湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期第7周数学每日一练训练卷

除第9、14、15、16题外均为2025年新高考I卷真题（第14题为2024年新高考II卷真题） 利川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷 第7周（含清明假期作业） 一、单选题 1．的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 2．已知集合，，则中元素个数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 3．已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 6．帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（    ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 10．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若直线是曲线的一条切线，则_________. 13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 14．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 则共有______种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是_____． 四、解答题 15．甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 17．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 18．如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 19．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $除第9、14、15、16题外均为2025年新高考I卷真题（第14题为2024年新高考Ⅱ卷真题） 剥川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷 第7周（含清明假期作业） 一、单选题 1.1+5i)i的虚部为() A.-1 B.0 C.1 D.6 2.已知集合U={xx是小于9的正整数}，A=1,3,5},则CA中元素个数为() A.0 B.3 C.5 D.8 3.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√万倍，则C的离心率为( ) A.√5 B.2 C.万 D.2√2 4已知点a0a>0是函数=2am:到)的图象的-个对称中心，则a的最小值为() A.晋 .号 c D. 3 5.已知J()是定义在取上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f=5-2,则f(引（) A月 R C. D. 6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速视风 风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速 对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系已知某帆船运动 员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：s), 则该时刻的真风为( 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 视风风速 2 轻风 1.63.3 2 微风 3.45.4 船速 又 和风 5.57.9 J 劲风 8.010.7 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 7.已知圆x2+(y+2)2=2(r>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是 () A.(0,1) B.(1,3) C.(3,+0) D.(0,+0) 8.已知2+log2x=3+logy=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x>y>z B.x>=>y C.y>x>Z D.y>=>x 二、多选题 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若B>C,则sinB>sinC B.若d+c2>b2,则△ABC为锐角三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinC>cosA D.若b=2A=号a=5,则△ABC为直角三角形 10.在正三棱柱ABC-AB,C,中，D为BC的中点，则() A.AD⊥AC B.BC⊥平面AAD C.AD//AB D.CCII平面AAD 11.已知抛物线C:y=6x的焦点为尸，过F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线：x=-名的垂线， 垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交I于点E,则() A.IAD月AF B.AEAB C.AB >6 D.|AE|IBE≥18 三、填空题 12.若直线y=2x+5是曲线y=e*+x+a的一条切线，则a= 13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 11 21 31 40 14.在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中， 12 22 33 42 则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的 13 22 33 43 最大值是一 15 24 34 44 高二数学试卷第2页，共4页 四、解答题 15.甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3cosA=2. (1)求A. (2)若a=2,√2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 17.已知数列{a,}中，a=3,-a+1 nn+1'nn+1) (1)证明：数列{a}是等差数列； (2)给定正整数m,设函数f(x)=4x+a2x2+…+amxm,求f'(-2). 高二数学试卷第3页，共4页 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD. (I)证明：平面PAB⊥平面PAD; (2)设PA=AB=√2，BC=2,AD=1+√5，且点P,B,C,D均在球O的球面上. (i)证明：点O在平面ABCD内； A -- (ii)求直线AC与PO所成角的余弦值， B 19.已如圆c司若a>6>0的高心幸为2 ,下顶点为A,右顶点为B,AB卡0. 3 (1)求C的方程： (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足AP斗AR=3. (i)设P(,),求R的坐标（用，n表示)： (i)设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PQ的最大值. 高二数学试卷第4页，共4页除第9、14、15、16题外均为2025年新高考I卷真题（第14题为2024年新高考II卷真题） 利川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷解析 第7周（含清明假期作业） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C C D B A A B B ACD BD ACD 一、单选题 1．的虚部为（    ） A． B．0 C．1 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以其虚部为1，故选：C. 2．已知集合，，则中元素个数为（    ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为，故选C． 3．已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为，由题知，， 于是，则，即.故选：D 4．已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是.故选：A 6． 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（    ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 【答案】A 【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为，∴，船行风速：， ∴，，∴由表得，真风风速为轻风 7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B. 8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能；故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象， 以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B． 二、多选题 9．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则为锐角三角形 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】若，则，利用正弦定理，可得，所以，故A正确； 若，则利用余弦定理可得，所以为锐角，但不知道是否为锐角，故B不正确； 若为锐角三角形，则，所以，所以，即，故C对； 若，则利用余弦定理， 可得，即，得，所以，所以为直角三角形故D对. 10．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以，则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面，又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面，所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾，所以不成立，故C错误；故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，，则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为，则，得，令，则， 所以，，则平面，平面，故BD正确； 对于C，，则，显然不成立，故C错误；故选：BD. 11．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D. 【详解】法一：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点， 由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又，所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为，， 联立，得，易知，则， 又，，所以，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 又， ， 所以， 则，故D正确.故选：ACD. 法二：对于A，对于抛物线，则，其准线方程为，焦点， 则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，，故A正确； 对于B，过点作准线的垂线，交于点，由题意可知，则， 又，，所以，所以，同理， 又， 所以，即， 显然为的斜边，则，故B错误； 对于C，当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去，得，易知，则， 所以，故C正确； 对于D，在与中，， 所以，则，即， 同理， 当直线的斜率不存在时，，； 所以，即； 当直线的斜率存在时，， ， 所以， 则；综上，，故D正确.故选：ACD. 三、填空题 12．若直线是曲线的一条切线，则________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得， 将代入切线方程，可得，所以切点坐标为， 因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为，则，解得.故答案为：. 13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2.故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为，所以， ， 所以，则，所以，所以该等比数列公比为2.故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则，设的公比为， 因为， 又，所以，所以，所以该等比数列公比为.故答案为：. 14．在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有________种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是________． 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有种选法； 每种选法可标记为，分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： ， ， ， ， 所以选中的方格中，的4个数之和最大，为. 故答案为：24；112 四、解答题 15．甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ 【答案】(1)72 (2)243 【分析】（1）根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得； （2）根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得; 【详解】（1）甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有种方法， 再将甲乙插空隙中，有种方法，所以共有不同排法数为（种）. （2）去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有种选择， 所以不同游览方法有（种）. 16．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长. 【详解】（1）由可得，即， 由于，故，解得 （2）由题设条件和正弦定理， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 17．已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，，在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 18．如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，，平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥，，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上，则， 如图在平面中，， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：，即， 易知直线BC的垂直平分线为， 联立 得 ，∴【垂直平分线的交点就是圆心】 在立体几何中，，∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2：由几何知识得，，，∥，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，，∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得，， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 19．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则， 所以，， 故点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 试卷第1页，共3页 高二数学试卷解析 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $除第9、14、15、16题外均为2025年新高考I卷真题（第14题为2024年新高考Ⅱ卷真题） 利川市第五中学2024级数学每日一练数学训缘卷解析 第7周（含清明假期作业） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C D B A B B ACD BD ACD 一、单选题 1.1+5i)i的虚部为( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 【答案】C【详解】因为(1+5i)i=i+5i2=-5+i,所以其虚部为1，故选：C. 2.已知集合U={x是小于的正整数}，A=1,3,5},则C,A中元素个数为( A.0 B.3 C.5 D.8 【答案】C【详解】因为U=1,2,3,4,5,6,7,8,所以C,A={2,4,6,7,8,CA中的元素个数为5，故选C. 3.已知双曲线C的虚轴长是实轴长的√7倍，则C的离心率为() A.√2 B.2 C.√万 D.2√2 【答案】D【详解】设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c,由题知，b=√7a, 于是d2+b2=c2=d2+7a2=2,则c=2√2a,即e=9=22.故选：D 4.己知点(a,0(a>0)是函数y=2tanx- 3 的图象的一个对称中心，则a的最小值为( A君 B. c月 D. 3 【答案】B【详解】根据正切函数的性质，y=2tam-的对称中心横坐标满足x-=匹，k∈Z, 32 即y=2a6x-孕的对称中心是 匹+匹，0，keZ,即a=匹+，keZ, 320 321 又a>0,则=0时a最小，最小值是背即a=号故适：B 3 5.己知f)是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，)=5-2x,则/到（) B.- 4 c D. 【答案】A 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解. 【详解】由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x)对一切x∈R成立， 于是=月==5-2号选：4 6.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速视风 风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速 对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动 员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：s), 则该时刻的真风为( 珠 级数 名称 风速大小（单位：m/) 3 视风风速 2 轻风 1.6～3.3 2 船速 3 微风 3.45.4 4 和风 5.57.9 5 劲风 8.010.7 2 3 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 【答案】A【详解】由题意及图得，视风风速对应的向量为：n=(0,2)-(3,3)=(←3，-1)， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为h,船行风速对应的向量为2，，∴.=+2，，船行风速：乃=-「3,3)-(2,0)]=（-1，-3)， 4=-%=（3,-1)(1,-3)（2,2),网=V仁2+22=25≈2.828，由表得，真风风速为轻风 7.己知圆x2+(y+2)2=r2(>0)上到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是() A.(0,1) B.1,3) C.(3,+0) D.(0,+0) 【答案】B【详解】由题意，在圆x2+(y+2)=r2(r>0)中，圆心E(0,-2),半径为r, 到直线y=√3x+2的距离为1的点有且仅有2个， B 0×V3-(-2)×1+2 :圆心E(0,-2)到直线y=√x+2的距离为：d= =2 V3)+(-2 故由图可知， 当r=1时，圆x2+(y+2)=r2(t>0)上有且仅有一个点（A点)到直线y=√3x+2的距离等于1： 当r=3时，圆x2+(y+2)=r2(1>0)上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y=√5x+2的距离等于1： 当则r的取值范围为(1,3)时， 圆x2+(y+2)=r2(r>0)上有且仅有两个点到直线y=√3x+2的距离等于1.故选：B. 高二数学试卷解析第2页，共14页 8.已知2+log2x=3+log;y=5+1og,z,则x,y,z的大小关系不可能是() A.x>y>z B.x>=>y C.y>x>Z D.y>=>x 【答案】B【分析】法一：设2+log2x=3+log3y=5+log,二=m,对m讨论赋值求出x,y,z,即可得出 大小关系，利用排除法求出；法二：根据数形结合解出 【详解】法一：设2+log2x=3+log3y=5+log,==,所以 令m=2,则x13女5这此时，A有可能： 令m=5,则x=8,y=9,=1,此时y>x>z,C有可能； 令m=8,则x=2=64,y=3=243,==5=125,此时y>二>x,D有可能；故选：B. VA 法二：设2+l0g2x=3+log,y=5+log=,所以，x=2-2,y=3-3,=5m-5 1v=2 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2-2,y=3-3,y=5x-5的图象， =33 ix=m 以上方程的根分别是函数y=2-2,y=3*-3,y=5x-的图象与直线x=m的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着m的变化可能出现：x>y>z,y>x>z,y>二>x,z>y>x,故选：B. 二、多选题 9.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若B>C,则sinB>sinC B.若d+c2>b2,则△ABC为锐角三角形 C.若△ABC为锐角三角形，则sinC>cosA D.若b=2,A=匹，a=5,则△ABC为直角三角形 3 【答案】ACD 【详解】若B>C,则b>c,利用正弦定理，可得2 RsinB>2 RsinC,所以inB>siC,故A正确： 若d+c>,则利用余弦定理可得c0sB=口+cB>0,所以∠B为锐角，但不知道∠4∠C是否为锐 2ac 角，故B不正确： 若△Mc为般角=角形，则4+C子所以C空4，所以mC>m行A,即mC>c4,故c对 若b=2,A3,a=3,则利用余弦定理d=b2+c2-2bco84 可得3=4+c-2x2cx分即c:-2+1=0,得c=1,所以公=G+c,所以△ABC为直角三角形故D对 高二数学试卷解析第3页，共14页 10.在正三棱柱ABC-AB,C中，D为BC的中点，则() A.AD⊥AC B.B,C⊥平面AAD C.AD//AB D.CC/I平面AAD 【答案】BD【分析】法一：对于A,利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B,利用线 面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D,利用线面平行的判定定理即可判断：对于C,利用反证法即 可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解 C1 【详解】法一：对于A,在正三棱柱ABC-ABC中，AA⊥平面ABC, B 又ADC平面ABC,则AA⊥AD,则AA·AD=0, 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD⊥BC,则DC.AD=0 以D 又4C-AA+AD+DC, ---B 所以ACAD=(AA+AD+DC)AD=AAAD+AD°+DCAD=AD°≠0，则AD⊥AC不成立，故A错误； 对于B,因为在正三棱柱ABC-AB,C中，A4⊥平面AB,C,又B,CC平面AB,C,则A4⊥B,C, 因为△ABC是正三角形，D为BC中点，则AD L BC,AD⊥B,C, 又AA∩AD=A,AA,ADc平面AAD,所以BC⊥平面AAD,故B正确： 对于D,因为在正三棱柱ABC-AB,C中，CC/1AA 又AAC平面A4D,CC在平面AAD,所以CC/平面AAD,故D正确： 对于C,因为在正三棱柱ABC-ABC中，AB/1AB, 假设ADI/AB,则AD//AB,这与AD⌒AB=A矛盾，所以AD/IAB,不成立，故C错误：故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2，高为， 则D(0,00),4(5,0,0A(5,0,hC0,1,0)C10,1h)B0,1,0)B11,h), C 对于A,AD=（3,0,0),4C=（V5,-1-),则AD4C=(5)×(5)+0=3≠0， 则AD⊥AC不成立，故A错误： 对于BD,BC=(0,-2,0),CC=(0,0,h)bAA=0,0,h)AD=（6,0,0), D A A4·i=hz=0 设平面A4D的法向量为i=(x,y,),则 ,得x=z=0,令y=1,则i=(0,1,0), AD.元=-3x=0 高二数学试卷解析第4页，共14页 所以BC=(0,-2,0)=-2i,CC=0,则BC⊥平面A4D,CC/1平面A4D,故BD正确： 对于8-(a04有-(5L,则骨B然0不成，故e结误放盛：m 11.己知抛物线C:y=6x的焦点为尸，过F的一条直线交C于A,B两点，过A作直线：x=-的垂线， 2 垂足为D,过F且与直线AB垂直的直线交I于点E,则() A.IADAFI B.|AE曰HAB| C.AB 26 D.AE BE >18 答案】ACD【分析】对于A,先判断得直线：x三二，为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断 对于B,利用三角形相似证得∠AEB=90°，进而得以判断；对于C,利用直线的反设法（法一）与正设法 (法二)，联立直线AB与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C:利用利用三角形相似证得 AE=AFAB,BE=BFAB,结合焦半径公式可判断D. 3 【详解】法一：对于A,对于抛物线C:y2=6x,则p=3,其准线方程为x= ,焦点 y 则AD为抛物线上点到准线的距离，AF为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，|AD月AF引，故A正确； 对于B,过点B作准线I的垂线，交于点P, 由题意可知AD⊥1，EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°， 又|ADHAFI,|AEAF|,所以△ADE兰△AFE,所以∠AED=∠AEF,同理∠BEP=∠BEF, 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°，所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE<AB|,故B错误 对于C,易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x=网+子，A(3y),B(), 3 联立 x=my+ 2,得y2-6y-9=0,易知△>0，则4+y2=6,y2=-9, y2=6x 3 3 又名=0+2，名=m,+2所以4B卡名+名+p=m+)+3+362+626,故C正确： 对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF, AFAF 所以Rt△ABE~Rt△AEF,则 即AE=AFAB,同理BE=BFAB, 又4a叫-++)-0侧+30侧-=rt+.9=-918m-9=0e. AB=6m2+6=6(m2+1 高二数学试卷解析第5页，共14页 所以AEBE=BF AFAB=9(m2+1)x36(m2+1), 则A|BE到=3(m2+1x6(m2+1)=18(m2+1)F≥18，故D正确故选：ACD. 法二：对于A,对于抛物线C:少2=6x,则p=3,其准线方程为x=- 焦点30 则AD为抛物线上点到准线的距离，AF为抛物线上点到焦点的距离， 由抛物线的定义可知，AD曰AFI,故A正确： 对于B,过点B作准线I的垂线，交于点P,由题意可知AD⊥1，EF⊥AB,则∠ADE=∠AFE=90°， 又|ADHAFI,|AFAE|,所以△ADE兰AAFE,所以∠AED=∠AEF,同理∠BEP=∠BEF, 又∠AED+∠AEF+∠BEP+∠BEF=180°， D 所以∠AEF+∠BEF=90°，即∠AEB=90°， 显然AB为△ABE的斜边，则|AE<AB|,故B错误 EN 对于C,当直线AB的斜率不存在时，AB=2p=6; P B 当直线4B的斜奉存在时，设直线46方程为y=6x》, 联立 消去y,得-(+6+孕=0，易知△>0，则5+写=3+后 y2=6x 所以AB=1+k2k,-x上+k2xV6+x2-4xx,=V1+2 -9=1+) >6,故C正确： 对于D,在Rt△ABE与Rt△AEF中，∠BAE=∠EAF, 所以RtAABE~Rt△AEF,则 AB AF 即AE=AF4B,同理BE=BFAB, 当直线AB的斜率不存在时，AB=6,A=B=AB=3: 所以AEBE=BF AF AB=3×3x62,即AE|BE=18: 当直线A的斜率存在时，h=61+) 4-引++号 所以4f-B4h时=961 则as-+d-安}1：>1s:上，8，数D痛数速：Aw 高二数学试卷解析第6页，共14页 三、填空题 12.若直线y=2x+5是曲线y=e+x+a的一条切线，则a= 【答案】4 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利 用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点(x。,y。)与α的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+l, 因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y=e+1=2,即e=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5)， 因为切点(0,5)在曲线y=e+x+a上，所以5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4.故答案为：4. 法二：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1, e+1=2 假设y=2x+5与y=e*+x+a的切点为(x,),则y。=2x。+5,解得a=4.故答案为：4. y,=e0+k,+a 13.若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于 【答案】2 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定 义，得到关于q的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于q的方程，解之即 可得解. 【详解】法一：设该等比数列为{a},Sn是其前n项和，则S4=4,=68, 设{a}的公比为q(q>0), 当q=1时，S4=4a=4,即4=1，则S。=84=8≠68，显然不成立，舍去： 当gr1时，则3-a0-4）48-a-g）6, 1-9 1-q 两式起路片号华-0n. 1-0 则1+g=17,所以q=2, 所以该等比数列公比为2.故答案为：2. 高二数学试卷解析第7页，共14页 法二：设该等比数列为{an},Sn是其前n项和，则S4=4,S。=68, 设{a}的公比为q(q>0),所以S,=4+a+a,+a,=4, S8=4+a2+a+a+a+a,+4+a4=a+a2+a+a4+aq+a,qd+ad+a,d=(a+4+a+a)1+q)=68, 所以4(1+q)=68,则1+g=17,所以q=2,所以该等比数列公比为2.故答案为：2. 法三：设该等比数列为{an},Sn是其前n项和，则S4=4,S=68,设{an}的公比为q(q>0), 因为Sg-S4=a+a,+a+a=(a+a2+a+a4)q4=68-4=64, 又8=4+a+a+a=4,所以=g号-6，所以g-2,所以该等比数列公比为2放答案为：之 S 14.在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选 法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 1 21 31 40 12 22 33 42 13 22 33 43 15 24 34 44 【答案】 24 112 【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选：利用列举法写出所有的可能结 果，即可求解 【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中， 则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选， 第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1=24种选法； 每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示第一、二、三、四列的数字， 则所有的可能结果为： (11,22,33,44),(11,22,34,43),(11,22,33,44),(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42), (12,21,33,44),12,21,34,43),(12,22,31,44),12,22,34,40),12,24,31,43),(12,24,33,40), 13,21,33,44),(13,21,34,42),13,22,31,44),13,22,34,40),13,24,31,42),(13,24,33,40), (15,21,33,43),15,21,33,42),15,22,31,43),15,22,33,40),15,22,31,42),(15,22,33,40), 所以选中的方格中，Q5,21,33,43)的4个数之和最大，为15+21+33+43=112.故答案为：24；112 高二数学试卷解析第8页，共14页 四、解答题 15.甲乙丙丁戊五个同学 (1)排成一排，甲乙不相邻，共有多少种不同排列方法？ (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，共有多少种不同游览方法？ 【答案】(1)72(2)243 【分析】(1)根据给定条件，利用不相邻问题插空法列式计算即得： (2)根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式计算即得； 【详解】(1)甲乙丙丁戊排成一排，甲乙不相邻，先将丙丁戊排成一列有A=6种方法， 再将甲乙插空隙中，有A?=12种方法，所以共有不同排法数为AA=72(种)· (2)去三个城市游览，每人只能去一个城市，可以有城市没人去，因此每个人都有3种选择， 所以不同游览方法有3=243（种）. 16.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+√3cosA=2, (1)求A. (2)若a=2,√2 bsinC=csin2B,求△ABC的周长. 【容案104-君 (22+V6+32 【分析】(1)根据辅助角公式对条件snA+√5cosA=2进行化简处理即可求解，(2)先根据正弦定理边角 互化算出B,然后根据正弦定理算出b,c即可得出周长， 【详解】（1)由simA+5cosA=2可得sinA+5 cosA-1,即sin(4+=1, 由于A∈(0，)→A+亚∈，4 ∈( 3 3’3 ，故A+元元 +骨受解得A=君 (2)由题设条件和正弦定理√2 bsin C=csin2B-√2 sin Bsin C=2 sin Csin B cosE, 又B,Ce0,,则sin B sinC≠0，进而cosB=5 ,得到B=亚 2 于是C=元-A-B=7π 12 sin C=sin(n-4-B)=sin(d+B)=sinA cosB+sin B cos4= 4 2b 由正弦定理可得， b ABc,即sin灭sin亚 .7元， 6 12 解得b=2√2，c=V6+V2, 故△ABC的周长为2+√6+3V2 高二数学试卷解析第9页，共14页 17.已知数列{a,}中，4=3，=a+ 1 nn+1'nn+1) (1)证明：数列{a}是等差数列； (2)给定正整数，设函数f(x)=4x+a,x2+.+amx",求f'(-2). 【答案】0证明见解析；②f(-2)=73m+7)-2少 9 9 【分折11》银您月所台条作号品风d可化尚，商可E明纺轮。 1 (2)先求出{a}的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以x,作差并利用等比数列前n项和得出导 函数表达式，即可得出结论 1 【详解】()由题意证正明如下，neN,在数列a中，凸=3，=n1M+D ∴.(n+1)a+1=an+1,即(n+1)a1-na=1,∴.{a}是以4=3为首项，1为公差的等差数列. (2)由题意及(1)得，neN,在数列{}中，首项为3，公差为1， m,=3+1x(m-1),即a,=1+2 在f(x)=4x+a2x2++anx”中， f)=3x+2x2++1+2x,f'(9)=3+4x++(m+2)x f"(x)=3+4x++(m+2)xm- f'(c)=3x+4x2++(m+2)x, 当x≠1且x≠0时， (1-x)f"(x)=3+x+x2++xm-1-(m+2)xm=3+ -x--(m+2)x, 1-x 合 1-x 3 ·f(-2)=1-2 -21-（2)m (m+2)(-2)% ）[1-(-2] 1-←2) =1421-21 (m+2)(-2)° 9 3 -1号g2--g*9- 3 9 9 高二数学试卷解析第10页，共14页