专题05数据分析初步全章期中复习讲义（7大高频考点+题型）2025-2026学年八年级数学下册浙教版

专题05 数据分析初步 复习讲义 一、复习目标 1.理解算术平均数、加权平均数的概念，会正确计算并区分两类平均数。 2.掌握中位数、众数的求法，理解其统计意义。 3.理解方差、标准差的意义，会计算方差并用于判断数据稳定性。 4.掌握四分位数、箱线图的概念与画法，能通过箱线图分析数据分布特征。 5.能综合运用平均数、中位数、众数、方差、四分位数、箱线图分析数据集中趋势与波动情况。 6.掌握期中常考题型：加权平均数计算、图表数据分析、稳定性判断、方案选择、箱线图应用。 二、知识梳理 （一）平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据个数。 公式： 意义：反映数据整体平均水平，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：数据按**重要程度（权）**分配比重后计算的平均数。 公式：（ 为权重/频数） 关键：权越大，对结果影响越大。 （二）中位数 1.步骤： ① 数据从小到大（或从大到小）排序 ② 看个数： 奇数个：最中间那个数 偶数个：中间两个数的平均数 2.特点：不受极端值影响；代表数据中等水平 （三）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.特点：可以1个、多个、没有；不受极端值影响；代表数据普遍水平 （四）四分位数 1.定义：将一组排序后的数据平均分成四等份，分割这组数据的三个数值分别称为第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数、第三四分位数，统称四分位数。 2.核心概念： 第二四分位数（）：即这组数据的中位数，将数据分成前50%和后50%。 第一四分位数（）：排序后数据前50%的中位数，代表数据的“下四分位水平”，约25%的数据小于等于它。 第三四分位数（）：排序后数据后50%的中位数，代表数据的“上四分位水平”，约75%的数据小于等于它。 3.计算步骤（关键：先排序，再找位置）： 第一步：将数据从小到大排序，设数据个数为。 第二步：计算位置： （中位数）位置：（若为偶数，取中间两个数的平均数）。 位置：（若位置不是整数，取相邻两个数的加权平均数）。 位置：（若位置不是整数，取相邻两个数的加权平均数）。 第三步：根据位置确定对应数值，即为对应四分位数。 （五）箱线图 1.定义：基于四分位数绘制的统计图，能直观反映数据的分布特征（集中趋势、离散程度、异常值），由“箱体”和“箱须”两部分组成。 2.绘制步骤： ①将数据从小到大排序，计算出、（中位数）、和四分位距。 ②绘制一条水平（或垂直）数轴，标注数据的最小值、、、、最大值。 ③绘制箱体：以和为两端，绘制长方形箱体，箱体中间用横线标注（中位数）。 ④绘制箱须：从箱体两端延伸出“线段”（箱须），箱须的终点为“非异常值”的最小值和最大值；异常值用单独的点（如圆点、叉号）标注在箱须外侧。 3.解读要点： 箱体长度（四分位距）越短，说明数据中间50%的波动越小，数据越集中。 中位数在箱体中间，说明数据分布较均匀；中位数偏上，说明数据下侧集中、上侧分散；中位数偏下则相反。 箱须越长，说明数据的极端值范围越广；出现异常值，说明数据中存在偏离整体水平的数值。 （六）方差与标准差 1. 方差 公式： 意义：反映数据波动大小、稳定性。 方差越小 → 波动越小 → 越稳定；方差越大 → 波动越大 → 越不稳定 2. 标准差 定义：方差的算术平方根 作用：和方差一样描述离散程度，单位与原数据一致。 三、解题技巧与二级结论（必背） 1.求中位数、四分位数先排序，不排序必错。 2.众数是“数”不是次数，别把频数当众数。 3.加权平均数：权重和为1直接乘；不为1先算总和再除。 4.比较稳定性：只看方差，方差小更稳。 5.平均数受极端值影响大；中位数、众数、四分位数、四分位距不受极端值影响。 6.数据同加/减一个数：平均数、中位数、众数、四分位数变，方差、四分位距不变。 7.数据同乘一个数：平均数、中位数、众数、四分位数乘，方差乘平方，四分位距乘。 8.四分位数速算技巧：若数据个数为4的倍数，、、直接对应排序后第、、个数据；若不是4的倍数，取相邻两个数的平均数。 9.箱线图解读：箱体越短越集中，箱须越长极端值越分散，异常值单独标注，无需纳入箱须范围。 四、考点精讲 考点1 算术平均数与加权平均数 典例在某次考试后，组办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，若人才要求是具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力，根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重设计为（　　） A．3：3：2：2 B．5：2：1：2 C．1：2：2：5 D．2：3：3：2 【分析】根据加权平均数的定义可得答案． 【解析】根据“具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力”的要求， ∴符合这一要求的权重是B选项5：2：1：2， 故选：B． 变式小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 【分析】直接利用加权平均数的定义列式计算即可． 【解析】小丽本学期的总评成绩应该是93×10%+90×30%+95×60%＝93.3（分）， 故选：D． 考点2 中位数与众数的求法 典例某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如下表 车速/（km/h） 48 49 50 51 52 车辆数/辆 6 10 3 1 4 则上述车速的中位数和众数分别是（　　） A．49，10 B．50，49 C．50，8 D．49，49 【分析】根据中位数、众数的意义进行判断即可． 【解析】将这24辆车的车速从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是49，因此中位数是49， 车速出现次数最多的是49，共出现10次，因此车速的众数是49， 故选：D． 变式1 数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【分析】先根据平均数的概念列方程求出x的值，再将数据重新排列，利用中位数的定义求解即可． 【解析】∵数据3、4、6、x的平均数是5， ∴5， 解得x＝7， ∴这组数据为3、4、6、7， 则这组数据的中位数为5， 故选：C． 变式2 某射击运动员在一次射击练习中，5次射击成绩（单位：环）记录如下：8，9，，7，10，因记录员不小心，有一个数字被污染了，但记录员记得这组数据的众数为8，则这组数据的中位数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】先根据众数求出被污染了的数字，再根据中位数的定义即可求解． 【解析】∵记录员记得数据8，9，，7，10的众数为8， ∴＝8， 从小到大排列为7，8，8，9，10， ∴这组数据的中位数是8． 故选：B． 考点3 四分位数的计算 典例祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 考点4 箱线图的绘制与解读 典例小明记录了20名同学1min跳绳的次数，如下：（单位：个） 89 120 97 101 76 59 67 86 56 68 77 60 90 82 104 71 90 40 73 81 （1）求这20名同学1min跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值； （2）请根据上述四分位数绘制箱线图． 【分析】（1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）根据箱线图的定义解答即可． 【解答】解：（1）把20名同学1min跳绳的次数从小到大排列为：40，56，59，60，67，68，71，73，76，77，81，82，86，89，90，90，97，101，104，120， 最小值为40，最大值为120，下四分位数为67.5，中位数为79，上四分位数为90； （2）如图所示： 考点5 方差计算与稳定性判断 典例某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 26 25 26 23 s2 1.7 1.2 1.6 1.6 若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】先比较平均数得到丙组和丁的产量较好，然后比较方差得到丙品种既高产又稳定． 【解析】在四个品种中甲、丙的平均数大于乙、丁，且丙的方差小于甲的方差， ∴丙品种的苹果数的产量高又稳定， 故选：C． 变式如图是甲，乙两种商品1～5月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差为S甲2，乙种商品价格数据的方差为S乙2，那么S甲2　 　S乙2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【分析】根据方差的意义，比较甲、乙两种商品的价格波动幅度即可． 【解析】由图知，甲种商品价格的波动幅度明显小于乙种商品价格的波动幅度， ∴S甲2＜S乙2， 故答案为：＜． 考点6平均数、中位数、众数综合题 典例为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，进入超市购物人员都需要测量体温，某8位顾客的体温如表： 顾客编号 1 2 3 4 5 6 7 8 温度（℃） 37.3 36.9 37.2 a 37 37.1 36.7 36.8 已知这8位顾客的平均温度为37℃． 求（1）表中a的值； （2）这组数据的中位数和众数． 【分析】（1）根据平均数的计算公式列出算式，求出a的值即可； （2）根据中位数和众数的定义分别进行解答即可得出答案． 【解析】（1）∵这8位顾客的平均温度为37℃， ∴（37.3+36.9+37.2+a+37+37.1+36.7+36.8）＝37， 解得：a＝37； （2）把这些数从小到大排列，则中位数是37℃； 众数为37℃． 变式甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下面问题： （1）填空： 平均数 众数 中位数 甲厂 　 　 　 　 6 乙厂 9.6 　 　 8.5 丙厂 9.4 4 　 　 （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？ 【分析】（1）平均数就是把这组数据加起来的和除以这组数据的总数，众数就是一堆数中出现次数最多的数，中位数，就是一组数按从小到大的顺序排列，中间位置的那个数，如果有偶数个数，那就是中间的两个数的平均数； （2）一组数据的平均数、众数、中位数从不同角度表示这种数据集中趋势． 由（1）的结果容易回答（2），甲厂、乙厂、丙厂，分别利用了平均数、众数、中位数进行广告推销，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据． （3）根据平均数大的进行选择． 【解析】（1）甲厂：平均数为（4+5+5+5+5+7+9+12+13+15）＝8，众数为8； 乙厂：众数为8，中位数为8.5； 丙厂：中位数为8； 故答案是： 平均数 众数 中位数 甲厂 8 5 6 乙厂 9.6 8 8.5 丙厂 9.4 4 8 （2）甲家的销售广告利用了平均数8表示集中趋势的特征数； 乙家的销售广告利用了众数8表示集中趋势的特征数； 丙家的销售广告利用了中位数8表示集中趋势的特征数． （3）平均数：乙大于丙大于甲；众数：乙大于甲大于丙；中位数：乙大于丙大于甲，顾客在选购产品时，一般以平均数为依据，选平均数大的厂家的产品， 因此应选乙厂的产品． 考点7 方差应用与成绩稳定性分析 典例某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）求九（1）班的众数和九（2）班的中位数； （2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义即可求解； （2）先计算出两个班的平均数，再代入方差公式求出两个班的方差，然后根据方差的意义即可得出答案． 【解析】（1）∵80出现了3次，出现的次数最多， ∴九（1）班的众数是80分； 把九（2）班的成绩从小到大排列，则中位数是85分； （2）九（1）班的平均成绩是：（80+80+90+80+100）＝86（分）， 九（1）班的方差是：[（80﹣86）2+（80﹣86）2+（90﹣86）2+（80﹣86）2+（100﹣86）2]＝64， 九（2）班的平均成绩是：（80+100+95+70+85）＝86（分）， 九（2）班的方差是：[（80﹣86）2+（100﹣86）2+（95﹣86）2+（70﹣86）2+（85﹣86）2]＝114， ∵九（1）班的方差小于九（2）班的方差， ∴九（1）班的成绩比较稳定． 变式 某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 列表进行数据分析： 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 9 c 4.4 （1）b＝　 　，c＝　 　； （2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]） （3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由． 【分析】（1）利用中位数和众数的概念很容易求出b．c的值； （2）利用平均数的计算公式可得乙的平均数，再利用方差的计算公式计算甲的方差； （3）通过比较以上四个数量指标，在平均数，中位数，众数相同的情况下，选择方差较小的参加． 【解析】∵将甲的5个数据按照由小到大的顺序排列：6，7，9，9，9， 位置在最中间的是9， ∴这组数据的中位数为9． ∴b＝9． ∵乙的5个数据中9出现了两次，出现次数最多， ∴乙组数据的众数为：9． ∴c＝9． 故答案为：9；9． （2）甲的平均数a8． ∵方差的公式：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]， ∴d[（9﹣8）2+（9﹣8）2+（9﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2]＝1.6． （3）选择甲选手参加比赛． 理由：∵甲，乙的平均成绩都为8，中位数都为9，众数都为9， 但甲的方差d＝1.6＜乙的方差4.4 ∴在平均数、中位数、众数都相同的情况下，甲的方差比乙小， 故甲比乙稳定，选择甲． 五、易错点警示 1.求中位数、四分位数必须先排序，不排序直接取中间必错。 2.众数是数据，不是出现的次数。 3.加权平均数权重不同，不能直接相加除以个数。 4.方差计算要先减平均数再平方，别漏平方。 5.稳定性只看方差：方差越小越稳定。 6.四分位数计算时，位置不是整数，需取相邻两个数的加权平均数，不可直接取整数位置的数据。 7.绘制箱线图时，异常值需单独标注，不可纳入箱须范围；四分位距计算为，不可颠倒顺序。 8.解读箱线图时，不可将箱体长度与方差混淆，箱体反映中间50%数据波动，方差反映整体数据波动。 六、题型突破 题型一．算术平均数 1．（2025春•宁海县期中）样本数据3，a，4，5的平均数是4，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据数据3，a，4，5的平均数为4，得出（3+a+4+5）÷4＝4，再解方程即可． 【解答】解：∵数据3，a，4，5的平均数为4， ∴（3+a+4+5）÷4＝4， 解得a＝4， 故选：C． 2．（2025春•杭州校级期中）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是3，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为　2　 ． 【答案】2． 【分析】根据有理数的运算法则计算即可． 【解答】解：由条件可知， ∴x1+x2+x3＝9， 则数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为： ＝6﹣4 ＝2． 故答案为：2． 题型二．加权平均数 3．（2025春•鹿城区校级期中）学校举行“水火箭制作”科技大赛，选手综合成绩分为两项：创新设计占60%，现场展示占40%．小温的创新设计得80分，现场展示得90分，则他的综合成绩是（　　） A．80分 B．84分 C．85分 D．90分 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【解答】解：根据题意可得，他的综合成绩是80×60%+90×40%＝84（分）． 故选：B． 4．（2025春•拱墅区校级期中）某单位组织招聘，一位求职者的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是85分，80分，86分，若依次按照20%，30%，50%的比例确定最终成绩，则这个人面试的最终成绩为　84　 分． 【答案】84． 【分析】根据加权平均数定义可得． 【解答】解：这个人的面试成绩是85×20%+80×30%+86×50%＝84（分）． 故答案为：84． 5．（2025春•杭州期中）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价．由单价为每千克14元的甲种糖果30千克，单价为每千克22元的乙种糖果40千克，单价为每千克20元的丙种糖果30千克混合成的什锦糖的单价应定为每千克 　19　 元． 【答案】19． 【分析】根据加权平均数的计算公式和三种糖果的单价和重量，列出算式进行计算即可． 【解答】解：混合成的什锦糖的单价应定为19（元/千克）． 故答案为：19． 6．（2025春•北仑区期中）实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按5：2：3的比例确定成绩，则小林的最终成绩是　88.5　 分． 【答案】88.5 【分析】根据加权平均数定义可得． 【解答】解：根据加权平均数计算方法可得： ， 故答案为：88.5． 7．（2025春•海曙区校级期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分． 学生 人气分 学习分 行规分 工作分 老师票数 学生票数 分数 甲 4 20 a 85 95 85 乙 2 25 70 90 92 90 （1）a＝　80　 ，b＝　30　 ； （2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选． 【分析】（1）由同学一票记2分，老师一票记10分，两个分数相加即为人气分，可得甲的人气分a的值，再用整体1减去其他所占的百分比求出b的值； （2）利用加权平均数的计算公式分别求出甲乙两位候选人的最后得分，再比较即可． 【解答】解：（1）由题意，得a＝4×10+20×2＝80（分）； b%＝1﹣25%﹣25%﹣20%＝30%，即b＝30； 故答案为：80，30； （2）甲被选上，理由如下： 甲候选人的最后得分是：80×20%+85×25%+95×30%+85×25%＝87（分）， 乙候选人的最后得分是：70×20%+90×25%+92×30%+90×25%＝86.6（分）， 87＞86.6， 则甲被选上． 8．（2025春•北仑区校级期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按40%，35%，25%计入个人成绩，　丙　 将被选中． 【分析】（1）根据统计表格和扇形统计图分别计算，利用总人数40乘以各自所占的比例即可求得三人的得票数； （2）平均数就是三项的得分的和与3的商的值； （3）即求三项的加权平均数，根据加权平均数的公式即可求解． 【解答】解：（1）三人的得票分分别为： 甲：45名×40%×2＝18（分）， 乙：45名×40%×2＝18（分）， 丙：45名×20%×2＝9（分）； （2）甲：61（分）， 乙：59（分）， 丙：59（分）， ∵， ∴甲入选； （3）甲：75×40%+90×35%+18×25%＝30+31.5+4.5＝66（分）， 乙：80×40%+80×35%+18×25%＝32+28+4.5＝64.5（分）， 丙：90×40%+80×35%+9×25%＝36+28+2.25＝66.25（分）， ∵66.25＞66＞64.5， 所以丙被选中． 故答案为：丙． 9．（2025春•龙港市期中）某汽车销售4S店计划招聘一名导购员，对两名应聘者进行了三项素质测试，如表是两名应聘者的素质测试成绩． 素质测试 测试成绩（分） 小王 小亮 汽车知识 75 85 沟通能力 95 75 销售经验 55 80 （1）这两人三项测试得分的平均成绩分别为少？ （2）根据实际需要，该4S店给出了选人标准：将汽车知识、沟通能力、销售经验三项测试得分按3：5：2的比例确定个人测试成绩，请通过计算说明谁将应聘成功． 【分析】（1）根据三项平均成绩计算的大小比较，录用平均成绩高的； （2）计算出加权平均数，在比较加权平均数的高低，录用加权平均数高者． 【解答】解：（1）小王三项测试得分的平均成绩为：75（分）， 小亮三项测试得分的平均成绩为：75（分）； （2）小王的测试成绩为：81（分）； 小亮的测试成绩为：79（分）； ∵81＞79， ∴小王将应聘成功． 10．（2025春•鹿城区校级期中）温州市实验中学第39届艺术节心理剧比赛落下帷幕，联盟1班、联盟2班、联盟3班的成绩如表（单位：分）： 剧本创作 表演效果 舞美创作 团队过程性评价 联盟1班 88 78 82 84 联盟2班 84 87 83 90 联盟3班 90 89 84 85 （1）计算得联盟1班、联盟2班的平均分分别为83分和86分，请求出联盟3班的平均分，并从高到低进行排序． （2）学校认为这四个项目的重要程度有所不同，每个联盟在剧本创作、表演效果、舞美创作、团队过程性评价的成绩应按照3：5：5：7的比例计算其成绩，联盟1班的成绩明显最低，请问哪个联盟的成绩最好？ 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解即可； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【解答】解：（1）联盟3班的平均分为（90+89+84+85）＝87（分）， ∵联盟1班、联盟2班的平均分分别为83分和86分， ∴87＞86＞83； （2）联盟2班的成绩是：86.6（分）， 联盟3班的成绩是：86.5（分）， 因为联盟2班的加权平均分最高，所以联盟2班的成绩最好． 11．（2025春•鄞州区期中）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． （2）该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按50%，40%，10%的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 【分析】（1）根据表格结合平均数的求法可直接进行求解； （2）由题意可知甲淘汰，然后分别计算乙、丙的加权平均数，进而问题可求解． 【解答】解：（1）根据题意得： （分）； （分）； （分）； 答：根据平均分，从高到低排列分别是甲、乙、丙； （2）根据题意有： 乙按比例最后得分为82×50%+88×40%+79×10%＝84.1（分）； 丙按比例最后得分为88×50%+83×40%+75×10%＝84.7（分）； ∵84.1＜84.7， ∴最后得到冠军的是丙． 12．（2025春•杭州校级期中）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）． 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 76 87 74 丙 80 78 85 （1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序． （2）学校认为： ①单项最低分不能低于75分； ②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的比例计算其成绩．请问谁能成功应聘？ 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【解答】解：（1）丙的平均分81（分）， ∵甲乙丙三人的平均分分别是80，79，81． ∴81＞80＞79； （2）因为乙的创意设计能力不合格，所以乙首先被淘汰， 甲的加权平均分是：81.5（分）， 丙的加权平均分是：81.1（分）， 因为甲的加权平均分最高，所以甲将成功应聘． 题型三．中位数 13．（2025春•诸暨市期中）一组数据：1，2，3，5，7，8，8的中位数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】把这组数据从小到大排列，中间那个数据即为中位数． 【解答】解：这组数据从小到大排列为1，2，3，5，7，8，8， 所以中位数是5， 故选：A． 14．（2025春•杭州校级期中）数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先根据平均数的概念列方程求出x的值，再将数据重新排列，利用中位数的定义求解即可． 【解答】解：∵数据3、4、6、x的平均数是5， ∴5， 解得x＝7， ∴这组数据为3、4、6、7， 则这组数据的中位数为5， 故选：C． 15．（2025春•杭州期中）如图是摘自改编歌曲《“数”勇者》简谱的部分旋律，当中出现的数字的中位数是（　　） A．1 B．2 C．6 D．7 【答案】B 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：把这组数据从小到大排列为：0，0，1，1，1，1，1，2，2，5，5，6，6，7，7，7，7， 故数据中出现的音符的中位数是2． 故选：B． 16．（2025春•镇海区校级期中）在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的15名学生的成绩如表所示： 成绩/分 80 85 90 95 人数/名 2 3 9 1 这15名学生成绩的中位数是（　　） A．85 B．87.5 C．90 D．92.5 【答案】C 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【解答】解：由统计表可得最中间的数据为90， ∴这15名学生成绩的中位数是90． 故选：C． 17．（2025春•滨江区期中）一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】根据中位数为9和数据的个数，可求出x的值． 【解答】解：由题意得，（7+x）÷2＝9， 解得：x＝11， 故选：C． 18．（2025春•浙江期中）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（　　） A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3 【答案】B 【分析】直接利用平均数求法，总数÷数据个数＝平均数，再利用中位数的定义，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，即可得出答案． 【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+0+a3+a4）4aa； 将这组数据按从小到大排列为0，a4，a3，a2，a1； 由于有奇数个数，取最中间的数， ∴其中位数为a3． 故选：B． 19．（2025春•宁海县期中）某同学连续五次考试的数学成绩分别是93、79、85、95、90，则这组数据的中位数是 　90　 ． 【答案】90 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：某同学连续六次考试的数学成绩低到高排列：79、85、90、93、95， 因此中位数为90， 故答案为：90． 20．（2025春•义乌市校级期中）下面是某班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表： 个数/个 35 38 42 45 48 人数 3 5 7 4 4 则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是 　42　 ． 【答案】42． 【分析】根据中位数的概念求解． 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列，排在中间的数是42， 则中位数为42． 故答案为：42． 21．（2025春•浙江期中）为了倡导环保理念，学校开展“旧物改造创意大赛”，各班提交一件作品参与年级评选．学生会根据创意、实用性等维度对作品进行10分制评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．八年级各班成绩统计如下： 八年级10个班成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 1 a 1 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝ 　4　 ． （2）八年级成绩的中位数为 　8.5　 分． （3）若年级平均分高于8.5分，则授予“绿色先锋奖”，请判断八年级能否获得此奖项． 【分析】（1）根据八年级共10个班，可以得到a的值； （2）根据表格中的数据，可以得到八年级成绩的中位数； （3）先计算出八年级成绩的平均数，再与8.5比较大小即可． 【解答】解：（1）由题意得a＝10﹣1﹣3﹣1﹣1＝4， 故答案为：4； （2）由表格可得， 八年级的中位数为：（8+9）÷2＝17÷2＝8.5（分）， 故答案为：8.5； （3）由表格可得， 八年级的平均分为：（6×1+7×3+8×1+9×4+10×1）÷10＝8.1（分）， ∵8.1＜8.5， ∴八年级不能获得“绿色先锋奖”． 22．（2025春•拱墅区校级期中）2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 a 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79，根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是为 　78.5　 分，成绩不低于75分的人数占测试人数的百分比为 　58%　 ； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可，用不低于75分的人数除以被测试人数即可； （2）将甲的成绩与中位数比较可得结果． 【解答】解：（1）由表格可得：a＝50﹣7﹣9﹣16﹣6＝12； 中位数在70≤x＜80 成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79， 这次测试中，成绩中的中位数是第25、26个数据的平均数， ∴中位数为（分）， 成绩不低于75分的人数占测试人数的百分比为， 故答案为：[55×0.005+65×0.025+75×0.02+85×0.03+95×0.02]×10＝78.5，58%； （2）不正确，理由如下： 甲的成绩是否高于一半学生的成绩要与中位数78.5比较， ∵甲的成绩77分低于中位数78.5， ∴甲的成绩低于一半学生的成绩． 题型四．众数 23．（2025春•新昌县期中）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数进行求解即可． 【解答】解：2，3，2，4，3，2，5，这组数据中，2出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为2， 故选：A． 24．（2025春•诸暨市校级期中）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　） 年龄（岁） 14 15 16 17 18 人数（人） 1 4 3 2 2 A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15 【答案】A 【分析】根据众数的定义，出现最多的数据是众数；中位数是位于中间的数，即第6、7名队员，在求出这两个数的平均数即可． 【解答】解：∵年龄为15岁出现了4次，为最多次，故众数为15， ∵第6、7名队员的年龄分别为16、16，故中位数为16， 故选：A． 25．（2025春•诸暨市期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数， 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】先根据这组数据有唯一的众数得出两种可能，再根据中位数的定义得出答案． 【解答】解：因为这组数据有唯一的众数， 所以这组数据可能是7，8，9，9，9，10，10或7，8，9，9，10，10，10， 中位数都是9． 故选：B． 26．（2025春•温州校级期中）学校组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了55名学生的植树情况，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则植树棵数数据的众数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据众数的定义直接求解即可． 【解答】解：∵在55名学生的植树数量中，5出现了20次，出现的次数最多， ∴这批植树棵数数据的众数是5． 故选：B． 27．（2025春•丽水期中）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（　　） A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高 B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高 C．丁同学的身高为1.71米 D．四位同学身高的众数一定是1.65 【答案】C 【分析】根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可 【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误； B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误； C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确； D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误． 故选：C． 28．（2025春•西湖区校级期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是　5　 ，众数是　5　 ． 【答案】5，5． 【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．据此解答即可． 【解答】解：将数据从小到大排列为1，4，5，5，6，9， 故中位数为5， 5出现的次数最多，故众数为5． 故答案为：5，5． 29．（2025春•义乌市校级期中）若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　2　 ． 【答案】2． 【分析】先根据数据2，x，4，8的平均数是4，得出x＝2，根据出现次数最多的数为众数进行作答即可． 【解答】解：∵数据2，x，4，8的平均数是4， ∴4， ∴x＝2， ∴数据2，2，4，8的众数是2， 故答案为：2． 30．（2025春•龙港市期中）某市上周工作日每天的平均气温如表所示： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 平均气温（℃） 16 13 13 15 13 则上周该市工作日每天的平均气温的众数为　13　 ℃． 【答案】13． 【分析】根据众数的概念求解即可． 【解答】解：上周该市工作日每天的平均气温的众数为13℃， 故答案为：13． 31．（2025春•柯桥区期中）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　37　 ． 【答案】37． 【分析】根据众数的定义解答即可． 【解答】解：这8个数据中，37出现的次数最多，故众数为37． 故答案为：37． 32．（2025春•兰溪市校级期中）在学校组织的数学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有　21　 人； （2）补全下表中空缺的三个统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 77.6 80 　80，　 二班 　77.6　 　70　 90 （3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出一个结论． 【分析】（1）根据条形统计图得到参赛人数，然后根据每个级别所占比例求出二班成绩在70分以上的人数； （2）由上题中求得的总人数分别求出各个成绩段的人数，然后可以求平均数、中位数、众数； （3）根据其成绩，作出合理的分析即可． 【解答】解：（1）∵两班参赛人数相同，一班参赛人数为：6+12+2+5＝25（人）， ∴二班的人数为25人， ∴二班成绩在70分以上（包括70分）的人数为25×（1﹣16%）＝25×84%＝21（人）， 故答案为：21； （2）∵一班得80分的人数最多， ∴一班的众数为80分， 故答案为80； 二班的平均数为：90×44%+80×4%+70×36%+60×16%＝77.6（分）， 二班得60分的有：25×16%＝4（人），得70分的有：25×36%＝9（人），得80分的有：25×4%＝1（人），得90分的有25×44%﹣11（人）， ∴把学生成绩按从小到大的顺序排列后，处在中间位置的第13个数是70分， ∴二班的中位数：70分． 故答案为：77.6，70； （3）平均数相同的情况下，二班成绩较好，因为二班的A级的人数多，D级的人数少， 结论：平均数相同的情况下，二班的成绩更好一些． 33．（2025春•义乌市期中）如表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩 82 86 87 82 90 （1）该同学本学期五次测试成绩的众数为 　82　 ，中位数为 　86　 ； （2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为 　85　 ； （3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩． 【分析】（1）根据众数和中位数的概念得出结论即可； （2）根据平均数的概念即可求解； （3）根据各种成绩的比例得出综合成绩即可． 【解答】解：（1）∵该同学的5次成绩分别为82、86、87、82、90， ∴该同学5次成绩的众数为82，中位数为86， 故答案为：82，86； （2）（82+86+87）＝85， 故答案为：85； （3）86.6， 即该同学本学期体育素质的总评成绩为86.6． 34．（2025春•龙湾区期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88.5 98 45% B 88 b c 40% （1）求出上述图表中a，b，c的值； （2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由． 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45%100%＝15%， 即a＝15， ∵A把B款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、88， ∴中位数b88， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴众数c＝96； 故答案为：15，88，96； （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数比B款的中位数高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）． 35．（2025春•杭州期中）为了解本学期八年级学生对第四章和第五章的知识在复习后的掌握情况，李老师从八年级的学生中随机抽取了20名学生分别对这两个章节，即每章节20人进行过关测试（满分10分），并通过整理和分析获得成绩数据后，给出了部分信息． 测试学生成绩的平均数，众数和中位数如表： 章节 平均数 众数 中位数 第四章 8.2 9 b 第五章 ﹣ c 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　15　 ，b＝　8.5　 ，c＝　8　 ． （2）请求出第五章成绩的平均数； （3）若该校八年级有1200名学生，他们对这两个章节分别进行测试，你认为八年级一共可得到多少个满分？ 【分析】（1）根据各组频率之和为1，进行计算即可； （2）根据加权平均数的计算方法进行计算即可； （3）求出样本中两章为满分的所占的百分比即可． 【解答】解：（1）“10分”所占的百分比为：1﹣20%﹣20%﹣10%15%，即a＝15； 将这20名学生的第四章成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为8.5（分），即b＝8.5； 第五章成绩中出现次数最多的是8分，因此众数是8分，即c＝8； 故答案为：15，8.5，8； （2）第五章成绩的平均数为：10×15%+9×10%+87×20%+6×20%＝7.8（分）， 答：第五章成绩的平均数为7.8分； （3）1200×（15%）＝420（个）， 答：八年级一共可得到420个满分． 题型五．方差 36．（2025春•杭州校级期中）甲、乙、两、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是0.8，0.6，0.9，1.0，则射击成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】方差越小，成绩越稳定，据此比较出四人的方差大小即可得到答案． 【解答】解：∵甲、乙、两、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，0.6＜0.8＜0.9＜1.0， ∴射击成绩最稳定的是乙． 故选：B． 37．（2025春•嵊州市期中）甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是2.36m，方差分别是，，，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 【答案】C 【分析】直接根据方差的意义进行判断． 【解答】解：∵甲、乙、丙三名男生跳远成绩的平均数都是2.36m， 而，，， ∴S甲2＞S乙2＞S丙2， ∴这三名同学中丙跳远成绩最稳定． 故选：C． 38．（2025春•杭州期中）李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（　　） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 95 95 93 92 方差 2 3.2 3.2 2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的运动员参赛． 【解答】解：由表知四位同学中甲、乙的平均成绩较好， 又因为甲的方差小于乙， 所以甲的成绩好且稳定， 所以应选择的同学是甲． 故选：A． 39．（2025春•萧山区期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　） A．1 B．5 C．5.25 D．5.5 【答案】D 【分析】直接根据方差的定义判断即可． 【解答】解：由题意知，这组数据为2、5、5、5、6、6、6、6、6、8， ∴这组数据的平均数为， 故选：D． 40．（2025春•温州期中）某一场比赛中，甲乙两位选手8次成绩统计图如图，则甲乙的方差正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据方差的意义进行分析即可． 【解答】解：根据甲、乙成绩图可知，甲选手的成绩比较稳定，数据波动幅度小，乙选手成绩不稳定，波动幅度大， ∴甲的方差小于乙的方差， 故选：B． 41．（2025春•南湖区期中）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据众数的定义即可得出答案． 【解答】解：∵22出现了3次，出现的次数最多，再在这组数据中插入一个任意数，众数也不会改变， ∴一定不会改变的是众数． 故选：C． 42．（2025春•义乌市期中）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高（cm） 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（　　） A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2 【答案】B 【分析】根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【解答】解：A．因为180cm出现的次数最多，所以众数是180cm，原说法不正确，不符合题意； B．平均数，正确； C．因为从小到大排列后排在第5和第6位的都是180cm，所以中位数是180cm，原说法不正确，不符合题意； D．篮球队员身高的方差是： ，故不正确． 故选：B． 43．（2025春•兰溪市校级期中）已知样本数据x1，x2，…，x5的平均数为4，方差为5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均数为　9　 ．方差为　20　 ． 【答案】9，20． 【分析】根据已知样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为S2，则数据mx1+n，mx2+n，…，mxn+n的平均数为：，方差为：m2S2，进行求解即可． 【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x5的平均数为4，方差为5， ∴，5， ∴样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均数为： 9； 样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的方差为： ＝20． 故答案为：9，20． 44．（2025春•海曙区校级期中）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据方差公式即可得出m和n的值，再计算即可． 【解答】解：∵方差计算公式，m，n分别表示这组数据的个数和平均数， ∴m＝20，n＝15， ∴． 故答案为：． 45．（2025春•瑞安市期中）为了选拔一名学生参加素养比赛，对两名备赛选手进行10次测验（满分10分），成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 2.6 乙 b 7 c 2 （1）以上成绩统计分析中，a＝　6　 ，b＝　7　 ，c＝　7　 ； （2）综合以上各个统计量进行分析，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果； （2）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可． 【解答】解：（1）甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为 a＝6； （5+6+6+6+6+6+7+9+9+10）＝7， 甲的平均数b（5+6+6+6+6+6+7+9+9+10）＝7， 乙的数据中7最多有4个，所以众数 c＝7， 故答案为：6，7，7； （2）选择乙同学， 理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定． 46．（2025春•诸暨市期中）甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩（单位：分）统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请解答下列问题： 1 2 3 4 5 甲 80 40 70 50 60 乙 70 50 70 a 70 （1）a＝ 　40　 ，甲同学成绩的中位数是 　60　 分； （2）小林计算出甲同学成绩的平均数为60分，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更好． 【分析】（1）用甲的总成绩减去乙第1、2、3、5次的成绩可得a的值，再根据中位数的定义即可求解； （2）根据平均数和方差的定义求解即可得答案； （3）平均数相同时，根据方差的意义求解可得答案． 【解答】解：（1）a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40． 将甲同学成绩从小到大排列为：40，50，60，70，80， 所以甲同学成绩的中位数是60； 故答案为：40，60； （2）乙同学的成绩平均数为（70+50+70+40+70）＝60， 方差S乙2[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160； （3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2， 所以乙同学的成绩更稳定． 47．（2025春•义乌市校级期中）为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班10次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、10分． （1）请将下表填完整： 平均数 方差 中位数 甲班 7 1.2 　7　 乙班 　7　 2.6 7.5 （2）现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛： ①若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？ ②若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？ 【分析】（1）根据题意分别求解甲班的中位数和乙班的平均数即可求解； （2）根据题意分析即可求解； 【解答】解：（1）将甲班的数据按照从小到大的顺序排列如下：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9； 则甲班中位数为：； 乙班平均数为：； 故答案为：7，7； （2）①从平均数和方差分析，甲乙的平均数一样，但甲的方差较小，较稳定；故派甲班参加比较好； ②从平均数和中位数分析，甲乙的平均数一样，但乙班的中位数较大，故派乙班参加比较好． 48．（2025春•拱墅区期中）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　72　 ②　17.8　 B 72 ③　71　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 【分析】（1）根据众数、方差及中位数的定义求解即可； （2）根据平均数、中位数、方差的意义求解即可． 【解答】解：（1）A组数据为64、66、67、68、69、70、72、72、72、80， 则其众数为72，方差为[（64﹣70）2+（66﹣70）2+（67﹣70）2+（68﹣70）2+（69﹣70）2+（70﹣70）2+3×（72﹣70）2+（80﹣70）2]＝17.8， B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为71， 故答案为：72、17.8、71； （2）B款无人机运行时间更有优势， ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． 49．（2025春•上城区校级期中）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：a＝　85　 ，b＝　85　 ，c＝　80　 ； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的计算方法，计算即可； （2）根据平均数和中位数的大小关系进行说明即可； （3）根据方差的计算公式进行计算后，比较大小即可． 【解答】解：（1）根据两个队各选出的5名选手的决赛成绩图中所给的数据可得： 七年级的平均分，众数b＝85， 八年级选手的成绩是：70，75，80，100，100，故中位数c＝80； 故答案为：85，85，80； （2）由表格可知七年级与八年级的平均分相同，七年级的中位数高， 故七年级决赛成绩较好； （3）[（75﹣85）2+（80﹣85）2+2（85﹣85）2+（100﹣85）2] ＝70， ， ∴七年级代表队选手成绩比较稳定． 50．（2025春•瑞安市校级期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航．为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查．以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）： 患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40） 时长 系统 10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟） AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 46.15 老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 30 32.5 85.9 （1）老系统就诊时长的众数是　30　 ，AI系统就诊时长的中位数是　20　 ； （2）计算AI系统患者的平均就诊时长： （3）结合以上数据，评价AI系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用． 【分析】（1）根据众数、中位数的定义计算即可； （2）根据加权平均数的计算公式求解即可； （3）根据众数、中位数、平均数、方差分析即可． 【解答】解：（1）∵次数最多的是30，出现了18次， ∴众数是30． ∵AI系统就诊时长从小到大排列后，排在第20和第21位的是20和20， ∴AI系统就诊时长的中位数是． 故答案为：30，20； （2）根据加权平均数的计算公式可得： 分钟； （3）AI系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用，从众数、中位数、平均数上分析，AI系统比老系统用时更短；从方差上分析，AI系统就诊时长更稳定． 51．（2025春•上城区校级期中）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如下表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如下表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如下表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 90.3 a 89.5 44.81 八（2）班 88.4 87 b 27.64 表中a＝　89　 ，b＝　87　 ． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为5：3：2，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义可得a、b的值； （2）根据加权平均数计算即可； （3）结合平均数、中位数和众数解答即可． 【解答】解：（1）在八（1）班10人的成绩中，89出现的次数最多， 故众数a＝89； 把八（2）班10人的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，87， 故中位数b87； 故答案为：89，87； （2）八（1）班小文的得分为：90.4（分）， 八（2）班小明的得分为：88.1（分）； （3）八（1）班学生在本次比赛表现更突出，理由如下： 八（1）班学生成绩的平均数、众数和中位数均高于八（2）班， 所以八（1）班学生在本次比赛表现更突出． 52．（2025秋•台州期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 0.4 乙 8.8 a 0.96 丙 b 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　9　 ，b＝　8.8　 ； （2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为c和d，则c与d的大小关系为：c＞d ． 【分析】（1）分别根据中位数和平均数的定义进行计算，即可得到答案； （2）根据（1）中表格，结合平均数和方差的意义进行分析，即可得到答案； （3）根据方差公式解答即可． 【解答】解：（1）由乙得分的条形统计图可知，乙得分的排序为：10、9、9、9、7， ∴乙得分的中位数b＝9； 由扇形统计图可知，甲的平均数c＝10×40%+8×60%＝8.8； 故答案为：9，8.8； （2）选甲更合适．理由如下： 因为甲、乙、丙三人平均成绩一样，说明三人实力相当，但是甲的方差最小，说明甲的成绩更稳定，所以选甲； （3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为c和d，则c与d的大小关系为c＞d． 故答案为：c＞d． 题型六．四分位数 53．（2025秋•东城区校级期中）现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（　　） A．113 B．112 C．106 D．109 【答案】D 【分析】根据“上四分位数”的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第6个与第7个数的平均数即为所求． 【解答】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： 96，98，100，102，104，106，112，113， 则这组数据中“上四分位数”是第6个与第7个数的平均数，即109． 故选：D． 54．（2025•芜湖三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称”较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中第一四分位数是（　　） A．102.5 B．168 C．124 D．150 【答案】C 【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求． 【解答】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： 93、112、136、145、155、165、171、182， 则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即124． 故选：C． 55．（2025秋•宁化县月考）定义：四分位数（Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是四分位数．第一四分位数，又称“下四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据；第二四分位数，又称“中位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据；第三四分位数，又称“上四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数．现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是（　　） A．113 B．99 C．102 D．98 【答案】B 【分析】根据“下四分位数”的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求． 【解答】解：这8名同学每分钟跳绳的个数按从小到大的顺序排列为： 96，98，100，102，104，106，111，113， 则这组数据中“下四分位数”是第2个与第3个数的平均数，即99． 故选：B． 56．（2025秋•槐荫区期中）某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 3 4 4 1 则这组数据的下四分位数为　68　 ． 【答案】68． 【分析】根据四分位数和中位数的定义求解即可． 【解答】解：这组数据重新排列为60，60，68，68，68，70，70，70，70，73，73，73，73，80， 前一组数据为60，60，68，68，68，70，70， 所以这组数据的上四分位数为68， 故答案为：68． 题型七．箱线图 57．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（　　） A．140 B．150 C．163 D．180 【答案】C 【分析】根据箱线图直接得解． 【解答】解：如图， 由箱线图可知上四分位数为163； 故选：C． 58．（2025秋•雁塔区校级期末）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7～8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（　　） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为31℃； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于35℃； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】据箱线图各部分含义，逐个判断结论对错即可． 【解答】解：结论①：箱线图中，下四分位数对应箱的左边界，济南的箱左边界为31℃，故下四分位数是31℃，正确；结论②：中位数对应箱内的线，济南的中位数（箱内线）低于西安的中位数，正确； 结论③：箱线图的“须”表示数据范围，西安的最低气温（须左端点）低于济南的部分气温，并非“都高于”，错误； 结论④：观察箱线图：西安的箱线图中，代表数据分布的“箱体”及右侧线段显示，其数据的中位数（箱体中间线）和大部分数据集中在33℃以上，但不低于35℃的部分仅占数据的一小部分（箱体右侧到最大值的区间），并未超过总天数的一半，因此，结论④是错误的， 所以正确的个数：2， 故选：B． 59．（2025秋•市中区校级期末）箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图①），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图②为某地区2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重．则下面说法错误的是（　　） A．该地区2024年5月有严重污染天气 B．该地区2024年6月的AQI值比5月的AQI值集中 C．该地区2024年5月的AQI值比6月的AQI值集中 D．从整体上看，该地区2024年5月的空气质量略好于6月 【答案】B 【分析】从2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图以及AQI值与空气质量的关系进行解答即可． 【解答】解：A．从2024年5月的空气质量指数（AQI）箱线图外有点，所以该地区2024年5月有严重污染天气，因此选项A不符合题意； B．从2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图可知，该地区2024年6月的AQI值比5月的AQI值波动较大，因此选项B符合题意； C．从2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图可知，该地区2024年5月的AQI值比6月的AQI值集中，因此选项C不符合题意； D．从整体上看，该地区2024年5月的空气质量略好于6月，因此选项D不符合题意． 故选：B． 60．（2025•盐田区二模）【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，小于或等于b的占75%．这样a，m，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数a，m，b； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 【分析】【应用】（1）根据“四分位数”的定义解答即可； （2）结合（1）的结论解答即可； 【理解】据箱线图和对四分位数解答即可． 【解答】解：【应用】（1）把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 故m90，a＝70，b＝96； （2）如图所示： 【理解】根据箱线图和对四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙成绩比较集中．（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数据分析初步 复习讲义 一、复习目标 1.理解算术平均数、加权平均数的概念，会正确计算并区分两类平均数。 2.掌握中位数、众数的求法，理解其统计意义。 3.理解方差、标准差的意义，会计算方差并用于判断数据稳定性。 4.掌握四分位数、箱线图的概念与画法，能通过箱线图分析数据分布特征。 5.能综合运用平均数、中位数、众数、方差、四分位数、箱线图分析数据集中趋势与波动情况。 6.掌握期中常考题型：加权平均数计算、图表数据分析、稳定性判断、方案选择、箱线图应用。 二、知识梳理 （一）平均数 1. 算术平均数 定义：一组数据的总和除以数据个数。 公式： 意义：反映数据整体平均水平，易受极端值影响。 2. 加权平均数 定义：数据按**重要程度（权）**分配比重后计算的平均数。 公式：（ 为权重/频数） 关键：权越大，对结果影响越大。 （二）中位数 1.步骤： ① 数据从小到大（或从大到小）排序 ② 看个数： 奇数个：最中间那个数 偶数个：中间两个数的平均数 2.特点：不受极端值影响；代表数据中等水平 （三）众数 1.定义：一组数据中出现次数最多的数据。 2.特点：可以1个、多个、没有；不受极端值影响；代表数据普遍水平 （四）四分位数 1.定义：将一组排序后的数据平均分成四等份，分割这组数据的三个数值分别称为第一四分位数（下四分位数）、第二四分位数、第三四分位数，统称四分位数。 2.核心概念： 第二四分位数（）：即这组数据的中位数，将数据分成前50%和后50%。 第一四分位数（）：排序后数据前50%的中位数，代表数据的“下四分位水平”，约25%的数据小于等于它。 第三四分位数（）：排序后数据后50%的中位数，代表数据的“上四分位水平”，约75%的数据小于等于它。 3.计算步骤（关键：先排序，再找位置）： 第一步：将数据从小到大排序，设数据个数为。 第二步：计算位置： （中位数）位置：（若为偶数，取中间两个数的平均数）。 位置：（若位置不是整数，取相邻两个数的加权平均数）。 位置：（若位置不是整数，取相邻两个数的加权平均数）。 第三步：根据位置确定对应数值，即为对应四分位数。 （五）箱线图 1.定义：基于四分位数绘制的统计图，能直观反映数据的分布特征（集中趋势、离散程度、异常值），由“箱体”和“箱须”两部分组成。 2.绘制步骤： ①将数据从小到大排序，计算出、（中位数）、和四分位距。 ②绘制一条水平（或垂直）数轴，标注数据的最小值、、、、最大值。 ③绘制箱体：以和为两端，绘制长方形箱体，箱体中间用横线标注（中位数）。 ④绘制箱须：从箱体两端延伸出“线段”（箱须），箱须的终点为“非异常值”的最小值和最大值；异常值用单独的点（如圆点、叉号）标注在箱须外侧。 3.解读要点： 箱体长度（四分位距）越短，说明数据中间50%的波动越小，数据越集中。 中位数在箱体中间，说明数据分布较均匀；中位数偏上，说明数据下侧集中、上侧分散；中位数偏下则相反。 箱须越长，说明数据的极端值范围越广；出现异常值，说明数据中存在偏离整体水平的数值。 （六）方差与标准差 1. 方差 公式： 意义：反映数据波动大小、稳定性。 方差越小 → 波动越小 → 越稳定；方差越大 → 波动越大 → 越不稳定 2. 标准差 定义：方差的算术平方根 作用：和方差一样描述离散程度，单位与原数据一致。 三、解题技巧与二级结论（必背） 1.求中位数、四分位数先排序，不排序必错。 2.众数是“数”不是次数，别把频数当众数。 3.加权平均数：权重和为1直接乘；不为1先算总和再除。 4.比较稳定性：只看方差，方差小更稳。 5.平均数受极端值影响大；中位数、众数、四分位数、四分位距不受极端值影响。 6.数据同加/减一个数：平均数、中位数、众数、四分位数变，方差、四分位距不变。 7.数据同乘一个数：平均数、中位数、众数、四分位数乘，方差乘平方，四分位距乘。 8.四分位数速算技巧：若数据个数为4的倍数，、、直接对应排序后第、、个数据；若不是4的倍数，取相邻两个数的平均数。 9.箱线图解读：箱体越短越集中，箱须越长极端值越分散，异常值单独标注，无需纳入箱须范围。 四、考点精讲 考点1 算术平均数与加权平均数 典例在某次考试后，组办方对应聘者进行了“听、说、读、写”四项技能测试，若人才要求是具有强的“听”力．较强的“说”与“写”能力及基本的“读”能力，根据这个要求，“听、说、读、写”四项技能测试比较合适的权重设计为（　　） A．3：3：2：2 B．5：2：1：2 C．1：2：2：5 D．2：3：3：2 变式小丽在本学期的数学成绩分别为：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，按照平时、期中、期末所占比例为10%，30%，60%计算小丽本学期的总评成绩应该是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 考点2 中位数与众数的求法 典例某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如下表 车速/（km/h） 48 49 50 51 52 车辆数/辆 6 10 3 1 4 则上述车速的中位数和众数分别是（　　） A．49，10 B．50，49 C．50，8 D．49，49 变式1 数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 变式2 某射击运动员在一次射击练习中，5次射击成绩（单位：环）记录如下：8，9，，7，10，因记录员不小心，有一个数字被污染了，但记录员记得这组数据的众数为8，则这组数据的中位数是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 考点3 四分位数的计算 典例祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 考点4 箱线图的绘制与解读 典例小明记录了20名同学1min跳绳的次数，如下：（单位：个） 89 120 97 101 76 59 67 86 56 68 77 60 90 82 104 71 90 40 73 81 （1）求这20名同学1min跳绳次数的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值； （2）请根据上述四分位数绘制箱线图． 考点5 方差计算与稳定性判断 典例某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的苹果树中各采摘了15棵，产量的平均数（单位：千克）及方差s2如下表所示： 甲 乙 丙 丁 26 25 26 23 s2 1.7 1.2 1.6 1.6 若准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的苹果树进行种植，应选的品种是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式如图是甲，乙两种商品1～5月的价格变化情况统计图，记甲种商品价格数据的方差为S甲2，乙种商品价格数据的方差为S乙2，那么S甲2　 　S乙2．（填“＞”、“＜”或“＝”） 考点6平均数、中位数、众数综合题 典例为了保障人民群众的身体健康，在预防新型冠状病毒期间，进入超市购物人员都需要测量体温，某8位顾客的体温如表： 顾客编号 1 2 3 4 5 6 7 8 温度（℃） 37.3 36.9 37.2 a 37 37.1 36.7 36.8 已知这8位顾客的平均温度为37℃． 求（1）表中a的值； （2）这组数据的中位数和众数． 变式甲、乙、丙三个家电厂家在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是8年，经质量检测部门对这三家销售的产品的使用寿命进行跟踪调查，统计结果如下：（单位：年） 甲厂：4，5，5，5，5，7，9，12，13，15 乙厂：6，6，8，8，8，9，10，12，14，15 丙厂：4，4，4，6，7，9，13，15，16，16 请回答下面问题： （1）填空： 平均数 众数 中位数 甲厂 　 　 　 　 6 乙厂 9.6 　 　 8.5 丙厂 9.4 4 　 　 （2）这三个厂家的销售广告分别利用了哪一种表示集中趋势的特征数？ （3）你是顾客，你买三家中哪一家的电子产品？为什么？ 考点7 方差应用与成绩稳定性分析 典例某中学开展防疫知识线上竞赛活动，九年级（1）、（2）班各选出5名选手参加竞赛，两个班选出的5名选手的竞赛成绩（满分为100分）如图所示． （1）求九（1）班的众数和九（2）班的中位数； （2）计算两个班竞赛成绩的方差，并说明哪个班的成绩较为整齐． 变式 某球队对甲、乙两名运动员进行3分球投篮测试，测试共五组，每组投10次，进球的个数统计结果如下： 甲：9，9，9，6，7； 乙：4，9，8，9，10； 列表进行数据分析： 选手 平均成绩 中位数 众数 方差 甲 8 b 9 d 乙 a 9 c 4.4 （1）b＝　 　，c＝　 　； （2）试计算乙的平均成绩a和甲的方差d；（计算方差的公式：s2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]） （3）根据以上数据分析，如果你是教练，你会选择哪名队员参加3分球大赛？请说明理由． 五、易错点警示 1.求中位数、四分位数必须先排序，不排序直接取中间必错。 2.众数是数据，不是出现的次数。 3.加权平均数权重不同，不能直接相加除以个数。 4.方差计算要先减平均数再平方，别漏平方。 5.稳定性只看方差：方差越小越稳定。 6.四分位数计算时，位置不是整数，需取相邻两个数的加权平均数，不可直接取整数位置的数据。 7.绘制箱线图时，异常值需单独标注，不可纳入箱须范围；四分位距计算为，不可颠倒顺序。 8.解读箱线图时，不可将箱体长度与方差混淆，箱体反映中间50%数据波动，方差反映整体数据波动。 六、题型突破 题型一．算术平均数 1．（2025春•宁海县期中）样本数据3，a，4，5的平均数是4，则a的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025春•杭州校级期中）已知一组数据x1，x2，x3的平均数是3，那么另一组数据2x1﹣4，2x2﹣4，2x3﹣4的平均数为　 　 ． 题型二．加权平均数 3．（2025春•鹿城区校级期中）学校举行“水火箭制作”科技大赛，选手综合成绩分为两项：创新设计占60%，现场展示占40%．小温的创新设计得80分，现场展示得90分，则他的综合成绩是（　　） A．80分 B．84分 C．85分 D．90分 4．（2025春•拱墅区校级期中）某单位组织招聘，一位求职者的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是85分，80分，86分，若依次按照20%，30%，50%的比例确定最终成绩，则这个人面试的最终成绩为　 　 分． 5．（2025春•杭州期中）某商场用加权平均数来确定什锦糖的单价．由单价为每千克14元的甲种糖果30千克，单价为每千克22元的乙种糖果40千克，单价为每千克20元的丙种糖果30千克混合成的什锦糖的单价应定为每千克 　 　 元． 6．（2025春•北仑区期中）实验中学举行十佳歌手大赛，小林同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达的分数分别是85分，95分，90分，若依次按5：2：3的比例确定成绩，则小林的最终成绩是　 　 分． 7．（2025春•海曙区校级期中）某班进行“闪亮之星”的推选工作，经过自荐和第一轮筛选后，甲、乙两位同学进入终选．如表为甲、乙两位同学的得分情况．其中人气分的计算方法是：根据班级主科老师和同学的投票结果，老师一票记10分，同学一票记2分，两个分数相加即为人气分． 学生 人气分 学习分 行规分 工作分 老师票数 学生票数 分数 甲 4 20 a 85 95 85 乙 2 25 70 90 92 90 （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）经全班同学讨论决定，候选人的最终得分将根据如图所示的百分比折算后计入总分，经计算，甲同学的最终得分为87分，请你求出乙同学的最终得分，并判断哪位同学当选． 8．（2025春•北仑区校级期中）某班准备选取一名同学参加校级知识竞赛，需对甲、乙、丙三名候选人进行笔试和口试，并组织全班45名同学民主投票（无弃权且每人只能投1票，每得一票记作2分）．得票率与测试成绩分别统计如下： 候选人测试成绩统计表： 测试项目 测试成绩（分） 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 口试 90 80 80 （1）请算出三人的得票分； （2）通过计算说明根据笔试、口试、投票三项得分的平均数是否可确定人选； （3）如果将笔试，口试，投票三项得分按40%，35%，25%计入个人成绩，　 　 将被选中． 9．（2025春•龙港市期中）某汽车销售4S店计划招聘一名导购员，对两名应聘者进行了三项素质测试，如表是两名应聘者的素质测试成绩． 素质测试 测试成绩（分） 小王 小亮 汽车知识 75 85 沟通能力 95 75 销售经验 55 80 （1）这两人三项测试得分的平均成绩分别为少？ （2）根据实际需要，该4S店给出了选人标准：将汽车知识、沟通能力、销售经验三项测试得分按3：5：2的比例确定个人测试成绩，请通过计算说明谁将应聘成功． 10．（2025春•鹿城区校级期中）温州市实验中学第39届艺术节心理剧比赛落下帷幕，联盟1班、联盟2班、联盟3班的成绩如表（单位：分）： 剧本创作 表演效果 舞美创作 团队过程性评价 联盟1班 88 78 82 84 联盟2班 84 87 83 90 联盟3班 90 89 84 85 （1）计算得联盟1班、联盟2班的平均分分别为83分和86分，请求出联盟3班的平均分，并从高到低进行排序． （2）学校认为这四个项目的重要程度有所不同，每个联盟在剧本创作、表演效果、舞美创作、团队过程性评价的成绩应按照3：5：5：7的比例计算其成绩，联盟1班的成绩明显最低，请问哪个联盟的成绩最好？ 11．（2025春•鄞州区期中）某校为了提升初中学生学习数学的兴趣，培养学生的创新精神，举办“玩转数学”比赛，评选出冠军组．现有甲、乙、丙三个小组进入决赛，评委从研究报告、小组展示、答辩三个方面进行量化考核，各项得分如表： 小组 研究报告（分） 小组展示（分） 答辩（分） 甲 83 79 90 乙 82 88 79 丙 88 83 75 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名选手的排名顺序． （2）该校规定：研究报告、小组展示、答辩分分别不得低于80分，80分，70分，并按50%，40%，10%的比例计入总分．根据规定，请你通过计算说明哪一组获得冠军． 12．（2025春•杭州校级期中）学校广播台要招聘一名编辑，甲、乙、丙三位同学报名并参加了3项素质测试，成绩如下表（单位：分）． 语言文字能力 运用媒体能力 创意设计能力 甲 86 77 77 乙 76 87 74 丙 80 78 85 （1）计算得甲、乙的平均分分别为80分，79分，请求出丙的平均分，并根据三人的平均分从高到低进行排序． （2）学校认为： ①单项最低分不能低于75分； ②三个项目的重要程度有所不同，每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按5：2：3的比例计算其成绩．请问谁能成功应聘？ 题型三．中位数 13．（2025春•诸暨市期中）一组数据：1，2，3，5，7，8，8的中位数是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 14．（2025春•杭州校级期中）数据3、4、6、x的平均数是5，这组数据的中位数是（　　） A．4 B．4.5 C．5 D．6 15．（2025春•杭州期中）如图是摘自改编歌曲《“数”勇者》简谱的部分旋律，当中出现的数字的中位数是（　　） A．1 B．2 C．6 D．7 16．（2025春•镇海区校级期中）在学校举办的“导师育人故事”演讲比赛中，参赛的15名学生的成绩如表所示： 成绩/分 80 85 90 95 人数/名 2 3 9 1 这15名学生成绩的中位数是（　　） A．85 B．87.5 C．90 D．92.5 17．（2025春•滨江区期中）一组数据按从小到大排列为3，4，7，x，15，17，若这组数据的中位数为9，则x是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 18．（2025春•浙江期中）已知4个正数a1，a2，a3，a4的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4，则数据a1，a2，0，a3，a4的平均数和中位数分别是（　　） A．，0 B．，a3 C．a，0 D．a，a3 19．（2025春•宁海县期中）某同学连续五次考试的数学成绩分别是93、79、85、95、90，则这组数据的中位数是 　 　 ． 20．（2025春•义乌市校级期中）下面是某班23名女同学每分钟仰卧起坐的测试情况统计表： 个数/个 35 38 42 45 48 人数 3 5 7 4 4 则该班女同学每分钟仰卧起坐个数的中位数是 　 　 ． 21．（2025春•浙江期中）为了倡导环保理念，学校开展“旧物改造创意大赛”，各班提交一件作品参与年级评选．学生会根据创意、实用性等维度对作品进行10分制评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．八年级各班成绩统计如下： 八年级10个班成绩统计表 成绩（分） 6 7 8 9 10 班级个数 1 3 1 a 1 请根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝ 　 　 ． （2）八年级成绩的中位数为 　 　 分． （3）若年级平均分高于8.5分，则授予“绿色先锋奖”，请判断八年级能否获得此奖项． 22．（2025春•拱墅区校级期中）2023年9月21日下午，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”——神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一节精彩的太空科普课．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理，信息如下： a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100 频数 7 9 a 16 6 b．成绩在70≤x＜80这一组的是（单位：分）：70，71，72，72，74，77，78，78，78，79，79，79，根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，成绩的中位数是为 　 　 分，成绩不低于75分的人数占测试人数的百分比为 　 　 ； （2）这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分．乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 题型四．众数 23．（2025春•新昌县期中）为了落实“双减”政策，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动，7名选手投中篮圈的个数分别为2，3，2，4，3，2，5，这组数据的众数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 24．（2025春•诸暨市校级期中）某中学篮球队12名队员的年龄情况如下表，则这个队队员年龄的众数和中位数分别（　　） 年龄（岁） 14 15 16 17 18 人数（人） 1 4 3 2 2 A．15，16 B．15，15 C．15，15.5 D．16，15 25．（2025春•诸暨市期中）为备战体育中考，小明每日坚持引体向上，下表为其记录的一周中每日引体向上个数， 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 10 9 9 10 7 8 其中一天数据缺失了，但这组数据中有唯一众数，则这组数据的中位数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 26．（2025春•温州校级期中）学校组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了55名学生的植树情况，将调查数据绘制成如图所示的统计图，则植树棵数数据的众数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 27．（2025春•丽水期中）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（　　） A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高 B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高 C．丁同学的身高为1.71米 D．四位同学身高的众数一定是1.65 28．（2025春•西湖区校级期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是　 　 ，众数是　 　 ． 29．（2025春•义乌市校级期中）若数据2，x，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　 　 ． 30．（2025春•龙港市期中）某市上周工作日每天的平均气温如表所示： 日期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 平均气温（℃） 16 13 13 15 13 则上周该市工作日每天的平均气温的众数为　 　 ℃． 31．（2025春•柯桥区期中）数学兴趣小组成员从“校园农场”中随机抽取了8棵西红柿植株，并统计了每棵植株上小西红柿的个数，分别为37，29，29，39，37，35，26，37．这组数据的众数是 　 　 ． 32．（2025春•兰溪市校级期中）在学校组织的数学素养竞赛中，每班参加比赛的人数相同，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的得分依次记为90分，80分，70分，60分，学校将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图： 请你根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次竞赛中二班成绩在70分及其以上的人数有　 　 人； （2）补全下表中空缺的三个统计量： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 一班 77.6 80 　 　 二班 　 　 　 　 90 （3）请根据上述图表对这次竞赛成绩进行分析，写出一个结论． 33．（2025春•义乌市期中）如表是某同学本学期体育素质历次测试成绩（百分制）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩 82 86 87 82 90 （1）该同学本学期五次测试成绩的众数为 　 　 ，中位数为 　 　 ； （2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为 　 　 ； （3）如果本学期的总评成绩是将平时测验的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按照2：3：5的比例计算所得，求该同学本学期体育素质的总评成绩． 34．（2025春•龙湾区期中）近日，深度求索推出了“DeepSeek”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，下面给出了部分信息：（单位：分）（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90） 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：83，85，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100； 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 88.5 98 45% B 88 b c 40% （1）求出上述图表中a，b，c的值； （2）若你是用户，从平均数、中位数、众数的这三个角度进行分析，你认为哪款聊天机器人更受喜爱？请说明理由． 35．（2025春•杭州期中）为了解本学期八年级学生对第四章和第五章的知识在复习后的掌握情况，李老师从八年级的学生中随机抽取了20名学生分别对这两个章节，即每章节20人进行过关测试（满分10分），并通过整理和分析获得成绩数据后，给出了部分信息． 测试学生成绩的平均数，众数和中位数如表： 章节 平均数 众数 中位数 第四章 8.2 9 b 第五章 ﹣ c 8 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）请求出第五章成绩的平均数； （3）若该校八年级有1200名学生，他们对这两个章节分别进行测试，你认为八年级一共可得到多少个满分？ 题型五．方差 36．（2025春•杭州校级期中）甲、乙、两、丁四人各进行20次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是0.8，0.6，0.9，1.0，则射击成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 37．（2025春•嵊州市期中）甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是2.36m，方差分别是，，，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较 38．（2025春•杭州期中）李老师准备选一名同学代表班级参加数学竞赛，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的数学测试成绩统计如表．如果按照成绩优异且发挥稳定的标准选拔，则应选择的同学是（　　） 类别 甲 乙 丙 丁 平均分 95 95 93 92 方差 2 3.2 3.2 2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 39．（2025春•萧山区期中）某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是（　　） A．1 B．5 C．5.25 D．5.5 40．（2025春•温州期中）某一场比赛中，甲乙两位选手8次成绩统计图如图，则甲乙的方差正确的是（　　） A． B． C． D．无法判断 41．（2025春•南湖区期中）在22，24，27，21，22，25，22，26这一组数据中插入一个任意数x，则一定不会改变的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 42．（2025春•义乌市期中）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高（cm） 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（　　） A．篮球队员身高的众数是185cm B．篮球队员的平均身高是180.1cm C．篮球队员身高的中位数是180.5cm D．篮球队员身高的方差是3.2cm2 43．（2025春•兰溪市校级期中）已知样本数据x1，x2，…，x5的平均数为4，方差为5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x5+1的平均数为　 　 ．方差为　 　 ． 44．（2025春•海曙区校级期中）在方差计算公式，若m，n分别表示这组数据的个数和平均数，则的值为 　 　 ． 45．（2025春•瑞安市期中）为了选拔一名学生参加素养比赛，对两名备赛选手进行10次测验（满分10分），成绩如下（单位：分）： 甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10； 乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10． 选手 平均数 中位数 众数 方差 甲 7 a 6 2.6 乙 b 7 c 2 （1）以上成绩统计分析中，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）综合以上各个统计量进行分析，请你判断哪位同学参加比赛更合适，请说明理由． 46．（2025春•诸暨市期中）甲、乙两位同学5次参加“数学学科素养赛”选拔赛的成绩（单位：分）统计如表，他们5次测试的总成绩相同，请解答下列问题： 1 2 3 4 5 甲 80 40 70 50 60 乙 70 50 70 a 70 （1）a＝ 　 　 ，甲同学成绩的中位数是 　 　 分； （2）小林计算出甲同学成绩的平均数为60分，方差是，请你求出乙同学成绩的平均数和方差； （3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更好． 47．（2025春•义乌市校级期中）为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班10次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、10分． （1）请将下表填完整： 平均数 方差 中位数 甲班 7 1.2 　 　 乙班 　 　 2.6 7.5 （2）现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛： ①若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？ ②若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？ 48．（2025春•拱墅区期中）为了解A，B两款品质相近的无人机在一次充满电后运行的最长时间，分别随机调查了A，B两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：min），并对数据进行整理． （1）填空： 平均数/min 中位数/min 众数/min 方差/min2 A 70 69.5 ①　 　 ②　 　 B 72 ③　 　 69 14 （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由． 49．（2025春•上城区校级期中）某中学举办“网络安全知识答题竞赛”，七、八年级根据初赛成绩各选出5名选手组成代表队参加决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如下所示． 平均分（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 七年级 a 85 b 八年级 85 c 100 160 （1）根据图示填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个代表队的决赛成绩较好？ （3）计算七年级代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定． 50．（2025春•瑞安市校级期中）温州市以“数据+能力”双轮驱动，创新打造区域医疗AI集成平台，通过12项医学AI服务、云端智能算力调度和全场景智慧应用，为百姓健康保驾护航．为了进一步了解AI系统在患者就诊中资源调配的作用，在引入AI系统前后对患者就诊时长进行了抽样调查．以下是患者就诊时长随机抽样统计表（单位：分钟）： 患者就诊时长随机抽样统计表（样本容量：40） 时长 系统 10 20 30 40 50 60 众数（分钟） 中位数（分钟） 平均数（分钟） 方差（分钟） AI系统（人数） 1 21 15 3 0 0 20 46.15 老系统（人数） 0 8 18 11 2 1 30 32.5 85.9 （1）老系统就诊时长的众数是　 　 ，AI系统就诊时长的中位数是　 　 ； （2）计算AI系统患者的平均就诊时长： （3）结合以上数据，评价AI系统在患者就诊中是否起到了资源调配的作用． 51．（2025春•上城区校级期中）根据“八五”普法规划实施要求，围绕公民法治素养提升行动核心内容，学校决定组织八年级两个班的学生开展“关爱明天普法先行”知识问答比赛，比赛分为两轮，各项成绩均按百分制计． 收集数据： 第一轮比赛，八（1）班和八（2）班分别组成了两支10人的队伍进行书面知识比赛，成绩如下表： 八（1）班 78 83 89 97 98 85 100 94 89 90 八（2）班 81 82 83 87 87 96 87 92 94 95 第二轮比赛，两班各选派一名同学作为班级代表参加演讲比赛，评委从演讲内容、语言表达、综合素质三个方面为选手打分，统计如下表： 选手 演讲内容 语言表达 综合素质 八（1）班小文 95 83 90 八（2）班小明 85 92 90 分析数据： （1）在第一轮比赛中，两个班级的四个统计量如下表： 班级 平均数 众数 中位数 方差 八（1）班 90.3 a 89.5 44.81 八（2）班 88.4 87 b 27.64 表中a＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）第二轮比赛计分规则：演讲内容、语言表达、综合素质三项成绩的占比为5：3：2，请你计算八（1）班小文和八（2）班小明本轮比赛的得分． 应用数据： （3）根据（1）和（2），分析哪个班学生在本次比赛表现更突出． 52．（2025秋•台州期中）学校准备组织九年级游泳比赛，现将某班甲、乙、丙三位同学的5次游泳成绩整理成下列统计图表． 平均数 中位数 方差 甲 8.8 9 0.4 乙 8.8 a 0.96 丙 b 8 0.96 根据以上信息，完成下列问题： （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若该班要从甲、乙、丙三位同学中选一位参加学校游泳比赛，你认为选谁更合适？请说明理由； （3）在比赛中，为避免受到极端值的影响，往往会采用“去掉一个最高分和一个最低分”的方式处理数据．若数据处理前后，某同学游泳成绩的方差分别为c和d，则c与d的大小关系为：　 　 ． 题型六．四分位数 53．（2025秋•东城区校级期中）现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，112，则上四分位数是（　　） A．113 B．112 C．106 D．109 54．（2025•芜湖三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称”较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数．九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为：165、182、136、112、145、171、155、93．这组数据中第一四分位数是（　　） A．102.5 B．168 C．124 D．150 55．（2025秋•宁化县月考）定义：四分位数（Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数据由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数据就是四分位数．第一四分位数，又称“下四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第25%的数据；第二四分位数，又称“中位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第50%数据；第三四分位数，又称“上四分位数”，等于该样本中所有数据由小到大排列后第75%的数据．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数．现有一组数据分别为：106，113，96，98，100，102，104，111，则“下四分位数”是（　　） A．113 B．99 C．102 D．98 56．（2025秋•槐荫区期中）某校选拔14名学生参加济南市第一届运动会，测量心率的统计结果如下表所示： 心率/（次/分） 60 68 70 73 80 人数/名 2 3 4 4 1 则这组数据的下四分位数为　 　 ． 题型七．箱线图 57．将某组数据绘制成箱线图如图所示，则该组数据的上四分位数为（　　） A．140 B．150 C．163 D．180 58．（2025秋•雁塔区校级期末）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7～8月每天的最高温度数据进行分析．如图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（　　） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为31℃； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于35℃； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 59．（2025秋•市中区校级期末）箱线图是用来表示一组或多组数据分布情况的统计图，因形似箱子而得名．在箱线图中（如图①），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的上四分位数（75%分位数）和下四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图②为某地区2024年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重．则下面说法错误的是（　　） A．该地区2024年5月有严重污染天气 B．该地区2024年6月的AQI值比5月的AQI值集中 C．该地区2024年5月的AQI值比6月的AQI值集中 D．从整体上看，该地区2024年5月的空气质量略好于6月 60．【定义】把一组数据从小到大排序，用m表示中位数，则m把这组数据分为两部分，依次记为S和T．用a和b分别表示S和T的中位数，则所有数据中小于或等于a的占25%，小于或等于b的占75%．这样a，m，b把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数． 【应用】甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． （1）求甲组数据的四分位数a，m，b； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图． 【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法． 学科网（北京）股份有限公司 $