专题04平行四边形（期中复习讲义，18题型）八年级数学下学期新教材浙教版

专题04 平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01多边形的而对角线问题 题型02多边形内角和问题 题型03多边形的外角与内角综合问题 题型04利用平行四边形的性质求解 题型05利用平行四边形的性质证明 题型06旋转图形的判断 题型07找旋转图形、旋转角 题型08利用旋转的性质求解 题型09中心对成图形判定 题型10中心对称图形作图 题型11利用中心对称图形性质求解 题型12平面直角坐标系上的中心对称问题 题型13平行四边形的判定 题型14利用平行四边形的性质与判定求解 题型15利用平行四边形的性质与判定证明 题型16平行四边形与坐标系综合 题型17平行四边形的动点问题 题型18平行四边形与函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形的对角线问题 掌握多边形对角线的计算方法，能够求解多边形的对角线问题。 多边形的对角线问题常常考查基本的几何计算方法，注重角度和边数的理解。 多边形内角和问题 掌握多边形内角和的计算，理解角和与边数之间的关系。 多边形内角和问题通常考查学生对多边形基本性质的掌握，尤其是在实际问题中的运用。 多边形的外角与内角综合问题 掌握多边形外角与内角的关系，能够解决角度综合问题。 外角与内角综合问题考查学生对角度的深入理解，常常与其它几何性质相结合。 利用平行四边形的性质求解 熟练运用平行四边形的性质解决相关几何问题。 平行四边形的性质求解是经典考点，涉及到对角线、面积、角度等内容。 利用平行四边形的性质证明 理解平行四边形的性质及其应用，能够用来证明平行四边形的性质。 平行四边形的性质证明考查学生的几何推理能力，常常给出具体情境进行证明。 旋转图形的判断 能够判断旋转图形，理解旋转的条件和性质。 旋转图形的判断考查学生对旋转的理解和判断能力，通常会涉及平移与旋转的组合。 找旋转中心，旋转角 掌握旋转图形的旋转中心与旋转角的计算方法。 找旋转中心、旋转角的题目常考，重点是通过具体问题求解旋转的参数。 利用旋转的性质求解 利用旋转的性质解决旋转图形的几何问题。 旋转性质的应用主要考查学生如何运用旋转对图形进行求解，常出现在复杂的几何问题中。 中心对称图形判定 掌握中心对称图形的判定方法，能够识别并应用中心对称的性质。 中心对称图形判定常考，要求学生通过对称轴进行对称性判断。 中心对称图形作图 学会作图中心对称图形，理解其构造方法。 中心对称图形作图是实践性题目，要求学生能够依据给定条件绘制对称图形。 利用中心对称的性质求解 利用中心对称的性质解决相关问题，理解对称轴和对称点的概念。 中心对称性质的应用是考查学生如何运用对称性质解决几何问题，特别是在证明中的应用。 平面直角系上的中心对称问题 掌握平面直角坐标系中的中心对称问题，能够应用相关公式进行解答。 平面直角系上的中心对称问题常考，涉及坐标系和图形对称性的结合。 平行四边形的判定 掌握平行四边形的判定条件，并能够判断给定图形是否为平行四边形。 平行四边形判定常考，重点考查学生对平行四边形的几何性质和判定方法的掌握。 利用平行四边形的性质与判定求解 运用平行四边形的性质与判定方法解决相关问题。 平行四边形性质与判定问题常考，注重平行四边形的面积、对角线和角度的应用。 利用平行四边形的性质与判定证明 能够利用平行四边形的性质与判定方法进行证明。 平行四边形的性质证明考查学生的证明技巧，尤其是在几何推理中的应用。 平行四边形与坐标系综合 理解平行四边形与坐标系的关系，能够在坐标系中应用平行四边形的性质。 平行四边形与坐标系的结合常考，要求学生能够在坐标系中灵活应用平行四边形的性质。 平行四边形的动点问题 掌握平行四边形的动点问题，能够用动态法解决相关问题。 平行四边形的动点问题考查学生对平行四边形的动态理解与问题解决能力。 平行四边形与函数综合 能够将平行四边形与函数进行综合运用，解决综合问题。 平行四边形与函数的综合问题考查学生如何将函数的知识与几何问题相结合，考查综合能力。 知识点01 多边形的概念 1. 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3. 多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  4. 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 知识点02 平行四边形的定义与性质 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2. 平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 知识点03 平行四边形的判定 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点04 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2）中心对称的两个图形是全等图形. 题型一 多边形的对角线问题 【典例1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【答案】C 【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键． 从一个顶点引出的对角线将n边形分成个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线条数． 【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成个三角形，且已知分成5个三角形， ∴，解得， ∴ 所有对角线条数为 ． 故选：C． 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·月考）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【答案】18 【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴， 解得， ∴该正多边形的边数是18． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 【答案】20 【分析】本题考查了多边形的性质． 过多边形一个顶点的所有对角线将多边形分成个三角形，据此求出边数n，再代入对角线公式计算． 【详解】解：设多边形的边数为n， 由题意得， 解得， 所以对角线总数为：． 故答案为：20． 【变式1-3】（23-24七年级下·重庆·期末）若边形的对角线共有条，则这个多边形是______边形． 【答案】八 【详解】本题考查了多边形对角线的条数问题，利用多边形对角线条数公式建立方程，即有，然后根据因数求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：根据题意得， 所以， 因为， 所以， 故答案为：八． 题型二 多边形的内角和问题 【典例2】（21-22七年级下·江苏扬州·月考）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】多边形内角和 且为整数）．先根据五边形内角和求得，再根据角平分线求得，最后根据三角形内角和求得的度数． 【详解】解：在五边形中，内角和为， ∵， ， ∵、分别平分、， ， 在中，． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形”确定的值，再代入内角和公式：（，为正整数）进行计算即可． 【详解】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，设该多边形的边数为， ∴， 解得：， ∴这个多边形的内角和是：． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图（1），___________；如图（2），____________． 【答案】 【详解】解：（1） ； （2） 解得： 题型三 多边形的外角与内角综合问题 【典例3】（2022·甘肃陇南·模拟预测）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和定理求出正六边形的内角为，进而得正n边形的外角为，再根据外角和定理即可求解． 【详解】解：由多边形的内角和定理可知，正六边形的内角为， ∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍， ∴正n边形的外角为， ∴正n边形的边数为：． 【变式3-1】（2026·陕西西安·一模）如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 【答案】 【分析】算出正五边形的每个内角的度数，用360减去3个内角的度数和即可． 【详解】解：∵正五边形每个内角是， ∴空余的角度． 【变式3-2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 【答案】这个正多边形的边数是10． 【分析】设这个正多边形的边数为，由正多边形的内角和为，外角和为，根据这个正多边形的内角和是其外角和的4倍，建立方程求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，根据题意得：． 解得． 答：这个正多边形的边数是10． 【变式3-3】（21-22七年级下·江苏泰州·月考）求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 【答案】(1)此多边形的边数为11 (2)8 【分析】（1）先设此多边形的边数为n，再根据多边形内角和定理得，求出解即可； （2）设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，再根据内角和相邻外角的和为得出方程，求出解，然后用除以一个外角的度数可得边数． 【详解】（1）解：设此多边形的边数为n，则 ， 解得． 所以此多边形的边数为11； （2）解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为x度，依题意得， 解得． ， 故这个多边形的边数是8． 题型四 利用平行四边形的性质求解 【典例4】（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 【变式4-1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，设，相交于点, 在中，，，，， ，， 平分， ， ， , ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 【变式4-2】（22-23八年级下·河南新乡·期中）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理，即可得到的度数，再利用平行四边形的性质可得，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解： ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质，可得对边相等，对角线互相平分，故此可求出的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 题型五 利用平行四边形的性质证明 【典例5】（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【答案】(1)①，②；③；（②，③；①） (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据全等三角形的判定选择即可 （2）根据选择的条件进行证明，即可求证． 【详解】（1）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③； 解法二，选的条件为②，③，结论为①． （2）解：解法一，选的条件为①，②，结论为③， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ； 解法二，选的条件为②，③，结论为①， 证明，四边形为平行四边形， ， 在和中， ， ， ． 【变式5-1】（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先由平行四边形得到，，然后结合已知条件，利用证明即可； （2）先证明垂直平分，则，然后由平行四边形的性质得到，再结合等量代换求解的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ； （2）解：∵在中，对角线交于点O， ，即点O是的中点， 又∵， ∴垂直平分， ∴， 的周长是20，由（1）知， ， 的周长为， 即的周长是10． 【变式5-2】（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 【答案】(1)见解析 (2)①当时，；② 【分析】(1)先证明，继而证明，可推导出，即可解答； (2)①先证明，推导出，再由，即可解答； ②先证明垂直平分，则，继而求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）解：①∵四边形是平行四边形， ∴，． 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∴； ②∵， ∴垂直平分． ∴． ∵在中，， ∴在中，． ∴的周长． 【变式5-3】（2026·陕西铜川·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质得， ，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 题型六 旋转图形的判断 【典例6】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，由旋转的性质可得将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合． 【详解】解：A、将甲绕点顺时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； B、将乙绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意； C、将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转，图形甲和图形乙重合，符合题意； D、将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转，图形甲和图形乙不能重合，不符合题意． 故选：C． 【变式6-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【答案】B 【分析】考查图形的三种变换方式：轴对称、平移、旋转．轴对称的特点是一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的图形能够完全重合；平移是将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．旋转是指将一个图形绕着一点转动一个角度的变换．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断即可． 【详解】解：A、本题图案包含轴对称变换．不符合题意； B、不存在平移变换，符合题意． C、将图形绕着中心点旋转的整数倍后均能与原图形重合，本题图案包含旋转变换．不符合题意； D、根据以上判断知本选项不符合题意． 故选：B． 【变式6-2】（2023九年级上·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 题型七 找旋转中心、旋转角 【典例7】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【答案】 【分析】先利用旋转的性质得到，，再利用四边形内角和计算出，然后利用互余计算出，从而得到的值． 【详解】解：矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为 (1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； (2)以点C为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； (3)若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 【答案】(1)作图详见解析； (2)作图详见解析； (3)作图详见解析，旋转角度为 【分析】（1）分别作出点A，B，C，的关于原点的对称点，然后顺次连接即可作出图形； （2）分别作出点A，B，C顺时针旋转的对应点，然后顺次连接即可作出图形； （3）连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求，然后再根据旋转的性质以及网格图可知旋转角度为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，连接，，，分别作线段，，的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求， 则绕点D顺时针旋转得到， ∴旋转角度为． 【变式7-2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可得和成中心对称，则点O即为线段与线段的交点，据此作图即可； （2）根据旋转方式和网格的特点作图即可； （3）根据网格的特点和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，由网格的特点和勾股定理可得． 【变式7-3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 【答案】(1)作图见解析，4 (2)作图见解析，P 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解旋转不改变图形的面积，并能通过对应点连线的垂直平分线找到旋转中心． （1）根据旋转的性质，画图，然后根据三角形面积公式即可解答； （2）根据旋转的性质：线段，的垂直平分线的交点P即为所求． 【详解】（1）解：即为所求； ∵旋转不改变图形的面积， ∴的面积等于的面积． 观察的底为2，高为4， ， ∴的面积为4． 故答案为：4； （2）解：如图点P为所求， 题型八 利用旋转的性质求解 【典例8】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度，得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为______°． 【答案】24 【分析】根据题意可得，结合旋转的性质可得，，再结合三角形内角和求即可． 【详解】解：, ， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴，， 又， ，解得， ． 【变式8-1】（2026·广东汕头·一模）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴， ∵，， ∴． 【变式8-2】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，点是等边内一点，，，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，当____________°时，是直角三角形． 【答案】或 【分析】由旋转得到，，，推出是等边三角形，得到，则，，再分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：由旋转可得，，，， 是等边三角形， ， ， ，， 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：或． 题型九 中心对称图形判定 【典例9】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）以下是“三叶玫瑰线”“蝴蝶曲线”“星形线”“阿基米德螺线”．观察图形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；     B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意； C、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意； D、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选C． 【变式9-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意． 【变式9-2】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A选项是轴对称图形而不是中心对称图形； B选项既是轴对称图形也是中心对称图形； C选项是轴对称图形而不是中心对称图形； D选项是轴对称图形而不是中心对称图形． 题型十 中心对称图形作图 【典例10】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图—平移和中心对称，解题的关键是掌握中心对称和平移的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点． （1）将点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，连接，即为所求； （2）找出的三个顶点关于原点O成中心对称的对应点位置，再顺次连接可得，然后根据所作图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：即为所求，如下图所示， （2）解：即为所求，且 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了中心对称图形的画法，解题的关键是掌握中心对称的性质．对称点连线经过对称中心，且被对称中心平分． （1）以为对称中心，分别延长至，使 ； （2）以为对称中心，与互为对称点，分别延长至, 使 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； 作法：延长至，使；延长至，使；延长至，使；连接． （2）解：如图，四边形即为所求． 作法：连接并延长至，使；连接并延长至，使；连接． 【变式10-2】（2026·安徽合肥·一模）如图，格点（顶点均是网格线的交点）和格点O． (1)以点O为对称中心，作出的中心对称图形； (2)借助网格仅用无刻度的直尺，过点A作线段的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据等腰三角形“三线合一”的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． （2）解：如图所示，直线即为所求作线段的垂线． 理由：，为的中点， ． 题型十一 利用中心对称的性质求解 【典例11】（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质和勾股定理求得，再根据中心对称的性质，即可得． 【详解】解：∵等边中，为的中点， ∴，，， ， ∵， ∴， 解得（负值已经舍去）， ∵与关于点成中心对称， ∴． 【变式11-1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、中心对称、勾股定理等知识点，熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质是解题的关键． 根据等边三角形的性质得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵等边三角形中，O为的中点，， ∴，，， ， ∵与关于点B中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故选D． 【变式11-2】（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 【答案】8 【分析】根据中心对称的性质和中线的定义可知平分三角形，进而求出的面积． 【详解】解：∵和成中心对称，的面积为4， ∴，， ∴， ∴． 题型十二 平面直角坐标系上的中心对称问题 【典例12】（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据对称点的位置确定点所在象限， 再根据象限内点的坐标特征列不等式组求解即可. 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：. 【变式12-1】（2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用关于原点中心对称的点的坐标特征得到A，B的坐标，再求出正比例函数的解析式，结合函数图像平移规律得到平移后的解析式，最后根据一次函数的性质判断其不经过的象限即可. 【详解】解：∵ A，B两点关于原点中心对称，点A坐标为，点B坐标为， ∴ 由关于原点对称的点的坐标性质得，，即， 将代入，得 ，解得：. ∴ 原正比例函数解析式为. 将该函数图像向下平移个单位长度，根据平移的“上加下减”规则，得平移后解析式为. 对于一次函数， ，， 函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，.即选项A符合题意. 【变式12-2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 【答案】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 【变式12-3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，定义点的“位移变换”为：．已知点的坐标为，点经过27次“位移变换”后得到的点，则点关于原点的对称点的坐标为____． 【答案】 【分析】先根据位移变换的定义计算前几次变换后的坐标，找出坐标变化的周期，再根据周期得到的坐标，最后利用关于原点对称的点的坐标性质求解． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴即， 即， 即， 即， 则坐标变换的周期为， ∵， ∴的坐标与相同，为，关于原点的对称点坐标为． 题型十三 平行四边形的判定 【典例13】（21-22八年级下·四川泸州·期末）在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：在四边形中，， A、当时，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、， ， 又， ， 则表明， 由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，必有，这是已知条件推导得到的必然结论，该条件没有提供新的有效信息，无法推出另一组对边平行或，即不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质结合证明即可； （2）证明得到，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 【变式13-2】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在四边形中，，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，，求证四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】可证明，得到，则，据此可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵点F是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式13-3】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式13-4】（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 题型十四 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例14】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 【答案】C 【分析】由，，可得出四边形为平行四边形，故， 由中点的性质，可得出，故求出即可得出最后结果． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵为对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【变式14-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【答案】9 【分析】如图，连接，证明出，，得到，得到，，证明出四边形，是平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到，然后利用四边形的面积等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形，是平行四边形， 设点E到的距离为，点E到的距离为，与间的距离为h，则， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 【变式14-2】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 【变式14-3】（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 【答案】9.6 【分析】首先证明四边形为平行四边形，易得，设，则，在和中，由勾股定理解得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，垂直平分， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 即，解得， ∴， ∴，， ∴． 题型十五 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例15】（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解； （2）由（1）可得四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）可得：四边形为平行四边形， ∴． 【变式15-1】（25-26八年级下·北京·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接交于点O，连接、，根据平行四边形的性质得出，，结合可得出，利用平行四边形的判定证明四边形是平行四边形，即可得出． 【详解】证明：连接交于点O，连接、， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【变式15-2】（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质等知识；利用角平分线的性质再结合平行四边形的性质进而得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵平分，平分， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【变式15-3】（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，见解析 【分析】（1）结合平行四边形性质，利用边角边证明； （2）根据平行四边形的判定和性质证明即可． 【详解】（1）证明： ， ∴，， 在和中， ； （2）在中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式15-4】（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)26 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义得出，再根据勾股定理求出的长，再求出，求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为平行四边形， ，，，， ， ， ， ，即， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长． 题型十六 平行四边形与坐标系综合 【典例16】（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线l：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则的值为（    ） A．4或 B．0或 C．0或 D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的中心对称性是解题的关键．根据点A和点C的坐标以及平行四边形的中心对称性得出直线l经过，进而得出，求出直线l与x轴交点为，与y轴交点为，则，整理得：，然后进行分类讨论，列出方程求出k和b的值，即可解答． 【详解】解：∵，，四边形是平行四边形， ∴中点为，即中点为， ∵直线l：将分成面积相等的两部分， ∴直线l经过， 把代入得：， 整理得：， 把代入得：， 整理得：， ∴直线l与x轴交点为， 把代入得：， ∴直线l与y轴交点为， ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， ∴， 整理得：， 则或， ①当时， ， 解得：， 当时，，当时，， ∴或， ②当时， ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 综上：或， 故选：C． 【变式16-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ①时， ∵， ∴，即； ②， ∵ ∴，即； ③， ∵，， ∴，即 故D点坐标为或或 故答案为：或或． 【变式16-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则的值为___________． 【答案】0或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的中心对称性是解题的关键．根据点A和点C的坐标以及平行四边形的中心对称性得出直线l经过，进而得出，求出直线l与x轴交点为，与y轴交点为，则，整理得：，然后进行分类讨论，列出方程求出k和b的值，即可解答． 【详解】解：∵，，四边形是平行四边形， ∴中点为，即中点为， ∵直线l：将分成面积相等的两部分， ∴直线l经过， 把代入得：， 整理得：， 把代入得：， 整理得：， ∴直线l与x轴交点为， 把代入得：， ∴直线l与y轴交点为， ∵直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为1， ∴， 整理得：， 则或， ①当时， ， 解得：， 当时，，当时，， ∴或， ②当时， ， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 综上：或， 故答案为：0或． 题型十七 平行四边形的动点问题 【典例17】（20-21八年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．求： （1）为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，四边形为矩形？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）四边形为平行四边形，即，列出等式求解； （2）四边形为矩形,即，列出等式，即可求解． 【详解】（1）由题意得：，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为平行四边形； （2）由题意得：， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 解得：， ∴当秒时，四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形、平行四边形的判定与性质应用，要求学生掌握对各种图形的认识，同时学会数形结合的数学解题思想． 【变式17-1】（20-21八年级下·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD＝PC即可，分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，根据速度和时间t表示出线段长，列出方程即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于40cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿BC、AD运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，用t可分别表示QD、BC的长，列出方程即可． 【详解】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形， ∴DQ＝CP， 当P从B运动到C时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t ∴16﹣t＝22﹣2t 解得t＝6 当P从C运动到B时， ∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22 ∴16﹣t＝2t﹣22， 解得t＝， ∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形； （2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时， 即 解得t＝（秒） 若点P返回时，CP＝2t﹣22， 则 解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去． 故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2； 【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积，解题关键是利用速度与时间表示线段长，根据题意列出方程． 【变式17-2】（23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 【答案】(1) (2)存在，当的值为时；与互相平分 (3)2或8 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质及勾股定理即可解答． （2）连接、，根据题意得到四边形是平行四边形，，列式求解即可． （3）分两种情况∶①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时；②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，根据平行四边形的性质即可解答 【详解】（1）解： 四边形是平行四边形， ， ， ， 当点在线段延长线上时， （2）存在，理由如下： 如图1，连接、，   与互相平分，则四边形是平行四边形， ， ， 解得：， 当t的值为时；与互相平分； （3）分两种情况： ①当点P关于直线对称的点恰好落在点A下方时，如图2，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即，解得：； ②当点P关于直线对称的点恰好落在点A上方时，如图3，    由对称的性质得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即，解得：； 综上所述，t的值为2或8． 题型十八 平行四边形与函数综合 【典例18】（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)3 (3)（ⅰ）或；（ⅱ）存在，或或或 【分析】本题主要考查一次函数的基本性质，利用平行四边形的性质求解，理解新定义“沉毅函数”，进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意确定，然后将点E代入求解即可； （2）根据题意整理得，然后代入一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”，确定点M和N的纵坐标分别为3和1，确定其横坐标为，即可求解； （3）（ⅰ）根据题意确定，分别代入两个一次函数得出，然后分两种情况分析：当时，即时，当时，即时，结合一次函数的性质求解即可； （ⅱ）根据题意确定，得出的“沉毅函数”为，然后分两种情况分析：当以为边，当以为对角线时，分别利用平行四边形的性质列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数为“沉毅函数”， ∴， 将点代入得：； （2）根据题意得：点坐标在上， ∴， ∴， ∴一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”为：， ∵，，，， ∴点M和N的纵坐标分别为3和1， ∴当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； ∴， ∴； （3）（ⅰ）∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，即时，y随x的增大而增大， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 当时，即时，y随x的增大而减小， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 综上可得：或； （ⅱ）根据题意，联立得：， 解得：， ∴， ∴的“沉毅函数”为， 当以为边，当点H在上时， 设， ∵，， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 当以为对角线时，点H在上时， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 综上可得：或或或 ． 【变式18-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则________； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式； (3)一次函数（，，k、b为常数），其中k、b满足，当一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点时，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)或且 【分析】（1）将点E的坐标代入衍生函数求值即可； （2）根据点的坐标得出；根据衍生函数分别求出M，N两点的坐标，再根据面积的关系求出k的值，然后求出一次函数的解析式即可； （3）根据k和b的关系得出，即可得出定点坐标，根据题意得出当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点，求出此时的b和k的值，然后分情况讨论符合条件的b的取值范围即可． 【详解】（1）解：当，把点在一次函数得：， 解得：； 当，把点在一次函数得：， 解得：； 故答案为：； （2）解：∵过， ∴，则， ∴， 设，， ∵，，，， ∴，， 把，代入得： ， 整理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴； （3）解：∵，满足， ∴，则 ∴当时，，即过定点， ∴一次函数的衍生函数过点和， ∴且点在内， 设衍生函数图象与y轴的交点为G， 点G沿y轴向上平移过程中，当衍生函数图象经过点A时，与有三个交点， 将代入得：， 解得，， ∴时，衍生函数图象恰好与有两个交点，符合题意． 点G沿y轴继续向上平移，当衍生函数图象经过点时，与有三个交点， ∴且时，图象与有两个交点，符合题意． 综上：或且时，图象恰好与有两个交点． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合题型，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质，平移的性质，以及正确理解题目所给“衍生函数”的定义是解题的关键． 【变式18-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)3，5 (2)3或 (3)①经过定点，定点坐标为；②当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标特点等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据“关联”函数的定义求解即可； （2）分与两种情况，将点G的坐标代入函数关系式求解即可； （3）①由已知条件可将函数关系式变形为，可得结论； ②“关联”函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，当“关联”函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点；分别求得相应的b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在一次函数的“关联”函数图象上，且， ， 故答案为：3，5； （2）解：∵点在函数的“关联”函数图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：，综上所述，的值为3或； （3）解：①经过定点： ， ， 代入得：， 当时，； ∴一次函数的图象过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的“关联”函数图象经过定点和， ， 且点在内，设一次函数的“关联”图象与轴的交点为， 点沿轴向上平移过程中，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 将代入，解得：， 时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； 点沿轴继续向上平移，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； ∴当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于点F，根据线段垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点F， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 2.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了______米． 【答案】200 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 3.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 【答案】或 【分析】根据一次函数的表达式求得，的值，进而求得的值，分两种情形：当四边形是平行四边形时，，可求得，进而得出，同样求得当四边形是平行四边形时的情形． 【详解】解：当时，， ∴， ∴． 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图1， 当四边形是平行四边形时，． ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． 如图2，连接， 当四边形是平行四边形时，，， ∵沿折叠，点A的对应点为， ∴． ∵，C是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点，点均在轴上，点是，的公共点，轴， ∴点D和点O重合， ∴． 综上所述：点D的坐标为或． 【点睛】解决问题的关键是找到当四边形是平行四边形及四边形是平行四边形时的两种情况作图进行分类讨论． 4.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 【答案】或或 【分析】过点作于点，先求出根据点为的中点得，依题意有以下三种情况：①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，则四边形是矩形，进而得，，再求出得，据地可得出的长；②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，则四边形是矩形，设，则， ，证明和全等得，进而得，然后在中，根据得，建立方程，解出即可得出的长；③当点落在直线上时，过点作于点，过作，交延长线于点，则四边形是矩形，进而得同①证明和全等得，由①可知，然后根据即可得出的长，综上所述即可得出答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 四边形是平行四边形，，，， ，，，，， 在中，， ， 点为的中点， ， 点为上任意一点， 当点落在各边所在直线上时，有以下三种情况： ①当点落在直线上时，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 由旋转的性质得：，， ， 四边形是矩形， ， 根据平行线间的距离相等得： 在中， ， ； ②当点落在直线上时，过点作于点，的延长线交的延长线于点，过点作于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ， 设， 在中，， ， ， ， ， ， 在和中， ， 在中，， ， ③当点落在直线上时，过点作于点，过点作，交延长线于点，如图所示： 同①证明：四边形是矩形， ，， 同②证明：， 由①可知：， 综上所述的长为：或或． 故答案为：或或． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质，熟练掌握平行四边形的性质，图形的旋转变换及其性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点，分类讨论是解题的关键． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，点，分别在直线和上，点在上且位于点右侧，连结，请根据尺规作图的要求完成如下作图． (1)在图中作点，使，且点在上． (2)在图中作点，使与互相平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图、平行四边形的判定与性质． （1）利用尺规作图，以点为圆心、长为半径作弧交于，构造出，结合，依据平行四边形的判定（一组对边平行且相等），得到四边形是平行四边形，从而 ； （2）同样以点为圆心、长为半径作弧交于，构造，结合，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形性质，对角线与互相平分 ． 【详解】（1）解：点，如图所示， ； （2）解：点，如图所示， ． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏无锡·中考真题）正七边形的内角和为___________度． 【答案】900 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．根据多边形内角和公式计算即可得出答案． 【详解】解：正七边形的内角和为， 故答案为：900． 2.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，由四边形是平行四边形，得，，由折叠性质可知， ，，，故有，根据平行线的性质得，，最后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】②或③，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．添加条件②，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，添加③为条件，证明得出，即可得证． 【详解】解：添加②为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，如图，连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形． 添加③为条件，则四边形是平行四边形． 理由如下，∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 选择①无法得出四边形是平行四边形． 4.（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 5.（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质可得，再证明，即可利用证明，则可得到，据此可得答案． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是平行四边形边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行四边形（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01多边形的而对角线问题 题型02多边形内角和问题 题型03多边形的外角与内角综合问题 题型04利用平行四边形的性质求解 题型05利用平行四边形的性质证明 题型06旋转图形的判断 题型07找旋转图形、旋转角 题型08利用旋转的性质求解 题型09中心对成图形判定 题型10中心对称图形作图 题型11利用中心对称图形性质求解 题型12平面直角坐标系上的中心对称问题 题型13平行四边形的判定 题型14利用平行四边形的性质与判定求解 题型15利用平行四边形的性质与判定证明 题型16平行四边形与坐标系综合 题型17平行四边形的动点问题 题型18平行四边形与函数综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 多边形的对角线问题 掌握多边形对角线的计算方法，能够求解多边形的对角线问题。 多边形的对角线问题常常考查基本的几何计算方法，注重角度和边数的理解。 多边形内角和问题 掌握多边形内角和的计算，理解角和与边数之间的关系。 多边形内角和问题通常考查学生对多边形基本性质的掌握，尤其是在实际问题中的运用。 多边形的外角与内角综合问题 掌握多边形外角与内角的关系，能够解决角度综合问题。 外角与内角综合问题考查学生对角度的深入理解，常常与其它几何性质相结合。 利用平行四边形的性质求解 熟练运用平行四边形的性质解决相关几何问题。 平行四边形的性质求解是经典考点，涉及到对角线、面积、角度等内容。 利用平行四边形的性质证明 理解平行四边形的性质及其应用，能够用来证明平行四边形的性质。 平行四边形的性质证明考查学生的几何推理能力，常常给出具体情境进行证明。 旋转图形的判断 能够判断旋转图形，理解旋转的条件和性质。 旋转图形的判断考查学生对旋转的理解和判断能力，通常会涉及平移与旋转的组合。 找旋转中心，旋转角 掌握旋转图形的旋转中心与旋转角的计算方法。 找旋转中心、旋转角的题目常考，重点是通过具体问题求解旋转的参数。 利用旋转的性质求解 利用旋转的性质解决旋转图形的几何问题。 旋转性质的应用主要考查学生如何运用旋转对图形进行求解，常出现在复杂的几何问题中。 中心对称图形判定 掌握中心对称图形的判定方法，能够识别并应用中心对称的性质。 中心对称图形判定常考，要求学生通过对称轴进行对称性判断。 中心对称图形作图 学会作图中心对称图形，理解其构造方法。 中心对称图形作图是实践性题目，要求学生能够依据给定条件绘制对称图形。 利用中心对称的性质求解 利用中心对称的性质解决相关问题，理解对称轴和对称点的概念。 中心对称性质的应用是考查学生如何运用对称性质解决几何问题，特别是在证明中的应用。 平面直角系上的中心对称问题 掌握平面直角坐标系中的中心对称问题，能够应用相关公式进行解答。 平面直角系上的中心对称问题常考，涉及坐标系和图形对称性的结合。 平行四边形的判定 掌握平行四边形的判定条件，并能够判断给定图形是否为平行四边形。 平行四边形判定常考，重点考查学生对平行四边形的几何性质和判定方法的掌握。 利用平行四边形的性质与判定求解 运用平行四边形的性质与判定方法解决相关问题。 平行四边形性质与判定问题常考，注重平行四边形的面积、对角线和角度的应用。 利用平行四边形的性质与判定证明 能够利用平行四边形的性质与判定方法进行证明。 平行四边形的性质证明考查学生的证明技巧，尤其是在几何推理中的应用。 平行四边形与坐标系综合 理解平行四边形与坐标系的关系，能够在坐标系中应用平行四边形的性质。 平行四边形与坐标系的结合常考，要求学生能够在坐标系中灵活应用平行四边形的性质。 平行四边形的动点问题 掌握平行四边形的动点问题，能够用动态法解决相关问题。 平行四边形的动点问题考查学生对平行四边形的动态理解与问题解决能力。 平行四边形与函数综合 能够将平行四边形与函数进行综合运用，解决综合问题。 平行四边形与函数的综合问题考查学生如何将函数的知识与几何问题相结合，考查综合能力。 知识点01 多边形的概念 1. 多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 2. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.  3. 多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–2) 个三角形，n边形的对角线条数为  4. 多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）. 知识点02 平行四边形的定义与性质 1. 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2. 平行四边形的表示：用符号“▱”表示，平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 3. 平行四边形的性质：1)对边平行且相等； 2)对角相等、邻角互补； 3)对角线互相平分； 4)平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，平行四边形的对角线的交点是平行四边形的对称中心. 知识点03 平行四边形的判定 ①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形． ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形． ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 知识点04 中心对称与中心对称图形： 中心对称 中心对称图形 图形 定义 如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称. 如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 区别 中心对称是指两个图形的关系 中心对称图形是指具有某种特性的一个图形 联系 两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称. 中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分； 2）中心对称的两个图形是全等图形. 题型一 多边形的对角线问题 【典例1】（25-26七年级上·广东揭阳·月考）过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条数为（   ）． A．4 B．6 C．14 D．20 【变式1-1】（25-26九年级下·北京·月考）从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【变式1-2】（25-26七年级上·重庆·期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，这个多边形共有___________条对角线． 【变式1-3】（23-24七年级下·重庆·期末）若边形的对角线共有条，则这个多边形是______边形． 题型二 多边形的内角和问题 【典例2】（21-22七年级下·江苏扬州·月考）如图，在五边形中，分别平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·上海闵行·月考）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·上海浦东新·月考）如图（1），___________；如图（2），____________． 题型三 多边形的外角与内角综合问题 【典例3】（2022·甘肃陇南·模拟预测）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式3-1】（2026·陕西西安·一模）如图，用三个完全相同的正五边形地砖平铺地面，与是公共边，则的度数为____________． 【变式3-2】（25-26八年级下·陕西渭南·月考）已知一个正多边形的内角和是其外角和的4倍，求这个正多边形的边数． 【变式3-3】（21-22七年级下·江苏泰州·月考）求多边形的边数 (1)若多边形的内角和为，求此多边形的边数； (2)一个n边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为，求n的值． 题型四 利用平行四边形的性质求解 【典例4】（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（    ） A． B． C．8 D．12 【变式4-1】（2026·陕西西安·三模）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-2】（22-23八年级下·河南新乡·期中）将一个三角尺按如图所示的方式放置在一张平行四边形的纸片上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，的对角线交于点，且，若它的对角线的和是，则的周长为_________ ． 题型五 利用平行四边形的性质证明 【典例5】（2026·陕西渭南·一模）如图，在中，点E、F分别在、边上，连接，有下列三个选项：①，②，③．请你在上述三个选项中选择两个作为补充条件，选择一个作为结论，并证明你的结论．（只要求写出一种正确的选法） (1)你选的补充条件为________、________，结论为________；（填序号即可） (2)根据第（1）问的选择，证明你的结论． 【变式5-1】（22-23八年级下·河南新乡·期中）已知如图，在中，点E、F分别在上，且，对角线交于点O，作与交于点G，连接． (1)求证：； (2)若的周长是20，求的周长． 【变式5-2】（25-26八年级下·河北唐山·月考）如图1，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点． (1)求证：=； (2)如图2，已知，，，∠=∠． ①当为多少度时，？ ②在①的条件下，连接，直接写出的周长 ． 【变式5-3】（2026·陕西铜川·一模）如图，在中，对角线，相交于点O，点、分别在，上，且．求证：． 题型六 旋转图形的判断 【典例6】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，以下图形变化能使图形甲和图形乙重合的是（      ） A．将甲绕点顺时针旋转． B．将乙绕点逆时针旋转． C．将甲绕着和中垂线的交点顺时针旋转． D．将甲先向下平移至点和重合，再绕点逆时针旋转． 【变式6-1】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在下列三种图形变换中，本题图案不包括的变换是（    ） A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．以上三项均不包括 【变式6-2】（2023九年级上·全国·专题练习）观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 题型七 找旋转中心、旋转角 【典例7】（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）如图，将矩形绕点顺时针旋转到矩形的位置，已知，则旋转角 ______． 【变式7-1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为 (1)以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的； (2)以点C为旋转中心，画出把顺时针旋转得到的； (3)若△A2B2C绕某点顺时针旋转一定角度得到，请画出旋转中心D并确定旋转角度． 【变式7-2】（25-26九年级下·河北廊坊·开学考试）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长是1，是由旋转得到的． (1)请在图中找出旋转中心O； (2)以C为旋转中心，将逆时针旋转得到，请画出； (3)连接，求的长度． 【变式7-3】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求作图． (1)如图1，作出绕点O逆时针旋转得到的，则的面积为______； (2)如图2，旋转得到，标出旋转中心为点______． 题型八 利用旋转的性质求解 【典例8】（25-26八年级下·四川成都·月考）如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转一定角度，得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为______°． 【变式8-1】（2026·广东汕头·一模）如图，将绕点逆时针旋转一定的角度得到，，分别是，的对应点，且，，三点在同一直线上，若，，则的长为________． 【变式8-2】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，点是等边内一点，，，将绕着点按顺时针方向旋转得到，连接，当____________°时，是直角三角形． 题型九 中心对称图形判定 【典例9】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）以下是“三叶玫瑰线”“蝴蝶曲线”“星形线”“阿基米德螺线”．观察图形，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（21-22九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型十 中心对称图形作图 【典例10】（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按下列要求画图： (1)将先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到，画出； (2)画出与关于原点O成中心对称的，并直接写出点的坐标． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏南京·月考）按下列要求画一个与已知四边形成中心对称的四边形； (1)以顶点A为对称中心 (2)以的中点O为对称中心． 【变式10-2】（2026·安徽合肥·一模）如图，格点（顶点均是网格线的交点）和格点O． (1)以点O为对称中心，作出的中心对称图形； (2)借助网格仅用无刻度的直尺，过点A作线段的垂线． 题型十一 利用中心对称的性质求解 【典例11】（2026·陕西西安·一模）如图，在等边中，为的中点，连接，，与B关于点成中心对称，则的长为（   ） A．5 B． C．3 D． 【变式11-1】（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，在等边三角形中，O为的中点，，与关于点B中心对称，连接，则的长为（   ） A． B． C．4 D． 【变式11-2】（25-26八年级下·湖南邵阳·月考）如图，和成中心对称，若的面积为4，求的面积 题型十二 平面直角坐标系上的中心对称问题 【典例12】（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2026·陕西·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图像经过点，且两点关于原点中心对称，若将该正比例函数的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式12-2】（25-26九年级下·江苏淮安·期中）已知点与点关于原点对称，则_________． 【变式12-3】（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，定义点的“位移变换”为：．已知点的坐标为，点经过27次“位移变换”后得到的点，则点关于原点的对称点的坐标为____． 题型十三 平行四边形的判定 【典例13】（21-22八年级下·四川泸州·期末）在四边形中，已知，添加以下条件不能证明四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【变式13-2】（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在四边形中，，点F是边的中点，连接并延长交的延长线于点E，，求证四边形为平行四边形． 【变式13-3】（25-26八年级上·山西吕梁·月考）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【变式13-4】（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 题型十四 利用平行四边形的性质与判定求解 【典例14】（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 【变式14-1】（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【变式14-2】（23-24八年级下·浙江杭州·月考）如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【变式14-3】（21-22八年级上·山东济南·期末）如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____． 题型十五 利用平行四边形的性质与判定证明 【典例15】（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 【变式15-1】（25-26八年级下·北京·期中）如图所示，已知点在的对角线上，且．求证：． 【变式15-2】（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．求证：四边形是平行四边形． 【变式15-3】（25-26八年级下·山东日照·月考）如图，在平行四边形中，点、分别在，上，且． (1)求证：； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式15-4】（23-24八年级下·湖南娄底·开学考试）如图，在平行四边形中，、分别是、边上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若平分，，，，求平行四边形的周长． 题型十六 平行四边形与坐标系综合 【典例16】（23-24九年级上·四川德阳·期末）如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线l：将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则的值为（    ） A．4或 B．0或 C．0或 D．4或 【变式16-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【变式16-2】（25-26九年级上·黑龙江绥化·月考）如图，已知平面直角坐标系中的，点，，坐标系内存在直线将分成面积相等的两部分，且这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则的值为___________． 题型十七 平行四边形的动点问题 【典例17】（20-21八年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角梯形中，，，，，，动点从点开始沿边向点以速度运动，动点从点开始沿边向点以的速度运动．点、分别从点、同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．求： （1）为何值时，四边形为平行四边形？ （2）为何值时，四边形为矩形？ 【变式17-1】（20-21八年级下·江苏苏州·月考）如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）． （1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值； （2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值． 【变式17-2】（23-24九年级下·广西梧州·月考）如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t秒．    (1)当点Q在线段延长线上时，用含t的代数式表示线段的长； (2)连结，是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请求出t的值． 题型十八 平行四边形与函数综合 【典例18】（24-25八年级下·湖南·期中）定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式18-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）定义：对于给定的一次函数（，k、b为常数），把形如（，k、b为常数）的函数称为一次函数（，k、b为常数）的衍生函数．已知的顶点坐标分别为，，，． (1)点在一次函数的衍生函数图象上，则________； (2)如图，一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形交于M、N、P、Q四点，其中P点坐标是，并且，求该一次函数的解析式； (3)一次函数（，，k、b为常数），其中k、b满足，当一次函数（，k、b为常数）的衍生函数图象与平行四边形恰好有两个交点时，求b的取值范围． 【变式18-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（22-23八年级下·浙江温州·期中）如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了______米． 3.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）如图，函数与x轴，y轴交于A，B两点，点C是中点，点D从点A出发沿着方向移动，连接．将沿折叠，点A的对应点为，当，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形时，点D的坐标为__________ ． 4.（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，，点为的中点，点为上任意一点，连结并将线段绕点逆时针旋转得线段，当点落在各边所在直线上时，的长度为__________． 5.（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，已知直线，点，分别在直线和上，点在上且位于点右侧，连结，请根据尺规作图的要求完成如下作图． (1)在图中作点，使，且点在上． (2)在图中作点，使与互相平分． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2025·江苏无锡·中考真题）正七边形的内角和为___________度． 2.（2025·山东潍坊·中考真题）如图，在中，点在边上，将沿折叠，点的对应点恰好落在边上；将沿折叠，点的对应点恰好落在上．若，则______．（用含的式子表示） 3.（2025·江苏盐城·中考真题）如图，点、在的对角线上．若_________，则四边形是平行四边形．请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 4.（2025·四川巴中·中考真题）如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 5.（2025·四川宜宾·中考真题）如图，点是平行四边形边的中点，连接并延长交的延长线于点．求证：，并求的长． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $