期中真题必刷压轴41题（11大考点专练） 2025-2026学年浙教版七年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴41题（11大考点专练） 【考点一】 平行线的判定与性质综合应用求角度 【考点七】 单项式的乘法 【考点二】 二元一次方程组参数问题 【考点八】 多项式的乘法 【考点三】 二元一次方程组特殊解法 【考点九】 乘法公式 【考点四】 二元一次方程组的应用 【考点十】 整式的化简 【考点五】 三元一次方程组及其解法 【考点十一】整式的除法 【考点六】 同底数幂的乘法与除法 【考点一】平行线的判定与性质综合应用求角度 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在三角形中，，直线． (1)如图1，点E在直线上，若，求的度数； (2)如图2，点E在直线的下方，交于点F，G是上一点，连接交于点H，点K在、之间且在的右侧，连接、．若、分别是和的平分线，试说明； (3)在（1）的条件下，点P、Q在直线上，点P在点Q左侧，，平分交于点M，点N是直线上方一点，．若．请直接写出的度数． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知点C在射线OA上． （1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数； （2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示） （3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系． 【考点二】 二元一次方程组参数问题 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ____． ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 7．（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【考点三】二元一次方程组特殊解法 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）设计动态验证码 日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码． 【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格： 【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶ 【任务一：理解算法】 （1）请补全表2． （2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解． （3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值． 【任务二：应用算法】 学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶ 规则 ①取一组a、b的值，确定方程 ②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码 请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶ 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 10．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： (1)，a的值． (2)当速度时该物体的运动时间t． 【考点四】二元一次方程组的应用 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 13．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：A类是三角形桌，每桌可坐人，类是五边形桌，每桌可坐人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对A类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） 类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司                乙公司                (1)求A、两类桌椅每套的价格分别是多少？ (2)如果该数学实验室需设置个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 14．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小林在某商店购买商品，若干次（每次，两种商品都购买）．其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品，有打折优惠．三次购买商品，的数量和费用如表： 购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用 第一次购买 第二次购买 第三次购买 (1)求商品，的标价． (2)若第三次购买时商品，的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？ (3)在（2）的条件下，若小林第四次购买时共花了元，则小林有哪几种购买方案？ 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆． 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式． (1)填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人；（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数） (2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值； (3)某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有座的大巴车和座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 赵老师：如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费元，若两个年级联合组团只需花费元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1： 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2： 请你为七年级师生求出所有恰好能提供座的租车方案． 问题3： 八、九年级各有多少人参加春游？ 【考点五】三元一次方程组及其解法 19．（22-23七年级下·浙江温州·月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需_______元． 20．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 21．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【考点六】同底数幂的乘除法 22．（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若，，则； ②若，，则用含x的代数式表示y为； ③若，则满足条件x的值有3个； ④若，，则的值为 ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如果 ，，那么_____，_______． 【考点七】单项式的乘法 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 26．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【考点八】多项式的乘法 27．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（    ） A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和 C．乙的面积与丙的面积和 D．的值 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【考点九】乘法公式 31．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 32．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 33．（23-24七年级下·浙江·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【考点十】整式的化简 34．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 35．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 36．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【考点十一】整式的除法 37．（23-24七年级下·浙江温州·期中）一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 40．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形． (1)观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若，，则的值为______； (2)【拓展探究】若，求的值； (3)【实际运用】如图，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，，沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 41．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴41题（11大考点专练） 【考点一】 平行线的判定与性质综合应用求角度 【考点七】 单项式的乘法 【考点二】 二元一次方程组参数问题 【考点八】 多项式的乘法 【考点三】 二元一次方程组特殊解法 【考点九】 乘法公式 【考点四】 二元一次方程组的应用 【考点十】 整式的化简 【考点五】 三元一次方程组及其解法 【考点十一】整式的除法 【考点六】 同底数幂的乘法与除法 【考点一】平行线的判定与性质综合应用求角度 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知：，点E在直线、之间，连接、． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若平分，平分交于点F，求的值； (3)如图3：在（2）的条件下，延长交于点G，在延长线上取一点K，连接交于点H，，若，．求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，求得，，即可得到的度数； （2）过点作，则，根据两直线平行，内错角相等，得出，，则可得出，同理可得，然后结合角平分线定义即可得出结论； （3）分别过点作的平行线，则，设，利用（2）中结论，结合平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作，则， ，， ，， ，， ； （2）解：如图，过点作，则， ，， ， 同理， 平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （3）解：分别过点作的平行线，则， 设， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 由（2）知： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在三角形中，，直线． (1)如图1，点E在直线上，若，求的度数； (2)如图2，点E在直线的下方，交于点F，G是上一点，连接交于点H，点K在、之间且在的右侧，连接、．若、分别是和的平分线，试说明； (3)在（1）的条件下，点P、Q在直线上，点P在点Q左侧，，平分交于点M，点N是直线上方一点，．若．请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）根据平行线性质得出，进而得出； （2）作，作，设，，可表示出，，进而得出．，依次表示出，，，，，进一步得出结论； （3）当时，设，则，，依次表示出，，根据，列出，进而得出结果；同样方法得出当时的情形的结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， 作，作， 又∵， ∴， 设，， 又∵、分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 当时，而， 设，则，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3， 当时， 设，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故舍去， 综上所述：． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）已知点C在射线OA上． （1）如图①，CDOE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数； （2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示） （3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系． 【答案】（1）150°；（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′ 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE的度数； （2）如图②，过O点作OF∥CD，根据平行线的判定和性质可得∠OCD、∠BO′E′的数量关系； （3）由已知推出CP∥OB，得到∠AOB+∠PCO=180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，根据（2）∠OCD+∠BO′E′=360°-∠AOB，进而推出∠AOB=∠BO′E′． 【详解】解：（1）∵CD∥OE， ∴∠AOE=∠OCD=120°， ∴∠BOE=360°-∠AOE-∠AOB=360°-90°-120°=150°； （2）∠OCD+∠BO′E′=360°-α． 证明：如图②，过O点作OF∥CD， ∵CD∥O′E′， ∴OF∥O′E′， ∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′， ∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α， ∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α； （3）∠AOB=∠BO′E′． 证明：∵∠CPO′=90°， ∴PO′⊥CP， ∵PO′⊥OB， ∴CP∥OB， ∴∠PCO+∠AOB=180°， ∴2∠PCO=360°-2∠AOB， ∵CP是∠OCD的平分线， ∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB， ∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB， ∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB， ∴∠AOB=∠BO′E′． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． 【考点二】 二元一次方程组参数问题 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入得： ，故①正确， ②解方程组，得：， 若， 则， 解得：， 即存在实数，使得，故②正确； ③解方程组，得：， ∴ ， 不论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ④解方程组，得：， 若， 则， 解得：，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 5．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知关于、的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是 ____． ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则． 【答案】①③ 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． 把两个方程相加，可以得出，从而可得，即可判断①，当时，原方程组的解满足，而方程的解满足，即可判断②，先解方程组，可得，然后再计算的值，即可判断③，将方程组中的字母消去，即可判断④． 【详解】解：， ①②得：， ， ①当这个方程组的解、的值互为相反数时，即， ， ， 则第一个结论正确， ②原方程组的解满足：， 当时，， 而当时，方程的解满足， 则第二个结论不正确， ③， 解得：， ， 无论取什么实数，的值始终不变， 则第三个结论正确， ④， 由方程①得：③， 把方程③代入方程②得： ， 解得：， 则第四个结论不正确， 正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 6．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 7．（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 【考点三】二元一次方程组特殊解法 8．（23-24七年级下·浙江温州·期中）设计动态验证码 日常生活中，我们会运用验证码技术来协助平台账号的登录，其原理是：用户每次向网页提交信息时，系统会根据算法随机生成一串数字（即验证码），只有正确输入验证码才能成功提交信息．学生小实自行设计验证码生成器，其原理是通过二元一次方程设置算法，随机生成动态验证码． 【步骤一：根据方程生成非负整数解】以二元一次方程为例，利用该方程的非负整数解生成验证码．通过计算，以从小到大为序对非负整数解进行编码，请观察并填写下列表格： 【步骤二：依据编码随机生成验证码】随机抽取的两组非负整数解生成验证码，如抽取序号和两组解∶和规定将两组整数解按照在前在后的顺序填入指定区域内∶，可生成如下2个验证码∶ 【任务一：理解算法】 （1）请补全表2． （2）结合表2，求出二元一次方程的第组非负整数解． （3）当表2中取最大值时，求出对应的和的值． 【任务二：应用算法】 学生小实利用(a，b为正整数)生成验证码∶ 规则 ①取一组a、b的值，确定方程 ②在该方程的非负整数解中，抽取序号和两组非负整数解作为验证码 请在满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程，依据抽取序号写出一组验证码∶ 【答案】任务一：（1），（2）（3）；任务二： 或 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解的应用； 任务一：理解算法 （1）当时，此时，代入方程，即可求解； （2）由表得第组时，，代入方程，即可求解； （3）由方程得，可得，从而可求，代入即可求解； 任务二：应用算法 满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或， ① 当时，此时，代入方程可求解，同理可求当时，②同理可求，即可求解； 理解验证码的求法，找出二元一次方程是解题的关键． 【详解】解：任务一：理解算法 （1）当时， 此时， ， 解得：， ， 故答案：，； （2）由表得 第组时，， ， 解得： ； （3）由得 ， 是非负整数， ， ， 解得：， ， 解得：， ， ； 任务二：应用算法 满足规则的情况下，选出非负整数解数量最少的方程为或， ① 当时， 此时， ， 解得：， ， 当时， 此时， 解得， ， 验证码为： 或 ② 同理可求， 验证码为： 或． 故验证码为： 或． 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则关于，的方程组的解是______． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，由变形为，根据方程组的解是，即可得出答案． 【详解】解：把方程组变形为， ∵方程组的解是， ∴， ∴． 10．（23-24七年级下·浙江衢州·期中）实验表明，物体在做匀加速直线运动时，速度随着运动时间的改变而改变，它的速度可用公式计算，已测得当时，速度；当时，速度，求： (1)，a的值． (2)当速度时该物体的运动时间t． 【答案】(1) (2)7.2 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次方程，准确计算是解题的关键． （1）由题意得关于，a的二元一次不等式，求解即可； （2）将代入公式，计算即可． 【详解】（1）∵时，速度；当时，速度， ∴， 解得； （2）由（1）得， 当时，， 解得． 【考点四】二元一次方程组的应用 11．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【知识点】列代数式、整式加减的应用、根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）我校为开展劳动拓展课程，拟在一块长比宽多的长方形场地内建造由两个大棚组成的植物养殖区．如图（）为大棚，设计方案如图（），要求两个大棚之间有间隔的路，已知每个大棚的周长为． (1)求每个大棚的长和宽各是多少？ (2)当面积超过平方米时，有两种大棚造价的方案，方案一：每平方米元，总价优惠元；方案二：每平方米元，总价优惠，试问选择哪种方案更优惠？说明理由． 【答案】(1)大棚的长为米，宽为米 (2)选择方案二更优惠，理由见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（）设大棚的长为米，宽为米，根据题意列出方程组即可求解； （）求出大棚的面积为，再分别求出两种方案的造价，比较即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设大棚的长为米，宽为米， 根据题意得，， 解得， 答：大棚的长为米，宽为米； （2）解：选择方案二更优惠，理由如下： 大棚的面积为平方米，   若按照方案一计算，大棚的造价为：元， 若按照方案二计算，大棚的造价为：元， ∵， ∴选择方案二更优惠． 13．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）某校计划建一间多功能数学实验室，将采购两类桌椅：A类是三角形桌，每桌可坐人，类是五边形桌，每桌可坐人．学校拟选择甲、乙两家公司中的一家来采购，两家公司的标价均相同，且规定两类桌椅均只能在同一家公司采购．甲公司对两类桌椅均是以标价出售；乙公司对A类桌椅涨价、类桌椅降价出售，经咨询，两家公司给出的数量和费用如下表： A类桌椅（套） 类桌椅（套） 总费用（元） 甲公司                乙公司                (1)求A、两类桌椅每套的价格分别是多少？ (2)如果该数学实验室需设置个座位，学校到甲公司采购，应分别采购A、两类桌椅各多少套时所需费用最少？ 【答案】(1)A、两类桌椅每套的价格分别是元、元 (2)分别采购A、B两类桌椅为1套和9套时 【知识点】列代数式、已知式子的值，求代数式的值、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设A、两类桌椅每套的价格分别是元、元，然后根据表格中的数据可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）设到甲公司采购A类桌椅x套，B类桌椅y套，根据题意可以得到相应的方程，然后根据代数式的性质，即可解答本题，注意． 【详解】（1）解：设A、两类桌椅每套的价格分别是元、元， 由题意得，， 解得， 答：A、两类桌椅每套的价格分别是、元； （2）解：设到甲公司采购A类桌椅x套，B类桌椅y套， 则所需费用为：， ， ， ， ，， 当y取最大值时，费用最小， ， 的最大值是9，此时， 当时，费用取得最小值，最小值为：， 故应分别采购A、B两类桌椅分别为1套和9套时，所需费用最小． 【点睛】本题考查了代数式求值问题、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用代数式的性质和方程的知识解答． 14．（24-25七年级下·浙江温州·期中）综合与实践． 【素材1】某工厂计划日生产件零件． 【素材2】现有初级工、高级工两种工人可安排参与生产，生产能力和薪酬如下： 工种 初级工 高级工 日生产量（件/人） 日薪酬（元/人） 【素材3】为了便于调配，工厂安排的工人恰好可以完成生产计划． 【问题】 (1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排多少名初级工？ (2)该工厂每日计划支付薪酬元，那么需要安排初级工、高级工各多少人？ (3)为了保证生产质量，该工厂计划每4名初级工生产时需1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），请为工厂设计一个成本最低（支出工人的总日薪酬最低）的工人安排方案． 【答案】(1)若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工 (2)需要安排初级工5人，高级工人 (3)应安排初级工名，高级工8名 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、二元一次方程的解、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组得应用，二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用．找准等量关系，列出正确的等式是解题的关键． （1）设需要安排名初级工，根据需要日生产件零件，可列出关于的一员一次方程，解之即可； （2）设需要安排初级工x人，高级工y人，根据日生产件零件且该工厂每日支付薪酬元，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可； （3）设需要安排参与生产的初级工人，高级工人，根据日生产件零件，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出各安排方案，结合每4名初级工生产时需要1名高级工进行指导（不足4名按4名计算，指导的高级工不参与生产，但需要支付日薪酬），可列表得出具体安排方案，再求出选择各方案需支出工人的总日薪酬，比较后即可得出答案． 【详解】（1）解：设需要安排名初级工， 根据题意得：， 解得：， 答：若工厂指派名高级工参与生产，则需要安排名初级工． （2）解：设安排初级工x人，高级工y人 ，解得 答：需要安排初级工5人，高级工人． （3）解：设参与生产的初级工人，高级工人 则，化简得， 则为5的倍数，可列表如下： 0 5 5 参与指导的高级工人数 8 6 4 2 高级工人数 8 费用 ∴应安排初级工29名，高级工8名． 15．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）小林在某商店购买商品，若干次（每次，两种商品都购买）．其中第一、二次购买时，均按标价购买；第三次购买时，商品，有打折优惠．三次购买商品，的数量和费用如表： 购买商品A的数量 购买商品B的数量 购买总费用 第一次购买 第二次购买 第三次购买 (1)求商品，的标价． (2)若第三次购买时商品，的折扣相同，则该商店是打几折出售这两种商品的？ (3)在（2）的条件下，若小林第四次购买时共花了元，则小林有哪几种购买方案？ 【答案】(1)商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个 (2)折 (3)种，见解析 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、二元一次方程的解、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，折扣问题，解题的关键是熟练的掌握二元一次方程组的应用． （1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据题目中的等量关系列出方程组求解即可； （2）根据总价除以实际价格乘以10，即可得出折扣； （3）设小林购买m个商品A，n个商品B，根据题意列出二元一次方程，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：设商品的标价为元个，商品的标价为元个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品的标价为元个，商品的标价为元/个． （2）． 答：商店是打8折出售这两种商品的． （3）设小林购买个商品，个商品， 根据题意得：， ． 当时，； 当时，； 当时，； 答：小林共有三种购买方案，方案一：购买个商品，个商品；方案二：购买个商品，个商品；方案三：购买个商品，个商品． 16．（24-25七年级下·浙江温州·期中）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购，两款新能源汽车若干辆(两者都要)，若买10辆款和5辆款需付款160万元，若买5辆款和10辆款需付款170万元，设款的单价为万元，款的单价为万元． (1)求和的值． (2)若购买款和款新能源汽车刚好付款150万元，请求出所有的购买方案． (3)根据最新汽车国补政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可减2万元．已知该公司总计付款318万元，款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的，则款中享受国补的有______________辆． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车； (3)或 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键； （1）根据“买辆款和辆款需付款万元，买辆款和辆款需付款万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案； （3）设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，则款中没有享受国补的有，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合，， 均为非负整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设款的单价为万元，款的单价为万元． 根据题意得： 解得： （2）设购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车， 根据题意得：， 又，均为正整数， 或 共有种购买方案，方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车；方案：购买辆款新能源汽车，辆款新能源汽车； （3）万元， 款中没有享受国补的单价与款中享受国补的单价相同． 设款中享受国补的有辆，款中没有享受国补的和款中享受国补的共辆，款中没有享受国补的共辆， 款中没有享受国补的数量是所购车辆总数的， ，即款中没有享受国补的有辆， 根据题意得： 解得： ，， 均为非负整数， 或 款中享受国补的有或辆． 故答案为：或． 17．（24-25七年级下·浙江温州·期中）运动会开幕式需要各代表队正方形方阵（行数和列数相等）入场展示．如图所示，正方形方阵分为实心方阵和空心方阵（每层都是一个正方形形状）两种形式． (1)填空：7列2层空心方阵有 人，x列2层空心方阵有 人；（用含x的代数式表示，其中x为大于4的正整数） (2)某代表队可以排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2，求m、n的值； (3)某代表队可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵，则该代表队至少有 人． 【答案】(1)40；； (2)； (3)96． 【知识点】列代数式、图形类规律探索、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式、二元一次方程组的应用等知识点，找到相等关系列出方程组是解题的关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）根据“排成m列2层空心方阵，也可以排成n列3层空心方阵，且m比n多2”列方程组求解即可； （3）现根据“可以排成m列3层空心方阵，也可以排成n列4层空心方阵”列出方程组，再求最小整数解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，7列2层空心方阵有：； x列2层空心方阵有：， 故答案为：40；． （2）解：由题意可得：m列2层空心方阵人数：； n列3层空心方阵人数：， ∴， 解得：． （3）解：由题意得，， ∴， ∴， 由题意得：， ∴m的最小正整数为：， ∴． 故答案为：96． 18．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有座的大巴车和座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，且每辆车的空位不超过2个． 王老师：七年级师生共需座． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 赵老师：如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费元，若两个年级联合组团只需花费元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： 问题1： 大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ 问题2： 请你为七年级师生求出所有恰好能提供座的租车方案． 问题3： 八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】问题1：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 问题2：租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆 问题3：八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，熟练根据题意正确列出式子和方程是解题的关键． 问题1：设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； 问题2：设七年级师生租用大巴车辆，租中巴车辆，、为非负整数，由恰好能提供座，即大巴车和中巴车都坐满，得，求解即可； 问题3：现根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：问题1：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； 问题2：设七年级师生租用大巴车辆，租中巴车辆，、为非负整数， 由恰好能提供座，即大巴车和中巴车都坐满， 得， 解得：或或， 经检验都满足题意； 则租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆，或租用大巴车辆，租中巴车辆； 问题3：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 【考点五】三元一次方程组及其解法 19．（22-23七年级下·浙江温州·月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需_______元． 【答案】7 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】首先假设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元． 则由题意得： ， 由①②得， 于是：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，解题的关键是在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 20．（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 21．（22-23七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计制作木箱方案？ 素材1 如图1，是一个无盖的木箱，该木箱由A，B，C三种型号的木板制作而成，而三种型号的木板是由一个大长方形板材按如下甲、乙、丙三种不同切割方式进行无废料切割得到．已知． 素材2 若有24张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 素材3 若有20张B型号木板和m张长方形板材，将板材按以上三种方式进行切割，无材料剩余（恰好可以制作若干个木箱）． 问题解决 任务1 确定型号大小 求A，B，C三种型号木板的面积． 任务2 探究木箱容量 一共可以制作多少个木箱？并求出木箱的总体积． 任务3 拟定制作方案 请你设置一种合适的切割方案，并指出m的值． 【答案】任务1：A，B，C三种型号木板的面积分别是；任务2：一共可以做18个木箱，木箱的总体积；任务3：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时（答案不唯一） 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用 【分析】本题考查有理数的运算，二元一次方程组和三元一次方程组的应用： 任务1：根据图形分别求出三种型号的木板的长和宽，进行计算即可； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：任务1：由图可知，型木板的宽为，型木板的宽和木板的长均为，由图1可知，木板的宽与型木板的宽相同，均为，由图丙可知，型木板的长型木板的宽，由图乙可知，型木板的长等于型木板的长， ∴型木板的面积为： 型木板的面积为： 型木板的面积为：； 任务2：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 由图1可知，制作一个木盒需要2张，2张和1张， ∴，解得：， ∴共制作型木板，张， ∴共能制作木盒18个， 木箱的总体积为：； 任务3：设用张按照图甲制作型木板，张按照图乙制作型木板，则张按照图丙制作型木板，则共制作型木板，张，共制作型木板，张，共制作型木板，张， 又原来有20张型木板，故共张型木板， 由题意，得： ∴， 解得：，（均为正整数）， ∵， ∴ ∴当时，，， 即：甲方式切割5张，乙方式切割8张，丙方式切割3张，此时．（答案不唯一） 【考点六】同底数幂的乘除法 22．（23-24七年级下·浙江金华·期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有（　　） ①若，，则； ②若，，则用含x的代数式表示y为； ③若，则满足条件x的值有3个； ④若，，则的值为 ⑤1，2，3，…，58这58个数中不能表示成某两个自然数的平方差的数共有14个. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】同底数幂的除法运算、运用平方差公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、零指数幂 【分析】①根据平方差公式求出结果即可；②先应用同底数幂的除法法则的逆运算，再用幂的乘方法则，最后等量代换；③分三种情况分别计算；④根据完全平方公式变形公式进行求解即可；⑤设两个自然数的平方差，分析得出与同奇或同偶，得出这个数为奇数或4的倍数，得出能够表示成某两个自然数的平方差的个数，从而得出不能表示成某两个自然数的平方差的个数． 【详解】解：①∵， ， ∴，故①不符合题意； ②∵，， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ③∵， ∴当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，不合题意， 当时，，，则，符合题意． 综上所述：满足条件x的值有2个，故③不符合题意； ④∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴的值为，故④不符合题意； ⑤设两个自然数的平方差， ∵与同奇或同偶， ∴这个数是奇数或是4的倍数， 在1，2，3，…，58这58个数中奇数有29个，能被4整除的数有14个， ∴不能表示成两个自然数的平方差的数共有，（个），故⑤不符合题意； 综上，正确的只有1个； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂等考点的运算． 23．（24-25七年级下·浙江温州·期中）阅读材料，回答下列小题． 某种微生物的数量随时间呈指数增长，经过t小时培养后数量为，其中为微生物的初始数量，为每小时微生物数量的增长倍数（）． 例：当时，经过4小时后微生物的数量为． 如图，该微生物培养小时后的数量是初始数量的3倍；培养小时后的数量是初始数量的5倍．那么培养小时后，微生物的数量是初始数量的（    ）倍．    A．15 B．30 C．45 D．75 【答案】C 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】题目主要考查同底数幂的乘法运算，幂的乘方运算，理解题意是解题关键． 根据题意得出，，确定，，再结合题意求解即可． 【详解】解：根据题意得： ，， ∴，， ∴， ∴微生物的数量是初始数量的45倍， 故选：C． 24．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）如果 ，，那么_____，_______． 【答案】 9 45 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方法则及其逆用，同底数幂相乘法则的逆用，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则和同底数幂相乘法则． 先根据已知条件和逆用幂的乘方法则计算，再根据同底数幂相乘把写成含有，的形式，再整体代入求值即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：9；45． 【考点七】单项式的乘法 25．（24-25七年级下·浙江温州·期中）长和宽分别为，和，的长方形与长方形如图摆放，其中点B、C、E三点在同一条直线上，图中空白部分面积记为，阴影部分面积记为，若想要得到的值，只需要测量的线段为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【知识点】列代数式、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，熟练掌握长方形的性质，三角形的面积公式，整式的加减运算是解决问题的关键． 依题意得，根据三角形和长方形的面积公式得，进而得，，则，据此即可得出答案． 【详解】解：依题意得， ， ， ∵，     ， ， ∴想要得到的值，只需要测量的线段和的长即可． 故选：A． 26．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】有理数乘法的实际应用、列代数式、整式加减的应用、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 【考点八】多项式的乘法 27．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）将正方形纸片和正方形纸片按图放入周长为的长方形中，空白图形、，甲、乙、丙为阴影部分．设正方形的边长为，正方形的边长为，长方形的长为，宽为，且．已知下列选项的值，仍不能求出甲的周长的是（    ） A．乙的周长与丙的周长和 B．的周长与的周长和 C．乙的面积与丙的面积和 D．的值 【答案】C 【知识点】整式加减的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式加法和乘法的应用，根据题意和图形分别求出甲、乙、丙、、的周长，乙的面积与丙的面积，进而求出乙与丙的周长和，与的周长和，乙与丙的面积和，根据结果逐项判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意得，甲的长和宽为：，， 乙的长和宽为：，， 丙的长和宽为：，， ∴甲的周长为：， 乙的周长为：， 丙的周长为：， 的周长为：， 的周长为：， 乙的面积为：， 丙的面积为：， ∴乙的周长与丙的周长和为：， 的周长与的周长和为：， 乙的面积与丙的面积和为： ， ∵甲的周长为， ∴只要确定了的值，就能求出甲的周长， 由上可知，已知选项的值，均能确定的值，已知选项的值，不能确定的值， ∴不能求出甲的周长的是， 故选：． 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）将两张边长分别为和（）的正方形纸片按图①，图②所示的方式放置在长方形内，（图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①，图②中阴影部分的面积为分别为，当时，请你用含的代数式表示的值是______． 【答案】 【知识点】列代数式、整式加减的应用、计算单项式乘多项式及求值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查列代数式及整式混合运算，设，则，数形结合，分别表示出，进而代入，再利用整式混合运算法则化简即可得到答案．数形结合分别表示出，并灵活运用整式混合运算化简求值是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， ， ， ， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·浙江温州·期中）某校为了喜迎新春，开展了“巧制花灯，福满校园”的活动，如图1为学生制作的其中一种花灯样式，它的四面是由四个完全相同的平面模板（如图2）折叠拼接而成的．模板是由2个长方形A、2个长方形C、1个长方形D和4个等腰梯形B构成的，其中尺寸如图2所示：长方形A的宽为m，长为n，等腰梯形的高与长方形A的宽大小一样，长方形C的长为，宽为，模板总高为． (1)请用含m，n的代数式表示模板的面积（结果需化简）． (2)当时，请求出花灯模板的面积．单位： 【答案】(1) (2)348 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据模板的面积列式求解即可． （2）将整体代入求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当时， 原式 ． 30．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）有边长分别为a，b的两种正方形（如图1）卡片若干． (1)将两种正方形卡片各一张按如图2放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（未重叠部分）的周长； (2)将一张边长为a的正方形卡片和两张边长为b的正方形卡片按如图3放置，用含a，b的代数式表示阴影部分（三张卡片都重叠部分）的周长； (3)将两种正方形卡片各一张按如图4放置在一个边长为c的大正方形内，左下角长方形的面积为S1，两张卡片重叠部分的面积为S2．若，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了多项式乘法和图形面积． （1）根据正方形的边长为a，正方形的边长为b，得，由此可得出阴影部分的周长； （2）正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b，得，再根据得，则，由此可得出阴影部分的周长； （3）根据正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b，，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图2所示： ∵正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （2）如图3所示： ∵正方形的边长为a，正方形和正方形的边长均为b， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长为：； （3）与的数量关系是：，理由如下： 如图4所示： ∵正方形的边长为c，正方形的边长为a，正方形的边长为b， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点九】乘法公式 31．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设，根据“，”，可列出关于x，y的方程组，再利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设， 根据题意得：， 得： 即， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 32．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）如图1是长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出之间的等量关系：___________； (2)根据（1）中的结论，若，，求的值； (3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，根据（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)16 (3) 【知识点】平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，图形面积，平方差公式，理解完全平方公式的几何意义是解题的关键． （1）根据图形的面积可得到，，之间数量关系； （2）根据（1）的结论，利用完全平方公式变形求值即可求解； （3）先利用完全平方公式变形求得，再利用平方差公式求得，根据，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵如图是一个长为、宽为的长方形， ∴图的长方形面积为：， ∵图的边长为，图阴影部分的面积为：， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴ ； （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 33．（23-24七年级下·浙江·期中）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式及叫做“完全平方式”．杨老师布置了一道思维拓展题：代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值．小宋的解题步骤如下： 的最小值为4 小宋的解法及结果得到了杨老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题： (1)下列多项式中①；②；③；④是完全平方式的有_________．（请填写序号） (2)若是一个完全平方式，则k的值等于_________（k为常数）． (3)代数式有最大值还是最小值？并求出这个最值． 【答案】(1)②④ (2) (3)最大值 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键． （1）根据题干信息直接作答即可； （2）根据完全平方公式的特点解答即可； （3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案． 【详解】（1）解：①不能分解因式，不是完全平方式； ②，是完全平方式； ③，不能因式分解，不是完全平方式； ④，是完全平方式， 故答案为：②④； （2）∵是一个完全平方式， ∴，解得， 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， 即代数式有最大值有最大值，最大值为． 【考点十】整式的化简 34．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 35．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)7 (2) 滨滨正确，江江正确，美美错误 【知识点】有理数四则混合运算、整式的混合运算、新定义下的实数运算 【分析】本题考查了新定义运算的计算及运算律的验证，解题的关键是根据新运算的定义代入计算并推导运算律． （1）根据新运算定义，将、代入公式计算； （2）分别推导交换律、结合律、分配律的左右两边，比较是否相等以判断说法正误． 【详解】（1）解：由新运算， 当，时， 故答案为：． （2）解：∵ ，， ∴ ，滨滨的说法正确． ∵， ； ， ； ∴ ，江江的说法正确． ∵； ； ∵ ， ∴ 分配律不成立，美美的说法错误． 答：滨滨、江江的说法正确，美美的说法错误． 36．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（为常数）写成（为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题． 【知识理解】： （1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为______； （2）配方：______﹔ 【知识运用】： （3）求多项式的最小值． 【答案】（）；（）；（）多项式的最小值为． 【知识点】完全平方公式分解因式、求完全平方式中的字母系数、通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方式、配方法、平方式的非负性，理解题意，掌握配方法并灵活运用是解题的关键． （）根据完全平方式的形式求解即可； （）利用配方法的步骤求解即可； （）先分组分别配方，再利用平方式的非负性求解即可． 【详解】解：（）∵是一个完全平方式， ∴， 故答案为：； （）由题意得：， 故答案为：； （） ， ∵，， ∴， ∴多项式的最小值为． 【考点十一】整式的除法 37．（23-24七年级下·浙江温州·期中）一个长方体模型的长、宽、高分别为，，．某种油漆每千克可漆面积为，问漆这个模型需要多少千克油漆？ 【答案】千克 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式混合运算得实际应用，熟练掌握整式运算法则是解题的关键； 根据长方体的表面积公式求出表面积，再除以每千克可漆面积，即可解答． 【详解】这个长方体的表面积为： ； 漆好这个模型需要的油漆为： （千克）， 漆好这个模型需要千克油漆． 38．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即请根据阅读材料解决下列问题： (1)配方： ． (2)先化简，再求值：，其中、满足． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式、整式的加减中的化简求值 【分析】（1）利用配方法计算即可； （2）根据平方差公式、多项式除以单项式的运算法则、合并同类项把原式化简，利用配方法、偶次方的非负性分别求出、，代入计算即可． 本题考查的是整式的混合运算化简求值、配方法的应用，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：； （2） ， ， 则， ， ，， ，， 则原式． 39．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，为线段上一点，以、为一边，在同侧作长方形和长方形，且满足，，记， (1)记长方形的面积为，长方形的面积为，若，，求． (2)如图，点是线段上的动点， ①当点从点向左移个单位后，求与的面积之差（结果用含的代数式表示）． ②当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为．当点从点向左移动个单位后，求与的面积之差为，求的值（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)①；②，，． 【知识点】列代数式、整式四则混合运算 【分析】本题属于四边形综合题，考查了三角形的面积、整式的混合运算等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）根据建立方程，求出，的值即可解决问题； （2）①用，表示，的长即可解决问题； ②分别求出，进而即可求得，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：①由题意得：，， ∴； ②当点从点向左移动（）个单位后， 由题意得：，， ∴， 当点从点向左移动个单位后，，， ∴， ∴． 40．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）【阅读理解】在一次数学活动课上，何老师准备了若干张如图所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为的正方形，乙种纸片是边长为的正方形，丙种纸片是长为，宽为的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图所示的一个大正方形． (1)观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：______，利用等式解决问题：若，，则的值为______； (2)【拓展探究】若，求的值； (3)【实际运用】如图，将正方形与正方形叠放，重叠部分是一个长方形，，，沿着、所在直线将正方形分割成四个部分，若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)17 (3)192 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、整式四则混合运算 【分析】利用面积法可得：，然后进行计算即可解答； 设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； 设正方形的边长为，从而可得，，然后设，，则，，最后利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：观察图，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：， ，，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）设，， ， ， ， ， 即； （3）设正方形的边长为， ，， ，， 设，， ， 四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为， ， ， ， ， 长方形的面积为． 【点睛】本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式的几何背景，完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 41．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）学习了平方差、完全平方公式后，小聪同学对学习和运用数学公式非常感兴趣，他通过上网查阅，发现还有很多数学公式，如立方和公式：，他发现，运用立方和公式可以解决很多数学问题，请你也来试试利用立方和公式解决以下问题： (1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何数、字母或式子 ①化简： ； ②计算： ； (2)【公式运用】已知：，求的值： 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】整式四则混合运算、通过对完全平方公式变形求值、分式化简求值 【分析】本题考查整式混合运算，分式化简求值， （1）①用多项式乘多项式法则计算即可； ②把变形成，再计算即可； （2）由，求出，再将变形成，代入计算即可； 解题的关键是掌握整式相关的运算法则和公式． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴，即， ∴ ， 即的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $