专题03数据分析初步（期中复习讲义，12大题型）八年级数学下学期新教材浙教版

专题03 数据分析初步（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求平均数 题型02利用平均数求未知数 题型03计算加权平均数 题型04利用平均数做决策 题型05求众数、中位数 题型06用众数、中位数做决策 题型07求方差 题型08根据方差做判断 题型09求标准差 题型10求四分位数 题型11画箱型图 题型12选择合适统计量做决策 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求平均数 掌握平均数的定义和计算方法，能解决日常生活中的问题。 常考平均数计算，特别是在处理实际数据时，考查基本的运算能力。 利用平均数求未知数 学会通过平均数来求解未知数，能够进行简单的应用题分析。 利用平均数求未知数是考查基本应用能力的常见题型，注重计算过程。 计算加权平均数 掌握加权平均数的计算方法，能够在加权问题中使用。 加权平均数常用于加权数据问题，考查学生对权重的理解与运用。 利用平均数做决策 能够根据具体情况合理使用平均数进行决策，理解其适用场景。 利用平均数做决策常考查学生的实际应用能力，特别是在决策问题中。 求众数、中位数 理解众数和中位数的定义及其计算方法，能够解决相关问题。 众数与中位数常考查学生对数据分布的基本理解，尤其是在分析数据时。 用众数、中位数做决策 学会利用众数、中位数做出科学决策，并理解其局限性。 用众数、中位数做决策常见于实际问题中，考查学生的决策能力与数据的适用性。 求方差 掌握方差的定义及其计算，能够运用方差分析数据的离散程度。 方差问题考查学生对数据离散度的敏感度，能够判断数据的波动性。 根据方差做判断 能够根据方差的大小判断数据的离散性，掌握相关的推理技巧。 根据方差做判断考查学生的推理与数据分析能力，尤其是对数据离散性的理解。 求标准差 掌握标准差的计算方法，能通过标准差衡量数据的离散度。 标准差问题考查学生对数据波动性的敏感度，能够通过标准差做出判断。 求四分位数 理解四分位数的概念，能够计算并分析数据的四分位信息。 四分位数计算是常考的统计量，主要用来分析数据的集中趋势和分布情况。 画箱型图 能够利用箱型图直观展示数据的分布和趋势，掌握箱型图的应用。 箱型图的画法和分析是考查数据分布的直观能力，常考数据的集中和离散情况。 选择合适的统计量做决策 能够根据不同的数据情况选择合适的统计量进行决策。 选择合适的统计量做决策考查学生对不同统计方法的理解与应用，尤其是在复杂数据分析中。 知识点01 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 知识点02 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 知识点03 众数、中位数 众数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 中位数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 知识点04 方差 极差 标准差 方差定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 知识点05 四分位数 箱型图 在箱型图中，四分位数用于显示数据的分布和集中趋势。四分位数将数据分为四个相等的部分，主要包括以下几个关键值： 第一四分位数 (Q1)：数据中25%的值。 第二四分位数 (Q2)：数据的中位数，即50%的值。 第三四分位数 (Q3)：数据中75%的值。 题型一 求平均数 【典例1】在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【变式1-1】三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩(   ) A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 【变式1-2】小红随机抽查她家6月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（　　） A．240度 B．270度 C．300度 D．320度 【变式1-3】小军周一至周日每天阅读时间变化情况如图所示，则他这7天平均每天的阅读时间是______小时． 题型二 利用平均数求未知数 【典例2】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【变式2-1】一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【变式2-2】若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【变式2-3】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 题型三 计算加权平均数 【典例3】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【变式3-1】学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（十分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占，音色和创意各占组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 9 k 小竹 8 9 9 若两位选手的评分相同，则表中的值为________ ． 【变式3-2】学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【变式3-3】在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【变式3-4】学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况：若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按的比例计算个人总分，请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部． 班长 团支部书记 学习委员 思想表现 24 26 28 学习成绩 26 24 26 工作能力 28 26 24 题型三 利用平均数做决策 【典例4】某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【变式4-1】小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【变式4-2】五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 (1)如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； (2)若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店． 【变式4-3】某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 题型五 求众数、中位数 【典例5】为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（   ） A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分 C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分 【变式5-1】一组数据3，4，7，x，y，13中，唯一的众数是13，平均数是7，这组数据的中位数是（   ） A． B．5 C． D．7 【变式5-2】智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； (2)该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【变式5-3】为了了解全校学生对学校食堂餐饮服务的满意程度，学校对七、八年级学生进行了问卷调查。现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的问卷，对食堂餐饮服务满意度的评分进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的七年级学生的评分数据中“满意”包含的所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87， 87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 七、八年级所抽学生对食堂满意度统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对学校食堂餐饮服务满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1600名学生，请估计该校七、八年级学生对学校食堂餐饮服务非常满意（）的学生共有多少人． 【变式5-4】根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 题型六 用众数、中位数做决策 【典例6】某校组织全体学生参加了以“培育气度，激励自信，陶冶人格，塑造灵魂”为主题的云南省第六届“彩云杯”中华优秀传统文化节网上知识竞赛（满分100分），其中九年级甲班学生的成绩统计如表： 分数段 频数 3 3 8 10 16 其中成绩在分数段的是：80，82，83，84，85，85，87，87，88，89． 结合上述信息解答下列问题： (1)本次知识竞赛中，甲班成绩不低于70分的人数是________，中位数是________；甲班成绩在分数段的平均数是________； (2)本次知识竞赛中，甲班的甲同学和乙班的乙同学的成绩都是87分，乙班40名学生成绩的中位数是89，判断甲乙两位同学在各自班级的排名谁更靠前，并说明理由． 【变式6-1】人形机器人的表现让人们深切感受到了人工智能的飞速发展．开学初，某学校为了解该校学生对人形机器人的了解程度，对全校学生进行测试，现从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息． 八年级被抽取的学生测试得分中B组的所有数据为88，88，85，88，88，84，89，88． 七年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 A B 8 C 3 D 2 E 3 八年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 七年级 78分 87分 84分 八年级 78分 分 c分 请根据以上提供的信息，解答下列问题． (1)上述图表中，_____，_____，_____； (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生对人形机器人的了解程度较好？请说明理由； (3)测试中等级为B及B以上说明学生对人形机器人的了解程度就达标．该校七、八年级共有学生2400人，估计该校七、八年级中达标的学生共有多少人？ 【变式6-2】某学校在八、九年级学生中各随机抽取名学生对每月的工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用表示，共分成四组，．；．；．；．）．下面给出了部分信息： 八年级名学生每月使用次数分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生每月使用次数在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 20 20 中位数 20 众数 28 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生每月工具使用次数较多？请说明理由； (3)若该校八、九年级学生共有名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月工具使用次数不低于次的学生总人数． 【变式6-3】一分钟跳绳是近年来全国多地中考体育考试的项目之一．我校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的男生跳绳个数在C组的数据是：181，187，188，188，189，181 Ⅱ．被抽取的女生跳绳个数在C组的数据是：181，184，184，184，184，184，188，188 Ⅲ．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 184 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；_____；_____； (2)根据以上数据分析，你认为该校八年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 【变式6-4】启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【变式6-5】为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 5.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)补全条形统计图； (3)如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有___________人； (4)从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 题型七 求方差 【典例7】小明的妈妈在网上销售某装饰品．最近一周，每天销售该装饰品的个数为：．则这组数据的方差是______． 【变式7-1】某校为选拔一名学生参加市级创意编程比赛，举行了5次校内选拔赛．甲、乙、丙三名候选学生在5次选拔赛中的成绩如下： 甲：8，10，8，9，9； 乙：7，9，9，10，9； 丙：8，10，8，8，10． 根据以上信息，分析三名学生的得分情况如下表： 学生 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 8.8 9 8和9 乙 8.8 9 9 0.96 丙 8.8 8 0.96 (1)求表中的值； (2)你认为选派哪位学生参加市级比赛更合适？请说明理由． 【变式7-2】为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理． 下面给出了部分信息： 50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表 唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差 甲 92 94 87 92 90 91 乙 94 92 82 99 88 32.8 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组； (2)在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是_____； (3)填空：表格中的值为__________，的值为__________； (4)请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由． 【变式7-3】为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 题型八 根据方差做判断 【典例8】已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【变式8-1】为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【变式8-2】某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对抽取的学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】甲班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生的竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩统计表． 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：_____，_____，__________（填“”“”或“”）． (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩比较好，并简要说明理由． 【变式8-3】某校为了选拔参加市数学素养比赛的选手，对甲、乙、丙、丁四名同学最近10次数学素养测试成绩（单位：分，满分150分）的数据进行整理，部分信息如下： 信息1：甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如图所示： 信息2：丙同学10次测试成绩：128，124，129，128，125，128，127，124，128，129． 信息3：四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 125 a b 3.1 乙 c 124.5 124 d 丙 127 128 128 3.7 丁 125 124 126 3.1 (1)补全上表中空缺的统计量：______，______； (2)表中d______3.1（填“”“”或“”）； (3)按如下方式评估这四名选手的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差均相等，则测试成绩大于或等于平均数的次数较多者实力更强．根据这10次测试成绩，评估这四名选手的实力由强到弱依次为：____________． 【变式8-4】面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 题型九 求标准差 【典例9】计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-1】一组数据：2，x，1，3，5，4．若这组数据的中位数是3，则这组数据的标准差是______． 【变式9-2】在一次体育测试中，4名男生引体向上的成绩（单位：次）分别为9，11，5，7，则这组数据的方差是________，标准差是________． 【变式9-3】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【变式9-4】已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 题型十 求四分位数 【典例10】祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【变式10-1】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【变式10-2】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【变式10-3】求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 题型十一 画箱型图 【典例11】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【变式11-1】某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【变式11-2】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【变式11-3】综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】广东河源市连平县的鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下： 56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101 2号桃树水蜜桃直径数据如下： 62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如下表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 (1)a的值为________，b的值为________； (2)小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整； (3)请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类． 题型十二 选择合适的统计量做决策 【典例12】当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b (1)求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； (2)张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； (3)上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 【变式12-1】王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 王华 80 a 80 b 张伟 80 85 90 260 则______，______． (2)若将90分以上（含90分）的成绩评为优秀，请通过计算判断两位同学优秀率高低． (3)现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你会选择谁？说说你的理由． 【变式12-2】某校为了解学生体育锻炼情况，从甲、乙两班各随机抽取10名学生进行问卷调查及体育质量检测．名学生的体育测试成绩（满分分）以及每周课外锻炼时间的统计数据如下表所示： 20名学生测试成绩数据分析表 统计量班级 成绩平均数 成绩方差 成绩中位数 成绩众数 甲班 乙班 20名学生体育测试成绩与每周课外锻炼时间统计表 甲班10名学生成绩（分） 甲班学生锻炼时间（小时） 乙班10名学生成绩（分） 乙班学生锻炼时间（小时） 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1) ， ； (2)甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于（不包括）小时的人数； (3)结合统计量分析每周课外锻炼时间与学生成绩之间的相关程度． 【变式12-3】随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． (1)补全条形统计图； (2)若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； (3)通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）一组数据：1，1，2，3，2，1．这组数据的众数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1.5 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据，，，，的中位数为，则（　　） A． B． C． D． 3.（25-26八年级上·山东泰安·期中）某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： 助手 评分（满分100） 88 豆包 85 腾讯元宝 84 夸克 85 评分的众数和中位数分别是（    ） A．84， B．85，85 C．85， D．85，86 4.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 5.（25-26九年级上·重庆·期中）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，凤中教共体学校组织七、八年级学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该教共体学校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理（共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），成绩在90以上（含90分）为优秀．下面给出了部分信息： 七年级两组同学的成绩分别为：94，93，93，93，90，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 93 八年级 88 88 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，______，_______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 2.（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 3.（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 4.（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 5.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数据分析初步（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01求平均数 题型02利用平均数求未知数 题型03计算加权平均数 题型04利用平均数做决策 题型05求众数、中位数 题型06用众数、中位数做决策 题型07求方差 题型08根据方差做判断 题型09求标准差 题型10求四分位数 题型11画箱型图 题型12选择合适统计量做决策 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 求平均数 掌握平均数的定义和计算方法，能解决日常生活中的问题。 常考平均数计算，特别是在处理实际数据时，考查基本的运算能力。 利用平均数求未知数 学会通过平均数来求解未知数，能够进行简单的应用题分析。 利用平均数求未知数是考查基本应用能力的常见题型，注重计算过程。 计算加权平均数 掌握加权平均数的计算方法，能够在加权问题中使用。 加权平均数常用于加权数据问题，考查学生对权重的理解与运用。 利用平均数做决策 能够根据具体情况合理使用平均数进行决策，理解其适用场景。 利用平均数做决策常考查学生的实际应用能力，特别是在决策问题中。 求众数、中位数 理解众数和中位数的定义及其计算方法，能够解决相关问题。 众数与中位数常考查学生对数据分布的基本理解，尤其是在分析数据时。 用众数、中位数做决策 学会利用众数、中位数做出科学决策，并理解其局限性。 用众数、中位数做决策常见于实际问题中，考查学生的决策能力与数据的适用性。 求方差 掌握方差的定义及其计算，能够运用方差分析数据的离散程度。 方差问题考查学生对数据离散度的敏感度，能够判断数据的波动性。 根据方差做判断 能够根据方差的大小判断数据的离散性，掌握相关的推理技巧。 根据方差做判断考查学生的推理与数据分析能力，尤其是对数据离散性的理解。 求标准差 掌握标准差的计算方法，能通过标准差衡量数据的离散度。 标准差问题考查学生对数据波动性的敏感度，能够通过标准差做出判断。 求四分位数 理解四分位数的概念，能够计算并分析数据的四分位信息。 四分位数计算是常考的统计量，主要用来分析数据的集中趋势和分布情况。 画箱型图 能够利用箱型图直观展示数据的分布和趋势，掌握箱型图的应用。 箱型图的画法和分析是考查数据分布的直观能力，常考数据的集中和离散情况。 选择合适的统计量做决策 能够根据不同的数据情况选择合适的统计量进行决策。 选择合适的统计量做决策考查学生对不同统计方法的理解与应用，尤其是在复杂数据分析中。 知识点01 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 知识点02 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 知识点03 众数、中位数 众数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 中位数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 知识点04 方差 极差 标准差 方差定义：在一组数据，，…，中，各个数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差，记作.计算公式是：. 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 极差定义：一组数据中最大值减去最小值的差叫做极差. 【注意】极差是由数据中的两个极端值所决定的,当个别极端值远离其他数据时，极差往往不能反映全体数据的实际波动情况. 标准差定义：方差的算术平方根,即 【补充】标准差也是用来描述一组数据波动的情况,常用来比较两组数据波动的大小. 知识点05 四分位数 箱型图 在箱型图中，四分位数用于显示数据的分布和集中趋势。四分位数将数据分为四个相等的部分，主要包括以下几个关键值： 第一四分位数 (Q1)：数据中25%的值。 第二四分位数 (Q2)：数据的中位数，即50%的值。 第三四分位数 (Q3)：数据中75%的值。 题型一 求平均数 【典例1】在某次演讲比赛中，八个评委给选手健健打分，得到八个互不相等的分数，若去掉一个最高分，平均分为；若去掉一个最低分，平均分为；若去掉一个最高分与一个最低分，平均分为．则(        )． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义． 【详解】解：由题意可得，若去掉一个最高分，平均分为，则此时的一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 去掉一个最低分，平均分为，则此时的一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为， 故， 故选：A． 【变式1-1】三个同学某次测验得分情况是：小云得了分，小雨得了分，小月比小雨成绩好，但不超过分成绩均为整数．估计这三人的平均成绩(   ) A．在分以下 B．在分以上 C．可能等于分 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了求平均数；由于小月比小雨成绩好，不超过分，分别假设小月得分、分、分，再分别求出三人的平均成绩，然后结合求得的平均成绩进行分析即可得出答案． 【详解】解：假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 假设小月得分，则平均成绩为： 分 经过以上计算可得这三人的平均成绩大于分不超过分，可能等于分． 故选：C． 【变式1-2】小红随机抽查她家6月份中某5天的日用电量（单位：度），结果为：9，11，7，10，8．根据这些数据，估计她家6月份的用电量为（　　） A．240度 B．270度 C．300度 D．320度 【答案】B 【分析】先计算5天的平均日用电量，再乘以6月份的天数30，即可得到总用电量的估计值． 本题考查用样本平均数估计总体，正确计算平均数是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得（度）， 故6月份有30天，总用电量估计为：（度）， 故选：B． 【变式1-3】小军周一至周日每天阅读时间变化情况如图所示，则他这7天平均每天的阅读时间是______小时． 【答案】 【分析】从统计图中得到数据，再利用平均数公式进行计算即可. 【详解】解：由折线统计图知，这7天平均每天的阅读时间为： （小时）. 题型二 利用平均数求未知数 【典例2】小明期末考试语、数、英三科的平均分为92分，他只记得语文是88分，英语是95分，则小明数学考了（    ） A．93分 B．95分 C．92分 D．94分 【答案】A 【分析】本题考查平均数的应用，利用平均数公式求出三科总分，再减去已知的语文和英语分数即可得到数学成绩． 【详解】∵三科平均分为92分 ∴三科总分为（分）， ∵语文是88分，英语是95分 ∴数学成绩（分）． 【变式2-1】一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【答案】12 【分析】根据算术平均数的定义列方程求解即可． 【详解】解： 一组数据，，，，的平均数是， ， 解得 ． 【变式2-2】若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某校开展主题为“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”的征文比赛评委从征文的文学价值、思想深度、表达技巧三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，进入决赛的前三名选手需要确定名次（不能并列），他们的单项成绩如表所示： 选手 文学价值 思想深度 表达技巧 平均分 甲 86 a 80 80 乙 82 80 90 84 丙 80 85 81 b (1)_________， _________； (2)如果评委将文学价值、思想深度、表达技巧的成绩按照的比例确定，以此计算三名选手的平均成绩（百分制）并确定谁是第一名． 【答案】(1)74；82 (2)乙选手是第一名． 【详解】（1）解：由题意得，解得， ； （2）解：甲选手：； 乙选手：； 丙选手：； ∵， ∴乙选手是第一名． 题型三 计算加权平均数 【典例3】某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 【变式3-1】学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（十分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占，音色和创意各占组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 9 k 小竹 8 9 9 若两位选手的评分相同，则表中的值为________ ． 【答案】 【分析】根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分和小兰的最终得分，由两位选手的评分相同列方程即可得解． 【详解】解：根据题意得， 解得， 表中的值为9． 【变式3-2】学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 【变式3-3】在学校举行的一次广播操比赛中，八年级三个班的各项得分（单位：分）如表． 班别 服装统一 动作整齐 动作标准 八（1）班 80 84 85 八（2）班 97 78 80 八（3）班 90 77 85 (1)根据表中信息，三个班得分的平均数分别是________ 、________、________． (2)如果服装统一、动作整齐、动作标准三方面的重要性分别占，，，求这三个班的成绩排名顺序． (3)在（2）的条件下，你对三个班级中排名最后的班级有何建议？ 【答案】(1)83，85，84 (2)八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名 (3)加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础 【分析】（1）按算术平均数的计算方法计算即可； （2）按加权平均数的计算方法计算再比较大小即可； （3）根据各数据给出合理建议即可，答案不唯一． 【详解】（1）解：八（1）班的平均分为：83（分）， 八（2）班的平均分为：85（分）， 八（3）班的平均分为：84（分）， 故答案为：83，85，84； （2）解：八（1）班的加权成绩（分）， 八（2）班的加权成绩（分）， 八（3）班的加权成绩（分）， ， ∴八（1）班获得第一名，八（3）班获得第二名，八（2）班获得第三名； （3）解：加强动作标准方面的训练，才是提高成绩的基础． 【变式3-4】学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况：若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按的比例计算个人总分，请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部． 班长 团支部书记 学习委员 思想表现 24 26 28 学习成绩 26 24 26 工作能力 28 26 24 【答案】班长应当选，见解析 【分析】根据三项成绩的不同权重，分别计算三人的成绩，再比较即可解答． 【详解】解：班长的成绩分， 团支部书记的成绩分， 学习委员的成绩分， ∵， ∴班长应当选． 题型三 利用平均数做决策 【典例4】某公司需要经常快递物品，准备从A、B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A、B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 n 88 (1)求表格中m、n的值，并以此为依据，请判断哪家平台服务态度更好； (2)如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】(1)，，平台A的服务态度更好； (2)该公司会选择平台B． 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． （1）根据算术平均数公式计算，即可求解； （2）根据加权平均数计算，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∵， ∴平台A的服务态度更好； （2）解：平台A的得分分， 平台B的得分分， ∵， ∴该公司会选择平台B． 【变式4-1】小明家准备购置一辆电动小汽车，根据家庭需求决定在甲，乙两种型号中选择一款，他们查阅了某权威机构对这两台汽车的评分如下表（单项评分满分10分）： 型号 外观 配置 舒适性 安全性 甲 7 8 6 9 乙 9 8 7 7 (1)若通过平均分来确定最终评分，小明会选择___________型号的小汽车？（填“甲”或“乙”） (2)小明一家人认为各项都有不同的“重要程度”，大家商定外观、配置、舒适性和安全性按的比例来确定最终的选择．你认为小明家会选择哪个型号的小汽车？请通过计算说明． 【答案】(1)乙 (2)甲 【分析】本题考查了平均数和加权平均数： （1）分别求出甲乙的平均分，比较大小即可作答； （2）用加权平均数公式计算． 【详解】（1）解：甲的平均分：， 乙的平均分：， ， 小明会选择乙型号的小汽车． 故答案为：乙． （2）解：甲的加权平均分为， 乙的加权平均分为， ， 小明会选择甲型号的小汽车． 【变式4-2】五一假期，小红与家人计划一同前往榕江观看“村超”．为了选择一个最合适的酒店，小红对甲、乙、丙三个酒店进行了调查与评估、她依据实际需要，从安全保障、价格、地理位置和住宿条件四项对每个酒店评分（10分制）、三个酒店的得分如表所示： 酒店 安全保障 价格 地理位置 住宿条件 甲 7 7 9 8 乙 8 6 7 9 丙 7 7 7 8 (1)如果小红认为四项同等重要，按的比确定最终得分，通过计算回答：小红会选择哪家酒店； (2)若四项得分所占百分比如扇形统计图所示，通过计算回答：小红会选择哪家酒店． 【答案】(1)甲 (2)乙 【分析】（1）根据平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可； （2）根据加权平均数的计算方法分别求出甲、乙、丙三个酒店的综合得分即可． 【详解】（1）解： 四项同等重要，按的比确定最终得分， 酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店甲； （2）解：酒店甲得分为：， 酒店乙得分为：， 酒店丙得分为：． ， 小红会选择酒店乙． 【变式4-3】某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 题型五 求众数、中位数 【典例5】为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（   ） A．m的值是3 B．20个分数中，最高分是90分 C．20个分数中，中位数是85分 D．20个分数中，众数是70分 【答案】C 【分析】用总人数减去4、6、8可得的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D． 【详解】解：A、，不是3，故选项A错误； B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误； C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为（分），故选项C正确； D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误． 【变式5-1】一组数据3，4，7，x，y，13中，唯一的众数是13，平均数是7，这组数据的中位数是（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】C 【分析】先根据众数的定义确定的值，再将数据排序，根据中位数的定义求出中位数，进而分析选项． 【详解】解：这组数据的众数是13， 或或二者同时为13， ∵平均数是7， ∴当时，， 解得：， ∴这组数据重新排列后为：2，3，4，7，13，13， 中位数为：． 同理，当时，求得：， ∴这组数据重新排列后为：2，3，4，7，13，13， 中位数为：． 两数都为13时，不符合题意， ∴中位数为． 【变式5-2】智启未来，创想无限．为促进人工智能的学习和运用，学校在七、八年级学生中开展了人工智能知识与技能竞赛活动，并从七、八年级学生中各随机抽取了30名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制，均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．），下面统计出了部分信息：七年级30名学生竞赛成绩在C组中的数据：83，83，83，86，87，88，88，88，88，89． 七、八年级成绩数据统计表 年级 七年级 八年级 平均数 83.9 83.9 中位数 m 84 众数 78 84 根据以上信息，解答下列问题： (1)请补全七年级成绩数据条形统计图，在七、八年级成绩数据统计表中，m＝______； (2)该校七年级有学生300人，八年级有学生270人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有多少人？ (3)根据以上数据，你认为七、八年级中哪个年级学生人工智能知识与技能竞赛成绩较好？并请说出一条理由． 【答案】(1)见解析； (2) (3)该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见解析 【分析】（1）根据题意，先得到A组的人数并补全条形统计图，根据中位数的概念求； （2）利用样本估计总体进行求解即可； （3）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果． 【详解】（1）解：七年级A组有（人）， 补全七年级成绩数据条形统计图如下： 30人成绩数据从小到大第15、16位的均值， ； （2）解：由条形统计图可知七年级80分以上的有人， 故七年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 由扇形统计图可知八年级80分以上的占， 故八年级竞赛成绩不低于80分的学生有（人）， 答：该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于80分的学生人数共有359人； （3）解：该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是， 但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数， 且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生人工智能知识与技能竞赛的成绩较好； 【变式5-3】为了了解全校学生对学校食堂餐饮服务的满意程度，学校对七、八年级学生进行了问卷调查。现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名同学的问卷，对食堂餐饮服务满意度的评分进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：抽取的七年级学生的评分数据中“满意”包含的所有数据：89，85，85，87，87，83； 抽取的八年级学生的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87， 87，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 七、八年级所抽学生对食堂满意度统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 88 a 96 八年级 88 87 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生对学校食堂餐饮服务满意度更高？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级共有1600名学生，请估计该校七、八年级学生对学校食堂餐饮服务非常满意（）的学生共有多少人． 【答案】(1)88，98，45 (2)见解析 (3)680 【分析】（1）所以先根据扇形统计图算出七年级各等级人数，结合已知的“满意”人数，将20个数据排序后取中间两个数的平均值得到中位数；统计八年级评分数据中出现次数最多的数值即可确定八年级众数；用1减去不满意、比较满意、满意的百分比之和，再转化为对应数值即可求m． （2）可以从平均数、中位数、众数、各等级占比等统计量入手，选择一个能体现满意度差异的统计量进行分析． （3）先分别算出七、八年级样本中非常满意的人数占比，再用总人数1600乘以两个年级非常满意人数的总占比． 【详解】（1）七年级共抽取20人，“满意”有6个数据，占比， ∴，得， 七年级：不满意共人，比较满意共人， ∴前5个数是不满意和比较满意，第6~11位都是“满意”数据； 将满意数据从小到大排列：， 对应第10位是87，第11位是89，中位数． 八年级20个数据中，98出现4次，次数最多， ∴众数． （2）七年级学生对食堂的满意度更高， 理由：七、八年级满意度评分的平均数相同，七年级的中位数高于八年级的中位数，说明七年级整体评分更高，因此满意度更高． （3）抽取的40名学生中，非常满意的人数为：七年级人，八年级共8人， 总非常满意人数为． ∴（人） 答：估计该校七、八年级非常满意的学生共有人． 【变式5-4】根据以上信息，回答下列问题： (1)10名工人的日均生产件数的众数是______，10名工人的日均生产件数的中位数是______； (2)计算10名工人的日均生产件数的平均数； (3)若要使占的工人都能完成任务，应选什么统计量（平均数，中位数、众数）做日生产件数的定额？说明理由． 【答案】(1)13；12 (2)11件 (3)应选中位数或平均数，理由见解析 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）利用加权平均数公式计算即可； （3）根据中位数、平均数和众数分别计算出能完成任务的工人所占百分比即可进行判断． 【详解】（1）解：∵13出现了4次，出现的次数最多， ∴众数是13； 把这些数从小到大排列为：8，8，8，10，12，12，13，13，13，13，排在第5个数和第6个数的平均数即为中位数， 则中位数是． （2）解：10名工人的日均生产件数的平均数为（件）， 答：10名工人的日均生产件数的平均数为11件． （3）解：若要使占的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额，理由如下： 若选中位数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 若选平均数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 若选众数作为日生产件数的定额，则能完成任务的工人所占百分比为； 所以若要使占的工人都能完成任务，应选中位数或平均数作为日生产件数的定额． 题型六 用众数、中位数做决策 【典例6】某校组织全体学生参加了以“培育气度，激励自信，陶冶人格，塑造灵魂”为主题的云南省第六届“彩云杯”中华优秀传统文化节网上知识竞赛（满分100分），其中九年级甲班学生的成绩统计如表： 分数段 频数 3 3 8 10 16 其中成绩在分数段的是：80，82，83，84，85，85，87，87，88，89． 结合上述信息解答下列问题： (1)本次知识竞赛中，甲班成绩不低于70分的人数是________，中位数是________；甲班成绩在分数段的平均数是________； (2)本次知识竞赛中，甲班的甲同学和乙班的乙同学的成绩都是87分，乙班40名学生成绩的中位数是89，判断甲乙两位同学在各自班级的排名谁更靠前，并说明理由． 【答案】(1)34；86；85； (2)甲同学在甲班的排名更靠前，理由见解析． 【分析】（1）根据表中数据可得出甲班成绩不低于70分的人数；根据表中数据可知共有40名同学参加比赛，故中位数应该是学生成绩按照从小到大第20名与第21名学生成绩的平均数即可求出中位数；将在分数段的数据代入平均数的公式计算即可； （2）由甲、乙各班的中位数及甲、乙两名学生的成绩进行分析即可得出结论． 【详解】（1）解：由表中数据可知甲班成绩不低于70分的人数是(人)； 由表中数据可知共有40名同学参加比赛，故中位数应该是学生成绩按照从小到大第20名与第21名学生成绩的平均数，可知第20名与第21名学生的成绩分别为85，87，故中位数为； 甲班成绩在分数段的平均数是(分)； （2）解：甲同学在甲班的排名更靠前．理由如下： 甲同学成绩87分大于甲班中位数86分，说明其名次在甲班前一半（即前20名之内），乙同学成绩87分小于乙班中位数89分，其名次在乙班第20名以后， 甲同学在甲班的排名更靠前． 【变式6-1】人形机器人的表现让人们深切感受到了人工智能的飞速发展．开学初，某学校为了解该校学生对人形机器人的了解程度，对全校学生进行测试，现从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息． 八年级被抽取的学生测试得分中B组的所有数据为88，88，85，88，88，84，89，88． 七年级被抽取学生测试得分统计表 组别 分数/分 频数 A B 8 C 3 D 2 E 3 八年级被抽取学生测试得分扇形统计图 平均数 众数 中位数 七年级 78分 87分 84分 八年级 78分 分 c分 请根据以上提供的信息，解答下列问题． (1)上述图表中，_____，_____，_____； (2)根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生对人形机器人的了解程度较好？请说明理由； (3)测试中等级为B及B以上说明学生对人形机器人的了解程度就达标．该校七、八年级共有学生2400人，估计该校七、八年级中达标的学生共有多少人？ 【答案】(1) (2)八年级学生对人形机器人的了解程度较好，理由见解析 (3)1380 【分析】（1）用抽查总数分别减去其它4组的频数可得a；再确定八年级其它各组的人数，并结合众数的定义解答；将数据重新排列根据中位数的定义解答； （2）根据中位数作出决断即可； （3）用总人数乘以B以及B以上所占的百分比可得答案． 【详解】（1）解：； 八年级C，D，E组的频数分别为， B组中88出现5次，次数最多，所以众数分； 将八年级B组的数据重新排列为84,85,88,88,88,88,88,89， 八年级C，D，E组的频数和是， 所以中位数（分）； （2）解：因为七年级和八年级的平均分相同，八年级的中位数大，所以说明八年级学生的高分人数要多于七年级学生，所以八年级学生对人形机器人的了解程度较好； （3）解：， 所以该校七，八年级中达标的学生共有1380人． 【变式6-2】某学校在八、九年级学生中各随机抽取名学生对每月的工具使用次数进行整理、描述和分析（次数用表示，共分成四组，．；．；．；．）．下面给出了部分信息： 八年级名学生每月使用次数分别是：，，，，，，，，，． 九年级名学生每月使用次数在组中的数据是：，，，． 八、九年级抽取的学生每月使用次数统计表 年级 八年级 九年级 平均数 20 20 中位数 20 众数 28 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)你认为该校八、九年级中哪个年级学生每月工具使用次数较多？请说明理由； (3)若该校八、九年级学生共有名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生每月工具使用次数不低于次的学生总人数． 【答案】(1)，， (2)九年级，见解析 (3)1540人 【分析】（1）根据众数的定义，找出八年级个数据中出现次数最多的数，即为的值．根据九年级组数据的个数，计算其占总人数的百分比，得到的值．先根据扇形统计图求出九年级、、、四组的人数，再结合中位数的定义得到中位数． （2）从平均数、中位数、众数或数据分布等角度，对比八、九年级学生的使用次数，给出判断并说明理由． （3）先分别计算出八、九年级样本中使用次数不低于次的学生人数占比，再用总人数乘以该占比，得到估计的总人数． 【详解】（1）解：八年级名学生每月使用次数为：，，，，，，，，，， 数据出现的次数最多， ； 九年级组有个数据，总人数为， ， ； 九年级组占，人数为；组占，人数为；组人数为， 组人数为， ，在组中的数据是：，，，， 将九年级个数据从小到大排序后第5、6个数据分别为：，， 中位数； （2）解：九年级学生每月工具使用次数更多，理由如下： 两个年级学生每月工具使用次数的平均数相同，但九年级的中位数大于八年级的中位数，且九年级的众数大于八年级的众数， 九年级学生每月工具使用次数更多； （3）解：， 答：估计该校八，九年级学生每月工具使用次数不低于次的学生总人数为人． 【变式6-3】一分钟跳绳是近年来全国多地中考体育考试的项目之一．我校为了解八年级学生一分钟跳绳情况，现从八年级男女生中各随机抽取了20名学生进行一分钟跳绳测试，这些学生的跳绳个数记为，对数据进行整理，将所得的数据分为5组（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）．学校对数据进行分析后，得到如下部分信息： Ⅰ．被抽取的男生跳绳个数在C组的数据是：181，187，188，188，189，181 Ⅱ．被抽取的女生跳绳个数在C组的数据是：181，184，184，184，184，184，188，188 Ⅲ．被抽取的男、女生跳绳个数的平均数、中位数、众数如下表： 男生 女生 平均数 186 186 中位数 184 众数 179 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____；_____；_____； (2)根据以上数据分析，你认为该校八年级的男生跳绳成绩更优异，还是女生跳绳成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数（一分钟跳绳达185个及以上即满分）． 【答案】(1)，， (2)女生成绩更优异，理由见解析 (3)680人 【分析】（1）根据中位数的定义即可计算a，先求出女生C组所占百分比，即可求出m；再根据众数的定义即可计算b； （2）根据平均数、中位数、众数判断即可； （3）用1600乘以八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数所占百分比可得． 【详解】（1）解：男生20名学生跳绳个数从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为：（个）， 因此中位数是181，即， 女生C组所占百分比为，则B组所占百分比为， ∴， 女生20名学生跳绳个数184共出现5次占总数的，比其他组人数都多，因此女生跳绳个数出现次数最多的是184，中位数是184，即； （2）解：平均数男女生都一样，但是中位数和众数都是女生更高，故女生成绩更优异； （3）解：女生满分人数为（人）， 男生满分人数为（人）， ∴该校八年级学生共1600名，估计八年级学生跳绳个数达到了满分标准的人数为（人）． 【变式6-4】启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛． 【数据整理】 小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图： 【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析： 平均数 中位数 众数 甲组 8 8 乙组 7.5 9 【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____． (2)小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由； (3)小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可） 【答案】(1)7.5；8 (2)乙，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数、众数的定义即可解答； （2）根据中位数的定义即可解答； （3）从两组成绩的众数角度进行分析即可解答． 【详解】（1）解：乙组学生成绩从低到高排列，处于第4、5位的分别是7、8，则乙组的中位数； 甲组学生成绩8分学生数最多，故甲组的众数； （2）解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生； （3）解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面． 【变式6-5】为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了40名男生引体向上项目的测试成绩（引体向上次数）． 【整理描述数据】根据抽查的测试成绩，绘制出了如下统计图． 【分析数据】样本数据的平均数、中位数、众数如下表： 平均数 中位数 众数 5.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)___________，___________； (2)补全条形统计图； (3)如果规定男生引体向上6次及6次以上，该项目成绩良好，若该校八年级有男生500人，估计该校男生该项目成绩良好的约有___________人； (4)从平均数、中位数、众数中，任选一个统计量，解释其在本题中的意义． 【答案】(1)6，5 (2)见解析 (3)275 (4)见解析 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，平均数、中位数、众数的概念；掌握样本估计总体的计算方法是解决问题的前提． （1）根据中位数与众数的定义即可求解； （2）先利用引体向上为8次的所占百分比乘以总的调查人数得到引体向上为8次的人数，即可补全条形图； （3）引体向上6次及6次以上的人数所占比例乘以300即可得出结果； （4）根据平均数、中位数、众数的概念说明即可． 【详解】（1）解：将调查的数据从小到大排列，位于第20和21的数据都是6， ， 调查的数据中，引体向上个数为5个的人数最多， ， 故答案为：6，5； （2）解：引体向上为8次的人数为：（人） 补图如图所示． （3）解：（人） （4）解：从平均数来看，估计该校八年级男生引体向上的平均次数是5.8； 从中位数来看，估计该校八年级至少有一半男生引体向上次数不少于6次； 从众数来看，估计该校八年级男生引体向上次数5次的人数最多． 题型七 求方差 【典例7】小明的妈妈在网上销售某装饰品．最近一周，每天销售该装饰品的个数为：．则这组数据的方差是______． 【答案】/ 【分析】先计算这组数据的平均数，再根据方差的计算公式计算这组数据的方差即可. 【详解】解：首先计算这组数据的平均数， ， 根据方差公式， 代入数据计算得： 【变式7-1】某校为选拔一名学生参加市级创意编程比赛，举行了5次校内选拔赛．甲、乙、丙三名候选学生在5次选拔赛中的成绩如下： 甲：8，10，8，9，9； 乙：7，9，9，10，9； 丙：8，10，8，8，10． 根据以上信息，分析三名学生的得分情况如下表： 学生 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 8.8 9 8和9 乙 8.8 9 9 0.96 丙 8.8 8 0.96 (1)求表中的值； (2)你认为选派哪位学生参加市级比赛更合适？请说明理由． 【答案】(1)， (2)选派甲同学参加市级比赛更合适，见解析 【分析】（1）根据中位数和方差的定义求解即可； （2）根据平均数和方差进行分析即可． 【详解】（1）解：将丙同学的成绩排列为8，8，8，10，10， ∴中位数， 甲的方差； （2）解：选派甲同学参加市级比赛更合适，理由： 甲、乙、丙三位同学的平均分相同，但甲的方差最小，成绩最稳定，故选甲同学参加市级比赛． 【变式7-2】为使学生更加了解家乡，热爱家乡，某市在全市中学中以“我为家乡代言”为主题开展了唱家乡民歌、讲家乡故事、做旅游方案、设计明信片、拍摄宣传片五项比赛．各学校均选派一支代表队积极参加，共有甲、乙等50支队伍参赛，每支队伍需要参加五项比赛．为了解参赛队伍的综合水平，将50支队伍各项成绩（成绩为百分制，均不低于60分）进行了统计整理． 下面给出了部分信息： 50支队伍讲家乡故事的成绩用表示，分成如下四组：第1组，第2组，第3组，第4组，绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 甲、乙两支队伍五项比赛成绩统计分析表 唱家乡民歌成绩（分） 讲家乡故事成绩（分） 做旅游方案成绩（分） 设计明信片成绩（分） 拍摄宣传片成绩（分） 五项成绩平均数（分） 方差 甲 92 94 87 92 90 91 乙 94 92 82 99 88 32.8 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图并判断这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数处于第_____组； (2)在扇形统计图中，第4组对应的圆心角度数是_____； (3)填空：表格中的值为__________，的值为__________； (4)请根据表格中的数据，从甲、乙两支队伍中推荐一支成绩稳定的队伍为家乡代言，说明理由． 【答案】(1)见解析，3 (2) (3)91，5.6 (4)甲队伍，理由见解析 【分析】（1）先由乘以第2组成绩的占比求出代表队数量，再由50减去其余组代表队的数量求解第4组代表队数量，即可补全频数分布直方图；再由中位数的定义求解中位数即可； （2）用乘以所对应的占比即可； （3）根据平均数、方差的计算公式求解即可； （4）根据方差的意义分析即可． 【详解】（1）解：第2组：，第4组： 补全频数分布直方图如下： 根据频数分布直方图，这50支队伍的讲家乡故事成绩的中位数为第支队伍成绩的平均数，由频数分布直方图可得中位数处于第3组； （2）解：在扇形统计图中，求“”对应的圆心角度数为； （3）解：； ， ∴m的值为91，n的值为5.6； （4）解：甲、乙两支队伍的各项成绩相比较，甲队伍的成绩波动较小，，因此甲队伍的各项成绩更稳定，因此甲队伍更适合为家乡代言． 【变式7-3】为响应习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某校举办了“绿水青山，生态文明”知识竞赛（竞赛每一项的满分均为分，学生得分均为整数）．在这次竞赛中张山与李仕两位同学表现优秀，并将他们的四项成绩绘制成如图所示的条形统计图根据统计图解答下列问题： (1)补充完成下表： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分2） 张山 李仕 (2)若实践操作、环保论文、现场抢答、笔试得分按的比例折合成综合得分，请通过计算说明哪位同学的综合得分更高． 【答案】(1)见解析 (2)张山综合得分更高 【分析】（1）由频数分布直方图得出张山和李仕四个项目的得分，再利用平均数、中位数、众数、方差的概念分别求解可得； （2）利用加权平均数的定义列式计算，从而得出答案． 【详解】（1）解：张山的成绩为∶， ∴张山成绩的中位数为（分）， 方差为； 李仕的成绩为， ∴李仕成绩的平均数为（分），众数为分； 补全表格如下： 姓名 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差（分²） 张山 9 9 9 李仕 9 10 （2）解：张山的综合得分为（分）； 李仕的综合得分为（分）； ∵， ∴张山的综合得分高． 题型八 根据方差做判断 【典例8】已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 【变式8-1】为备战第19届亚运会，甲、乙两名运动员进行射击训练，在相同的条件下，两人各射击10次，成绩如图所示，则运动员____________的成绩更加稳定． 【答案】乙 【分析】先分别求出甲、乙两名运动员的方差，然后比较两人成绩的方差即可，方差越小，成绩越稳定． 【详解】解：甲的平均成绩为：， 乙的平均成绩为：， 甲成绩的方差为：， 乙成绩的方差为：， ∵， ∴乙的成绩更加稳定． 【变式8-2】某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对抽取的学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】甲班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生的竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩统计表． 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：_____，_____，__________（填“”“”或“”）． (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩比较好，并简要说明理由． 【答案】(1)84，80， (2)甲班，理由见解析 【分析】（1）根据中位数、众数，以及成绩的波动情况即可得解； （2）根据平均数、方差以及优秀率分析即可． 【详解】（1）解：乙班8名学生的竞赛成绩从小到大排列为：56，75，79，83，85，90，90，100， 则中位数， 甲班8名学生的竞赛成绩中80分出现了3次，次数最多， 则众数， 由折线统计图可知，甲班竞赛成绩更稳定， 则； （2）解：甲班的竞赛成绩比较好． 理由如下：①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班的优秀率高于乙班，所以甲班的竞赛成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的竞赛成绩比较好．（答案不唯一） 【变式8-3】某校为了选拔参加市数学素养比赛的选手，对甲、乙、丙、丁四名同学最近10次数学素养测试成绩（单位：分，满分150分）的数据进行整理，部分信息如下： 信息1：甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如图所示： 信息2：丙同学10次测试成绩：128，124，129，128，125，128，127，124，128，129． 信息3：四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲 125 a b 3.1 乙 c 124.5 124 d 丙 127 128 128 3.7 丁 125 124 126 3.1 (1)补全上表中空缺的统计量：______，______； (2)表中d______3.1（填“”“”或“”）； (3)按如下方式评估这四名选手的实力强弱：首先比较平均数，平均数较大者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差均相等，则测试成绩大于或等于平均数的次数较多者实力更强．根据这10次测试成绩，评估这四名选手的实力由强到弱依次为：____________． 【答案】(1)； (2) (3)丙、甲、丁、乙 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据折线图判断波动性大小，即可得出结果； （3）根据题意，逐项比较，即可判断各同学实力强弱． 【详解】（1）解：甲同学成绩的10个数据排序为121，124，124，125，125，125，126，126，127，127，第5个和第6个数据均为125， 故； ； （2）解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ； （3）解：比较平均数：丙的平均数最大，实力最强，其他三位同学的平均数相同； 比较方差：甲、丁的方差比乙同学的方差小，所以乙同学的实力最弱； 比较中位数：甲的中位数为125，丁的中位数为124，而他们的平均数都为125，可得甲的成绩大于或等于平均数的次数多，所以甲的实力比丁的实力强， 综上，这四名选手的实力由强到弱依次为：丙、甲、丁、乙． 【变式8-4】面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 题型九 求标准差 【典例9】计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 【变式9-1】一组数据：2，x，1，3，5，4．若这组数据的中位数是3，则这组数据的标准差是______． 【答案】 【分析】本题考查了中位数和标准差，正确的计算是解题的关键． 先根据中位数的定义求出的值，再求出这组数据的平均数，最后根据标准差公式进行计算即可． 【详解】解：将数据除去后从小到大排列为 由中位数为3可知，排序后中间两数应为3和 ∵这组数据的中位数为， ∴， 解得：， ∴这组数据的平均数是， ∴这组数据的方差是：， ∴这组数据的标准差是：， 故答案为：． 【变式9-2】在一次体育测试中，4名男生引体向上的成绩（单位：次）分别为9，11，5，7，则这组数据的方差是________，标准差是________． 【答案】 5 【分析】本题主要考查方差和标准差，计算标准差需要先算出方差，标准差即方差的算术平方根，注意标准差和方差一样都是非负数，熟练掌握计算公式是解题关键． 先计算平均数，再计算方差，最后根据方差的算术平方根得出标准差． 【详解】∵数据9，11，5，7的平均数是： ∴方差是： ∴标准差是 故答案为：5，． 【变式9-3】已知2，3，5，m，n五个数据的方差是4，那么3，4，6，，五个数据的标准差是_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．先设原数据的平均数为，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而得出标准差． 【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为， 则原来的方差， 现在的方差 ， 所以方差不变，标准差为2． 故答案为：2． 【变式9-4】已知是方程组的解，求出数据1，2，5，a，b的标准差． 【答案】数据1，2，5，4，3的标准差为 【分析】根据是方程组的解建立关于，的方程组，求出，的值，再根据标准差的公式计算出标准差即可． 【详解】解：因为是方程组的解， 所以解得 因为数据1，2，5，4，3的平均数为， 所以方差为， 所以数据1，2，5，4，3的标准差为． 【点睛】本题考查了方差与标准差，解题的关键是根据题意建立方程组求出，的值以及熟练掌握标准差的求法公式． 题型十 求四分位数 【典例10】祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（　　） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据四分位数的定义计算对应位置，再通过累计频数确定位置对应的数字即可求解． 【详解】解：将个数字按从小到大排列，总共有个数据， 计算四分位数位置：第一四分位数位置为，取第、个数的平均数，第三四分位数位置为，取第、个数的平均数， 计算累计频数： ∵数字累计频数为，数字累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第一四分位数为， 继续计算累计频数到数字，可得累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第三四分位数为， 因此第一四分位数、第三四分位数为，． 【变式10-1】如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），箱体中部的“”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（   ） A．一班成绩比二班成绩集中 B．一班成绩的上四分位数是80分 C．一班有同学的成绩超过140分 D．一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，理解箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中，因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（下四分位数），因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分，因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班，因此D错误． 【变式10-2】某中学数学教师共有20人，他们的年龄分布如表所示： 年龄 62 50 43 32 30 28 25 人数 2 3 3 5 2 4 1 下列说法正确的是（    ） A．29是这20人年龄的第一四分位数 B．29是这20人年龄的第三四分位数 C．31是这20人年龄的中位数 D．这20人年龄的众数是5 【答案】A 【分析】本题考查了四分位数，众数，中位数．根据第一四分位数、第三四分位数、中位数、众数的定义及计算方法，逐一验证各选项即可． 【详解】解：依题意，第一四分位数即分位数， 需取年龄从小到大排列后第5个和第6个数据的平均数， 则年龄从小到大排列后，得 ∴第5个数据为28，第6个数据为30， ∴ 第一四分位数为，故A选项正确 依题意，第三四分位数即分位数，， ∴需取年龄从小到大排列后第15个和第16个数据的平均数， 则第15个数据为43，第16个数据为50，平均数为，故B选项错误， 依题意，中位数即分位数，， ∴ 需取年龄从小到大排列后第10个和第11个数据的平均数，第10个和第11个数据均为32，平均数为32，故C选项错误 ∵ 众数是出现次数最多的年龄，32出现的次数最多（5次）， ∴众数是32，故D选项错误， 故选：A． 【变式10-3】求下列各组数据的四分位数： (1)6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36； (2)25，12，18，20，15，8，31，28，22，35； (3)36，28，15，11，3，20，26，23，32，18，7，9． 【答案】(1)第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43 (2)第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28 (3)第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27 【分析】本题考查了四分位数的计算，解题关键是先对数据排序，再根据位置公式确定四分位数的位置，注意整数位置时需取相邻两项的平均值． 先将数据从小到大排序，再根据四分位数的定义，使用位置公式（为百分位，为数据个数）确定四分位数的位置，若位置为整数则取该位置与下一个位置的平均值，若为小数则向上取整后对应的数据即为四分位数． 【详解】（1）解：把这组数据从小到大排列：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49． 共个数据（奇数）， 求中位数Q₂， 中位数位置：，第6个数， ， 求（下四分位数）， 下四分位数是前半部分数据的中位数（不包括中位数本身，因为n为奇数）， 前半部分（中位数前的数据）：6，7，15，36，39（共5个数）， 中位数位置，第3个数， ， 求（上四分位数）， 后半部分（中位数后的数据）：41，42，43，47，49（共5个数）， 中位数位置３，第3个数， ． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是40，第三四分位数是43． （2）解：把这组数据从小到大排列：8，12，15，18，20，22，25，28，31，35． 共个数据（偶数）， 求中位数， 中位数为第5和第6个数的平均值， 第5个数为20，第6个数为22， ， 求， 下四分位数：前半部分为前个数：8，12，15，18，20， 这5个数的中位数（第3个）为15， ， 求， 后半部分为后5个数：22，25，28，31，35， 中位数（第3个）为28， ． ． 这组数据的第一四分位数是15，第二四分位数是21，第三四分位数是28． （3）解：把这组数据从小到大排列：3，7，9，11，15，18，20，23，26，28，32，36． 共个数据（偶数）， 求中位数， 中位数为第6和第7个数的平均值， 第6个数为18，第7个数为20， ， 求， 前半部分：前6个数：3，7，9，11，15，18， 为这6个数的中位数，第3和第4个数的平均值， 求， 后半部分：后6个数：20，23，26，28，32，36， 为第3和第4个数的平均值， ∴． 这组数据的第一四分位数是10，第二四分位数是19，第三四分位数是27． 题型十一 画箱型图 【典例11】某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．三个班级中，甲班分数的方差最小 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化严重 C．丙班得分低于80分的学生人数多于得分高于80分的学生人数 D．若每班有42个学生，则三个班级的成绩按从高到低排列的第11名中，丙班的分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，该选项正确； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，该选项正确； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，说法错误； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，该选项正确； 故选：． 【变式11-1】某校为了评估八年级和九年级学生对人工智能（AI）基础知识的了解程度，进行了问卷调查，并将结果转化为0到100之间的分数．以下是随机抽取的八年级和九年级各10名学生的得分． 【收集数据】 八年级得分数据：70，75，80，85，85，90，90，90，95，100. 九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95，100，100. 【整理数据】 平均数 中位数 众数 八年级 a 87.5 c 九年级 85 b 80 (1)直接写出_____；_____；_____． (2)该校八年级和九年级分别有400名和300名学生参加了此次问卷调查．根据样本数据，估算两个年级学生的平均得分．（结果保留一位小数） (3)【描述数据】定义：把一组数据从小到大排序，用表示中位数，则把这组数据分为两部分，依次记为和．用和分别表示和的中位数，则所有数据中小于或等于的占，小于或等于的占．这样m，k，n把所有数据分成四部分，称为四分位数．箱线图是使用数据的五个统计量——最大值，最小值，m，k，n来描述比较数据的方法．表示方法如图1所示． 根据以上材料，可绘制八年级抽查数据的箱线图（如图2），请你绘制九年级数据的箱线图． (4)【分析数据】根据箱线图，请你比较两组数据．（写出一条即可） 【答案】(1)86，85，90 (2)85.6 (3)作图见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据平均数，中位数，众数的定义解答； （2）先求出两个年级的总分，再除以总人数即可； （3）先确定，再确定最大值和最小值为100和65，画出箱线图即可； （4）根据箱线图的特点解答即可． 【详解】（1）解：，，； （2）解：， 所以这两个年级学生的平均得分是85.6分； （3）解：如图所示； （4）解：观察箱线图中箱子的中间一条线，八年级位于九年级上方，可知八年级的平均水平高； 八年级的箱子宽度小，且最大值和最小值比九年级的距离小，所以其数据波动小． （选择任意一条即可，答案不唯一）． 【变式11-2】2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【详解】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 【变式11-3】综合与实践 【主题】选择更适合种植的水蜜桃 【背景】广东河源市连平县的鹰嘴蜜桃是中国国家地理标志产品，水蜜桃形美、味佳，且含有丰富的维生素，某学校数学兴趣小组想通过统计学相关知识调查1号、2号两种桃树的产品质量情况，因此随机选择1号、2号两种桃树各一棵并测量其中20个水蜜桃的直径（单位：）． 【实践操作】数据的收集：1号桃树水蜜桃直径数据如下： 56，77，78，78，80，81，82，85，86，86，86，87，88，90，90，91，91，92，100，101 2号桃树水蜜桃直径数据如下： 62，65，74，78，78，82，83，85，85，86，87，88，88，88，89，92，94，94，100，100 数据的分析：1号，2号水蜜桃直径的平均数、中位数、众数和方差如下表所示． 种类 平均数 中位数 众数 方差 1号 85.25 b 86 85.99 2号 84.9 86.5 a 93.49 【问题解决】 (1)a的值为________，b的值为________； (2)小英根据已知信息绘制了如图所示的箱线图，请将箱线图补充完整； (3)请根据上述信息，选择更适合种植的水蜜桃种类． 【答案】(1)88；86 (2)图见解析 (3)选择种植1号桃树水蜜桃更合适 【分析】（1）根据中位数以及众数的定义计算即可； （2）根据2号桃树水蜜桃直径数据作图即可； （3）根据箱线图判断即可． 【详解】（1）解：根据1号桃树水蜜桃直径数据可知，最中间两个数字为86，86， ∴， 根据2号桃树水蜜桃直径数据可知，88出现次数为3次， ∴； （2）解：由2号桃树水蜜桃直径数据可知，中位数为， 下四分位数为，上四分位数为， 如图， （3）解：结合箱线图可知， 1号桃树水蜜桃在直径上整体稍大且大小相对均匀，2号桃树水蜜桃个体间直径差异较大， 所以选择种植1号桃树水蜜桃更合适． 题型十二 选择合适的统计量做决策 【典例12】当前针对老年人的电信网络诈骗案件频发，老年人防范意识薄弱、辨别能力不足，易成为诈骗分子的重点目标．开展老年人防电诈知识竞赛，能有效普及防电诈知识，提升老年人自我保护能力，守护老年人的财产安全和晚年幸福，因此特举办本次甲、乙两个社区老年人防电诈知识竞赛．竞赛满分为10分，得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀．下面是甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表和成绩分布折线统计图： 甲、乙两个社区参赛老年人的成绩统计表 社区 平均数/分 中位数/分 合格率 优秀率 甲社区 a 6 乙社区 b (1)求出参赛老年人成绩统计表中a，b的值； (2)张爷爷说：“这次竞赛我得了7分，在我们社区里排名属于中游略上！”请你判断张爷爷是哪个社区的参赛老年人，并说明理由； (3)上面两个社区中，你认为哪个社区的竞赛成绩好一些？并说明你的依据． 【答案】(1)， (2)张爷爷是甲社区的参赛老年人，见解析 (3)乙社区的竞赛成绩好一些，见解析 【分析】（1）根据加权平均数，中位数的定义求解即可； （2）与中位数比较，大于中位数，中位数所在小区就是所求； （3）利用平均数，中位数决策求解即可． 【详解】（1）解：（分）； 将乙社区老年人的参赛成绩从小到大排列如下：5，5，6，7，7，8，8，8，9，9．排在第5位和第6位的数字分别是7，8， ∴（分）； （2）解：张爷爷得7分，高于甲社区成绩的中位数6分，低于乙社区成绩的中位数分， 又∵张爷爷的成绩在社区里排名属于中游略上， ∴可以判断张爷爷是甲社区的参赛老年人； （3）解：乙社区的竞赛成绩好一些．理由：乙社区成绩的平均数和中位数高于甲社区，故乙社区的竞赛成绩好一些．（答案不唯一，合理即可） 【变式12-1】王华、张伟两位同学分别将自己10次数学自我检测的成绩绘制成如下统计图： (1)根据图中提供的数据列出如下统计表： 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 王华 80 a 80 b 张伟 80 85 90 260 则______，______． (2)若将90分以上（含90分）的成绩评为优秀，请通过计算判断两位同学优秀率高低． (3)现在要从这两位同学中选一位去参加数学竞赛，你会选择谁？说说你的理由． 【答案】(1)80；60 (2)张伟的优秀率更高 (3)选择王华（答案不唯一），理由见解析 【分析】（1）根据中位数和方差的定义分别求解可得； （2）根据提供数据，可以分别求出两人的优秀率，即可得出答案； （3）可以从两人平均成绩或优秀率或方差得出答案． 【详解】（1）解：从统计图中提取王华10次成绩，并将成绩从小到大排序如下： ， ∴第5、6位均为80， ∴中位数为， 由题意得， ， ∴； （2）解：王华：90分及以上的成绩有3次，优秀率：， 张伟：90分及以上的成绩有次（3次90分、2次100分），优秀率：， ∴张伟的优秀率更高； （3）解：选择王华， 理由：王华的方差（60）远小于张伟（260），成绩更稳定，发挥更平稳，适合需要稳定发挥的竞赛场景． 【变式12-2】某校为了解学生体育锻炼情况，从甲、乙两班各随机抽取10名学生进行问卷调查及体育质量检测．名学生的体育测试成绩（满分分）以及每周课外锻炼时间的统计数据如下表所示： 20名学生测试成绩数据分析表 统计量班级 成绩平均数 成绩方差 成绩中位数 成绩众数 甲班 乙班 20名学生体育测试成绩与每周课外锻炼时间统计表 甲班10名学生成绩（分） 甲班学生锻炼时间（小时） 乙班10名学生成绩（分） 乙班学生锻炼时间（小时） 请根据以上调查报告，解答下列问题： (1) ， ； (2)甲班有名学生，估计甲班学生每周课外锻炼时间大于（不包括）小时的人数； (3)结合统计量分析每周课外锻炼时间与学生成绩之间的相关程度． 【答案】(1)， (2)人 (3)见解析 【分析】（1）根据中位数、众数的定义进行求解即可； （2）用总体乘以样本所占的比例即可； （3）根据平均成绩和锻炼时间的变化，进行分析即可． 【详解】（1）解：根据甲、乙两班的时间统计表，可判断出，． （2）解：用样本估计总体得（名）． （3）解：甲、乙两班成绩平均数均为，但乙班方差远小于甲班，说明乙班成绩更稳定； 乙班学生锻炼时间更集中在小时，高时长（小时）人数更多；甲班锻炼时间集中在小时，低时长人数更多； 乙班中位数（）、众数（）均高于甲班（中位数、众数），说明锻炼时间更充足的乙班，成绩整体水平更高； 综上，锻炼时间越充足，成绩的整体水平越高、稳定性越强；锻炼时间不足的班级，成绩波动大、整体水平偏低． 【变式12-3】随着全国各地掀起马拉松热，石家庄马拉松赛越来越引起众多跑步爱好者的关注．2026年3月，石家庄马拉松赛筹备期间，甲、乙两个社团各报名20名赛事志愿者．现对这40名志愿者进行基本素质测评（满分10分，且得分均为整数分），测评结束后，将他们的成绩绘制成不完整的统计图，如图． (1)补全条形统计图； (2)若按成绩的高低，赛事官方分别从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名，甲社团的嘉嘉和乙社团的洪洪均得7分，说明他们两人能否被录取； (3)通过计算平均成绩，判断哪个社团的测评成绩较好． 【答案】(1)图见解析 (2)甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取 (3)甲社团的测评成绩较好 【分析】（1）计算出甲社团成绩为8分的人数，补全条形统计图即可； （2）计算出甲乙两个社团成绩超过7分的人数即可判断能否被录取； （3）计算出甲乙社团的平均成绩即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：甲社团成绩为8分的人数为（人）， 补全条形统计图，如下： （2）解：甲社团成绩超过7分的人数为（人），乙社团成绩超过7分的人数为， ∵从甲、乙两个社团报名的志愿者中各选取10名， ∴甲社团的嘉嘉不能被录取，乙社团的洪洪能被录取． （3）解：甲社团的平均数为（分）， 乙社团的平均数为（分）， ∵， ∴甲社团的测评成绩较好． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（21-22八年级下·浙江衢州·期中）一组数据：1，1，2，3，2，1．这组数据的众数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．1.5 【答案】A 【分析】找出这组数据中出现次数最多的数即可解答． 【详解】解：∵这组数据中数字1出现3次，数字2出现2次，数字3出现1次， ∴数字1出现的次数最多，即这组数据的众数是1． 2.（24-25八年级下·浙江宁波·期中）若一组数据，，，，的中位数为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将原数据从小到大排序，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：首先将这组数据从小到大排序，可得排序后结果为，，，，， ∵这组数据共有个数，个数为奇数，中位数为排序后中间位置的数， ∴第个数就是该组数据的中位数，第个数为，即． 3.（25-26八年级上·山东泰安·期中）某科技论坛对、豆包、腾讯元宝、夸克四款助手某一项功能的月度用户评分进行了统计，数据如表所示（单位：分）： 助手 评分（满分100） 88 豆包 85 腾讯元宝 84 夸克 85 评分的众数和中位数分别是（    ） A．84， B．85，85 C．85， D．85，86 【答案】B 【分析】本题考查众数和中位数的计算． 众数是出现次数最多的评分，中位数需要将数据排序后，根据数据个数的奇偶性确定． 【详解】解：评分数据为：88，85，84，85， 按从小到大排序：84，85，85，88． ∵85出现2次，次数最多， ∴众数为85． ∵数据个数为4（偶数）， ∴中位数为第二和第三个数据的平均值，即． ∴众数和中位数分别为85和85． 故选：B． 4.（24-25八年级下·浙江杭州·期中）数据1，4，5，9，6，5的中位数是_________，众数是_________． 【答案】 5 5 【分析】根据中位数与众数的定义，先将给定数据从小到大排序，再根据数据个数确定中位数，最后找出出现次数最多的数据得到众数． 【详解】解：将数据从小到大排列为：，，，，，， 本组数据共个，根据中位数定义，中位数为排序后中间两个数的平均数， 即，因此中位数为， 根据众数定义，一组数据中出现次数最多的数为众数， 本组数据中出现了2次，出现的次数最多，因此众数为． 5.（25-26九年级上·重庆·期中）近年来，人工智能浪潮席卷全球，我国抓住这一机遇迎潮而上，成果丰硕．为了提升学生的信息素养，凤中教共体学校组织七、八年级学生开展“灵动数据·智汇”信息技术知识竞赛，为了解竞赛成绩，现从该教共体学校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理（共分成四个等级：A．；B．；C．；D．），成绩在90以上（含90分）为优秀．下面给出了部分信息： 七年级两组同学的成绩分别为：94，93，93，93，90，89，89，88，85； 八年级C组同学的成绩分别为：89，89，88，88，88，88，88，87，86． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 88 93 八年级 88 88 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，______，_______； (2)根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级学生有420人，八年级学生有480人，请估计该校七、八年级成绩为级的学生共有多少人． 【答案】(1)，88，40 (2)七年级学生对当前信息技术的了解情况更好，理由见解析 (3)人 【分析】本题考查众数、中位数、用样本估计及总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和统计图中的信息，可以分别计算出a、b、m的值； （2）根据表格中的数据，可以解答本题； （3）利用样本估计总体，根据表格中的数据，可以计算出这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【详解】（1）解：由条件可知七年级抽取学生的竞赛成绩中位数为C组按从大到小的倒数第2和第3个数据（即88与89）的平均数， ， 88出现的次数最多，出现5次，所占的百分比为， ∴． ， 故答案分别为：，88，40． （2）解：七年级学生对当前信息技术的了解情况更好． 理由：由表格可知，在平均数相同时，七年学生的竞赛成绩中的中位数、众数、优秀率均高于八年级学生的．（理由不唯一，合理即可） （3）解：由题意可得，（人） 答：七年级和八年级参加此次知识竞赛的学生成绩为A级的共有159人． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2025·四川雅安·中考真题）在今年的中考体考中，某校九年级（1）班六人小组通过前期努力训练，取得优异成绩，成绩依次为：58分，60分、60分、59分、60分、57分，则该组体考成绩的众数是（   ） A．60分 B．59分 C．58分 D．57分 【答案】A 【分析】根据众数的定义解答即可． 【详解】解：∵57分出现1次，58分出现1次，59分出现1次，60分出现3次， ∴ 60分出现次数最多， ∴该组成绩的众数是60分． 2.（2025·山东淄博·中考真题）某班主任为了解本班学生开学以来在周六、周日两天的运动锻炼情况，随机调查了10名学生在这两天的平均运动时间，收集的数据（单位：）如下：5，7，3，6，8，6，4，7，5，6．则这组数据的众数和中位数分别是（   ） A．5，6 B．5，7 C．6，6 D．6，7 【答案】C 【分析】本题考查中位数和众数，根据中位数、众数的意义和计算方法进行计算即可． 【详解】解：这组数据排列为：3，4，5，5，6，6，6，7，7，8，处于中间的两个数据为6，6，故中位数为； 在这组数据中出现次数最多的是6，则众数为6， 故选：C． 3.（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中加入一个整数a，则下列一定不变的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键． 【详解】解：这组数据中加入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不符合题意； 若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不符合题意； 若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B符合题意， 故选：B． 4.（2025·江苏无锡·中考真题）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　） A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15 【答案】A 【分析】本题考查平均数和众数，根据平均数和众数的定义进行计算即可． 【详解】解：平均数为：， 5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14， 故选：A． 5.（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）跳绳是一项集健身与娱乐为一体的体育活动，有利于学生的身心健康发展．颖立中学为了解全校学生60秒钟的跳绳次数，随机抽取部分学生进行测试，并将测试所得数据整理成不完整的频数分布表和扇形统计图． A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65  70  73  80  85  95  96  96  98 组别 次数（单位：次） 频数 A组 9 B组 C组 12 D组 3 根据以上信息回答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)A组学生跳绳次数的中位数是_____，的值是_____； (3)若颖立中学共有1500名学生，估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有多少名． 【答案】(1)60 (2)85，36 (3)900 【分析】本题主要考查频率分布表和扇形统计图、中位数，熟练掌握频率分布表和扇形统计图、中位数是解题的关键； （1）由扇形统计图和频率分布表可知C组的人数为12人，所占百分比为，然后问题可求解； （2）根据中位数的定义可进行求解； （3）由（1）（2）及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（名）． 答：一共抽取60名学生． （2）解：由A组学生跳绳次数（单位：次）如下：65、70、73、80、85、95、96、96、98，排在中间位置的数是85，所以A组学生跳绳次数的中位数是85， ； 故答案为85，36． （3）解：由题意得：（名）． 答：估计该中学60秒钟的跳绳次数在范围的学生有900名． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $