结果即可； （2）由旋转的性质可得，对顶角，再根据三角形内角和定理推出，结论即可得证． 【详解】（1）解：由逆时针旋转得到了可知：点是的旋转中心，旋转角为． （2）证明： 由逆时针旋转得到了可知，， 在中，， 在中，， 而 ， 即． 20．图，图，图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，只用无刻度的直尺，在下列个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与关于某条直线成轴对称图形，要求画出图形的位置不同且顶点都在格点上． 【答案】画图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，根据轴对称图形的性质画出图形即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：画图如下： 21．如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 22．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为个单位长度，的顶点，，都在格点上（两条网格线的交点叫格点）． (1)将向右平移个单位，得到对应，请画出平移后的； (2)将绕点点逆时针旋转得到对应，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 23．如图，和关于直线对称，和的交点在直线上． (1)若，，求的长； (2)连接，则和直线的关系为 ． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质：对应边相等，求解即可； （2）根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴互相垂直可得． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴， ∴． （2）解：∵和关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∴，即． 24．在图1，图2中，已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． 【基础巩固】 (1)在图1中，求证：． 【类比探究】 (2)在图2中，当点G在线段延长线上时，请写出，，三者之间的数量关系并说明理由． 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条沿折叠，折叠后线段与交于点F，连接，若恰好平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点G作，则，根据两直线平行内错角相等即可证明结论； （2）过点G作，，根据两直线平行内错角相等和角度的和差，即可证得结论； （3）图3中，根据平行线的性质可得，，从而得到图4中的度数，然后根据角平分线的定义和两直线平行内错角相等即可求得答案． 【详解】（1）证明：如图1，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，过点G作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （3）解：∵图3中，，， ∴，， ∵将长方形纸条沿折叠，得到图4， ∴图4中，，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴． 25．综合与实践 线段和角的研究方法和研究路径具有一致性，它们的计算方法也可以互相迁移．下面是一节数学课上的学习片段，请同学们类比探究以下问题： 【问题情境】 已知点，在线段上，点，分别是线段，的中点． 【特例感知】 （1）赋予线段，具体数值，点，的位置不确定，可先假设点的位置．例如，，． ①如图1，当点在点的右侧时，求线段的长； ②如图2，当点在点的左侧时，线段的长为________； 【规律探索】 （2）通过上述的【特例感知】，王芳获得了思路，发现线段的长与线段，的长之间存在特定的数量关系．由特殊到一般，若，，则线段的长为________；（用含，的代数式表示） 【类比探究】 （3）接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片，点在边上，点，分别是边，上的动点，分别沿，向内折叠，使点，分别落在点和点处，且点和点都在长方形内部．若王芳折叠后，则的度数为________． 【答案】（1）①；②13；（2）或；（3）或 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算、线段的和差、与线段中点有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①求出，再由线段中点的定义得出，，最后由计算即可得出结果；②求出，再由线段中点的定义得出，，再由计算即可得出结果； （2）分两种情况：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；分别求解即可得出结果； （3）分两种情况：当点在点的左侧时；当当点在点的右侧时，分别计算即可得出结果． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∴； 故答案为：13． （2）如图，当点在点的右侧时， ， ∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴； 如图，当点在点的左侧时， ∵点，分别是线段，的中点， ∴，， ∵， ∴ ， ∵，， ∴； 综上所述，的长为或； 故答案为：或． （3）由折叠的性质可得：，， 如图，当点在点的左侧时， ， ∵，， ∴， ∴； 如图：当点在点的右侧时， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第5章 轴对称与旋转 (高效培优单元自测·提升卷) (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各图中，不是轴对称图案的是() 2.图1是光的反射规律示意图.其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN,∠POK是入射 角，∠KOQ是反射角，∠KOQ=∠POK.图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是() 反射面 M N 图1 图2 A.A点 B.B点 C.C点 D.D点 3.将正方形纸片裁剪后可通过平移、旋转等方式拼接出多种有创意的美丽图形.将下列正方形沿虚线剪开 后，通过平移、旋转拼成的“鸟”的图案为() 为 4.如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是(P,N,Q都 是格点，M是小正方形对角线的交点)() 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A N 甲 A.点M B.点P C.点Q D.点N 5.如图，若将ABC绕点O逆时针旋转60°后与△LMN重合，在下列四个角中，度数最小的角是() A.∠AOM B.∠AON C.∠A0C D.∠CON 6.如图所示，Meike绕着五个浮标划行.问Meike绕行哪些浮标时是按顺时针方向？() ⑤ ③ A.1,2,3B.1,3,5 C.2,3,4D.2,3,5 E.2,4,5 7.如图，在ABC中，BC=I0,分别沿DE,GF折叠，使点B与点A重合，点C与点A重合，则 △AEG的周长为() A.7 B.8 C.9 D.10 8.如图，在ABC中，∠ACB=56°，将ABC在平面内绕点C逆时针方向旋转63°到△A'B'C的位置， ∠ACB'的度数为() 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.146 B.120 C.119 D.107° 9.如图，把长方形ABCD沿对角线BD折叠，若LABE=20°，则∠ADB的度数为() A.55 B.45° C.35° D.30 10.将一条长方形纸带先沿EF折叠，再沿BF折叠，如图，若LAED'=130°，则∠EFC"的度数为() A.95 B.100° C.105° D.110° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.下图中各组图形，成轴对称的为 (只写序号①，②等). 书个登岁 ① ② ③ ④ 12.如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8 个点中，可以瞄准的点有个， 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7 +8 4方 13.如图，将ABC绕点B逆时针旋转一定的角度得到aDBE,D,E分别是A,C的对应点，且B,A, E三点在同一直线上，若AB=3,BC=5,则AE的长为 14.如图，∠A0B=135°，射线0C从OA开始，绕点0逆时针旋转，旋转的速度为每秒4°；同时射线0D从 OB开始，绕点0顺时针旋转，旋转的速度为每秒5°，设旋转的时间为t秒(0≤t≤15). D B O A A (1)当t=10时，∠C0D= (2)在射线0C与0D旋转的过程中，图中存在两个角互补时称为“完美时刻”.当t= 时，图中 为“完美时刻 15.如图，将一张长方形纸片进行折叠，若∠2-∠1=30°，则∠EFB的度数为 D 2 16.小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识.于是他 找出一张长方形纸片ABCD,按如图所示方式折叠，AE,BE为折痕，且点D的对应点D恰好落在折痕 BE上，进而研究该折纸过程中角的变化.若∠AEC'=a,则∠AEB用含的式子表示为 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17.如图，在ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,将ABC绕点C顺时针旋转90得到△EDC，,连 接AE,求ADE的面积. B 18.将长方形ABCD纸片按如图所示的方式折叠，EF,EG为折痕，试问LAEF+∠BEG的度数是多少？ D --B 【思路点拨】根据折叠的性质可以得到各角之间的关系，从而可以得到∠AEF+LBEG的度数. 【我的解答】 19.在ABC中，AC=CB,∠ACB=90°，点D为ABC内一点，连接AD、CD (I)把△ACD绕点C逆时针旋转得到了△CBE,旋转中心是点_，旋转角是 (②)延长AD交BE于F,交BC于M,求证：AF⊥BE. 20.图1，图2，图3均是3×3的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上， 只用无刻度的直尺，在下列3个网格里分别画出一个三角形并涂上阴影，使其与ABC关于某条直线成轴对 称图形，要求画出图形的位置不同且项点都在格点上 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B A 图1 图2 图3 21.如图，ABC中，点D在BC上，连接AD,分别以AB、AC为对称轴，作点D的对称点E、F,连 接AE、AF, 图1 图2 (1)如图1，若∠BAC=60°，求∠EAF的度数. (②)如图2，若E,A,F三点在同一直线上，直接写出∠BAC的度数. 22.如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，ABC的顶点A,B,C都在格点上（两条网 格线的交点叫格点). (I)将ABC向右平移5个单位，得到对应aA'B'C',请画出平移后的△A'B'C'; (②)将aA'B'C'绕点O点逆时针旋转90得到对应△A"B"C",画出旋转后的△A"B"C". 23.如图， ABC和ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上. M (1)若ED=15,BF=9,求EF的长； (②)连接BD,则BD和直线AN的关系为_， 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.在图1，图2中，己知AB‖CD,点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点. D 图1 图2 图3 图4 【基础巩固】 (I)在图1中，求证：∠AGD=∠A+∠D. 【类比探究】 (②)在图2中，当点G在线段EF延长线上时，请写出∠AGD,∠A,∠D三者之间的数量关系并说明理由. 【应用拓展】 (3)如图3，图4，将长方形纸条ABCD沿EG折叠，折叠后线段AE与GC交于点F,连接AG,若AG恰好 平分∠DGF,∠AEG=50°，求∠GAE的度数. 25.综合与实践 线段和角的研究方法和研究路径具有一致性，它们的计算方法也可以互相迁移.下面是一节数学课上的学 习片段，请同学们类比探究以下问题： 【问题情境】 己知点C,D在线段AB上，点M,N分别是线段AC,BD的中点. 【特例感知】 (1)赋予线段AB,CD具体数值，点C,，D的位置不确定，可先假设点C的位置.例如AB=30,CD=4 ,AC=12. ①如图1，当点D在点C的右侧时，求线段MN的长： N B 图1 ②如图2，当点D在点C的左侧时，线段MN的长为 A MD C B 图2 【规律探索】 (2)通过上述的【特例感知】，王芳获得了思路，发现线段MN的长与线段AB,CD的长之间存在特定的 数量关系.由特殊到一般，若AB=a,CD=b,则线段MN的长为 ；(用含a,b的代数式表示) 【类比探究】 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)接着老师又提出这样一个问题：如图3，现有一张长方形纸片ABCD,点E在边AB上，点F,G分 别是边AD,BC上的动点，分别沿EF,EG向内折叠，使点A,B分别落在点和点B处，且点和点 B都在长方形ABCD内部.若王芳折叠后LA'EB'=16°，则∠FEG的度数为 D C B E B 图3 8/8