期中真题必刷压轴60题（07大考点专练） 2025-2026学年苏科版七年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴60题（07大考点专练） 【考点一】 幂的乘除运算及其规律探究 【考点五】 平移的应用 【考点二】 单项式乘多项式的应用 【考点六】轴对称与翻折问题 【考点三】 多项式乘多项式的综合应用 【考点七】旋转与中心对称 【考点四】 乘法公式的综合应用 【考点一】幂的乘除运算及其规律探究 1．（2024七年级下·江苏扬州·期中）规定，求： (1)求； (2)若，求x的值． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，． (1)求的值． (2)计算的结果． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 8．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 12．（22-23七年级·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空： ； (2)已知，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 18．（22-23七年级下·江苏南京·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______， ______； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【考点二】单项式乘多项式的应用 21．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 22．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）用代数式表示下列图形阴影部分的面积． (1) (2) 23．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期中）按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【考点三】多项式乘多项式的综合应用 25．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）王老师在数学课上带领同学们做等式接龙游戏，他在黑板上写下4个等式：①；②；③；④．他要求同学们根据黑板上已写等式的规律，再任意写出一个等式．下面是3位同学的接龙等式：⑤；⑨；⑩ (1)上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是______；（填序号） (2)探索以上等式的规律，写出第个等式，并说明第个等式成立的理由． 27．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；（用含a，b的式子表示） (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 28．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 29．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)判断的展开式共有________项；写出的第三项的系数是_________； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①的展开式为________． ②猜想：的展开式中各项系数的和是________． (3)运用：若今天是星期三，那么再过天是星期_______． 30．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 31．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 32．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【考点四】乘法公式的综合应用 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 34．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 35．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：；……． (1)直接写出结果：__________；__________． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：__________（用含的代数式表示）． (3)我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请你证明（2）中的结论． 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； (2)【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； (3)【拓展】若，求的值． 37．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用图中边长分别为a、b的A型、B型正方形纸片和长为a宽为b的C型长方形纸片，可以拼出一些图形． (1)边长为的正方形，可由A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片_____张拼成； (2)用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形（用含a、b的代数式表示）； (3)用6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和5张B型正方形纸片可以拼成一个长方形，m的值为多少？（直接写出结果） 38．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式． 我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”、理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①；②；③；④． 探究问题： （2）若（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），当=______时，为“完美数”． 拓展应用： （4） 已知实数满足，则的最小值是_______． 39．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，像、等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．我们称这样的代数式为神奇变换代数式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)下列代数式中是神奇变换代数式的有_____（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于、的代数式为神奇变换代数式，求的值． (3)已知关于的神奇变换代数式的值为6，且满足，求的值． 【考点五】平移的应用 41．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知中，若点在三角形的内部，将三角形向右平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，则的长度是_________． 42．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 43．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 44．（23-24七年级下·江苏南京·期中）画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的三角形； (2)线段与线段的关系是______； (3)四边形的面积是______． 【考点六】轴对称与翻折问题 45．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为_______． 46．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 47．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线； (2)在题（1）的基础上，用无刻度的直尺和圆规作出关直线的对称三角形． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 49．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知点为外一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图2，连接，作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 50．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 51．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点均为网格线的交点． (1)将先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到，画出． (2)画出关于直线l成轴对称的． 52．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 53．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 54．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【考点七】旋转与中心对称 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； (2)如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 56．（24-25七年级下·江苏南京·期中）格点和直线在正方形网格中的位置如图所示．和关于直线对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． (1)分别画出． (2)下列说法中，所有正确的序号是__________． ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称． 57．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ． 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数；（写解答过程） ②当时， （用含的式子表示）． 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值． 58．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，将绕点O顺时针旋转，得到，请在网格中画出，； (2)与关于直线_____成轴对称； (3)如图，所在的正方形网格中，能画出与成轴对称的格点三角形共有______个（不包括本身）． 59．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）按要求完成以下作图． (1)作，使其与关于直线成轴对称； (2)作线段关于点对称的线段； (3)作线段绕点C逆时针旋转后所得线段． 60．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）作图：①如图，已知点P为边上一点，请用直尺和圆规作一条直线l，使得点A关于l的对称点为P． ②在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向上平移2个单位后的． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)画出与的对称中心D（黑点标记）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴60题（07大考点专练） 【考点一】 幂的乘除运算及其规律探究 【考点五】 平移的应用 【考点二】 单项式乘多项式的应用 【考点六】轴对称与翻折问题 【考点三】 多项式乘多项式的综合应用 【考点七】旋转与中心对称 【考点四】 乘法公式的综合应用 【考点一】幂的乘除运算及其规律探究 1．（2024七年级下·江苏扬州·期中）规定，求： (1)求； (2)若，求x的值． 【答案】(1)16 (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、同底数幂相乘 【分析】（1）根据定义以及同底数幂的乘法法则计算即可； （2）把64写成底数是2的幂，再根据定义以及同底数幂的乘法法则可得关于x的一元一次方程，再解方程即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知，． (1)求的值． (2)计算的结果． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴； 由（1）得， ∴ ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）爱动脑筋的小明在学习《幂的运算》时发现：若，且，、都是正整数），则，例如：若，则．小明将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请您和小明一起用这个正确的发现解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1)x=5 (2)x=2 【知识点】同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用 【分析】（1）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对式子进行整理，从而可求解； （2）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则对式子进行整理，即可求解． 【详解】（1）因为2×4x×32x=236， 所以2×22x×25x=236， 即21+7x=236， 所以1+7x=36， 解得：x=5； （2）因为3x+2+3x+1=108， 所以3×3x+1+3x+1=4×27，4×3x+1=4×33， 即3x+1=33， 所以x+1=3， 解得：x=2． 【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 4．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）观察下列各式： ， ， ， …… (1)仔细观察： ______； (2)探究规律： 根据以上的观察、计算，你能发现什么规律，试写出第个等式，并说明第个等式成立； (3)实践应用： 计算：； (4)深度思考： 计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) (4) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘、数字类规律探索 【分析】本题考查了整式的规律探究，同底数幂的乘法．理解题意，推导一般性规律解题的关键． （1）由题意知，； （2）由题意知，第个等式为，然后利用同底数幂的乘法的逆运算求解证明即可； （3）由题意知，，则； （4）令，则，根据，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：由题意知，第个等式为， 由题意知，； ∴第个等式成立； （3）解：由题意知，， ∴， ∴； （4）解：令， 则， ∴， 解得，， ∴． 5．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法： 设① 则② ②①得，． 请仿照小明的方法解决以下问题： （1）______； （2）求______； （3）求的和；（请写出计算过程） （4）求的和（其中且）．（请写出计算过程） 【答案】（1）221−2；（2）2-；（3）；（4）+ 【知识点】同底数幂相乘 【分析】（1）根据阅读材料可得：设s＝①，则2s＝22＋23＋…＋220＋221②，②−①即可得结果； （2）设s＝①，s＝②，②−①即可得结果； （3）设s＝①，-2s＝②，②−①即可得结果； （4）设s＝①，as＝②，②−①得as-s=-a-，同理：求得-，进而即可求解． 【详解】解：根据阅读材料可知： （1）设s＝①， 2s＝22＋23＋…＋220＋221②， ②−①得，2s−s＝s＝221−2； 故答案为：221−2； （2）设s＝①， s＝②， ②−①得，s−s＝-s＝-1， ∴s＝2-， 故答案为：2-； （3）设s＝① -2s＝② ②−①得，-2s−s＝-3s＝+2 ∴s＝； （4）设s＝①， as＝②， ②-①得：as-s=-a-， 设m=-a-③， am=-④， ④-③得：am-m=a-， ∴m=， ∴as-s=+， ∴s=+． 【点睛】本题考查了规律型−实数的运算，解决本题的关键是理解阅读材料进行计算． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)24 (2)4 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】（1）根据幂的乘方计算法则得到，则，据此根据题意求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把等式变形为，进而得到，据此根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）根据下列条件回答问题 (1)已知，求n的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)25 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则，能正确幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据幂的乘方进行变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，求出，再求出答案即可； （2）先根据积的乘方进行变形，再代入求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，， 的 ． 8．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如，则．（为非负数、为非负整数）请运用所学知识解答下列问题： (1)已知：，求的值． (2)已知：，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）利用幂的乘方、积的乘方的逆用变形，得到，即，求解即可； （2）利用幂的乘方、同底数幂的乘法法则变形，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， 解得：， ∴的值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 9．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）【阅读材料】：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法： 方法一：比较的大小：当时，，所以当同底数时，指数越大，值越大； 方法二：比较和的大小：因为，所以． 即可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大． 根据上述材料，解答下列问题： (1)比较大小：_______________（直接填写“>”或“”或“<”）． (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1)； (2) 【知识点】幂的乘方运算、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查的是幂的乘方运算的含义，有理数幂的大小比较； （1）由可得，由可得即； （2）由，；进一步可得结论； 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，； ∵， ∴； 10．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，则、的大小关系是a________b（填“<”或“>”．） 解：，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)比较的大小； (2)比较与的大小； (3)已知．求之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、有理数大小比较 【分析】（1）将三个数都化为以3为底数的幂，然后比较指数大小即可； （2）将两数都化为指数为的幂，然后比较底数大小即可； （3）因为，根据已知条件，则可得，通过幂的运算可得结论． 【详解】（1）解：， 又∵， ； （2）解：， 又∵， （3）解：， 又∵， ． 11．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、积的乘方的逆用 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 12．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）阅读下列各式：，，… 回答下列三个问题： (1)验证： ； ． (2)通过上述验证，归纳得出： ； ． (3)请应用上述性质计算： ①； ②． 【答案】(1)1，1 (2)； (3)①4；② 【知识点】积的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方公式及其逆运算，正确理解积的乘方等于乘方的积是解题的关键． （1）积的乘方公式及其逆运算计算即可； （2）由，，…，归纳可得，，； （3）逆用公式 ，即容易求出答案． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：1，1； （2），，… ∴，； 故答案为：；； （3）① ； ② ． 13．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令，求的值． 【答案】(1)3，125 (2)90 (3)3 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查有理数的乘方，同底数幂的乘法逆用，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）由题意可得出，，那么，则，故，而，得到，则，故，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：3，125； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）运算法则或性质从右到左也是成立的，比如：由积的乘方，可以得到．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出m，n，p之间的数量关系 ． 【答案】(1)8 (2) (3) 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、同底数幂除法的逆用 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法法则，将转化为，再代入已知值计算． （2）依据同底数幂除法法则和幂的乘方法则，把变形为，然后代入求值． （3）先把转化为以为底的幂，即，再结合的结果，找出、、的数量关系． 【详解】（1）解： ∵，， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴ （3）解：∵，且， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·江苏·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，在解题过程中，根据算式的特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)填空： ； (2)已知，求的值；（用含a，b的式子表示） (3)已知，求x的值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】积的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）逆用积的乘方法则计算即可； （2）逆用同底数幂的除法、幂的乘方法则计算即可； （3）同底数幂的乘法、幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） 解：由， ∴． （3）解： ， ， ， 解得． 16．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）规定一种新运算：，其中a，b为有理数． (1)计算：_____； _____； (2)计算：； (3)当时，求x的值． 【答案】(1)1； (2)1 (3)2023 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、积的乘方的逆用、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了新定义，积的乘方的逆运算，同底数幂乘法计算，零指数幂和负整数指数幂： （1）根据新定义结合零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可； （2）根据新定义得到所求式子为，据此利用积的乘方的逆运算法则求解即可； （3）根据题意得到，进而得到，则，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：，， 故答案为：1；； （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、负整数指数幂 【分析】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键． （1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可； （2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可； （3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 记，，， ， ， ， ， ； （3）解：如果，那么我们规定， 设， ， 若，则， ， ，即， 故答案为：． 18．（22-23七年级下·江苏南京·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空： ①______， ______； ②若，则______． (2)若，，，试说明下列等式成立的理由：． 【答案】(1)①3，5；② (2)见解析 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂相乘、负整数指数幂 【分析】（1）①由，，以及题意可知，，，然后作答即可；②由，以及题意可知，，计算求解即可； （2）由题意知，，，，由，可得，即，进而结论得证． 【详解】（1）①解：∵，， ∴由题意知，，， 故答案为：3，5； ②解：∵， ∴由题意知，，即，解得，， 故答案为：； （2）证明：∵，，， ∴由题意知，，，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了乘方，平方根，同底数幂的乘法运算，负整数指数幂．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 19．（24-25七年级下·江苏南京·期中）我们规定：个相同的非零有理数的商可以表示为，读作“的圈次方”．，读作“的圈4次方”． (1)直接写出计算结果：_______，________； (2)若为任意正整数，下列结论：①任何非零整数的圈次方小于或等于本身；②负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数；③互为相反数的两个数的圈次方互为相反数；④互为倒数的两个数的圈次方互为倒数；⑤圈次方等于它本身的数是1或．其中所有正确结论的序号是______． (3)试说明（，为正整数且）． 【答案】(1)， (2)②④ (3)证明见解析 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，同底数幂的除法； （1）根据“的圈次方”的定义计算即可； （2）根据“的圈次方”的定义判断即可； （1）根据“的圈次方”的定义证明即可． 【详解】（1）解：，； 故答案为：，； （2）解：， ①令，，，此时，故①说法错误； ②根据可得负数的圈奇数次方即是奇数，此时结果是负数，负数的圈偶数次方即是偶数，此时结果是正数，说法正确； ③，当为偶数时，，则互为相反数的两个数的圈次方互为相反数说法错误； ④，则互为倒数的两个数的圈次方互为倒数说法正确； ⑤当，n为偶数时，不满足圈次方等于它本身，说法错误． 所有正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． （3）解：． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）在数学的奇妙世界里，我们常常会遇到一些独特的运算规则．现在定义一种新的运算“”，对于任意的有理数a和b，有，其中 m，n是正整数．同时，我们还知道整式乘法和幂运算的相关知识，比如同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 ；幂的乘方，底数不变，指数相乘，即．并且我们会利用二元一次方程组来解决一些未知量的问题． (1)已知， ①求 m， n 的值； ②若，，求的值． (2)对于任意非零实数α，b，c，若新运算“”满足，且存在某个常数k，使得，求 m，n的值和常数k． 【答案】(1)①；② (2) 【知识点】同底数幂相乘、积的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、零指数幂 【分析】本题考查定义新运算，幂的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，得到，即可得出结果；②根据新定义，列出方程组进行求解即可； （2）根据，推出，进而得到，根据，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 两式相乘可得：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵为正整数，为常数，为任意非零有理数， ∴； 综上：． 【考点二】单项式乘多项式的应用 21．（24-25七年级下·江苏常州·期中）定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论： ① ②若，则 ③若，则 ④若，则 其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算、单项式乘多项式的应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、单项式乘以多项式等知识，正确理解新运算的定义是解题关键．根据新运算的定义可得，计算有理数的运算即可判断①正确；根据新运算的定义可得一个关于的一元一次方程，解方程即可判断②正确；先求出，，再根据新运算的定义代入计算，由此即可判断③正确；根据新运算的定义可得，则可得或，由此即可判断④错误． 【详解】解：由题意得： ，结论①正确； 由题意得：， ∵， ∴， 解得，结论②正确； ∵， ∴，， ∴ ，结论③正确； 由题意得：， ∵， ∴， ∴或， ∴或，结论④错误； 综上，正确的结论有①②③， 故选：A． 22．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）用代数式表示下列图形阴影部分的面积． (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【知识点】列代数式、计算单项式乘多项式及求值、整式的加减运算 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （）根据“长方形面积减去个半圆面积”即可求出图形阴影部分的面积； （）根据“梯形面积正方形直角三角形面积直角三角形面积”即可求出图形阴影部分的面积． 【详解】（1）解：图形阴影部分的面积为： ； （2）解：如图， 图形阴影部分的面积为： ． 23．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）下列是一道例题的部分解答过程，其中A、B是两个关于x、y的二项式． 例题：化简：， 解：原式， ____________．（注意：运算顺序从左到右，逐个去掉括号） 请仔细观察上面的例题及解答过程，完成下列问题： (1)多项式A为____________，多项式B为____________；例题的化简结果为____________； (2)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了整式的乘法，熟练运用计算法则和乘法公式是解题的关键． （1）根据题意得到：，，即可得到多项式A，多项式B，再最后化简，即可解答． （2）把多项式A，多项式B代入先运算单项式乘以多项式，然后合并化简，最后代入数值即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：， 两边同除以y得：； 同理，得：， 两边同除以得：， 例题的化简结果为：． 故答案为：，，； （2）解： 当，时，原式． 24．（25-26七年级上·江苏南京·期中）按照图①的程序进行计算，按照图②的程序进行计算． (1)___________；☆___________； (2)下列说法正确的是___________（填写所有正确结论的序号）； ①；     ②； ③；     ④． (3)若与相等，求，满足的条件． 【答案】(1)， (2)① (3) 【知识点】程序流程图与代数式求值、单项式乘多项式的应用 【分析】该题考查了整式混合运算的应用，解题的关键是理解流程图． （1）根据流程图列式即可． （2）分别计算每个选项中等式左右两边式子，再比较即可． （3）先计算出与，即可解答． 【详解】（1）解：根据流程图可得；， 故答案为：，． （2）解：，，即，故①正确；      ， ， 故，②错误； ，，故③错误；      ， ， ，故④错误； 故答案为：①． （3）解：， ， 若与相等， 则． 【考点三】多项式乘多项式的综合应用 25．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）请将小亮解答的问题（1）补充完整，再仿照他的方法解答问题（2）． (1)简便计算：．小亮的解答如下： 解：设，则 ，则 原式 (2)简便计算：． 【答案】(1)，补充见解析 (2) 【知识点】计算多项式乘多项式、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键， （1）根据多项式乘以多项式的计数法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）设，则，则只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：解：设，则 ，则 原式 ； （2）解：设，则， ∴原式 ． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）王老师在数学课上带领同学们做等式接龙游戏，他在黑板上写下4个等式：①；②；③；④．他要求同学们根据黑板上已写等式的规律，再任意写出一个等式．下面是3位同学的接龙等式：⑤；⑨；⑩ (1)上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是______；（填序号） (2)探索以上等式的规律，写出第个等式，并说明第个等式成立的理由． 【答案】(1)⑤ (2)，理由见解析 【知识点】计算多项式乘多项式、数字类规律探索 【分析】本题主要考查整式的乘法运算，理解题目中数字运算规律，找出式子之间的联系，是解决问题的关键． （1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题； （2）根据题目中的式子的变化规律可以写出第个等式，再利用多项式的乘法法则加以证明． 【详解】（1）解：由题意可知，等号的右边的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数比第一个因数对应多4，再加上3，结果等于从2开始连续自然数乘对应比第一个因数多2的积． ∴上面3位同学的接龙等式与其他等式规律不相同的是⑤， 故答案为：⑤； （2）由题意可知，第个等式为， 证明：∵，， ∴， 即：成立． 27．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）在某公园里，有一块长为、宽为的活动广场，其中阴影部分是绿地，空白处是休息场所． (1)求绿地的面积；（用含a，b的式子表示） (2)现在重新铺建绿地，已知铺建绿地的所有费用为200元/，，求重新铺建绿地的总费用． 【答案】(1) (2)元 【知识点】整式乘法混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，正确列式和计算是解题的关键． （1）总面积减去两个小长方形的面积即可得到答案； （2）把字母的值代入（1）中的化简结果得到面积，再用面积乘以单价即可得到答案 【详解】（1）解：根据题意，得 答：绿地的面积为． （2）当时，． （元）． 答：重新铺建绿地的总费用为元． 28．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 【答案】(1) (2)11 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值． （1）种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； （2）把a，b的值代入求值即可． 【详解】（1）解：种植青椒区域的面积为 （平方米） 故答案为： （2）解：当，时， ， ∴种植青椒区域的面积为11平方米． 故答案为：11． 29．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数． (1)判断的展开式共有________项；写出的第三项的系数是_________； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①的展开式为________． ②猜想：的展开式中各项系数的和是________． (3)运用：若今天是星期三，那么再过天是星期_______． 【答案】(1)六，15 (2)① ；② (3)二 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的混合运算，有理数的乘方，数字规律探索，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）根据通过杨辉三角的规律得出结果即可； （2）①通过规律展开即可；②将，代入即可求出； （3），展开式除了最后一项外，均含有因数7，都能被7整除，求出最后一项为，可得为星期三往前数一天即可得出结果． 【详解】（1）解：根据杨辉三角可得： 则的展开式共有六项，的第三项的系数是15， 故答案为：六；15； （2）① ； ②将，代入， ， 故答案为：① ；②； （3），展开式除了最后一项外，均含有因数7，都能被7整除， 展开式最后一项为， 故为星期三往前数一天，即为星期二， 故答案为：二． 30．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中x项的系数是 ． ②若，其中 ． (2)若的积中不含x项，求p的值． (3)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)， 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：由题中计算方法知：， 故答案为：19； ②∵是由2025个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2025个2的和， ∴； 故答案为：； （2）解：由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （3）解：设购进A型号矿泉水有a箱，则购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 31．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）下图是我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出的“杨辉三角”，揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律． 根据以上规律，解答下列问题： (1)的展开式中共有______项，其中第三项是______； (2)利用表中规律计算：；（不按照规律计算不得分） (3)设，在等式中当时，可得的值为_______，从而可求得的值为_______． 【答案】(1)， (2) (3)， 【知识点】有理数的乘方运算、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了整式的混合运算以及规律、有理数的乘方，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题意得出，由此即可得解； （2）将所求式子变形为，结合规律计算即可得解； （3）当时，，由此即可求出的值，当时，，由此即可得出的值． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴的展开式中共有项，其中第三项是； （2）解： ； （3）解：∵， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴． 32．（24-25七年级下·江苏常州·期中）阅读材料： 材料1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中记载了源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”（如图1）；材料2：我们知道，，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2． (1)请根据材料1和材料2直接写出： ①展开式中的系数是 ； ②展开式中所有项的系数和为 ； ③利用上面的规律计算（结果用乘方表示）：； (2)如图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：若表示第行，从左到右数第个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是 ． 【答案】(1)①4；②；③ (2) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，多项式乘法，因式分解的应用，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）①根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； ②根据已知式子中系数和的变化规律求解即可； ③根据题中计算规律可将原式化为，继而求解即可； （2）由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数，据此求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴的系数为4， 故答案为：4． ②的系数和为1，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， 的系数和为，即， …… ∴的系数和为， ∴展开式中所有项的系数和为， 故答案为：． ③根据题中规律可得： =． （2）解：由题意可知，每行第一个数的分母是该行的行数，即第行第一个数为，并且相邻两个数之和等于它们上方的数， ∴第6行第一个数是 ， ∵第5行第一个数是 ，那么第6行第二个数为 ， 又∵第5行第二个数是 ， ∴第6行第三个数为 ， ∴以表示的数是， 故答案为：． 【考点四】乘法公式的综合应用 33．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）有两类正方形A、B，其边长分别为a、，现将B放在A的内部得图1，将A、B并列放置后构造新的正方形得图2，图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12．若将三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，则阴影部分的面积为（ ） A．29 B．25 C．18 D．24 【答案】A 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了乘法公式的应用，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．首先设两个正方形的边长为，，由图1求出，再根据图2求出，进而求出，然后表示出图3的阴影面积，再整理代入计算即可． 【详解】解：设正方形，的边长各为，， 得图1中阴影部分的面积为：， 解得：或（舍去）， 图2中阴影部分的面积为， 可得：， 解得：或（舍去）； 图3阴影部分的面积为：， ； 故选：A． 34．（24-25七年级上·江苏南通·期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分面积为． (1)用含有字母a和b的式子分别表示与的面积：________，________． (2)①根据图1与图2的面积相等关系，写出得到的等式． ②运用以上等式可以简化一些乘法计算．例如，计算，可作如下变形： ． 运用上述方法计算． 【答案】(1)； (2) ① ② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握好平方差公式的结构特征并运用数形结合思想是解题关键． （1）用代数式表示图1和图2的面积即可； （2）①由得出等式； ②将转化为，然后运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中的阴影面积可以看作两个正方形的面积差， ∴， 图2中的阴影面积为长方形的面积，其长为，宽为， ∴； （2）①∵， ∴； ②． 35．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读下面材料，并完成相应的任务． “速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：；……． (1)直接写出结果：__________；__________． (2)发现如下速算规律：十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：__________（用含的代数式表示）． (3)我们可以用所学知识证明这个结论，这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理．请你证明（2）中的结论． 【答案】(1)1225，9025 (2) (3)见解析 【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算、列代数式 【分析】本题主要考查了数字变化的规律、有理数的混合运算、列代数式等知识点，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键； （1）根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解答； （2）根据（1）中归纳规律即可解答； （3）先表示出这个两位数是，利用完全平方公式证明即可． 【详解】（1）解：∵；……． ∴个位数字是5的两位数字的平方，用十位数字乘十位数字加上1所得积作为高位的部分，低位部分的数为25， ∴． 故答案为：1225，9025． （2）解：由（1）可知，十位数字是a（a是1至9的整数），个位数字是5的两位数平方的结果是：． 故答案为：． （3）解：∵十位数字是（是1至9的整数），个位数字是5， ∴这个两位数为， ∴这个两位数的平方为． 36．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，其中谈到“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”请你利用“数形结合”的思想解决以下问题：如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的图形． (1)【探索】观察图形，写出一个三者之间的等量关系式：_________； (2)【应用】运用（1）中的结论，当时，求的值； (3)【拓展】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的关系，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据两个图形中四个长方形的面积之和相等，即可得出答案； （2）根据（1）中结论可进行求解； （3）根据（1）中结论及整体思想可进行求解． 【详解】（1）解：∵一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形， ∴图中阴影部分的面积， ∴． 故答案为： （2）解：∵， ∴， ∴． （3）若，求 设，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 37．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）利用图中边长分别为a、b的A型、B型正方形纸片和长为a宽为b的C型长方形纸片，可以拼出一些图形． (1)边长为的正方形，可由A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片_____张拼成； (2)用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形（用含a、b的代数式表示）； (3)用6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和5张B型正方形纸片可以拼成一个长方形，m的值为多少？（直接写出结果） 【答案】(1)2 (2) (3)或13或11或31 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】 本题考查多项式乘法与图形，解答本题的关键是明确题意，掌握多项式乘法法则． （1）求出边长为的正方形的面积，即可求出A型、B型正方形纸片各1张与C型长方形纸片的张数； （2）先求出所有纸片的面积，再写成完全平方式，即可得到正方形的边长； （3）先求出所有纸片的面积，再写成整式的乘积形式，即可得到m的值； 【详解】（1）解：（1）， ∵A型纸片的面积为、B型纸片的面积为，C型长方形纸片的面积为， ∴C型长方形纸片2张， 故答案为：2； （2）用4张A型正方形纸片，9张B型正方形纸片，12张C型长方形纸片拼成一个大正方形的面积为， ∴这个正方形的边长为； （3）6张A型正方形纸片，m张C型长方形纸片和8张B型正方形纸片拼成的长方形的面积为：， 因式分解：假设其分解为， 展开后比较系数得：，， ①可能的分解取，，， 则， 对应分解式为， 故； ②可能的分解取，，， 则， 对应分解式为， 故； ③可能的分解取，，，， 则， 对应分解式为， 故； ④可能的分解取，，，， 则， 对应分解式为， 故； 综上：或13或11或31． 38．（22-23七年级下·江苏无锡·期中）把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：的形式． 我们规定：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，是“完美数”、理由：因为，所以是“完美数”． 解决问题： （1）下列各数中，“完美数”有________（填序号）． ①；②；③；④． 探究问题： （2）若（为常数），则的值________； （3）已知（是整数，是常数），当=______时，为“完美数”． 拓展应用： （4）已知实数满足，则的最小值是_______． 【答案】（1）①，③；（2）；（3）；（4） 【知识点】运用完全平方公式进行运算、求完全平方式中的字母系数 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）根据配方法即可求解； （3）根据配方法写出两个式的平方和的形式即可求解； （4）根据配方法，以及非负数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①， ∴是“完美数”， ② ∴不是“完美数”， ③ ∴是“完美数”， ④∵ ∴不是“完美数”， （2）∵ ∴ ∴； 故答案为：． （3） ∴当时， 则 故答案为：． （4）∵ ∴ ∴ ∵ ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了新定义，完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 39．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）【情境重现】如图1，课本第75页情境通过面积法得到完全平方公式，请你观察图形，探索计算的方法，并用此方法解答下列问题： (1)若，，直接写出的值______； (2)填空：①若，则______； ②若，则______； (3)如图2，将两个大小不等的正方形按如图所示的方式放置（点B、C、E在一条直线上），连接、、．若，阴影部分面积为36，求的面积． 【答案】(1)13 (2)①10；②22 (3)12 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和应用，熟练掌握数形结合是解题的关键． （1）根据即可求解； （2）①根据即可求解； ②根据即可求解； （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b，根据，阴影部分面积为36，得出，，即可求出，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 故答案为：13． （2）①已知 ∴ ∴ 故答案为：10． ②已知 ∴ ∴ 故答案为：22． （3）设大正方形边长为a，小正方形边长为b， ∵，阴影部分面积为36， ∴， 则 ∵ ∴ 即． 40．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）阅读下面材料：本学期，我们在第9章图形的变换中学习了轴对称的相关知识，知道了像角，等腰三角形，正方形，圆等图形都是轴对称图形．类比这一特性，像、等代数式，当字母的取值均不相等，且都不为0时，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变．我们称这样的代数式为神奇变换代数式． 请根据以上材料解决下列问题： (1)下列代数式中是神奇变换代数式的有_____（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于、的代数式为神奇变换代数式，求的值． (3)已知关于的神奇变换代数式的值为6，且满足，求的值． 【答案】(1)②④ (2) (3) 【知识点】整式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了整式的混合运算、新定义，熟练掌握整式的运算法则及理解新定义是关键. （1）逐项验证每个代数式是否满足交换字母后值不变即可； （2）根据神奇变换代数式建立方程，求出a值即可； （3）根据神奇变换代数式先求出k值，代入原式可得，再利用求出值即可． 【详解】（1）解：①，交换字母后，和原式相反，不相等，不是神奇变换代数式； ②，交换字母后，和原式相等，是神奇变换代数式； ③，交换字母后，和原式相反，不相等不是神奇变换代数式； ④．交换字母后，和原式相等，是神奇变换代数式； 故答案为：②④； （2）解：∵关于、的代数式为神奇变换代数式， ∴， ∴， 解得： （3）解：∵关于的代数式是神奇变换代数式， ∴， ∴， 将代入， 则， 即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 【考点五】平移的应用 41．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）如图，已知中，若点在三角形的内部，将三角形向右平移到三角形的位置后，点P的对应点为点，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，则的长度是_________． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移性质、三角形和四边形的周长求出平移距离即可求出答案． 【详解】解：∵将向右平移到的位置， ∴，， ∵的周长为，四边形的周长为， ∴，， ∴， 解得：， ∵点在的内部，点P的对应点为点， ∴． 故答案为： 42．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点位置如图所示． (1)将先向右平移5个单位，再向下平移3个单位，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点，请画出平移后的； (2)若连接，则这两条线段之间的数量关系是 ，位置关系是 ； (3)如果点P是线段的中点，画出平移后点P的对应点Q的位置．（利用网格点和直尺画图）． 【答案】(1)见解析 (2)，． (3)见解析 【知识点】线段中点的有关计算、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移作图，平移的性质、格点作图等；熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）先确定点D，E、F的位置，然后连线即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据网格特点确定即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：由平移的性质可知，，． 故答案为：，． （3）解：如图，线段是所在矩形的对角线， ∴作出线段是所在矩形的另一对角线，两对角线的交点即为的中点， ∴点Q即为所求． 43．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，位置如图所示．现将平移，使的中点平移到点，点、、的对应点分别是点、、．    (1)请画出平移后的； (2)连接、，这两条线段之间的关系是 ； (3)平移后，扫过的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】本题考查作图平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出各个点的对应点，再依次连接即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）利用分割法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，连接、，、平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）连接，扫过的面积为四边形的面积， 扫过的面积为：， 故答案为：．    44．（23-24七年级下·江苏南京·期中）画图并填空： 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将三角形经过一次平移后得到三角形，图中标出了点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的三角形； (2)线段与线段的关系是______； (3)四边形的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3) 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图) 【分析】此题考查了平移的性质和作图、网格中求面积，准确作图是解题的关键． （1）根据点B的平移规律得到点A、点C的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质进行解答即可； （3）用正方形的性质减去三个直角三角形的面积即可得到答案． 【详解】（1）如图所示，三角形即为所求， （2）连接、，则线段与线段的关系是平行且相等； 故答案为：平行且相等 （3）连接， 则四边形的面积， 故答案为： 【考点六】轴对称与翻折问题 45．（25-26七年级下·江苏·期中）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，则线段的长为_______． 【答案】15 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】由轴对称的性质得到，同理得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，，， ， ， 点关于的对称点落在的延长线上，， ， ． 46．（24-25七年级下·江苏镇江·期中）（1）如图1，在网格中有一个以格点（网格线的交点）为顶点的，网格中的每个小正方形的边长都是1．①利用网格作关于直线l对称的；② 的面积为 ； （2）如图2，折叠矩形（长方形）纸片，使点与点重合，折痕为．请用直尺和圆规作出折痕，点在上，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）①见解析，②；（3）见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作垂线(尺规作图)、画轴对称图形 【分析】本题考查了垂直平分线的尺规作图，轴对称作图，熟悉掌握作图原理是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，利用割补法运算面积即可； （2）根据垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； 的面积为：． 故答案为：； （2）如图所示即为所求： 47．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：如图，． (1)用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线； (2)在题（1）的基础上，用无刻度的直尺和圆规作出关直线的对称三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了尺规作图. （1）作平分即可； （2）过点C作交的延长线于点，设交于O，作射线交于点，即为所求． 【详解】（1）如图，射线为所求射线 （2）如图，为所求三角形 48．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，直角三角形中，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．    (1)作边的中点D； (2)作的平分线，交边于点E； (3)作点C关于直线的对称点F； (4)直接写出的长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【知识点】作已知线段的垂直平分线、作角平分线(尺规作图)、作线段(尺规作图) 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，角平分线和线段，熟练掌握基本作图方法，是解题的关键： （1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求；    （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 49．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，已知点为外一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，作一条直线，使得点关于的对称点为． (2)如图2，连接，作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法；掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）连接，作出的垂直平分线，即可求解； （2）以为圆心，长为半径画弧交于，连接，作出的垂直平分线，即可求解； 【详解】（1）解：如图，直线为所求作； （2）解：如图，直线为所求作． 50．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）已知，分别是长方形纸条边，上两点（其中且），如图所示沿，所在直线进行第一次折叠，点，的对应点分别为点，，交于点． (1)若，则的度数__________． (2)如图2，继续沿进行第二次折叠，点，的对应点分别为点，． ①若，则的度数__________． ②若，请求出的度数． 【答案】(1)； (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、折叠问题、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查平行线的性质（两直线平行，内错角相等）、折叠的性质（折叠前后对应角相等）、邻补角和为以及平角为 ．解题关键在于准确运用这些性质，通过角之间的等量关系，结合设未知数建立方程等方法来求解角度． （1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． （2）①根据平行线的性质得出，，根据折叠得出，最后求出结果即可； ②设，则，根据平行线的性质得出．根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，，列出方程，求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴折叠可知， ∵， ∴， ∴． （2）解：①∵， ∴，， 根据折叠可知， ∴． ②设，则， ∵， ∴． ∴折叠可知，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得． ∴． 51．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知的顶点均为网格线的交点． (1)将先向下平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到，画出． (2)画出关于直线l成轴对称的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形 【分析】本题考查画轴对称图形、画平移的图形，找出对称点是作图的关键． （1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）利用网格特点和轴对称的性质画点、、的对称点、、然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：如下图所示： 52．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知． 【初步认识】 （1）尺规作图：求作直线，使和关于直线对称；（不写作法，保留痕迹） 【理解应用】 （2）如图，若在内部，和关于对称，和关于对称，求的度数； （3）如图，若在外部，且，和关于对称，和关于对称，求的度数； 【拓展提升】 （4）若和关于的边对称，且，则的度数是_____． 【答案】（）作图见解析；（）；（）；（）或． 【知识点】角平分线的有关计算、作角平分线(尺规作图)、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，轴对称的性质，角度和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （）作平分，直线即为所求； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，得到，根据角的和差即可得到结论； （）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （）在内部，当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：（）如图中，直线即为所求； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）如图中， ∵和关于对称， ∴， 又∵和关于对称， ∴， ∵， ∴； （）在内部，如图， ∵，关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 当在外部， ∵， ∴射线在射线的上面，如图， ∵，关于的边对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 53．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）【综合实践】根据以下素材，探索完成任务： 小江和小南在做物理实验时发现：当光发生反射时，反射光线与平面镜的夹角总是等于入射光线与平面镜的夹角．于是，他们想进一步探究转动的平面镜对光线反射的影响．如图1，点O为水平放置的平面镜上一点，将一块三角板的直角顶点摆放在O处，满足斜边，．现有一束光线经平面镜反射后沿射出，当光发生反射时，总是等于．若使光线从与重合处开始绕着点O以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒． 【探究1】当时，请用无刻度的直尺和圆规在图2中画出此时入射光线和反射光线所在位置； 【探究2】当，且时，求出满足条件的t的值； 【探究3】若在光线开始转动的同时，平面镜也绕点O以每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出和之间的数量关系． 【答案】探究1：见解析；探究2：或；探究3：当时，；当时， 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，平行线的性质，角平分线的尺规作图，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 探究1：作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求 探究2：分，和，三种情况分别用含t的式子表示出的度数，再根据建立方程求解即可； 探究3：分如图3-1，3-2，3-3，3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】解：探究1：如图所示，作的角平分线，再作，则入射光线和反射光线即为所求； 由平行线的性质可得，由题意得； 探究2：当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或； 探究3：如图3-1所示，当射线恰好经过点B时， 由题意得， ∴，， ∴， 解得； 如图3-2所示，当时， 由题意得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴； 如图3-3所示，当射线和重合时，则， 解得； 如图3-4所示，当时， 同理可得， ∴， ∵， ∴，， ∴； 综上所述，当时，；当时，． 54．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）折纸中的数学（题中所有角都是指小于的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点，分别在边，上，分别沿，把，折叠得到和． 【问题初探】 （1）如图①，若点，点，点恰好在一条直线上，则的度数是_____； （2）如图②，若点落在上，点落在上，则的度数是_____； 【问题再探】 （3）若，求的度数（用含的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交．若射线是的角平分线，直接写出的度数（用含、的代数式表示）． 【答案】（1）；（2） ；（3）或；（4） 【知识点】折叠问题、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，长方形的性质，平角的性质，角度的和差等知识点，利用分类讨论的思想，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）根据折叠可得，即可求解； （2）根据折叠可得，进而即可求解； （3）分与不重叠和重叠两种情况讨论，先表示出的度数，然后根据角的和差关系进行求解即可； （4）分点在的左侧，在的右侧和点在的右侧，在的左侧进行分类讨论即可得解． 【详解】解：（1）图2中，由折叠得，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）图3中，由折叠得∶，， ， ， ，即， 故答案为：； （3）分两种情况进行讨论：当与不重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， ， ， ， ， 当与重叠时，如图所示， 由折叠的性质得：，， ， 又， ， ， 故答案为：或； （4）当点在的左侧，在的右侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 折叠， ， 又， ， 射线是的角平分线， ， ， ∵折叠， ∴， ∴； 综上，的度数为． 【考点七】旋转与中心对称 55．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，在的方格网中，所有标出的点均为格点，请按要求画图． (1)如图1，画出关于点成中心对称的图形，并标上对应的字母； (2)如图2，绕旋转中心顺时针旋转得到，直接标出旋转中心点，写出旋转角的度数为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析， 【知识点】作垂线(尺规作图)、根据旋转的性质求解、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 【分析】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）作出点A的对应点D，连接，即可； （2）线段，的垂直平分线的交点P即为所求，直接根据旋转角即可得出答案． 【详解】（1）如图1中， 即为所求． （2）如图2中，点即为所求． 根据图可知旋转角． 56．（24-25七年级下·江苏南京·期中）格点和直线在正方形网格中的位置如图所示．和关于直线对称，将向左平移8个单位，再向下平移2个单位得，再将绕着点按逆时针方向旋转后得． (1)分别画出． (2)下列说法中，所有正确的序号是__________． ①绕某点旋转一定的角度可得到； ②绕某点旋转一定的角度可得到； ③与关于某条直线对称． 【答案】(1)画图见解析 (2)①③ 【知识点】平移(作图)、画轴对称图形、画旋转图形、找旋转中心、旋转角、对应点 【分析】（1）分别确定关于直线对称的对称点；分别确定向左平移8个单位，再向下平移2个单位的对应点，分别确定绕着点按逆时针方向旋转后的对应点，再顺次连接即可． （2）①画出，的垂直平分线，得到交点，再进一步验证可得①符合题意； ②如图，画，，的垂直平分线，三条垂直平分线不相交于同一点，可得②不符合题意； ③画出两个三角形关于某条直线对称时的对称轴即可得③符合题意； 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作的三角形； ； （2）解：如图，画，的垂直平分线，得到交点，连接； ∴绕点旋转一定的角度可得到，故①符合题意； 如图，画，，的垂直平分线，三条垂直平分线不相交于同一点， ∴绕某点旋转一定的角度可得到说法错误； 如图，作出对称轴如下： ∴与关于直线对称，故③符合题意． 故答案为：①③ 【点睛】本题考查的是画轴对称图形，旋转图形，平移图形，确定对称轴，旋转中心，熟练的利用平移，旋转，轴对称的性质画图是关键． 57．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）将一副直角三角板（分别含、、和、、的角）叠放在量角器上，、分别平分和． 【特例感知】 （1）如图①，如果点A、O、D在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么 ． 【规律探究】 （2）如图②，如果两个直角三角板有重叠， ①当时，求的度数；（写解答过程） ②当时， （用含的式子表示）． 【解决问题】 （3）如图①，将三角板绕点O顺时针旋转，平均每秒旋转，将三角板绕点O逆时针旋转，平均每秒旋转．两三角板同时旋转，当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为t秒，在旋转过程中，如果与两角平分线的夹角为，请求出t的值． 【答案】（1）；（2））①，②；（3）存在，t的值为或秒 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）本题由角平分线性质可知，，再利用，即可解题． （2）①本题由题意得到，根据，，得到，，再利用，即可解题． ②本题求解过程与①类似． （3）本题根据与两角平分线的夹角为，分为以下两种情况①与相遇前，②与相遇后，再根据旋转过程中的等量关系，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：、分别平分和 ，， ， 故答案为：． （2）解：①， ， ，， ． ②， ， ，， ， 故答案为：． （3）解：存在，t的值为或秒，理由如下： 由题知， 与两角平分线的夹角为， ①与相遇前， 由（2）②可知， 即， 解得秒； ②与相遇后， 记旋转到，旋转到，且， 有， 即有， 解得秒， 综上所述， t的值为或秒． 【点睛】本题考查角平分线的性质、代数式的相关知识、角的运算、旋转的性质，解题的关键在于找出几何图形中角度的数量关系． 58．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： (1)如图，先将竖直向上平移个单位，再水平向右平移个单位得到，将绕点O顺时针旋转，得到，请在网格中画出，； (2)与关于直线_____成轴对称； (3)如图，所在的正方形网格中，能画出与成轴对称的格点三角形共有______个（不包括本身）． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【知识点】画轴对称图形、画旋转图形、平移(作图) 【分析】（1）根据平移的性质、旋转的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质可得答案； （3）根据轴对称的性质可得答案； 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）由图可知，与关于直线成轴对称． 故答案为：； （3）如图，，，均满足题意， ∴能画出与成轴对称的格点三角形共有个， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣轴对称变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键． 59．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）按要求完成以下作图． (1)作，使其与关于直线成轴对称； (2)作线段关于点对称的线段； (3)作线段绕点C逆时针旋转后所得线段． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【知识点】画轴对称图形、画已知图形关于某点对称的图形、画旋转图形 【分析】本题考查图形的变换---轴对称，中心对称和旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，画出即可； （2）根据对称性确定的位置，画出线段即可； （3）根据旋转的性质画出线段即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； 60．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）作图：①如图，已知点P为边上一点，请用直尺和圆规作一条直线l，使得点A关于l的对称点为P． ②在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）． (1)画出向上平移2个单位后的． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)画出与的对称中心D（黑点标记）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】作已知线段的垂直平分线、画已知图形关于某点对称的图形、平移(作图)、画两个图形的对称中心 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，平移作图、画中心对称图形，掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键． ①连接，作出的垂直平分线，即可求解； ②（1）根据平移的性质确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （2）根据中心对称图形的定义确定点、、的对应点、、，再顺序连接即可； （3）连接、，交于点即可． 【详解】（1）解：①如图， 直线为所求作； ②如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：如图，点即为所作． 1 学科网（北京）股份有限公司 $