期中真题必刷压轴66题（8大考点专练） 2025-2026学年北师大版七年级数学下册同步讲义与测试

期中真题必刷压轴66题（8大考点专练） 【考点一】幂的乘除 【考点五】两条直线的位置关系的综合问题 【考点二】整式的乘法与规律题综合应用 【考点六】探索直线平行的条件应用 【考点三】乘法公式的综合应用 【考点七】平行线的性质综合应用 【考点四】整式的除法应用 【考点八】概率初步的综合应用 【考点一】幂的乘除 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 2．（24-25七年级下·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 3．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 4．（2025七年级下·全国·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 7．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 8．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【考点二】整式的乘法与规律题综合应用 9．（25-26七年级·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，某体育场训练基地有一块长为米，宽为米的长方形空地，现准备在这块空地的一角处修建一个长为米，宽为b米的长方形游泳池，其余的地方全部修建成休息区． (1)用含a，b的代数式表示休息区域的面积； (2)当，时，求休息区域的面积． 13．（22-23七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 14．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 15．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）综合与实践：有趣的“乘法运算”小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是________，后积是________； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）________=________； 【推理算法】 （3）第一个两位数的十位数字和个位数字分别是和，第二个两位数的十位数字和个位数字分别是和，且，请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 16．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 18．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【考点三】乘法公式的综合应用 19．（24-25七年级·山东济宁·期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 21．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 24．（24-25七年级·宁夏银川·期中）如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 25．（24-25七年级下·广东深圳·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________； 【解决问题】 （3）若，，且，求的值； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ (1)指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； (2)兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 【考点四】整式的除法应用 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．请用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简． 30．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求： ①的值；           ②的值． 31．（24-25七年级下·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 32．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 33．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 34．（24-25七年级下·湖南常德·期中）请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： (1)填空： ①_________；②_________； (2)若是的共轭复数，则_________（请简述过程） (3)已知，则_________．（请简述过程） 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 36．（24-25七年级下·全国·期中）【理解】 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系 ； 【运用】 （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】 （3）已知，求的值； 【探索】 （4）如图3，在正方形中，，，其中四边形，，均为正方形，四边形，是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为，则长方形的面积为 ． 【考点五】两条直线的位置关系的综合问题 37．（25-26七年级下·全国·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是； ②； ③； ④． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 38．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，直线相交于点O，于点O，且，求的度数． 39．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线与相交于点O，于O，平分，，求，的度数． 40．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 41．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）作图题 (1)用尺规按要求作图 已知， 求作，使（只保留痕迹，不写做法） (2)河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一个码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，请在图中画出码头，并测量村庄到码头的距离． 42．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1) 的对顶角是 ，的补角是 和 ． (2)若，求的度数． 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，、相交于点O，为的平分线，，，． (1)直接写出图中所有的邻补角和余角． 的邻补角__________；的余角__________． (2)求的度数． 44．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 45．（22-23七年级下·天津津南·期中）如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 46．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【考点六】探索直线平行的条件应用 47．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 48．（23-24七年级下·北京·期中）如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 49．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 50．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． (1)过点P画射线，交于E． (2)过点P画线段，交于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【考点七】平行线的性质综合应用 51．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，点E和点F分别在和上，点G在和之间，连接和．，过点E作射线，过点F作射线．且，，点P和点Q分别在和上，连接，，则n的值是______． 52．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图,直线分别与直线相交于点A,C,与直线相交于点B,D．若．求的度数． 53．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 54．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有． (1)如图，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以度秒速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内， 当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间． 当光线同时绕点以度秒速度顺时针转动，反射光线与平行时，直接写出所有满足条件的时间． 55．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 56．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 57．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 58．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 【考点八】 概率初步的综合应用 59．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 60．（24-25七年级下·广东深圳·期中）红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 61．（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 62．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 63．（24-25七年级下·广东佛山·期中）为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)被调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为______度； (4)从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是多少？ 64．（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 65．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成个扇形．商场规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是____________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得元、元、元购物券的概率分别是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 66．（24-25七年级下·重庆·期中）随着教育体系的不断完善，选修课已成为培养学生综合素质、拓展学术视野的重要途径．选修课不仅为学生提供了自主选择学习内容的机会，还能帮助其发掘兴趣、发展特长，从而更好地适应多元化的社会需求．为了了解同学们的兴趣爱好，学校对七年级同学们最喜欢的选修课情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了四种选项：：“人文素养”；：“科技创新”；：“艺术修养”；：“运动健康”，现收集、整理、分析数据后绘制了如下两幅不完整的统计图： 抽取的部分学生“最喜欢的选修课”类别条形统计图 抽取的部分学生“最喜欢的选修课”类别扇形统计图 根据以上信息，请解答下列问题： (1)参与此次调查的学生总人数是___________人；在扇形统计图中，________，部分的圆心角度数是________． (2)现从被调查的学生中随机抽一人了解他最喜欢的选修课类别，该学生最喜欢“科技创新”或“运动健康”的概率为_________；补全条形统计图． (3)若该校七年级有名学生，请你估计该校七年级学生中最喜欢“科技创新”和“艺术修养”这两类选修课的人数之和． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中真题必刷压轴66题（8大考点专练） 【考点一】幂的乘除 【考点五】两条直线的位置关系的综合问题 【考点二】整式的乘法与规律题综合应用 【考点六】探索直线平行的条件应用 【考点三】乘法公式的综合应用 【考点七】平行线的性质综合应用 【考点四】整式的除法应用 【考点八】概率初步的综合应用 【考点一】幂的乘除 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了同底幂的乘法法则，同底幂的除法法则和幂的乘方，解决此题的关键是要熟练运用各个法则． （1）根据同底幂除法法则的逆应用，即可得到答案； （2）根据同底幂的乘法法则先得到，再根据同底幂乘法以及幂的乘方的逆应用即可得到答案； 【详解】（1）解：． （2）解：． 2．（24-25七年级下·广西贵港·期中）对于整数a，b定义运算：（其中m，n为常数），如． (1)若，，求的值； (2)若， ，求的值 【答案】(1)3 (2)1296 【知识点】幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了加减消元法解方程，有理数的乘方的混合运算，新定义，同底数幂相乘的逆运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合新定义的运算法则，把代入进行运算，即可作答． （2）结合， ，列出方程组，解得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴ ， 故答案为：3 （2）解：∵， ，， ∴， 整理得， ∴， 即， ∴， 把代入， ∴， ∴ ． 3．（24-25七年级下·全国·周测）定义一种幂的新运算：．如：．请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值． (2)若，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题考查了幂的乘方、新定义的运算；熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算，把相应的值代入运算即可； （2）根据新定义的运算、幂的乘方的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：当，，时， ． 4．（2025七年级下·全国·期中）新定义：如果，则规定，例如：，所以． (1)填空： ； ； (2)若，，，试说明； (3)若（k为奇数），求m与n满足的数量关系． 【答案】(1)2；4； (2)见解析 (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、有理数的乘方运算 【分析】（1）根据新定义计算即可． （2）先根据新定义计算，再根据同底数幂相乘法则计算即可． （3）先根据新定义计算，再根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． 故答案为：2；4； （2）解：∵若，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）解：∵（k为奇数）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为奇数时,． 5．（23-24七年级下·福建漳州·期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么． 例如：∵，∴． (1)根据上述规定，填空： ________，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由： 设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)成立，理由见解析 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键． （1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； ∵ ∴ 故答案为3，． （2）解：成立． 设，，则 ∴ ∴， ∴． 6．（24-25七年级下·山东济南·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____； (2)若，，且，求的值． (3)①若，，，请你尝试证明：； ②进一步探究这种运算时发现一个结论：， 证明：设，，， ，即． ． 结合①，②探索的结论，计算：_____． 【答案】(1)3 (2) (3)①见解析；② 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查了新运算，同底数幂的乘法，幂的乘方，理解新运算是解题的关键． （1）根据规定的运算计算即可； （2）根据规定的运算得，，则，由即可求解； （3）①由规定的运算得，，，再根据，即，即可证明结论成立； ②由材料中结论得；设，，则，再由规定的运算即可求得c的值，从而求得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴； （3）①证明：，，， ，，， ， ， 即：， ； ②解： ； 设，，则， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 7．（22-23七年级下·广西贵港·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·北京房山·期中）定义：如果，那么c为a，b的“甜幂指数”，记为．例如，那么2为的“甜幂指数”，记为．根据定义回答以下问题： (1)若，则m＝______；若，则n＝______； (2)已知，，，x，y，z为正整数，且，求m的值； (3)已知当x，y为正整数，且时，成立，且满足，若，，m，n为正整数，且，时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】此题考查了幂的乘方、同底数幂幂的乘法和除法等知识，熟练掌握幂的运算法则是关键． （1）根据新定义可得到答案； （2）根据新定义得到，进一步得到，即可得到答案； （3）根据题意得到则，即可得到,整理即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，若，∵， 则； 若，∵，则； （2）由题意可得，， ∵， ∴ ∴ （3）∵，，m，n为正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴, ∴ ∴ 【考点二】整式的乘法与规律题综合应用 9．（25-26七年级·上海·期中）有若干张边长如图所示的长方形卡片，如果要拼一个长为，宽为的矩形，则需要3类卡片共______张 【答案】10 【知识点】多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了多项式的乘法和几何图形的综合题，正确列出算式是解答本题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．先计算长为，宽为的矩形面积为，根据三张卡片的面积分别是，判断出各种卡片的张数即可． 【详解】解：一个长为，宽为的矩形，那么其面积为， 三张卡片的面积分别是， 那么分别需要2张，3张，5张，共需要10张， 故答案为：10． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某中学做广播操时，各年级均排成一个长方形方阵，七年级每排人，共有排；八年级每排人，共有排；九年级每排人，共有排． (1)用含、的代数式表示该校学生总人数； (2)当，时，求该校学生总人数． 【答案】(1) (2)人 【知识点】列代数式、计算多项式乘多项式、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查列代数式，代数式求值，多项式乘法，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握运算法则． （1）分别计算各年级人数，相加即可； （2）将，代入（1）所得代数式，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，该校学生总人数为： 答：该校学生总人数用含、的代数式表示为人． （2）解：当，时， 答：当，时，该校学生总人数为人． 11．（24-25七年级下·四川成都·期中）【观察思考】 ， ， ， 【规律发现】 （1）根据规律可得 ；（其中n为正整数） 【规律应用】； （2）①计算：； ②若，求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可； ②由结合条件可得x的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：因为， ， ， 所以（其中n为正整数）； （2）②解：原式 ； ②解：因为， 则，即， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故，． 12．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，某体育场训练基地有一块长为米，宽为米的长方形空地，现准备在这块空地的一角处修建一个长为米，宽为b米的长方形游泳池，其余的地方全部修建成休息区． (1)用含a，b的代数式表示休息区域的面积； (2)当，时，求休息区域的面积． 【答案】(1)平方米 (2)休息区域的面积为平方米 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了长方形的面积，整式的乘法，代数式求值，熟练掌握长方形的面积公式，整式混合运算法则是解题的关键． （1）利用长方形的面积公式和正式的乘法，根据空地的面积减去长方形游泳池的面积即可得出答案； （2）代入，，求出结果即可． 【详解】（1）解：休息区域的面积为 平方米； （2）解：当，时，原式平方米， 答：休息区域的面积为平方米． 13．（22-23七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】(1) (2)是，平衡因子为 (3)或7或 【知识点】合并同类项、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）解： ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （2）多项式，，，是一组平衡多项式． ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （3）需分三种情况讨论： ① ， 这组多项式是一组平衡多项式， ， ． ② ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． ③ ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． 综上所述，m的值为或7或． 14．（25-26七年级上·湖北黄石·期中）已知的值与x的取值无关，求k的值． 解决这类题目时，我们通常将代数式合并同类项，得到，因为代数式的值与x的取值无关，所以，得到． 根据上述方法，求解： (1)若代数式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知，，且的值与x无关，求m，n的值； (3)现有7张如图①所示的长为a，宽为b的小长方形纸片，将这7张长方形纸片按图②所示放置在大长方形中（纸片间无重叠，无间隙），大长方形中未被纸片覆盖的区域设为、．若当的长度变化时，与的差始终为定值，求a与b的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，解题关键是掌握整式的相关运算法则． （1）首先将整理化简，然后根据代数式的值与的取值无关，所以含有的项的系数之和为，可得，解方程即可求出的值； （2）首先计算出，根据的值与的取值无关，可得，，解方程求出、的值即可； （3）设的长为，可得：，根据当的长度变化时，与的差始终为定值，可得，进而求解即可． 【详解】（1）解： 代数式的值与x的取值无关， ， 解得：； （2）解： ∵的值与无关， ，， 解得：，； （3）解：设的长为， 当的长度变化时，与的差始终为定值， ， ． 15．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）综合与实践：有趣的“乘法运算”小明在学完《整式的乘法》后对一类特殊的乘法运算进行了探究． 【算法界定】这里的“乘法运算”指的是末位数字相同，首位数字和为十的两位数相乘． 【算法介绍】两数首位数字相乘再加上末位的数字作为“前积”，末位数字的平方作为“后积”，前积乘以100加上后积就是得数． 例：，前积是13，后积是16 （1），前积是________，后积是________； 【初探算法】仿照例题，写出下面两数相乘的运算过程及结果． （2）________=________； 【推理算法】 （3）第一个两位数的十位数字和个位数字分别是和，第二个两位数的十位数字和个位数字分别是和，且，请写出算法介绍中的运算规律，并加以证明． 【答案】（1）22，36；（2），2125；（3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么．证明见解析 【知识点】计算多项式乘多项式、数字类规律探索、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的乘法，数字变化的规律，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）利用题干中的示例的方法解答即可； （2）仿照例题的解答过程运算即可； （3）利用多项式乘以多项式的法则运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴前积是22，后积是36． 故答案为：22，36； （2）． 故答案为：，2125； （3）算法介绍中的运算规律为：记两位数分别是和，且，其中，，那么． 证明：∵，，， ∴ ， ∵， ∴ ． 16．（23-24七年级下·湖南永州·期中）阅读材料： 类比是常用的数学思想．比如，我们可以类比多位数的竖式运算方法，得到多项式与多项式的运算方法． ∴． ， ③ ． 理解应用： (1)请仿照上面的竖式方法计算：． (2)已知两个多项式的和为其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式． (3)已知一个长为、宽为的长方形，将它的长增加，宽增加，得到一个新长方形（如图），若长方形的周长是 的周长的倍，求长方形的面积（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】整式的加减运算、计算多项式乘多项式 【分析】（）仿照阅读材料解答即可； （）仿照阅读材料解答即可； （）根据已知条件，先求出，再根据面积公式列式求解即可； 本题考查了整式的运算，理解阅读材料的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴另一个多项式为； （3）解：∵长方形的周长是长方形的周长的倍， ∴， 整理得：， ∴长方形的面积为：． 17．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3) (4) 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）通过变形得到，根据规律即可得解； （3）由题意可得，即可解答； （4）令则，与（3）中所给的式子相加，即可解答． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， 故除以余1， 则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：令则， 令则， ； （4）解：令则， ， 18．（23-24七年级下·福建漳州·期中）小华同学在计算后，爱思考的他发现：是x项的系数，与通过计算后的结果对比，x项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，，x项的系数为；用他发现的方法计算：，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)直接写出相乘，积中x项的系数 (2)若，直接写出的值； (3)若的积中不含x项，求p的值； (4)拓展应用：某超市计划购进A，B两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案．这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示， A B 进价（元/箱） 24 30 售价（元/箱） 48 57 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱B型号矿泉水，向社会福利机构捐款m元，A型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进A型号矿泉水有a箱，超市获得的利润为w元，用含a，m的式子表示w，并求m的值． 【答案】(1)13，详见解析 (2)2024，详见解析 (3)，详见解析 (4)，，详见解析 【知识点】计算多项式乘多项式、已知多项式乘积不含某项求字母的值、多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点， （1）由题干中计算方法即可得解； （2）由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （3）由题干中计算方法即可得解； （4）根根题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． 【详解】（1）由题中计算方法知：， 故答案为：13； （2）∵是由2024个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2024个1的和， ∴； （3）由题干中计算方法知：中x的系数为， ∵x的系数为零， ∴， ∴； （4）∵设购进A型号矿泉水有a箱， ∴购进B型号矿泉水有箱， ∴ ， ∵无论a为多少，w都不变， ∴中，a的系数为0， ∴, ∴，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，都为元， ∴，． 【考点三】乘法公式的综合应用 19．（24-25七年级·山东济宁·期中）如图，用相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形……．按照这样的方法拼成的第个正方形比第个正方形多的小正方形的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形类的规律探究，完全平方公式等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形，则第个正方形需个小正方形，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，拼第1个正方形需个小正方形， 拼第2个正方形需个小正方形， 拼第3个正方形需个小正方形， …… ∴可推导一般性规律为：拼第个正方形需个小正方形， ∴第个正方形需个小正方形， ∴， 故选：C． 20．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知的展开式中不含的二次项，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值，熟练掌握多项式乘以多项式、完全平方式及代数式的值是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据“不含二次项”可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）解： ； ∵的展开式中不含的二次项， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 21．（24-25七年级下·广东河源·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）． A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，求的值； ②计算：； ③计算：． 【答案】(1)B (2)①，②，③ 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键． （1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可． （2）①利用平方差公式计算即可； ②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可； ③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：B； （2）解：①，即，而， ； ②原式 ； ③原式 ． 22．（23-24七年级下·四川成都·期中）已知长方形，将图沿虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成图中的“回形”正方形． (1)观察图，请你写出、、之间的等量关系是_____． (2)根据（）中的结论，若，求的值； (3)拓展应用：如图，点，分别是，的中点，点在上，，以为边作正方形，点在上，交于点，长方形的面积为，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（）根据图（）分别表示出大正方形、阴影部分和个空白长方形的面积和，再根据面积关系写出等量关系即可； （）利用（）的等量关系解答即可求解； （）由题意可得正方形的边长为，，进而由可得，又由长方形的面积为可得，即得到，最后代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景，完全平方公式的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：图中，大正方形的边长为，面积为，阴影部分是边长为，面积为，个空白长方形的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意可知，正方形的边长为，， ∵，， ∴， 即， ∵长方形的面积为，即， ∴， 把代入得，， 整理得，， ∴． 23．（24-25七年级下·广东深圳·期中）在数学中，有许多关系都是在不经意间被发现的，认真观察图形，解答下列问题： (1)如图1，用两种不同的方法表示阴影图形的面积，得到一个等量关系：________． (2)若图1中、满足，求的值； (3)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，求图中阴影部分面积． (4)如图2，是线段上一点，以为边向两边作正方形，，两正方形面积和，且，则以（）为边长的正方形面积为________． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）阴影部分的面积可表示为两个小正方形的面积之和，也可表示成大正方形的面积减去两个小长方形的面积，即可得到等量关系； （2）由（1）得到的等量关系：，代入数值求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，，可得 ，根据（1），求出的值，即可得出答案； （4）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据完全平方公式得出，进而得到，答案即可求得. 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积可以表示为两个边长分别为，的小正方形的面积之和， 即， 也可表示为边长是的大正方形的面积减去两个长、宽分别为的小长方形的面积， 即， ∴等量关系为； （2）解∶由（1）得， ∵， ∴ ； （3）解∶设正方形的边长为，正方形的边长为， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． （4）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：以（）为边长的正方形面积为． 24．（24-25七年级·宁夏银川·期中）如图是一个长为、宽为 的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形． (1)你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于多少？______． (2)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法：______（只列式，不化简） 方法：______（只列式，不化简） (3)观察图，请你写出，，之间的等量关系． (4)根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若，．求． 【答案】(1) (2)， (3) (4)16 【知识点】列代数式、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】（1）根据图形填空即可； （2）根据面积的不同计算方法填空即可； （3）将三者关系列出等式即可； （4）利用（3）中等式计算即可． 【详解】（1）解：观察图b可以发现：图b中的阴影部分的正方形的边长等于， 故答案为：； （2）解：方法1：, 方法2：, 故答案为：，； （3）解：观察图b可以发现：, 即：, ∴，，之间的等量关系为：； （4）解：∵， ∴根据（2）题中的等量关系，可得 ． 25．（24-25七年级下·广东深圳·期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）图2中的阴影部分正方形的边长是________（用含，的代数式表示）； （2）观察图1，图2，请写出，，之间的等量关系是：________； 【解决问题】 （3）若，，且，求的值； 【实际应用】 （4）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知于点，，．计划在和区域内展示无人机和机器人表演，在和区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，米，求主舞台和观众区的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，完全平方公式的变形运算，熟练掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积，列出等量关系即可； （3）利用（2）所得的等量关系解得即可； （4）设，，可得，，再利用完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：（1）由图2知，阴影部分正方形的边长为， 故答案为：； （2）大正方形的面积为， 小正方形的面积为， 长方形的面积为， 由图2可知，大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴， 故答案为：； （3）由（2）可得，， ， ， 又， ， ， ， ， ； （4）设，， ， ， ，即， ， ， 无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ， ， ， 主舞台和观众区的面积和为． 26．（24-25七年级下·福建漳州·期中）数学兴趣小组开展探究活动，研究了以下问题：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差是否能被4整除？这两个数的积能否表示为两个正整数的平方差？ (1)指导老师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数，）： 3 1 4 2 5 3 ______①_______…… ．．． ．．． ．．． ．．． ____②____ 按上表规律，完成下列问题： （I）补全表格：_____①______；____②_____； （II）探究发现：两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差______（填“能”或“不能”）被4整除； (2)兴趣小组还发现，当两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差，例：． 设这两个不同的正整数分别为，请用含的等式表示该结论，并借助运算说明这个结论是正确的． 【答案】(1)（I）①；②；（II）能 (2)；证明见解析 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】（1）（Ⅰ）①根据表格中数据信息进行解答即可； ②根据数据规律得出即可； （Ⅱ）根据可以得出结论； （2）根据，得出，即可得出答案． 本题主要考查数字规律探索，整式乘法运算的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则． 【详解】（1）解：（Ⅰ）①根据表格中数据可知：； ②根据题意可知：； （Ⅱ）∵， ∴两个不同的正整数同时为偶数或奇数时，这两数之和与这两数之差的平方差能被4整除； （2）解：． 证明如下： ， ． 同为偶数或奇数，且， 、均为正整数． 两个不同的正整数同为偶数或奇数时，这两个数的积能表示为两个正整数的平方差． 27．（24-25七年级下·山东济南·期中）根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材：如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式： 问题解决 任务1：将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：________（只填序号） 任务2：四张长为、宽为的长方形纸片按如图方式拼成了一个正方形，请你通过拼图写出、、之间的等量关系是________________________． 任务3：（1）若满足，求的值． （2）计算． 任务4：如图，正方形和正方形边长分别为，，若，，是的中点，求出图中的阴影部分面积的和． 【答案】任务1：；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4： 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值、平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 任务1：根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务2：根据大正方形的面积减去个小长方形的面积，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积；根据两种方法得到的面积相等列出等式； 任务3：（1）根据完全平方公式变形求值即可求解． （2）根据乘以，根据平方差公式求值即可求解． 任务4：根据阴影部分面积等于，进行化简，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可求解． 【详解】解：任务1：图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务2：方法，大正方形的面积减去4个小长方形的面积得：， 方法，阴影部分面积面积等于边长为的小正方形的面积得：； 则； 故答案为：； 任务3：（1）设 ∵， ∴ ∴ ． （2）． 任务4：阴影部分面积等于 ， ，， ， 阴影部分面积等于． 【考点四】整式的除法应用 28．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 29．（24-25七年级下·江西鹰潭·期中）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场．请用含x，y的式子表示“T”型图形的面积并化简． 【答案】 【知识点】整式四则混合运算、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查整式混合运算的应用，根据“T”型图形的面积等于长方形地块减去两块空白图形的面进行求解即可． 【详解】解： （方法不唯一） 30．（24-25七年级下·四川成都·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，，求： ①的值；           ②的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算、多项式除以单项式 【分析】本题主要考查了整式化简求值，完全平方公式变形；解题的关键是熟练掌握乘法公式． （1）先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可； （2）①由根据完全平方公式变形，然后代入求值即可； ②根据完全平方公式变形，代入，求值求解即可． 【详解】解：（1） ； 当时，原式； （2）①∵， ∴ ∴ ； ②∵， ∴ ． 31．（24-25七年级下·山东济南·期中）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中是关于的多项式．请写出多项式，并将该例题的解答过程补充完整． 例：先化简，再求值：，其中． 解： ____①____ 把代入上式，得：____②____ ____③____ 其中____④____ 【答案】，，， 【知识点】整式的加减中的化简求值、整式四则混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算——化简求值，解题的关键是求出多项式，准确熟练的进行计算． 根据整数的混合运算法则计算，再将代入计算，再求出多项式即可． 【详解】解：， 把代入上式，得：， 其中． 故答案为：，，， 32．（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)余式是，商是7 (3) 【知识点】计算单项式除以单项式、计算多项式乘多项式、整式四则混合运算 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即余式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 33．（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（为常数），． (1)若，则的值为______； (2)若的代数式中不含的一次项，当，求的值； (3)若中的满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的混合运算、同底数幂相乘、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了新定义下整式的运算． （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， 的代数式中不含的一次项， ，， ， ， 时，； （3）解：， ， ， ， ，， ，即， ． 34．（24-25七年级下·湖南常德·期中）请阅读以下材料，解决问题，我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即．但是，当数域扩充到复数体系中，如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：；，若两个复数，他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如的共轭复数为．根据材料回答： (1)填空： ①_________；②_________； (2)若是的共轭复数，则_________（请简述过程） (3)已知，则_________．（请简述过程） 【答案】(1)①；② (2)，过程见解析 (3)，过程见解析 【知识点】整式四则混合运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了新定义下的运算，完全平方公式，整式的混合运算等知识． （1）①根据题干所给新运算可直接进行求解； ②根据完全平方公式以及所给新运算可进行求解，再根据题中所给共轭复数的定义求出a，b的值，最后代入代数式求解即可． （2）再根据题中所给共轭复数可进行求解； （3）先根据题干所给新运算计算，进而得出a、b的值，再计算，最后根据幂的混合运算得出，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①； ② ； 故答案为：①；②； （2）解：， ∵是的共轭复数， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ……，， ∴， ∴． 故答案为：． 35．（24-25七年级下·四川成都·期中）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：用含a、b的代数式表示出来： 图1表示：______；图2表示：______； 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （2）请直接写出下列问题答案： ①若，，则______； ②若，则______． （3）如图3，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1），；（2） ①；②；（3） 【知识点】整式的混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、整式的混合运算-化简求值，熟练掌握以上知识点是关键； （1）根据几何图形面积计算方法填空即可； （2）利用图1图2的计算公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：（1）图1中，，组成大正方形四部分面积之和， 即：， 图2中，， 即：， 故答案为：，； （2）①由图2可得， ，， ， ②由图1可得：， ， ， ， 故答案为：①；②13； （3）由题意可得， ， ， ， ， 36．（24-25七年级下·全国·期中）【理解】 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系 ； 【运用】 （2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】 （3）已知，求的值； 【探索】 （4）如图3，在正方形中，，，其中四边形，，均为正方形，四边形，是两个完全一样的长方形．若图中阴影部分的面积之和为，则长方形的面积为 ． 【答案】（1）；（2），；（3）18；（4） 【知识点】整式的混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景， （1）根据等积变换进行计算即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （3）设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； （4）设正方形的边长为，则，，设，，则，，然后利用完全平方公式进行计算即可解答； 正确理解题意、掌握完全平方公式是解题的关键．． 【详解】解：（1）由题意得：大正方形的边长为，面积为：， 大正方形由两个边长分别为、的正方形及一个长为，宽为的长方形拼成，面积为：， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∴， ∴； （3）设，， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （4）设正方形的边长为， ∵，，四边形，，均为正方形，四边形，是两个完全一样的长方形， ∴，， 设，， ∴， ∵阴影部分的面积之和为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，即， ∴长方形的面积为． 故答案为：． 【考点五】两条直线的位置关系的综合问题 37．（25-26七年级下·全国·期中）如图所示，直线，相交于点，，平分，下列结论： ①的余角是，补角是； ②； ③； ④． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】结合余角、补角的定义，垂线的定义、角平分线的定义可判断结论①、②正误；分别找出、和之间的关系，代入后即可判断结论③；根据结论③可判断结论④． 【详解】解：直线，相交于点，， 的补角是，余角是， 结论①错误； 平分， ， 结论②正确； ， ， ，， 、、在同一条直线上， ， 即， ， 即， 结论③正确， ， ， 则当时，有， 但题中没有该条件，结论④错误． 综上，正确的结论有个． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是几何图形中角度的计算，余角、补角的定义，角平分线的定义，垂线的定义，解题关键是结合图形找出角和角之间的关系． 38．（22-23七年级下·宁夏吴忠·期中）如图，直线相交于点O，于点O，且，求的度数． 【答案】 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等，根据垂直的定义可得，由可知，可解得，利用对顶角相等可得，由此即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 则的度数为． 39．（24-25七年级下·甘肃临夏·期中）如图，直线与相交于点O，于O，平分，，求，的度数． 【答案】， 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、求一个角的余角、垂线的定义理解 【分析】利用垂直定义和余角性质求得，再利用对顶角相等可求得；再利用角平分线的定义可得，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴，则， ∴； ∵平分， ∴， ∴． 40．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 【答案】 【知识点】对顶角相等、垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，根据垂直的定义可得，结合，从而可得，即可求解， 【详解】解：， ， ， ， ，且， ． 41．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）作图题 (1)用尺规按要求作图 已知， 求作，使（只保留痕迹，不写做法） (2)河边有一村庄（近似看作点A），如果在河岸上建一个码头（近似看作点B），使村庄的人到码头最近，请在图中画出码头，并测量村庄到码头的距离． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】垂线段最短、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和垂线段的作法． （1）首先画射线；再以O为圆心，任意长为半径画弧交、于P、D；以C为圆心，长为半径画弧，然后再以N为圆心长为半径画弧，交前弧于M，过M作射线可得． （2）根据垂线段最短的性质，过A作河岸的垂线段，垂足B即为码头的位置． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：如图所示：点B即为码头的位置． 42．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，直线、相交于点O，，且平分． (1) 的对顶角是 ，的补角是 和 ． (2)若，求的度数． 【答案】(1)；； (2) 【知识点】角平分线的有关计算、对顶角相等、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角． （1）根据对顶角，补角的定义，即可解答； （2）先根据垂直定义可得，从而可得：，然后利用平角定义可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】（1）解：的对顶角是，的补角是和， 故答案为：；；； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 43．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，、相交于点O，为的平分线，，，． (1)直接写出图中所有的邻补角和余角． 的邻补角__________；的余角__________． (2)求的度数． 【答案】(1)；， (2) 【知识点】垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查邻补角，余角，几何图形中的角度计算问题，掌握邻补角，余角，垂直的定义是解题的关键． （1）根据邻补角和余角的定义求解．两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角,互为邻补角；如果两个锐角的和是一个直角,那么称这两个角互为余角． （2）由对顶角相等，角平分线的定义，可得，由垂直的定义可得，再根据角的和差关系得出，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，的邻补角是，的余角是，， 故答案为：；，． （2）解：， ， 为的平分线， ， ，， ， ． 44．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期中）如图，直线，相交于点O，以O为观察中心，射线表示正北方向，射线表示正东方向，即，射线，的方向如图所示，且． (1)如图1，若射线的方向为北偏东，则射线的方向为 ； (2)如图2，平分，平分，求证：． 【答案】(1)南偏东 (2)详见解析 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、角平分线的有关计算、与方向角有关的计算题 【分析】本题考查角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义、互为余角的定义、平角定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义、平角的定义，得出，进而推出，由已知，通过等量代换即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 即的方向是南偏东； （2）平分，平分， ，， ， ， 又，， ． 45．（22-23七年级下·天津津南·期中）如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和补角的有关计算； （1）先求出，再根据平角的定义计算即可； （2）先求出，再根据平角的定义计算得出即可； （3）根据求出，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）； 理由：∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ． 46．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 【考点六】探索直线平行的条件应用 47．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，，现将木棒a、b同时绕着自身与c相交的交点逆时针旋转一周，速度分别为2度/秒和10度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则从开始运动经过___________秒时木棒a、b平行． 【答案】或或或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，利用分类讨论的思想，准确找出角度之间的数量关系是解题关键．设从开始运动经过秒时木棒a、b平行，分四种情况讨论，利用同位角相等两直线平行，列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设从开始运动经过秒时木棒a、b平行， ①当时，， 解得：； ②当时，， 解得：； ③当时，此时停止运动， ，解得：； ④当时，此时停止运动， ，解得：， 综上可知，从开始运动经过或或或秒时木棒a、b平行， 故答案为：或或或． 48．（23-24七年级下·北京·期中）如图，按要求画图并回答问题： (1)过点A画点A到直线的垂线段，垂足为D； (2)过点D画直线，交的延长线于点E； (3)的内错角是　　　； (4)在线段中，最短的是　　　，理由为　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)，垂线段最短 【知识点】垂线段最短、同位角、内错角、同旁内角、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查了画垂线，画平行线，内错角的定义，点到直线的距离，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意画垂线段即可； （2）根据题意画平行线即可； （3）根据内错角的定义求解； （4）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求；    （3）解：的内错角是， 故答案为：； （4）解：在线段中，最短的是，理由为垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 49．（23-24七年级下·河北保定·期中）如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格） (1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置） (2)连接，那么与的位置关系是_______； (3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍． 【答案】(1)见详解； (2)平行 (3)见详解 【知识点】同位角相等两直线平行、画三角形的高、根据三角形中线求面积、利用网格求三角形面积 【分析】（1）根据三角形的高线和中线的定义即可作图； （2）根据网格特点得到，即可得到； （3）先求出，结合网格特点即可作出． 【详解】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线： ； （2）解：如图，连接，由作图可得， ∴； 故答案为：平行； （3）解：如图，即为要求作的三角形； 证明：由题意得， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形高线、中线的定义，平行性的判定，三角形的面积公式等知识，理解相关知识，并根据网格的特点灵活应用是解题关键． 50．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期中）按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点． (1)过点P画射线，交于E． (2)过点P画线段，交于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画垂线、点到直线的距离、用直尺、三角板画平行线 【详解】（1）解：射线，交于E，如图所示： （2）解：线段，交于F，如图所示； （3）解：由可得点E到直线的距离是线段的长． 【考点七】平行线的性质综合应用 51．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，，点E和点F分别在和上，点G在和之间，连接和．，过点E作射线，过点F作射线．且，，点P和点Q分别在和上，连接，，则n的值是______． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】分别过点，，作，，，表示出，求出，即可解答． 【详解】解：如图，分别过点，，作，，， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图,直线分别与直线相交于点A,C,与直线相交于点B,D．若．求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】根据邻补角的定义得到,根据平行线的判定得到,根据平行线的性质,可得,即可求解． 【详解】解:∵, ∴, ∴ (同位角相等,两直线平行), ∴ (两直线平行,同旁内角互补), ∴， ∴． 53．（24-25七年级下·四川泸州·期中）已知，如图直线，直线分别交，CD于，两点，、的平分线交于点． (1)求的度数；（适当添加辅助线，其实并不难） (2)如图，、的平分线交于点，试问与的度数是否存在某种特定的数量关系？证明你的结论． （适当添加辅助线，其实并不难） (3)若、的平分线交于点，猜想与是否存在某种数量关系（不需证明）． 【答案】(1)的度数为； (2)与的数量关系为，证明过程见解析； (3)与的数量关系为． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可求得的度数； （2）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系； （3）过点作，综合平行线的性质和角平分线的定义，即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：的度数为． （2）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴， 答：与的数量关系为． （3）解：， 证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵、分别平分、， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：与的数量关系为． 54．（24-25七年级下·浙江湖州·期中）光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角和反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图中，有． (1)如图，已知镜子与镜子互相平行，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； (2)如图，一束光线射在双面镜上的点，生成反射光线，，另一束光线从点射出，，光线绕点以度秒速度顺时针转动，设时间为秒，在光线转动一周的时间内， 当反射光线与平行时，求出所有满足条件的时间． 当光线同时绕点以度秒速度顺时针转动，反射光线与平行时，直接写出所有满足条件的时间． 【答案】(1)，理由见解析； (2)或；或或或． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角度和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质可得，，则，通过角度和差可得，从而求证； （）分当与在同侧和当与在异侧两种情况分析即可； 分情况，再通过解方程即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，，， ∵镜子与镜子互相平行， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴； （2）.当与在同侧，如图， ∵， ∴， 由反射可得， ∴， ∴； .当与在异侧，如图， ∵， ∴AN， ∴， 由反射可得， ∴， ∴， ∴或； 由， .如图， 由反射可得， ∴， ∴，解得：； .如图， 同理可得：，解得：； .如图， 同理可得：，解得：； .如图， 同理可得：，解得：； 综上可知：或或或． 55．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）已知：线段垂直直线，垂足为点P，点A、C分别是直线、线段上一点，平分，且，过点B作，平分交于点E． (1)如图1，若点A与点P重合，则______°； (2)如图2，若点A在射线上向右移动，其它条件不变， ①若，试求和的大小； ②在点A移动的过程中，的大小是否发生改变？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)45 (2)①，；②的大小不变，是 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定、角平分线的定义及垂线的定义是解题的关键； （1）由题意易得，则有C，B，D共线，然后根据角平分线的定义可得，，进而问题可求解； （2）①过点C作，则有，由题意易得，然后可得，，进而根据角平分线的定义及角的和差关系可进行求解；②设，同理①可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴C，B，D共线， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45； （2）解：①如图，过点C作， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ②不改变，理由如下： 设， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即的大小不变，是． 56．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 57．（23-24七年级下·广西南宁·期中）阅读材料，解决问题： 【阅读材料】如图1，物理学光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律． （1）在图1中，证明； 【解决问题】根据光的反射定律，人们制造了潜望镜，如图2是潜望镜的工作原理示意图，，是平行放置的两面平面镜，是射入潜望镜的光线，是经平面镜两次反射后离开潜望镜的光线，由（1）可知，光线经过平面镜反射时，有，． （2）请问和有什么关系？并说明理由； （3）小明尝试制作一如示意图的简易潜望镜，但发现光线无法顺利通过，请思考应如何调整平面镜，的位置，并给出建议（合理即可）． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）调整平面镜，使得两面镜子达到平行（合理即可） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行线的性质在生活中的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． （1）根据等角的余角相等解答即可； （2）根据平行线的性质求解即可； （3）根据潜望镜的原理，平行线的性质进行分析即可． 【详解】（1）证明：， ，， ； （2），理由如下： ，，， ， ， ； （3）因为潜望镜它是根据光的折射，而潜望镜是要改变光的传播方向的，光线无法顺利通过，说明没有与光线平行，需要调整平面镜，的位置，使得两面镜子，达到平行（合理即可）． 58．（24-25七年级下·山东菏泽·期中）综合与实践 【问题情境】 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系． 【问题探索】 （1）如图①，，，则与的关系为______． （2）如图②，，，则与的关系为_______． （3）由（1）（2）你得出的结论为______； 【问题迁移】 （4）若与的两边分别平行，且比的2倍少，求与的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；（4），或， 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线的性质探究角的关系、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的几何应用，解题关键是掌握平行线的性质． （1）如图①，根据，，即可得与有的关系； （2）如图②，根据，，即可得与的关系； （3）由（1）（2）即可得出结论； （4）设为，根据以上结论和比的2倍少，列出方程即可求出与的度数． 【详解】(1)解：． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) ． 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． (4)设“另一个角”的度数为， 当这两个角相等时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴这两个角的度数分别为，； 当这两个角互补时， ∵比的2倍少， ∴，解得：， ∴， ∴这两个角的度数分别为，； 故这两个角的度数分别为，或，． 【考点八】 概率初步的综合应用 59．（24-25七年级下·陕西西安·期中）某文体店购进了筒羽毛球，但在销售过程中，发现其中混有若干个次品羽毛球，店员进行统计后，发现每筒羽毛球最多混入了个次品羽毛球，具体情况如下： 混入次品羽毛球个数 筒数 (1)用等式写出，所满足的数量关系应为__________； (2)从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】概率的意义理解、已知概率求数量 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据表格确定，满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【详解】（1）解：观察表格发现：， ∴用等式写出，所满足的数量关系为， 故答案为：； （2）解：∵从筒羽毛球中任意选取筒，若“筒中混入个次品羽毛球”的概率为， ∴， 解得， 所以， 即，． 60．（24-25七年级下·广东深圳·期中）红岭中学七年级数学小组在综合实践活动中调查肯德基、真功夫和必胜客三家餐饮店的外卖评价情况．他们在美团外卖上找到这三家店，并分别随机选出了800条网络评价，统计如表： 等级 评价条数 店铺 五星 四星 三星及三星以下 合计 肯德基 m 278 120 800 真功夫 359 n k 800 必胜客 325 275 200 800 (1)根据统计表中的信息，计算 ； (2)若在“真功夫”的评价中，三星及三星以下占比为，则 ； (3)当顾客给出评价不低于四星时，可以称之为一次良好的用餐体验．根据调查的结果，顾客选择 _________（填店名），获得良好用餐体验的可能性最大． 【答案】(1)402 (2)150 (3)顾客选择肯德基餐饮店．理由见解析 【知识点】判断事件发生的可能性的大小 【分析】本题考查了概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． （1）用800减去四星和三星及三星以下的人数，即可得出m的值； （2）用800乘以三星及三星以下占比，即可求出k的值； （3）根据概率公式先求出三家餐饮店获得良好的用餐体验的可能性，再进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解：． 故答案为：402； （2）解：由题意，可得． 故答案为：150； （3）解：顾客选择肯德基餐饮店．理由如下： 从样本看，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 真功夫餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 必胜客餐饮店获得良好用餐体验的比例为， 肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高， 由此估计，肯德基餐饮店获得良好用餐体验的比例最高． 故答案为：肯德基． 61．（24-25七年级下·全国·期中）下表是某校生物兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 475 954 1906 4748 发芽频率 0.94 0.955 0.946 b 0.953 0.9496 (1)上表中的_______，______； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是______（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)，； (2)； (3)需要准备10000粒种子进行发芽培育． 【知识点】由样本所在的频率区间估计总体的数量、由频率估计概率、用频率估计概率的综合应用 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量： （1）根据频率等于频数除以总数，进行计算即可； （2）利用频率估算概率即可； （3）利用概率计算数量即可． 【详解】（1）解： ， ． 答案为：，； （2）∵随着实验种子数的增加，频率稳定在， ∴任取一粒这种植物种子，它能发芽的概率的估计值是． 故答案为：； （3） 答：需要准备10000粒种子进行发芽培育． 62．（24-25七年级下·河南郑州·期中）图1是计算机“扫雷”游戏的画面，在个小方格的雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格最多能埋藏颗地雷． (1)小明如果踩在图1中的任意一个小方格上，则踩中“地雷”的概率是________； (2)如图2，小明先点一个小方格，显示数字，它表示围着数字的个方格中埋藏着颗地雷（图中包含数字的黑框区域记为），若小明在区域内围着数字的个方格中任点一个，则踩中“地雷”的概率是________； (3)如图2，为了尽可能不踩中“地雷”，小明的第二步应踩在区域内的小方格上还是应踩在区域外的小方格上？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)区域外的小方格上，理由见解析 【知识点】根据概率公式计算概率、根据概率作判断 【分析】本题主要考查了概率公式． (1)根据个小方格中有个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (2)根据个小方格中埋藏着个地雷，可知小明踩中“地雷”的概率是； (3)利用概率公式求出踩在区域外的小方格上踩中地雷的概率，通过比较选择踩中地雷概率小的区域． 【详解】（1）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （2）解：个小方格中埋藏着个地雷， 小明踩中“地雷”的概率是， 故答案为：； （3）解：小明的第二步踩在区域的小方格上，可能踩中地雷的概率是， 小明的第二步踩在区域外的小方格上，可能踩中地雷的概率是，     ， 为了尽可能不踩中“地雷”， 小明的第二步应踩在区域外的小方格上． 63．（24-25七年级下·广东佛山·期中）为了了解足球知识的普及情况，某校举行“足球在身边”的专题调查活动，采取随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果划分为“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图），请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)被调查的学生共有______人； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为______度； (4)从该校随机抽取一名学生，抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是多少？ 【答案】(1)300 (2)见详解 (3)144 (4) 【知识点】由频率估计概率、条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、画条形统计图 【分析】本题考查了频率估计概率，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）用非常了解的人数除以占比，即可得出被调查的学生的人数，即可作答． （2）运用总人数减去其余人数即可得出“基本了解”的人数，再补全条形统计图，即可作答． （3）运用“基本了解”的人数除以总人数再乘，即可作答． （4）依题意，运用频率估计概率进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（人）， ∴被调查的学生共有300人， 故答案为：300 （2）解：由（1）得被调查的学生共有300人， ∴（人）， 补全条形统计图，如图所示： （3）解：依题意，， ∴在扇形统计图中，表示“基本了解”的扇形的圆心角度数为度， 故答案为： （4）解：依题意，， 即抽中的学生对足球知识是“不太了解”的概率的是． 64．（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 164 237 328 z 命中的频率 0.70 0.80 0.81 0.82 y 0.82 0.83 (1)填空：________，________，________； (2)根据上表，该运动员任意投出一球，能投中的概率是________（精确到0.1）； (3)根据估计的概率，若该运动员投篮150次，则他命中的次数大约是________次； (4)如果该运动员重新投篮500次评估自己的投篮命中率，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1)100，， (2)0.8 (3)120 (4)不会一样，理由见解析 【知识点】用频率估计概率的综合应用、由频率估计概率、根据数据描述求频率、根据数据描述求频数 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【详解】（1）解：，，； （2）由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是0.8； 故答案为：0.8； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为0.8，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在0.8左右波动， 故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 65．（24-25七年级下·山东青岛·期中）我县某商场为吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成个扇形．商场规定：顾客每购买元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得元、元、元的购物券． (1)“转动一次转盘获得100元的购物券”是____________；（选填：“必然事件”或“不可能事件”或“随机事件”） (2)计算：转动一次转盘获得元、元、元购物券的概率分别是多少？ (3)如果顾客获得一次转转盘的机会，试判断：得到购物券的概率和未得到购物券的概率，哪个大？ 【答案】(1)不可能事件 (2) (3)得不到购物券的概率大 【知识点】判断事件发生的可能性的大小、根据概率公式计算概率、事件的分类 【分析】本题考查简单随机事件概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键， （1）由于转盘上没有获得100元的购物券的区域，从而得到答案； （2）由题可得转动一次转盘共有16种等可能的结果，获得50元购物券的结果有1种；获得30元购物券的结果有2种；获得20元购物券的结果有3种，根据概率公式即可求得答案； （3）转动一次转盘共有16种等可能的结果．其中得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种，从而得到购物券的概率为，得不到购物券的概率为，从而即可判断得到答案． 【详解】（1）解：∵转盘只设置了红色、黄色或绿色区域，分别对应元、元、元的购物券， ∴“转动一次转盘获得100元的购物券”是不可能事件； （2）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘获得50元购物券的结果，有1种； 转动一次转盘获得30元购物券的结果，有2种； 转动一次转盘获得20元购物券的结果，有3种． 转动一次转盘获得50元购物券的概率为， 转动一次转盘获得30元购物券的概率为， 转动一次转盘获得20元购物券的概率为． （3）解：转动一次转盘共有16种等可能的结果． 其中：转动一次转盘得到购物券的结果有种，得不到购物券的结果有种， 转动一次转盘得到购物券的概率为， 得不到购物券的概率为， ， 得不到购物券的概率大． 66．（24-25七年级下·重庆·期中）随着教育体系的不断完善，选修课已成为培养学生综合素质、拓展学术视野的重要途径．选修课不仅为学生提供了自主选择学习内容的机会，还能帮助其发掘兴趣、发展特长，从而更好地适应多元化的社会需求．为了了解同学们的兴趣爱好，学校对七年级同学们最喜欢的选修课情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了四种选项：：“人文素养”；：“科技创新”；：“艺术修养”；：“运动健康”，现收集、整理、分析数据后绘制了如下两幅不完整的统计图： 抽取的部分学生“最喜欢的选修课”类别条形统计图 抽取的部分学生“最喜欢的选修课”类别扇形统计图 根据以上信息，请解答下列问题： (1)参与此次调查的学生总人数是___________人；在扇形统计图中，________，部分的圆心角度数是________． (2)现从被调查的学生中随机抽一人了解他最喜欢的选修课类别，该学生最喜欢“科技创新”或“运动健康”的概率为_________；补全条形统计图． (3)若该校七年级有名学生，请你估计该校七年级学生中最喜欢“科技创新”和“艺术修养”这两类选修课的人数之和． 【答案】(1)，， (2)，条形统计图见解析 (3)人 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、画条形统计图、条形统计图和扇形统计图信息关联、根据概率公式计算概率 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，补全条形统计图，用样本估计总体，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）用最喜欢：“人文素养”的学生人数除以其所占的百分比得到总人数，用最喜欢：“艺术修养”的学生人数除以乘，即可求出的值，用乘以最喜欢：“运动健康”的学生人数所占的比例即可得到部分的圆心角度数； （2）把“科技创新”的概率和“运动健康”的概率加起来即可得到学生最喜欢“科技创新”或“运动健康”的概率，求出最喜欢“科技创新”的学生人数，补全条形统计图即可； （3）用乘最喜欢“科技创新”和“艺术修养”这两类选修课的人数所占比例即可得解． 【详解】（1）解：参与此次调查的学生总人数是（人）， ， ， 部分的圆心角度数是， 故答案为：，，； （2）解：该学生最喜欢“科技创新”或“运动健康”的概率为， 最喜欢“科技创新”的学生人数为（人）， 补全条形统计图如图所示： 故答案为：； （3）解：（人）， 答：该校七年级学生中最喜欢“科技创新”和“艺术修养”这两类选修课的人数之和为人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $