精品解析：四川泸州市合江县第五片区2025-2026学年八年级下学期第一次联合检测数学试题

合江县2026年春期第五学区第一次自主检测八年级数学学科作业单 （全卷满分40分 完成时间40分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ 　） A. B. C. D. 4. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 5. 若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 在中，若，则的度数是（ 　） A. B. C. D. 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 9. 如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则小正方形的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 12. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 14. 若，则的值为_____． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 16. 如图，在中，，，，过的中点E作于F，则的面积是_____． 17. 如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算：． 19. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，求△的面积； （2）计算（1）中△的边上的高； （3）在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 21. 已知，． 求： （1）的值； （2）值． 22. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 化简 解：． 请回答下列问题： （1）归纳：请直接写出下列各式的结果①____；②_____； （2）应用：化简； （3）拓展：_____． 25. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． （1）设的面积为，请用含的式子表示； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当为何值时，的长度为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合江县2026年春期第五学区第一次自主检测八年级数学学科作业单 （全卷满分40分 完成时间40分钟） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 使二次根式有意义的实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一验证各选项即可得到答案； 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； ∵，被开方数含分母，∴不是最简二次根式； ∵满足最简二次根式的两个条件，∴是最简二次根式； ∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式． 3. 下列运算正确的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的四则运算法则分别计算各选项，即可判断出正确结果． 【详解】解：A：，运算正确． B：，运算错误． C：，运算错误． D：与不是同类二次根式，不能合并，，运算错误． 4. 下列各组数据中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A. 9，12，13 B. 3，4，6 C. 7，8，9 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理，通过验证两个较短边长的平方和是否等于最长边长的平方，即可判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A：最长边长为13，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B：最长边长为6，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； C：最长边长为9，，，，不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D：最长边长为25，，，即，能作为直角三角形三边长，符合题意． 5. 若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 6. 在中，若，则的度数是（ 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，先计算的度数，再计算的度数即可． 【详解】解：如图，∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 8. 如图，的对角线、相交于点．点是的中点．若，则的长为（ 　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知为中点，进而根据中位线定理可得结果． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ， ∵是的中点， ∴是的中位线， ． 9. 如图，在中，，，，在数轴上，在上截取，以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点P，则的中点D对应的实数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，进而求出，最后求出即可． 【详解】解：∵的直角边，， ∴， 又∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 即点D所表示的数为：． 10. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和为5，则小正方形的面积为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】观察图形可知，小正方形的面积大正方形的面积个直角三角形的面积，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，大正方形面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形面积为，列方程解得，再代入计算即可． 【详解】解：设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，则，， ∴， ∴ 解得， 小正方形面积为． 11. 如图，在中，，将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长为（　　） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠性质，勾股定理，解答即可． 本题考查了折叠性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：根据折叠可得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 故选：A． 12. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝135°；④S四边形AEFD＝20．正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理，得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③错误；最后求出，故④错误；即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； ，都是等边三角形， ， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， 同理可证：， ， 四边形是平行四边形，故②正确； ，故③错误； 过作于，如图所示： 则， 四边形是平行四边形， ， ， ，故④错误； 正确的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 13. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 14. 若，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先整理，再代入，然后运用平方差公式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ． 15. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则的度数为_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定与性质，理解网格特点，证得是等腰直角三角形是解答的关键． 先根据网格特点和勾股定理及其逆定理证明是等腰直角三角形，进而利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：依题意，连接， 则，， ∴， ∴， 则是等腰直角三角形， ∴． 16. 如图，在中，，，，过的中点E作于F，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据全等三角形得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】解：延长，，它们相交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 17. 如图，在等边中，，于点D，点P，E分别为上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，先证明是的垂直平分线，得到，根据等边三角形的性质得，再结合，，得的最小值是，最后根据勾股定理即可作答． 【详解】解：连接，过点作，如图所示： ∵在等边中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵点P，E分别为上的动点， ∴， 当点与点重合，三点共线时，则有最小值， ∵，， ∴． ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用二次根式化简、零指数幂和绝对值计算各项，再依次加减即可． 【详解】解：原式 ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 四、解答题（本大题共3个小题，每小题10分，共30分） 20. 已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． （1）在中，已知，求△的面积； （2）计算（1）中△的边上的高； （3）在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】（1） （2） （3）该草地的面积为 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）连接，运用勾股定理以及勾股逆定理得出是直角三角形，再分别求出两个三角形的面积，即可得出该草地的面积． 【小问1详解】 解：， ， 答：的面积是； 【小问2详解】 解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ， ∴在中，， ， ，， 即， ∴ 是直角三角形， 则， ∴ ． 21. 已知，． 求： （1）的值； （2）值． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据平方差公式进行因式分解，然后再代入数据进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行运算，然后代入数据进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 把，代入得： 原式 【小问2详解】 解： 把，代入得： 原式 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，因式分解，分式的加减运算，代数式求值，掌握二次根式的混合运算法则和分式混合运算法则以及因式分解的方法，是解题的关键． 22. 一架梯子长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端B离墙7米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子底部在水平方向滑动了4米吗？为什么？ 【答案】（1）米 （2）不是4米，是米，见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可； （2）先求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得到． 【小问1详解】 解：由题意得：米，米， ∴（米）， 答：这个梯子的顶端距地面有24米； 【小问2详解】 梯子底部不是水平方向滑动了4米， 由题意得：米， ∴米， ∴（米）， 则：（米）， 答：梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意确定直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 五、解答题（本大题共3个小题，每小题12分，共36分） 23. 如图，有一台风中心沿东西方向直线由A行驶向B．已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又．以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． （1）求的度数； （2）海港C受台风影响吗？为什么？ （3）若台风的速度为，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F时，海港C刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1） （2）海港会受到台风影响，理由见解析 （3）台风影响该海港持续的时间为小时 【解析】 【分析】（1）在中，根据勾股定理的逆定理即可解答． （2）过点作于点，当台风到达点时，离海港最近．利用等面积法求出，与，比较即可解答． （3）台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段．由题可知：，（垂线长度），在直角三角形中求出，根据等腰三角形的性质求出，即可解答． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∵，， ∴， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，且直角为． 所以，． 【小问2详解】 解：过点作于点，当台风到达点时，离海港最近． 则， 同时，面积也可表示为：， ∴， 台风影响半径为，而，因此海港会受到台风影响． 【小问3详解】 解：台风影响区域为以为圆心、为半径的圆与直线的交点和之间的线段． 由题可知：，（垂线长度）， 在直角三角形中：， ∴， ∴， ∴， 由于，为等腰三角形，为的中点， 因此：， 台风速度为，影响持续时间为： 小时， 换算为分钟： 分钟， 答：台风影响该海港持续的时间为小时（或分钟）． 24. 化简 解：． 请回答下列问题： （1）归纳：请直接写出下列各式的结果①____；②_____； （2）应用：化简； （3）拓展：_____． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可； （2）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案； （3）先进行分母有理化，然后进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：①； ②； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： =． 25. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． （1）设的面积为，请用含的式子表示； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当为何值时，的长度为？ 【答案】（1） （2）当时，四边形是平行四边形 （3）当或时，的长度为 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $