7.3.1离散型随机变量的均值课件～2025～2026学年高二下学期人教A版选择性必修三册

尝试一下 引例1 某商场要将单价分别为18元/千克，24元/千克，36元/千克的3种 糖果按 的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理? F1：按照糖果的最高 价格定价 F2：按照这三种糖果的平均价格定价 F3：按照这三种糖果的加权平均价格定价 定价为：36元/千克 权重是起权衡轻重作用的数值 回忆一下 引例2 甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性. 稳定性→方差. 比较麻烦 不太好用！ 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.1 离散型随机变量的均值 自主研读 P62~P64，梳理知识，记录疑问 离散型随机变量的均值是如何定义的？它用什么符号表示？ 均值的计算公式是什么？为什么说它是"加权平均"？权重是什么？ 两点分布的均值有什么简单的计算公式？ 若随机变量满足 ， 与  有什么关系？ 关注以下问题： 问题一：随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？  (1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取， 样本均值具有随机性，它随样本抽取的不同而变化，围绕变量的均值波动. (2)联系：随着重复试验的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小，越来越接近于随机变量的均值. 问题二：什么是数学期望？数学期望反映了随机变量的什么特征？  一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称：E(X)为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 数学期望： 数学期望是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平（中心位置）. 问题三：为什么用概率  作为权重，而不是用其他数？  一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 则称：E(X)为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 数学期望： 权重的意义：概率反映了该取值出现的“频繁程度”. 概率越大，说明这个值在大量重复试验中出现得越多，对总平均的贡献自然应该越大 问题四：两点分布的数学期望是多少？  随机变量 X 服从两点分布，分布列如下表： 所以，随机变量 X 的均值为： 问题五：离散型随机变量的数学期望有哪些性质？ 典例精析 例1：猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名. 某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如下表所示： 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值. 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 解：分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，Cskq歌名的事件，则A，B，C相互独立 嘉宾获得的公益基金总额X的可能取值为0，1000，3000，6000； 典例精析 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 X的分布列如下表所示： X 0 1000 3000 6000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 则E(X)=0×0.2+1000×0.32+3000×0.288+6000×0.192=2336. 典例精析 变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 解：如果按ACB的顺序来猜歌，分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，A，B，C相互独立； X的分布列如下表所示： X 0 1000 4000 6000 P 0.2 0.48 0.128 0.192 X的均值E(X)=0×0.2+1000×0.48+3000×0.128+6000×0.192=2144. 典例精析 变式：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？ 按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元 ABC 2336 BCA 2112 ACB 2144 CAB 1904 BAC 2256 CBA 1872 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1000 2000 3000 典例精析 例 2：根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案： 方案1：运走设备，搬运费为3800元。 方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。 方案3：不采取措施，希望不发生洪水。 工地的领导该如何决策呢? 分析：决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好，根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如表所示： 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 方案3 0 方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案。 62000 2000 2000 60000 10000 天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水 概率 0.01 0.25 0.74 总损失/元 方案1 3800 3800 3800 方案2 62000 2000 2000 方案3 60000 10000 0 典例精析 解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3. 采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元. 因此，P(X1=3800)=1. 采用方案2：遇到大洪水时，总损失为2000+6000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元，因此，P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99. 采用方案3：P(X3)=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74. 于是，E(X1)=3800，E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600，E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100. 因此，从期望(平均)损失最小的角度，应采取方案2. 阅读：P66最后一段话 1. 离散型随机变量均值的实际应用问题的解题“三步曲”： ①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些； 明确随机变量，确定随机变量所有可能取值 ②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值； ③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论. 归纳总结 2. 离散型随机变量均值的性质： 随堂小测 课本P66~P67 1，2，3 4. 某射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，求命中后的剩余子弹数目X的数学期望. 随堂小测 解：X 的可能取值为3，2，1，0， P(X=3)=0.6; P(X=2)=0.4×0.6=0.24; P(X=1)=0.42×0.6=0.096; P(X=0)=0.43=0.064. 所以E(X)=3×0.6+2×0.24+1×0.096+0×0.064=2.376. 课后作业 课本P71 2，3，4，6 $