湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期每日一练数学训练卷（第6周）

利川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷解析 第6周 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 B B A A B B B ACD ACD ACD 一、单选题 1．若函数在处切线斜率为1，则（    ） A． B．0.5 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由题知，. 2．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】焦点到渐近线的距离为b = 3，由题知实半轴长为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为，即. 故选：B. 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为复数，所以， 则，故选：. 4．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，棱的中点， 连接，则分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，， 则， 所以正四棱台的体积. 故选：A 5．用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆柱的底面半径为，则底面圆的直径为， 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即， 长半轴垂直于截面与底面交线的方向， 由二面角的几何关系可得，所以， 所以该椭圆的离心率，故选：D. 6．如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 【答案】B 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 .故选：B 7．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，图（1）中，过点作， 因为，可得， 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为， 将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中， 此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为，可得， 所以，即其外接球半径，故外接球表面积为. 8．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】先根据同构函数的出x,y关系，再根据导函数求出单调性得出最值即可. 【详解】因为，所以，即， 设，则，且， 所以在上单调递增，正实数， 所以，即，所以， 等价于，即，所以， 设，所以， 所以，设， 所以单调递增，且，所以在上，单调递减； 在上，单调递增；所以， 即最小值为0，故选：B. 二、多选题 9．当时，方程表示的曲线形状可能是（    ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 【答案】ACD 【详解】因为，所以. 当时，方程变为，即. 和为两条平行的直线，A正确； 当时，方程变为. 因为，所以此方程表示为焦点在轴上的椭圆，C正确； 当时，方程变为.此方程表示为焦点在轴上的双曲线，D对 10．设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若是互斥事件，则 B．若则 C．若是相互独立事件，则 D．若，则是相互独立事件 【答案】ACD 【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，，A选项正确； B选项，时，，B选项错误； C选项，若是相互独立事件，则，则，C选项正确； D选项，由题知，，则是相互独立事件，D选项正确. 故选：ACD 11．牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列.已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 【答案】ACD 【分析】对于A，代入即可；对于B，由和可整理得，通过等式两边加2，减2整理可得；对于CD，对左边的等式进行取对数即可 【详解】对于A，由得，解得，故A正确； 对于B，因为，所以，所以由可得. 由得，， 一方面，，另一方面，，因此，故B错误， 对于CD，于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，故.故CD正确，故选：ACD. 三、填空题 12．已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 【答案】 【详解】已知，得， ，四点共面时系数和为1，即，解得 13．若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是_______． 【答案】 【详解】由，得， 则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为， 在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得，所以的取值范围是. 14．已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是______；若不等式有解，则实数t的取值范围是______． 【答案】 【分析】由有两个不等正根可得的范围，同时由韦达定理把用表示，不等式有解，即有解，计算表示为的函数，引入新函数，由导数求出其取值范围后可得的范围． 【详解】，由题意有两个不等正根， 所以，解得． 不等式有解，即有解， ， 令，，，易知时，，是减函数， ，， 因为，即，所以， 所以时，不等式有解． 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)； (2)答案见解析﹒ 【详解】（1）当时，，，，， 故在处的切线方程为，即； （2）， 当，即时，，在R上单调递增； 当，即时， 由，得，由，得， ∴在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 16．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由 因为，解得或（舍去）， 所以，所以数列的通项公式为； （2）因为，，由题意得：，即，所以． 17．（2022新高考I卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）方法一：直接根据待求表达式变形处理； 方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形， 方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知即可求解； 方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. （2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式将化成，然后利用基本不等式即可解出． 【详解】（1）方法一：直接法 可得， 则，即， 注意到，于是， 展开可得，则，又，. 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为， 即， 而，所以； 方法三：导数同构法 根据可知，， 设，， 则在上单调递减，， 故，结合，解得. 方法四：恒等变换化简 ， 结合正切函数的单调性，，则， 结合，解得. （2）由（1）知，，所以，而， 所以，即有，所以 所以由正弦定理得 ．当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 18．（2022新高考I卷T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【详解】（1）在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； （2）取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面，且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，, 设平面的一个法向量，则，可取， 设平面的一个法向量，则，可取， 则，所以二面角的正弦值为. 19．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆C的方程； (2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由的值及，可得的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程； （2）由题意设P的坐标，进而求出直线，直线的方程，与椭圆联立分别求出Q，R的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标. 【详解】（1）【学科网解法】由题得，， 所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆的方程为：. 【数学老师常规解法】由题设 由D在M，N之间且有 ，即 则 又 ，两边平方并化简得 （2）由对称性可设点，其中，则直线的方程为，直线的方程为. 设，.由，消得， 由于，则. 由，消得， 由于，则. 所以四边形的面积为 . 由于，， 又在上是增函数，所以， 故. 当且仅当，即，四边形的面积的最大值为. 高二数学试卷解析 第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $利川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷 第6周 一、单选题 1.若函数y=f(x)在x=x。处切线斜率为1，则li f(+△x)-f=（) 2AX A.-1 B.0.5 C.1 D.2 2.己知双曲线C:少 云=1(a>0,b>0)的实半轴长为5，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离 x2 为3，则双曲线C的渐近线方程为( A.y=±V5x B.y=± C.y=+ D.y=+2 -x 3 3 3.已知复数z=c0875+in750,则E A.-51: 22 n. c D.1 4.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓， 富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台ABCD-AB,CD, AB=2,A,B,=4,侧面面积为12√3，则该正四棱台的体积为（) A. 28W2 3 D B.282 B C.28V5 3 D.283 A 5.用一个与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为() A. 3 B.3 2 c. D.2 6.如图D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60°，则AD.A正的值为() A.50 B.80 C.86 D.110 高二数学试卷第1页，共4页 7.现有一平行四边形纸片如图，已知AB=8,AD=2√5，tan/BAD=2,将其折成一个三棱锥（不可剪 开)，使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上， D 则该球的表面积为( 25 8 B A.112π B.28π C.14π D.7π 8.已知正实数，y满足e=+y,则ny-血x+的最小值为() A.-6+2+1 B.0 c.e-2-1 D.1+1 e e e 二、多选题 9.当x∈(0，π)时，方程x2cos+y2=1表示的曲线形状可能是() A.两条平行直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 10.设4B是两个随机事件，且P(A)=号，P(B)=则下列结论正确的是（） A.若AB是互斥事件，则PAU)-名 B.若BEA则PAUB)-名 C.若AB是相互独立事件，则PAUB)号 D.若P(回)}，则4B是相互独立事件 11.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义 是：对于函数f()和数列{x},若(x+1-x)f'(x)+∫（化）=0，则称数列{x}为牛顿数列.己知函数 儿)=r-4,数列}为牛顿数刻，且a=h号4=-1,5>20N,划下列结论中正疏的足() A.5= e+2 B.1+2=飞.-2 e-1 xH-2(xn+2)月 C.{a}是等比数列 D.a=32 三、填空题 12.已知A、8、C三点不共线，点0在平面48c外，点P满足4=是01+)O丽0C,则当点P、 A、B、C四点共面时，实数y= 13.若直线y=x-2(k∈R)与曲线x=V1-y2有两个不同的公共点，则k的取值范围是 14.己知函数f(x)=ax2-x+nx有两个不同的极值点飞，x2,则实数a的取值范围是：若不等 式f(x)+f(x2)>x+x,+t有解，则实数t的取值范围是 高二数学试卷第2页，共4页 四、解答题 15.己知函数f(x)=e+(m+1)x(m∈R): (1)当m=1时，求f(x)在(2，f(2)处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性. 16.己知等比数列{a}的公比9>1，满足a+a4=18,且44=32. (1)求数列{a}的通项公式： (2在a与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为，2的等差数列，求n的值. 2025 17.(2022新高考I卷T18)记△4ABC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,已知csA=sm2B 1+sinA 1+cos2B (I)若c=琴，求B: (②求“+公的最小值. 高二数学试卷第3页，共4页 18.(2022新高考I卷T19)如图，直三棱柱ABC-AB,C的体积为4，△ABC的面积为22. (1)求A到平面ABC的距离： (2)设D为AC的中点，AA=AB,平面ABC⊥平面ABBA,求二面角A-BD-C的正弦值. C 19.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋 杆将两个滑标连成一体，W=4,D为旋杆上的一点且在M,N两点之间，且ND=3MD,当滑标 M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该 椭圆为C如图2所示，设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴， 建立平面直角坐标系， (1)求椭圆C的方程： (2)设A,A是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x=6上的动点，直线AP,A,P分别交椭圆于Q,R两 mH 点，求四边形AOA,R面积的最大值 D UG 图1 图2 高二数学试卷第4页，共4页 利川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷 第6周 一、单选题 1．若函数在处切线斜率为1，则（    ） A． B．0.5 C．1 D．2 2．已知双曲线的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D．1 4．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．用一个与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．如图是上的两个三等分点，，则的值为（    ） A．50 B．80 C．86 D．110 7．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．0 C． D． 二、多选题 9．当时，方程表示的曲线形状可能是（    ） A．两条平行直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 10．设是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（    ） A．若是互斥事件，则 B．若则 C．若是相互独立事件，则 D．若，则是相互独立事件 11．牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义是：对于函数和数列，若，则称数列为牛顿数列．已知函数，数列为牛顿数列，且，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是等比数列 D． 三、填空题 12．已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数_____________． 13．若直线（）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是___________． 14．已知函数有两个不同的极值点，，则实数a的取值范围是______；若不等式有解，则实数t的取值范围是__________． 四、解答题 15．已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 16．已知等比数列的公比，满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求的值． 17．（2022新高考I卷T18）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 18．（2022新高考I卷T19）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 19．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且，当滑标M在滑槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C.如图2所示，设EF与GH交于点O，以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系. (1)求椭圆C的方程； (2)设是椭圆C的左、右顶点，点P为直线上的动点，直线分别交椭圆于Q，R两点，求四边形面积的最大值. 答案第1页，共2页 高二数学试卷 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $别川市第五中学2024级数学每日一练数学训练卷解析 第6周 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 答案 B B A B B B ACD ACD ACD 一、单选题 1.若函数y=f(x)在x=x。处切线斜率为1，则lim f(,+△x)-f(_（) △X→0 2Ax A.-1 B.0.5 C.1 D.2 【答案】B【详解】由题知f'()=l,lim k*a刘-f.n-r)-o5 2Ax 2ax-0 (x。+ax)-x。 2。已知双前线C是东=16>06>0)的实半销长为后，其上焦点到双前线的一条新近线的距高为3 则双曲线C的渐近线方程为() A.y=±V3x B.y= 3 2 r D.y=±25 【答案】B【详解】焦点到渐近线的距离为b=3,由题知实半轴长为√，所以a=√3， 所以双曲线C的渐近线方程为3y士V5x=0,即y=± 2x.故选：B. 3 3.已知复数z=cos75°+isin75°， 则=() 2 A.-51 B.-5+ C.-15 D.1 2 22 22 【答案】A【详解】因为复数z=cos75°+isim75°，所以=cos275°+sinm275°=1， 1=2 1 1 1 则2 075+2m75co751-m750c0s150+m1509622,故选：A。 -+-1 22 4.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓” 的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台ABCD-ABCD,AB=2,AB,=4, 侧面面积为123，则该正四棱台的体积为（) A. 28W2 D 3 B.28√2 C.28V3 D.28V5 【答案】A 【分析】由正四棱台的侧面积求出斜高，再求出高及体积. 试卷第1页，共10页 【详解】取正四棱台ABCD-ABCD的上下底面的中心O,O,棱B,C,BC的中点E,E, 连接OO,OE,EE,OE,则OO,EE分别是正四棱台ABCD-ABCD的高和斜高， D 依题意，S4(BC+月G)B职=3B驱=35，解得弧，=V5, E B 在直角梯形OEEO中，OE/1OE1,OO⊥OE,OE=1,OE,=2, 则00=√EE-(OE,-0E)=V5, B 所以正四棱台ABCD-ABGA的体积7=（2：+V2:×4+4)x5=28 .故选：A 3 3 5.用一个与圆柱底面成30°角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为() A.3 B.3 3 2 D. 【答案】D 【详解】设圆柱的底面半径为？，则底面圆的直径为2r, 椭圆的短半轴平行于截面与底面交线的方向，长度等于底面圆的半径，即b=r, 长半轴垂直于截面与底面交线的方向， 由二面角的几何关系可得a=”一= 30C c0s30° 3 -1 所以该椭圆的离心率e= a2V32,故选：D. 3 6.如图，在△ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60°，则AD.AE的值为() A.50 B.80 C.86 D.110 【答案】B 【分析】根据题意利用平向量基本定理将AD,AE用AB,AC表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在△ABC中，D,E是BC上的两个三等分点，AB=12,AC=9,∠BAC=60°， 所以AD-a6+BD-西+兮8c-B+ac-©-号+写4c。 店=而+丽-6+3c-丽+号c-西西+c, 3 所以a而西-(+传-c号+号ac+ac+ac 9 9 2 ×144+ 5 ×12×9× 9 是2×81=32+30+18=80故选：B 29 高二数学试卷解析第2页，共10页 7.现有一平行四边形纸片如图，已知AB=8,AD=2W5,tan/BAD=2,将其折成一个三棱锥（不可剪开）， 使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个项点都在同一个球面上，则该球的表 面积为() 25 B A.112π B.28π C.14π D.7π 【答案】B【详解】如图所示，图(1)中，过点D作DE L AB, 因为AB=8,AD=2N5,tan/BAD=2,可得AE=2, 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为4,2√5,2√5， D 将该三棱锥补全到图(2)中的长方体中， D B 此时三棱锥D-ABC的外接球即为长方体的外接球， [a2+b2=16 E 设长方体的棱长分别为a,b,c,可得{a2+c2=20, b2+c2=20 图(1) 图(2) 所以d++c2=28,即其外接球半径R=厅+6+ -=√万，故外接球表面积为S=4πR2=28π 2 8.己知正实数x,y满足e=nr+v,则Iny-血x+的最小值为() A. B.0 D.+1 e 【答案】B【分析】先根据同构函数的出x,y关系，再根据导函数求出单调性得出最值即可. 【详解】因为e=nx+ny,所以e*=n(gy),即xe=gn(y), 设f(x)=e,则f(x)=f(n(xy),且f(x)=e(x+1), 所以∫()在(-1，+o)上单调递增，正实数x,y, 所以e=n(>e=1,即g>>0,所以f)=fm(y), 等价于x=lh(),即lny=x-hx,所以ny-血r+l=-nx-nr+1 设8e)=x-lxx+,所以g=1-上1-(r+.-+m 所以g0=0,设h(x)=x2-x+x,N(x)=2x-1+1≥2V2-1>0, 所以h(x)单调递增，且h(I)=0,所以在(0,1)上，h(x)<0,g(x)<0,g(x)单调递减： 在(1，+o)上，h(x)>0,8'(x)>0,8(c)单调递增：所以g(x)mm=g(1)=0, 即Inv-r+1最小值为O,故选：B, 试卷第3页，共10页 二、多选题 9.当x∈(0，)时，方程x2cos+y2=1表示的曲线形状可能是() A.两条平行直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 【答案】ACD【详解】因为a∈(0，π)，所以-1<cosa<1. 当c0sa=0时，方程x2cosa+y2=1变为y2=1,即y=1.y=1和y=-1为两条平行的直线，A正确： x 当0<cosa<1时，方程xcos+y'=1变为i+y=1 cosa 因为 1>1,所以此方程表示为焦点在x轴上的椭圆，C正确： cos x 当-l<c0sa<0时，方程2co3a+y=1变为- 1一=1此方程表示为焦点在y轴上的双曲线，D对 cosa 10.设48是两个随机章件，且P(A)-号P(®)专则下列结论正确的是( A.若AB是互斥事件，则P4UB)= 5 B.若B≤A则P(AUB)= 6 若4B是相互独立事件，则P(4UD D.若P(4国)-}，则A,B是相互独立事件 【答案】ACD【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式，P4UB)=P)+P)=名A选项正确： B选项，BCA时，P(4UB)-P)弓B选项错误 C选项，若A,B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)=G,则 PaUP0P0)-Pu)号名c选项E: D选项，由腰知，P④P@)专1-P4B),则4B是相互独立事件，D选项正确，故选：ACD 11.牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用非常广泛，其定义 是：对于函数f(x)和数列{}，若(x1-x)(x)+f(x)=0,则称数列{x}为牛顿数列已知函数 =-4.数列}为牛顿致列.且a-h号4=1，气>2EN,则下列结论中正确的是() 2e+2 A.= B. 4+2-飞-2) C.{an}是等比数列 D.a=32 e-1 x1-2（x.+2)月 【答案】ACD 【分析】时于A,代入n=1即可：对于B,由1-x)f(,)+f化)=0和f)=2-4可整理得x1=+4 2Xn 通过等式两边加2，减2整理可得长+2_化+2 。一2衣，2列：对于CD,对左边的等式进行取对数即可 高二数学试卷解析第4页，共10页 【详解)对干A,由4=血父-2得，1=n2血1+4】 2e+2 故A正确： 书-2 解得x= （x1-2 e-1 f(x) 对于B,因为x>2,所以f化，)=x-4>0,所以由《H-x)+,)=0可得x=x 由四=2-4得，x1=x-4_+4 方面，飞1+2任2.男方面，飞-2-化，2，因此名区+2 xH-2(x1-2) ,故B错误， 2x. 2x 对于CD,于是h +1+2 +2） （-2 即a+1=2an, 所以数列{a}是以A=1为首项，2为公比的等比数列，故a,=2=32.故CD正确，故选：ACD. 三、填空题 12.已知A、B、C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足AP=-乙Q1+O丽+0C,则当点P、A、 12 3 B、C四点共面时，实数y= 【答案】 【详1日如严：-0丽+沉，得，0丽-o=a+0丽+号 示-)丽+05}元=音oi+y0丽+0c,四点共商时系数和为1， 2++ 1 3 12 3 1,解得y= 13.若直线y=x-2(常数kR)与曲线x=√-y2有两个不同的公共点，则k的取值范围是 【答案】(N3,+o)【详解】由x=V1-y,得x2+y2=1,x≥0， 则曲线x=√-y2表示以原点为圆心，1为半径的圆在y及右侧部分， 直线y=x-2恒过定点(0，-2)，斜率为k, 在同一坐标系内作出直线y=x-2与曲线x=√1-y2, 观察图象知k>0, 且e+ <1,解得k>√，所以k的取值范围是(W3,+∞) 14.已知函数f(x)=x2-x+nx有两个不同的极值点，x2,则实数a的取值范围是 ；若不等式 ∫(x)+f(x2)>x+x,+t有解，则实数t的取值范围是 【答案】 (-0,-7+2lh2） 【分析】由f"(x)=0有两个不等正根可得a的范围，同时由韦达定理把x+2,x,x2用a表示，不等式 f(x)+f(x2)>x+x2+t有解，即f()+f(2)-(化，+x2)>t有解，计算f(x)+f(x2)-(:+x2)表示为a的 函数，引入新函数g(x),由导数求出其取值范围后可得t的范围 试卷第5页，共10页 【详解】f"(x)=2m-1+ +1_2-t+1,由题意2ax2-x+1=0有两个不等正根， △=1-8a>0 所以+=云0，解得0<a 1 8 1>0 =2a 不等式f(x)+f(x2)>x+x,+t有解，即f(x)+f(x2)-(化+x2)>t有解， f()+f(x2)-(x+x2)=2-x+hx+2-x2+hx2-(x+x2)=a(x+x2)2-2x2-2(3+x2)+ln(x2) =2-1-上+n2=n231-1-h2. a 2 a 4 a 令g)=1nx-三x-1-n2,>8,g)=34-3x,易知x>8时，g)<0,g)是减函数， 3 x4 4x g8)=n8-6-1-n2=-7+2ln2,g(x)<-7+2ln2, 因为0<a<8,即日8所以h名21-h2<-7+2h2, a 4 a 所以t<-7+2ln2时，不等式f(x)+f(x2)-(x,+x2)>t有解. 四、解答题 15.已知函数f(x)=e+(m+1)x(meR) (1)当m=1时，求f(x)在(2，f(2)处的切线方程： (2)讨论(x)的单调性 【答案】(1)(e2+2)x-y-e2=0:(2)答案见解析. 【详解】(1)当m=1时，f(x)=e+2x,f(2)=e2+4,f"(x)=e*+2,f"(2)=e2+2, 故f(x)在(2，f(2)处的切线方程为y-(e2+4)=(e2+2)(x-2),即(e2+2)x-y-e2=0: (2)f'(x)=e+m+1, 当m+1≥0，即2-1时，'(x)>0,f(x)在R上单调递增： 当m+1<0,即<-1时， 由f(x)>0,得x>l(-m-1),由f'(x)<0,得x<lh(--1), ∴f(x)在(-o,h(--1)上单调递减，在(ln(-m-1),+o)上单调递增. 综上所述，当m2-1时，f(x)在R上单调递增： 当m<-1时，f(x)在(-o,n(--1)上单调递减，在(n(--1),+o)上单调递增. 高二数学试卷解析第6页，共10页 16.已知等比数列{a}的公比9>1，满足4+a4=18,且a4=32. (1)求数列{a}的通项公式： (2)在a,与a1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为，2-的等差数列，求m的值。 2025 【答案】(1)a,=2”(2)n=2024 【详解】(1) /9-2 a=16, 由 a+a,=l18→a(1+g)=18, 04=32 因为9>1，解得 a4q-32 (9=2 或 1(舍去)， q22 所以a,=ag=2”,所以数列{a,}的通项公式为a.=2; （2)因为a=2”，a1=21，由题意得：21-2”+0+1) 2” 2025 即2=1+0+D2025所以n-2024. 17.(202新高考1卷T18)记△4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知，coA sin2B 1+sinA 1+cos2B a若0=号，求B: (2)求r+b 的最小值。 【答案】管：24万-5. 【分析】(1)方法一：直接根据待求表达式变形处理；方法二：先二倍角公式处理等式右边，在变形， 方法三：根据诱导公式可将题干同构处理，结合导数判断单调性，推知A+28=兀即可求解： 2 方法四：根据半角公式和两角差的正切公式化简后求解. (2)由(1)知，C=T+B,A=元-2B,再利用正弦定理以及二倍角公式将+b化成40sB+2。-5, 2 2 cos2 B 然后利用基本不等式即可解出. 【详解】(1)方法一：直接法 cosA sin2B -可得cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B, 1+sinA 1+cos2B cos Acos 2B-sin Asin2B +cos A=sin 2B cos(A+2B)+cos A=sin 2B, 注意到4+8=号，于是c0sC背+刷+co()=sm2B, 展开可得2co写cosB-2 mco,则snB-号又0<B<行B-君 方法二：二倍角公式处理+直接法 因为，c0s4 sin 2B 2sin B cos B sin B 1+sinA 1+cos2B 2cos2B cos B sin B=cosAcos B-sin Asin B=cos(A+B)=-cosC-1 而0<B<牙所以8名 试卷第7页，共10页 方法三：导数同构法 cos （L-2B CosA sin 2B cos (2 根据 可知， 1+sinA 1+cos2B 1+sin A 1+sin （L-2B 2 设f(x)= cos 0)-sinsin)cos 兀 <0, 1+sin x (1+sinx)2 1+sinx cos L-2B 则在 cosA 2 上单调递减， 1+sinA e④-f2 1+sin 故A+2B=元 结合A+B= 3,解得B= 6 方法四：恒等变换化简 cos4 sin 2B 2 2 2sin B cos B 2 “2tamB 1+sinA 1+cos2B A 2coS B A +sin- +sin 2 2 2 2 A 1-tan =tamB台tan πA tan B. 1+tan4 42 结合正切函数的单调性，牙子8，则A+2B=行结合4+8-号解得8 42 6 2)由①)知，mB=-oC>0,所以子C<元0<B 2 ,而sinB=-cosC=sin 2 所以c=8.即有A号，所以8引（行》 2 所以由正弦定理得+b_sm2A+sim2Bc0s22B+1-c0s'B C2 sin2C cos2B (2cos'B-1)'+1-cos B cos2B 十o子B52/8-5-4W2当且仅当con=2时取等号， =4c0s2B12 2 所以+B的最小值为4N2-5. c2 18.(2022新高考I卷T19)如图，直三棱柱ABC-AB,C的体积为4，△ABC的面积为2√2. (1)求A到平面ABC的距离： B (2)设D为AC的中点，AA=AB,平面ABC⊥平面ABBA,求二面角 D A-BD-C的正弦值. 【答案】(1)√2 ②3 【分析】(1)由等体积法运算即可得解； B (2)由面面垂直的性质及判定可得BC⊥平面ABBA,建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 高二数学试卷解析第8页，共10页 【详解】(1)在直三棱柱ABC-AB,C中，设点A到平面ABC的距离为h, 4 3 解得h=√2，所以点A到平面ABC的距离为√2： (2)取AB的中点E,连接AE,如图，因为AA=AB,所以AE⊥AB, 又平面ABC⊥平面ABBA,平面ABC⌒平面ABBA=AB,且AEc平面ABBA,所以AE⊥平面ABC, 在直三棱柱ABC-AB,C中，BB⊥平面ABC, 由BCC平面ABC,BCC平面ABC可得AE⊥BC,BB,⊥BC, E 又AE,BB,C平面ABB,A且相交，所以BC⊥平面ABBA, 所以BC,BA,BB两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由(1)得AB=√2，所以A4=AB=2,AB=2√2，所以BC=2,则A(0,2,0),A(0,2,2),B(6,0,0),C(2,0,0), 所以AC的中点D1,1,1),则BD=(1,1,1),BA=(0,2,0),BC=(2,0,0), m.BD=x+y+二=0 设平面ABD的一个法向量m=(比，y,),则 mBA=2y=0 ,可取=(1,0，-1) 设平面BDC的一个法向量n=ab,c),则nBD=a+b+c=0。 nBC=2a=0 ，可取n=(01,-1), n.n 11 则cos(mn)= 园同V2xV及2，所以二面角A-BD-C的正弦值为 1)2 1-2 19.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将 两个滑标连成一体，MW=4,D为旋杆上的一点且在MN两点之间，且ND=3MD,当滑标M在滑 槽EF内作往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时，将笔尖放置于D处可画出椭圆，记该椭圆为C. 如图2所示，设EF与GH交于点O,以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角 坐标系 (1)求椭圆C的方程： (2)设A,A,是椭圆C的左、右顶点，点P为直线x=6 E 上的动点，直线AP,AP分别交椭圆于Q,R两点， 求四边形AQA,R面积的最大值. G 图1 图2 【答案1亏+1②36 试卷第9页，共10页 【分析】(1)由MN的值及ND=3MD,可得ND,MD的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进 而求出椭圆的方程： (2)由题意设P的坐标，进而求出直线AP,直线A,P的方程，与椭圆联立分别求出Q,R的坐标，进而 求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P的坐标. 【详解】(1)【学科网解法】由题得MD=1,ND=3, 所以椭圆C的长半铂长为3.，短半轴长为1，放桶圆C的方程为：号+=1。 【数学老师常规解法】由题设D(x,y),M(m,O),N(O,) 自D在M.N之同H网=0有D-,即x-m功--mW 4 4 x-=-(-m) m=一x 则 3 n=4y y=-n 又MW=√m2+n= 05+4沙4，内边平方并化面得+166三+y (2)由对称性可设点P(6,),其中1>0，则直线4P的方程为y=号c+3),直线4P的方程为y=x-3). 「x -+y2=1 9 设2(6，乃)，R(x2y2).由 ,消x得(9+t2)y2-6y=0, y=g(x+3) 由于y4=0,则y=9+产 6t x2 由9 +y2=1 ,消x得(1+t)y2+2y=0, t y=3x-) 由于y%=0,则5=-， 2t A 1+t2 X三6 所以四边形AQA,R的面积为 24t(t+3) -24(+3) 24 g4w为9404内+3g全 tt2+3 由于t>0,m=+3≥2W5, 又y=m+4在[25，+)上是增函数，所以y=m+485 故、24 4s3V3 n+- 当且仅当m=23,即t=√3，四边形AOA,R的面积的最大值为3√3 高二数学试卷解析第10页，共10页