精品解析：陕西省米脂中学2025-2026学年高二第二学期第一次阶段性考试数学试题

中学高二年级第二学期第一次阶段性考试 数学试题 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将答题卡上交． 3．考试范围：选择性必修2导数及其应用． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 4x 【答案】B 【解析】 【分析】先代入函数求解，再求解，即可得出结果. 【详解】， . 2. 如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ） A. －4.8m/s B. －0.88m/s C. 0.88m/s D. 4.8m/s 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合瞬时变化率的定义即可求解 【详解】 当→0时，→－4.8． 故选：A 3. 已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】据导数的几何意义，直线的斜率公式，结合图象即可比较大小. 【详解】如图分别作直线，交的图象于点， 则和分别表示函数的图象在点处的切线的斜率， 结合图象可得，即， 而，表示过两点的直线的斜率， 由图知，即. 故选：D. 4. 函数y＝(＋1)( －1)的导数等于(　　) A. 1 B. － C. D. － 【答案】A 【解析】 【详解】因为y＝(＋1)( －1)＝x－1，所以y′＝x′－1′＝1．故选A 5. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出切点坐标，结合切线过原点列方程，解方程求得，进而求得的值. 【详解】设切点坐标为， 由，，所以切线的斜率为， 由于直线过原点， 所以切线过原点， 所以， 所以切线的斜率为，也即. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 6. 设，则(　　) A. 10 B. 10ln 10＋lg e C. ＋ln 10 D. 11ln 10 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数的导数，代入，即可求得的值． 【详解】由题意，得， 所以 故选：B 7. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对求导后，将代入先求出，然后求出即可. 【详解】由，求导可得，， 取得到，解得， 此时，则. 故选：A 8. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数求切线斜率不范围，利用斜率和倾斜角的关系，求倾斜角的取值范围. 【详解】设切线的倾斜角为，则，∵， ∴切线的斜率，则. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确. 故选：CD 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 11. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解. 【详解】因为，所以，则， 所以， 故答案为：2. 13. 函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________. 【答案】##或 【解析】 【分析】不等式的解集即为函数的单调减区间，根据根据函数的图像求出单调减区间，即可得出答案. 【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减， 所以不等式≤0的解集为. 故答案为：. 14. 已知，则____________. 【答案】24 【解析】 【分析】令，根据导数的运算可得，代入可得，即可求解. 【详解】令， 则， 所以， 所以. 故答案为：24. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的解析式； （2）求在处的切线方程. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件列出方程，求解即可；（2）求出切线的斜率，然后求解切线方程． 详解： （1） 依题意有① ② 由①②解有 所以的解析式是 （2）在处的切线的斜率 所以有即 故所求切线的方程为. 点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求曲线过点的切线方程. 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得到关于，的方程组，求解方程组即可求解； （2）根据导数的几何意义求解即可. 【小问1详解】 由，则， 因为函数在处取得极大值， 所以， 解得，， 此时， 令，则或；令，则， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，满足题意. 综上，，. 【小问2详解】 由（1）得，，， 当为切点时，， 即切线斜率为1， 所以切线方程为，即. 当不为切点时，设切点为，， 则， 解得（舍去）或， 即切点为，切线斜率为0， 所以切线方程为. 综上所述，曲线过点的切线方程为或. 17. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得； （2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得. 【小问1详解】 由，求导可得, 由，可得或， 所以函数的单调减区间为，； 【小问2详解】 因为， 令，解得或可得下表： 则，分别是在区间上的最大值和最小值， 所以，解得， 从而得函数在上的最小值为. 18. 设函数. （1）对于任意实数x，恒成立，求m的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得到为二次函数，因为恒成立，所以有，利用二次函数性质，求的最小值即可； （2）方程只有一个实根，说明三次函数只有一个零点，即函数极小值大于0或极大值小于0，利用导函数确定函数单调性，求出极值点，从而确定参数的取值范围． 【小问1详解】 解：已知函数，，则， 因为对于任意实数x，恒成立，则， 对称轴，所以， 可得，即的最大值为. 【小问2详解】 （2）令，即，解得或， 当时，；当时，；当时，. 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，取极大值；当时，取极小值， 故当或时，方程仅有一个实根， 解得或，所以a的取值范围为. 19. 设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0． （1）求y=f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 【详解】解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3， 当x＝2时，y＝． 又f′(x)＝a＋， 于是，解得 故f(x)＝x－． (2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)． 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)． 令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|－||2x0|＝6． 曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中学高二年级第二学期第一次阶段性考试 数学试题 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上． 2．请将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效．考试结束后，请将答题卡上交． 3．考试范围：选择性必修2导数及其应用． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的图象上一点(1,1)及邻近一点，则等于（ ） A. 4 B. C. D. 4x 2. 如果某物体做运动方程为s＝2(1－t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为（ ） A. －4.8m/s B. －0.88m/s C. 0.88m/s D. 4.8m/s 3. 已知函数的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数y＝(＋1)( －1)的导数等于(　　) A. 1 B. － C. D. － 5. 已知直线是曲线的切线，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则(　　) A. 10 B. 10ln 10＋lg e C. ＋ln 10 D. 11ln 10 7. 设函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 有两个极值点 B. 有三个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 11. 若函数既有极大值也有极小值，则（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则________． 13. 函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________. 14. 已知，则____________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求的解析式； （2）求在处的切线方程. 16. 已知函数在处取得极大值. （1）求的值； （2）求曲线过点的切线方程. 17. 已知函数 （1）求的单调减区间； （2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 18. 设函数. （1）对于任意实数x，恒成立，求m的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求a的取值范围. 19. 设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0． （1）求y=f（x）的解析式； （2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $