3.2 频率的稳定性（第2课时 等可能事件的频率稳定性与概率，含交互动画） （教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学课件聚焦“等可能事件的频率稳定性与概率”，通过回顾上节课掷图钉试验的频率稳定性，以“等可能事件是否有同样规律”设问导入，衔接非等可能到等可能事件的探究，构建连贯的学习支架。 其亮点在于采用“猜测—试验—数据分析—验证”探究流程，结合2人小组抛硬币试验、全班数据汇总及折线图分析，融入伯努利大数定律等数学史话，培养学生数学眼光（抽象数据规律）、数学思维（推理频率稳定趋势）和数学语言（用概率描述可能性）。典例与真题强化应用，助力学生建立数据观念，教师可直接使用试验方案提升教学效率。

null3.2 频率的稳定性 第2课时：等可能事件的频率稳定性与概率 第三章 概率初步 北师大版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 （1）通过掷硬币试验，进一步感受在试验次数很大时，随机事件发生的频率具有稳定性；理解概率的定义，知道必然事件、不可能事件、随机事件的概率取值范围；能根据问题的特点，用频率来估计事件发生的概率. （2）经历“猜测—试验—收集试验数据—分析试验结果—验证猜测”的完整探究过程，体会数据的随机性；通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法. （3）在小组合作试验中，培养合作交流意识和科学探究精神；通过了解数学家的掷硬币试验，感受数学文化的魅力；通过对实际问题的分析，体会数学的应用价值. 钉尖朝上 钉尖朝下 上节课我们通过掷图钉试验，发现了什么规律？ 在试验次数很大时，钉尖朝上的频率都会在一个常数附近摆动，即频率具有稳定性。 这个规律是否具有普遍性？ 对于掷硬币这样的等可能事件，是否也有同样的规律？ 今天继续学习和探究频率的稳定性，并学习概率的概念。 导入新课 新知探究 探究点1 分组试验，获取数据 议一议 抛硬币试验实验背景与思考 （1）掷一枚质地均匀的硬币，硬币落下后结果只有（ ）种 反面朝上 正面朝上 （2）你认为这两种结果出现的可能性相同吗？ 写下猜想 我预测正面朝上的频率大约是：________ 0.5 两 新知探究 探究点1 分组试验，获取数据 做一做 小组试验：抛硬币 （1） 两人一组做 20 次掷硬币的实验， 并将数据记录在下表中。 试验总次数 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 📝 小组实验步骤 (2人/组) 1. 分工协作：一人负责掷硬币，另一人负责记录数据。 2. 重复试验：每组连续进行20次掷硬币游戏，认真记录。 3. 计算频率：正面频率 = 正面次数 ÷20 (总次数)。 新知探究 探究点1 分组试验，获取数据 议一议 （2）累计全班同学的试验结果， 并将试验数据汇总填入下表。 试验总次数 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 正面朝上的次数 正面朝上的频率 正面朝下的次数 正面朝下的频率 （3）随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ 小组试验：抛硬币 通过数据汇总，随着次数增加，频率趋近于0.5 新知探究 探究点1 分组试验，获取数据 做一做 小组试验：抛硬币 （4）现代科技模拟抛硬币试验 新知探究 探究点2 绘制图表，探究规律 议一议 （5）根据表格，正面朝上频率随试验次数变化的折线统计图。（教材p67页图3-5中绘制） 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 频率 试验总次数 0 0.5 小组试验：抛硬币 新知探究 探究点2 绘制图表，探究规律 议一议 （6）随着试验次数的增加，正面朝上的频率有什么变化趋势？ 小组试验：抛硬币 在试验次数很大时，正面朝上的频率都会在0.5附近摆动， 正面朝上的频率趋近于0.5 （7）频率是在一个常数附近摆动吗？这个常数大约是多少？ （8）摆动幅度有什么变化？ 频率具有稳定性. 正面朝上频率幅度越来越小， 新知探究 探究点3 数学史话，验证规律 议一议 下表列出了历史上一些数学家所做的掷硬币试验的数据： 试验者 试验总次数n 正面朝上的次数m 正面朝上的频率 布丰 4040 2048 0.5069 德·摩根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 罗曼诺夫斯基 80640 39699 0.4923 小组试验：抛硬币 思考：这些数据支持你发现的规律吗？ 布丰 (Buffon) 德·摩根 (De Morgan) 皮尔逊 (Pearson) 无论是掷图钉，还是掷硬币，当试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动。这就是著名的“频率的稳定性”。 核心思考 频率稳定的“常数”代表什么？ 新知探究 探究点3 数学史话，验证规律 议一议 小组试验：抛硬币 在一次试验中，一个随机事件是否发生是无法预测的，是随机的，但在大量重复的试验中，一个随机事件发生的频率又呈现出一定的规律性。无论是掷质地均匀的硬币还是抛瓶盖，在试验次数很大时，正面朝上（盖口向上）的频率都会在一个常数附近摆动。 结论：用常数表示可能性大小！ 频率的稳定性是由瑞士数学家雅各布·伯努利最早阐明的，他还提出了“大数定律”. • 频率大 → 事件发生越频繁 • 越频繁 → 发生的可能性越大 概率的定义 新知探究 探究点4 概念建立——概率的定义 议一议 概率： 刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). 事件A发生的频率表示该事件发生的频繁程度， 事件A发生的可能性也越大 频率越大，事件A发生越频繁 注意： 一般地，大量重复的试验中，我们常用不确定事件A发生的频率来估计事件A发生的概率. 频率与概率的关系 在大量重复试验中，用频率来估计概率 频率 ≈ 概率 概率取值范围 · 数轴可视化 新知探究 探究点4 概念建立——概率的定义 议一议 随机事件是可能发生，可能不发生的， 随机事件A发生的概率P(A)是0与1之间的一个常数. 事件A发生的概率P(A)的取值范围是什么？ （1）必然事件发生的概率是多少？ 一定会发生的事件概率是1 （2）不可能事件发生的概率是多少？ 不可能发生的事件概率是0 （3）随机事件发生的概率是多少？ P(必然事件)=1 P(不可能事件)=0 0＜P(随机事件)＜1 通过数轴直观展示不同事件的概率区间， 0代表不可能， 1代表必然， 中间则是随机。 0 1 频率和概率有什么联系和区别？ 频率 (Frequency) 本质：试验值，是实际操作得出的具体结果。 性质：变化的，随试验次数的改变而波动。 关系：频率是概率的近似值，用于估计概率。 例子：抛10次硬币6次正面，频率计算为 0.6。 概率 (Probability) 本质：理论值，是事件本身固有的数学属性。 性质：稳定的，是一个不随试验变化的固定常数。 关系：概率是频率的稳定值，是频率的极限。 例子：抛硬币正面朝上的概率，恒定为 0.5。 一句话总结： 频率是“看得见”的试验结果， 概率是“看不见”的内在规律。 我们通过大量的频率去“捕捉”那个稳定的概率。 新知探究 探究点4 概念建立——概率的定义 议一议 典例分析 例1.请用“一定”、“很可能”、“可能性极小”、“可能”、“不太可能”、“不可能”等语言来描述下列事件的可能性． (1)买20注七星彩票，获特等奖500万； (2)袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球； (3)掷一枚均匀的骰子，6点朝上； (4)100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品； (5)早晨太阳从东方升起； (6)小丽能跳高． （1）解：买20注七星彩票，获特等奖500万，可能性极小； （2）解：袋中有20个球，1个红球，19个白球，从中任取一球，取到红色的球，不太可能； （3）解：掷一枚均匀的骰子，6点朝上，可能； （4）解：100件产品中有2件次品，98件正品，从中任取一件，刚好是正品，很可能； （5）解：早晨太阳从东方升起，一定； （6）解：小丽能跳高，不可能． 典例分析 例2 2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办．哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观．规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 解：该游戏公平．理由：列表如下：         第一次 结果 第二次 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同， 其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种， ∴P（哥哥去）， P（弟弟去）， 即P（哥哥去）（弟弟去）． ∴游戏公平． 拓展提升 1.一粒木质中国象棋子“帅”，它的正面雕刻一个“帅”字，它的反面是平滑的．将它从一定高度抛掷，落地反弹后可能是“帅”字面朝上，也可能是“帅”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“帅”字面朝上的概率，某试验小组做了棋子抛掷试验，试验数据如下表： 试验次数 “帅”字面朝上的频数 “帅”字面朝上的频率 (1)求出上表中数据和的值； (2)根据表格，请你估计将它从一定高度抛掷，落地反弹后“帅”字面朝上的概率是多少？（保留两位小数） （1）解：；． （2）解：估计落地反弹后“帅”字面朝上的概率是． 真题感知 1．（2025•深圳）某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为（　　） A． B． C． D． 解： ∵某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动， ∴小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为， 故选：C． C 真题感知 2．（2025•河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”， ∴只能有一个面标有“3”， ∴该木块不可能是选项A． A 真题感知 3．（2025•湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　） A． B． C． D． 解：由题意知，共有5种等可能的结果， 其中抽中戏剧类社团活动的结果有1种， ∴抽中戏剧类社团活动的概率为． D 知识 总 结 （1）频率的稳定性：在试验次数很大时，事件发生的频率都会在一个常数附近摆动. （2）概率的定义：刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记为P(A). （3）概率的取值范围：必然事件概率为1，不可能事件概率为0，随机事件概率在0与1之间. （4）频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；大量重复试验中，常用频率来估计概率. 方 法 总 结 （1） 统计思想：用数据说话，用频率估计概率. (2) 转化思想：将不确定事件的概率问题转化为频率分析问题. （3）数形结合：折线统计图直观展示频率变化趋势. 易 错 提 醒 （1）频率不等于概率：频率是试验值，会随试验次数变化；概率是理论值，是稳定的常数. （2）以偏概全：不能用少量试验的频率代表概率，试验次数太少时结论不可靠. (3)概率为0.5不等于各一半：概率为0.5表示可能性相等，但不意味着在少量试验中一定各占一半. (4)混淆三类事件的概率：随机事件的概率在0和1之间，不等于0也不等于1. 课后练习 教材p70页 2. 某班有 40 名学生，每 10 人一组，每人做 10 次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 第一组学生的学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 盖口向上的次数 6 8 6 6 4 8 7 5 9 7 第二组学生的学号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 盖口向上的次数 7 6 8 6 7 10 7 7 6 5 第三组学生的学号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 盖口向上的次数 7 8 8 4 8 6 9 5 7 4 第四组学生的学号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 盖口向上的次数 9 6 6 8 5 8 6 6 8 7 （1）学号为 1 的学生在 10 次试验中，盖口向上的次数是多少？盖口向上的频率是多少？ 答：盖口向上的次数是6，频率是0.6。 习题3.2 课后练习 教材p70页 2. 某班有 40 名学生，每 10 人一组，每人做 10 次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 习题3.2 （2）请在这 40 名学生中找两名学生，他们抛出的瓶盖盖口向上的频率相同。如果让这两名学生再分别做 10 次试验，他们抛出的瓶盖盖口向上频率还一定相同吗？ 不一定。 课后练习 教材p70页 2. 某班有 40 名学生，每 10 人一组，每人做 10 次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 习题3.2 （3）累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表。 试验总次数 n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数 m 盖口向上的频率 26 50 79 110 135 162 190 216 243 270 0.65 0.625 0.658 0.688 0.675 0.675 0.679 0.675 0.675 0.675 课后练习 教材p70页 2. 某班有 40 名学生，每 10 人一组，每人做 10 次抛瓶盖的试验，得到下面的试验结果： 习题3.2 （3）累计全班学生的试验结果，完成下面的统计表。 试验总次数 n 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 盖口向上的次数 m 盖口向上的频率 26 50 79 110 135 162 190 216 243 270 0.65 0.625 0.658 0.688 0.675 0.675 0.679 0.675 0.675 0.675 （4）根据上表，画出盖口向上的频率的折线图。由此，你发现盖口向上的频率的变化有什么规律？ 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 0.5 0.6 0.7 频率 试验总次数 0 0.675 随着试验总次数的增加，盖口向上的频率逐渐稳定在0.675附近。 课后练习 3.下列说法正确吗？请说明理由。 （1）在做抛瓶盖的试验时，每名同学用不同规格的瓶盖进行试验，然后汇总全班同学的数据进行估计； 教材p71页 习题3.2 答：不正确，理由： 用频率估计概率时，必须保证试验条件完全相同。不同规格的瓶盖，大小、材质、重量等存在差异，试验条件不统一，数据不具备可比性，因此不能汇总估计概率。 课后练习 3.下列说法正确吗？请说明理由。 （2）在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的； 教材p71页 习题3.2 答：不正确，理由： 随机事件的概率是一个固定的常数，是事件本身的固有属性； 而频率是试验得到的统计值，会随试验次数波动。 频率是概率的近似值，概率是频率稳定后的中心值，二者不能混淆。 课后练习 3.下列说法正确吗？请说明理由。 （3）在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值。 教材p71页 习题3.2 答：不正确，理由： 试验次数足够多时，频率会稳定在概率附近，我们只能用频率估计概率，得到的是近似值，无法通过有限次试验得到概率的精确值。 课后练习 5. 查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。 教材p71页 习题3.2 概率论起源于 16—17 世纪的赌博问题，历经古典、分析、公理化与现代随机过程四个阶段，从赌桌计算成长为严格的数学分支，并成为统计、物理、金融、AI 等领域的核心基础。 卡尔达诺（Cardano）《论赌博游戏》（约 1560）：最早系统讨论骰子问题，提出 “概率 = 有利结果数 / 全部可能结果数” 的古典思想。 课后练习 5. 查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。 教材p71页 习题3.2 柯尔莫哥洛夫（1933） 《概率论基础》：以测度论为基础，建立三条公理： 0≤P(A)≤1 P(Ω)=1 可列可加性 从此概率论成为严格的数学分支。 课后练习 5. 查阅相关资料，了解概率论的发展历史和成就，并在班级内分享。 教材p71页 习题3.2 时期 代表人物 里程碑 16c 卡尔达诺 古典概率思想 1654 帕斯卡、费马 概率论诞生 1657 惠更斯 第一本概率专著 1713 伯努利 大数定律 1763 贝叶斯 贝叶斯定理 1812 拉普拉斯 分析概率论、中心极限定理 19c 切比雪夫、马尔可夫 极限理论、马尔可夫链 1933 柯尔莫哥洛夫 公理化 20c 中 莱维、杜布、伊藤清 随机过程、随机积分 谢谢聆听 Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 🪙 抛硬币正面向上概率模拟 开始抛掷 重置 总次数 0 正面次数 0 正面频率 0.0000 $