湖北利川市第五中学2025-2026学年高二下学期第4周数学每日一练训练卷

利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第4周 一、单选题 1.复数==1+21-2i的虚部为( ) A.2 B.-2 C.0 D.-2i 2.若△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a2+b2-c2=ab,则cosC=( A.3 B. D.3 2 3.若点aja>0)是面数=2m实) 图象的一个对称中心，则α的最小值为()》 A买 B. C. D. 4.若m为直线，a,B为两个平面，则下列结论中正确的是() A.若m/a,nCa&,则mln B.若m⊥a,m⊥B,则a⊥B C.若Ia,m⊥B,则a⊥B D.若mc&,a⊥B,则m⊥B 5.从1~6这6个整数中随机抽取1个数，记事件A=“抽到小于4的数”，事件B=“抽到大于3的数”， 事件C=“抽到大于2的偶数”，则() A.A和B不互斥 B.A和B互斥且对立 C.A和C不互斥 D.A和C互斥且对立 6.函数fx)之的图象大致为() B 7,已知0为坐标原点.过双曲线C。若-1(a>0,6>0)的右焦点F作条渐近线的垂线。 垂足为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离心率为() A.1 B.2 C.5 D.2 8.若直线y=与y=nx存在两个公共点，则实数a的取值范围为( 1 A.-0,eln2 1 B 0, eln2 c.(o D.（ 高二数学试卷第1页，共4页 二、多选题 9.下列选项中，正确的是() A.x2+x-2>0的解集为{xx<-2或x>1} B.2x+≤1的解集为x-3≤x<2斗 x-2 C.x-2≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.“k-1<I是X+4<0的充分不必要条件 x-5 10.已知圆O:x2+y2+2x-3=0与圆O2:x2+y2-2y-1=0,则() A.点(1，-1)在圆O2内 B.两圆相交，公共弦的方程为x+y-1=0 C.圆O与圆O,有三条公切线 D.圆O平分圆O,的周长 11.在递增的等比数列{a}中，Sn是数列{a,}的前n项和，若a4=32,,+g=12,则下列说法正确 的是() A.9=2 B.数列{S+2是等比数列 C.S。=512 D.数列{ga}是公差为lg2的等差数列 三、填空题 12.函数y=l0g.（x-2)+3(a>0且a≠1)的图象必经过点 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根 据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场 取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则乙队以4：1获胜的概率是 14.己知函数f(x)=xe-a(1nx+x),若a>0,则f(x)的最小值为 四、解答题 15.已知函数f(x)=2√3 sinxcosx-2cos2x+1. (1)求函数∫(x)的周期和其图像的对称轴方程； 回当色沿时，求f的简蚊。 高二数学试卷第2页，共4页 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BB的中点. B C (1)证明：BC⊥AC (2)求点C到平面ADE的距离。 A D T+若-1a>b>0)的离心率为，短轴长为25 17.己知椭圆c:+ (1)求C的方程： (②)若直线1：y=X+i与C交于M,N两点，0为坐标原点，△0的面积为子求1的值 高二数学试卷第3页，共4页 18.设正项数列a,}的前n项和S,满足S,=(a,+). (1)求数列{a}的通项公式： b 2设6=2”c6+6+刃求数列}的前n项和工. 19.(高考题)己知函数f(x)=x+a+b(K≠0)，其中a,b∈R. (1)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式： (2)讨论函数∫(x)的单调性： (③)若对于任意的a∈32，不等式/)≤0在}1 上恒成立，求b的取值范围. 高二数学试卷第4页，共4页利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第4周 一、单选题 1.复数：=1+21-2i的虚部为() A.2 B.-2 C.0 D.-2i 【答案】B【详解】二=1+2i1-2i=V1+22-2i=V5-2i,z的虚部为-2 2.若△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ad2+b2-c2=b,则c0sC=( A.3 2 B.月 c月 D.3 2 【答案】B【详解】在△ABC中，由2+B-c2=b及余弦定理，得cosC-a+6-c} 2ab 2 3.若点a,0a>0)是函数y=2tm+买图象的一个对称中心，则a的最小值为( 4.3远 C. 4 B.3 4 D. 【答案】C 【详辩1因为y=2mx+买-2tmx+到 则由飞士正=，∈之，可得函数少的图象 的对称中心的横坐标为x=-亚+@」 42,上Ez,又a>0,所以当k1时，a取的最小值” 4故选：C 4.若m为直线，α，B为两个平面，则下列结论中正确的是( ) A.若l/a,nc&,则mlln B.若m⊥o,⊥B,则a⊥B C.若/a,m⊥B,则a⊥B D.若mca,&⊥B,则⊥B 【答案】C【详解】对于A,若l/a,nC&,则m,n可平行或异面，故A错误； 对于B,若⊥a,⊥B,则a/p,故B错误； 对于C,若ml/a,则存在直线aco,a/lm,所以由⊥B可得a⊥B,故a⊥P,故C正确： 对于D,mca,aLB,则m与B可平行或相交或mcB,故D错误；故选：C 5.从1~6这6个整数中随机抽取1个数，记事件A=抽到小于4的数”，事件B=“抽到大于3的数”，事 件C=“抽到大于2的偶数”，则() A.A和B不互斥 B.A和B互斥且对立 C.A和C不互斥 D.A和C互斥且对立 【答案】B【详解】从1~6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为2=1,2,3,4,5,6， 事件A=“抽到小于4的数”，A=1,2,3},事件B=“抽到大于3的数”，B={4,5,, :事件C=“抽到大于2的偶数”，C={4,6, :A∩B=O,,A和B互斥，故选项A错误：AUB=2,A和B互斥且对立，故选项B正确： A∩C=,A和C互斥，故选项C错误；.AUC≠2，A和C不对立，故选项D错误。 高二数学试卷解析第1页，共8页 6.函数f(x)= 2-?的图象大致为(） 中升 【答案】C【分析】根据函数是奇函数判断A,根据特殊值判断D,根据函数单调性判断B,C. 详解】x≠0fx)上之=-∫)为奇函数，排除选项 :f(1)=2-21>0,排除选项D:【其实也可以继续代入特殊值判断BC,比如=2时看y的大小】 了2+22-2-22x（222+h2+22当x2时必有了c>0,所以B错C x4 3 乙已知0为坐标原点，过双曲线C广1(a>0,b>0)的右焦点P作一条渐近线的垂线，垂足 为点M,过M作x轴的垂线，垂足为N,若N为OF的中点，则双曲线的离心率为() A.1 B.√2 C.3 D.2 【暗案B【详解如图：双曲线的右焦点c,0)到浙近线V=x的距离为+疗 IbcL=bc=b,得1FM=b, Q 又OF=c,在RI OFM,lOM=|lo-|FM=c2-b=d,所以OMFa, 又MW⊥OF且N为OF中点，所以a=b,即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率e b2 =√故选：B 8.若直线y=x与y=nx存在两个公共点，则实数a的取值范围为() 1 0 00, eln2 B elm2 c.0 e 【答案】C 【详解】由题可知心=x有两个不等正根，所以a=m有两个不等正根； 设时=x,x>0,则h)=-血r y=a 由h(x)>0可得x∈(0，e),h(x)单调递增： e 由h(x)<0可得xe(e,+o),h(x)单调递减且恒大于0， 且（©）=，作出函数(=血r ，x>0和y=a的大致图象如图所示， 由图象可知当a∈(0，马)时，a=r有两个正根故选：C e 高二数学试卷解析 第2页，共8页 二、多选题 9.下列选项中，正确的是() A.不等式x2+x-2>0的解集为{x|x<-2或x>1 B.不等式2+<1的解集为-3≤x<2y x-2 C.不等式x-2≥1的解集为{x|1≤x≤3} D,设xeR,则-<I是+0的充分不必要条件 【答案】ABD【详解】A选项，x2+x-2>0台(x-1)x+2)>0台x<-2或x>1,A正确： B选项， 2x+1 1→2+1-1s0台+3s0 -2s0 「(x+3)(x-2)≤0 x-2≠0 台-3≤长2，B正确： x-2 x-2 C选项，x-2≥1→x-221或x-2≤-1，即x≥3或x≤1，C错误： D选项.k-水10s<2,写<06(x+4x-5列<03-4<<5，而10s<2是-4X<到 的真子集，D正确.故选：ABD. 10.已知圆0：x2+y2+2x-3=0与圆0，：x2+y2-2y-1=0,则() A.点(1，-1)在圆O2内 B.两圆相交，公共弦的方程为x+y-1=0 C.圆O与圆O,有三条公切线 D.圆O平分圆O,的周长 【答案】BD 【详解】圆O:x2+y2+2x-3=0→(x+1)+y2=4,则圆O的圆心坐标为(-1,0)，半径为2. 圆0，：x2+y2-2y-1=0→x2+(y-1)=2,则圆O的圆心坐标为(0,1)，半径为√2 A:因为1+(-1-1)>2，所以点(1，-1)在圆O2外，因此选项A说法不正确： B:0,O,=1+1=V2,因为2-√2<O,O,k2+5,所以两圆相交， 1yt2X0g-2D2+2-2=0⊙x+y-1=0所以港项B说法正确： C:由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以选项C说法不正确： D:因为(-1)+(0-1)=2，所以圆心O在圆O2上， 又因为0+1-1=0，所以圆心O2在公共弦所在直线x+y-1=0上， 01 因此圆O平分圆O,的周长，所以选项D说法正确， 故选：BD 高二数学试卷解析 第3页，共8页 11.在递增的等比数列{a}中，S是数列{an}的前n项和，若4a4=32,☑，+☑=12，则下列说法正确的 是() A.9=2 B.数列{Sn+2是等比数列 C.S。=512 D.数列ga}是公差为lg2的等差数列 【答案】ABD【详解】选项A,4a4=32,.dq=32①，，+4，=12，.aq+aq=12②， 1 ①②联立方程组，得到q=2或g=2,:a,}是递增的等比数列，q=2,故选项A正确： 选项B,将g=2代入②，解得4=2,8-2-2）-2-2,8+2=2m, 1-2 8+2=2,2,数列8，+2是等比数列，放选顶B正确 S+2 选项C,S=2m+1-2,S=28+1-2=510,故选项C错误： 选项D,4=2,q=2,.a=4q=2,.lgan=lg2”=nlg2, .lga1=(n+1)lg2,lga1-lga,=(n+1)lg2-nlg2=lg2,故选项D正确 三、填空题 12.函数y=log(x-2)+3(a>0且a≠1)的图象必经过点 【答案】(3,3)【详解】当x=3时，y=1og.(3-2)+3=3,所以函数图象恒过定点(3,3) 13.甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），根据 前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的 概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则乙队以4：1获胜的概率是 【答案】0.08【分析】乙队以4：1获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各 场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以4：1获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为1-0.6=0.4，乙在甲客场取胜概率为1-0.5=0.5， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主)：卫=0.6×0.4×0.5×0.5×0.4=0.024， 则甲胜第二场（主)：？=0.4×0.6×0.5×0.5×0.4=0.024， 则甲胜第三场（客）：=0.4×0.4×0.5×0.5×0.4=0.016， 则甲胜第四场（客）：卫=0.4×0.4×0.5×0.5×0.4=0.016， 乙队以4：1获胜的概率P=?++?+P=0.024+0.024+0.016+0.016=0.08.故答案为：0.08 高二数学试卷解析第4页，共8页 14.已知函数f(x)=xe-a(lnx+x),若a>0,则f(x)的最小值为 【答案】a-aha 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出(x)的最小值： 法2，由已知可得f(x)=xe-ah(xe),换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法1：隐零点处理策略 函数f)的定义域为0，+四），求导得f'w)=(x+1e-马=x+(e-d, 令g(x)=xe-a,x>0,求导得g'(x)=(x+1)e>0,函数g(x)在(0，+w)上单调递增， 由g(0)<-a,g(a=ae-a>0,由零点存在性定理得g(x)在(0，a)上存在唯一的零点x。,即x,e=a, 于是当0<x<x时f'(x)<0,当x>x时f"(x)>0,即f(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+0)上单调递增， 所以f(x)ma=f(xo)=xeo-alnx。+xo)=xeo-ah(xoeo)=a-aha. 解法2：同构变形 依题意，f(x)=xe-a(lnx+lne)=xe-aln(xe),令t=xe*,t>0, 设p()=t-al血t,t>0,求导得p0=1-g_-a, 当t∈(0，a)时，p't)<0,当t∈(a+o),p')>0,函数t)在(0，a)上单调递减，在(a,+)上单调递增， 则pt)mm=p(a)=a-aha,所以f(x)的最小值为a-alna. 四、解答题 15.已知函数f(x)=2√3 sinxcosx-2cos2x+1. (1)求函数/（的周期和其图像的对称轴方程：(2当x∈0， 时，求f(x)的值域 12 【答案】①最小正周期为，对称轴为x=变+keZ) 32 (2)[-1,2] 【分析1)油辅助角公式可得f(x)=2sm2x-,根据T=2严得周期，正弦函数的对称轴为x=+k如k∈乙， 6 整体代入可求对称轴方程.(2)代入x的取值得到≤2x-s2 6 石≤3，整体代入可得函数值域， 【计11o-nxm2-2点mx-细226君所以7-号- 令2x-石=+kπkZ),解得x=石+k∈Z). 62 32 2)因为0侣所以名2君智，从而可知m()m2x君副m号 6 因此-1≤f(x)≤2，故所求值域为[-1,2]. 高二数学试卷解析 第5页，共8页 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E为BB的中点 A B (1)证明：BC1⊥AC (2)求点C1到平面ADE的距离 A B 【答案】0证明见解析回号 D 【详解】(1)以A为坐标原点，AD,AB,A4所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， B(0,2,0),C1(2,2,2),A(0,0,2),C(2,2,0),则B℃=(2,2,2)-(0,20)=(2,0,2)，4C=(2,2,0)-(0,0,2)=(2,2,-2) BC1AC=(2,0,2)(2,2,-2)=4-4=0,所以BC⊥AC,即BC1⊥AC （2)设平面ADE的法向量为m=(x,y),因为A(0,0,0),D(2,0,2),E(0,2,1), 则化1引0220令，用x22,放m21-2, 则 点C,到平面AD,E的距离为d= 4G_22.2(21-2 V4+1+4 3 17.己知椭圆C:云+ -a>b>0的离心率为5，短辅长为25 .x2,y2 2 (1)求C的方程； (②若直线1：y=+1与C交于4，N两点，0为坐标原点，。的面积为，求：的值 【著10后+号1@1=1或1=25 c-V反 e= 【详解】(1)由题意，得2b=2W3,解得d=6,b2=3,c2=3,则椭圆C的方程为 x2,y2 =1 63 a=b2+c2 A y=x+t (2)设M()N(%,),联立三+-1得3x++2-6=0, 63 0 则△=16t2-12(2t2-6)>0,解得-3<t<3, 3 33 又点O(0,0)到直线1的距离为1 2 则Saw= 49-不生-，解得1=1或4=22，满足-3<1<3，则=1或1=t25 23 V23 高二数学试卷解析第6页，共8页 18。设正项数列{a,}的前n项和S,满足反-)(a,+1). (1)求数列{a}的通项公式： b Q设6，=2c+0,求数列和的前n项和7 【答案】0a=2n-1Q7 1 354+1 【分析】(1)根据S,和.之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； (2)运用裂项相消法进行求解即可， 【详解】(1)由尽，=a+1得G+2n+1=4,可知Gn+2nm+1=451, 两式相减得a1-a+2(a1-a)=4an+1, 即2(a1+an)=a1-a=(a1+an)(a1-a), 4n>0,.4+1-a.=2, ∵当n=1时，a4+24+1=4a4,.4=1, 则{a}是首项为1，公差d=2的等差数列， .{a}的通项公式为an=1+2(n-1)=2n-1: （2)b=29.1=22m-1=4, 4 1(11) c.(4+1)04+）34+14+1” I.=6++++c= +点司结 19.(高考题)已知函数f(x)=x++bK≠0)，其中a,b∈R Y (1)若曲线y=f(x)在点P(2,∫(2)处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对于任意的a∈ 不等式f(x)≤10在 上恒成立，求b的取值范围， 41 8 【答案】(1)f(x)=x-°+9(2)答案见解析(3)b≤ 4 【分析】(1)利用导数的几何意义依次得到关于4，b的方程，解之即可得解： (2)对f(x)求导，分类讨论a≤0和a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 高二数学试卷解析第7页，共8页 (3)利用(2)中结论，分析f(x)的单调性，从而将问题转化为f(x)在 上的最大值，从而得到关 于ab的不等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解。 【详解】(1)因为fx)=x+C+bk≠0)，所以f'(x)=1-马 又y=f(x)在点P(2,f(2)处的切线方程为y=3x+1, f"(②)=1-=3，解得a=-8,则fx)=x-8+b, 由切点P2J②)在直线y=3x+1上，得2b3x21,解得b=9. 所以f(m)=x-8+9. X (2)因为f(=1x, a x--a 当a≤0时，f'(x)>0,函数f(x)在(-m,0),(0,+w)上单调递增， 当a>0时，令f'(x)>0,得x<-√a或x>√a; 令f'(x)<0,得-√a<x<0或0<x<Va; 所以f(x)在(-o,-√a)和(Va,+o)上单调递增，(-√a,0)和(0，Va)上单调递减： 综上，当a≤0时，f(x)在(o,0),(0,+o)上单调递增： 当a>0时，∫(x)在(-m,-√a)和(Wa,+o)上单调递增，(-√a,0)和(0，√a上单调递减： 所以由(2)知，f(e在存回上单调递减，在a)止单润通增， 故f(在子]上的最大值为J得)和f四中的较大者。 因为对于任意的a=[合，不等式f()10在[}别恒废立。 所以)10，知a-0. [bs39-4a 得 4 f①)≤10 1+a+b≤10 b≤9-a 因为上述不等式组对任意的a [店2成立，所以子， 6s3942,故b≤4 b≤9-2 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a≥f(x)恒成立一a≥f(d)x:(2)a≤f()恒成立一a≤f(x)m 高二数学试卷解析第8页，共8页 2026年3月12日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．“”是“函数的图象关于点对称”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可. 【详解】正切函数的对称中心为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于点对称”的充分不必要条件. 故选：A． 2．在中，已知，，，则b=（    ）. A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】根据余弦定理，即可求解答案. 【详解】由题意， 故答案选：. 【点睛】本题考查余弦定理，计算准确，属于基础题. 3．关于x的方程有两个不同实根，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】方程，令函数， 而，则函数在R上单调递增，又方程等价于， 因此， 令函数，依题意，方程有两个不同实根， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，当时，恒有， 则当且仅当时，方程有两个不同实根， 所以实数a的取值范围为. 4．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为与的图像有两个不同的交点，利用导数法求得的单调区间和极值，画出函数的图像，结合图像，即可求解. 【详解】因为函数有两个不同的零点，可得有两个不等的实根， 即方程有两个不等的实根，即与的图像有两个不同的交点， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，且当时，；当时，， 画出函数与的图像，如图所示， 结合图像，可得，所以实数的取值范围为. 故选：C.    5．设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 6．已知函数，若关于的方程的不同实数根的个数为4，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用导数判断函数的单调性，最值，以及函数的趋势，画出函数的图象，利用图象，解决函数图象的交点问题. 【详解】当时，，由此可知在单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，， 在单调递增，在上单调递减，， 如图所示作出函数的大致图象，则有四个零点，则与的图象有四个交点， 因此，得， 故选：C 7．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围. 【详解】由，，可得：，令， 依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点. 又，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故时，取得极大值，且当时，，当时，， 故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得. 故选：C. 8．若直线与存在两个公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原问题转化为有两个不等正根，再利用导数研究函数的增减性以及图象特征，结合图象即可得答案. 【详解】由题可知有两个不等正根,所以有两个不等正根； 设，则； 由可得，单调递增； 由可得，单调递减且恒大于0， 且，作出函数和的大致图象如图所示，    由图象可知当时，有两个正根. 故选：C. 二、填空题 9．已知函数的图象过定点，且点在指数函数图象上，则__________. 【答案】 【分析】由对数函数的图象可得，故可求的解析式，根据对数的运算即可求解. 【详解】在中，令,可得, 故. 设,由题意可得,解得. 所以，. 故答案为:. 10．若时，，则实数的最大值为_____. 【答案】 【分析】原不等式可化为，令，对的符号进行分类讨论，当时，令，问题转化为，利用导数求出，当，根据单调性和极限可求出的范围. 【详解】由题意，原不等式可化为， 令，显然函数在上单调递增且连续， 且当时，，当时，， 又函数在上连续，所以的值域为， 当，原不等式显然成立； 当时，原不等式可化为，令， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以； 当时，原不等式可化为，， 所以函数在上单调递减，又当时，， 故. 综上可知，故的最大值为. 故答案为：. 11．已知函数，若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值；法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，， 由零点存在性定理得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增，则， 所以的最小值为. 故答案为： 三、解答题 12．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 如图，连接，设，连接． 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是． 所以点到平面的距离． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷解析 第4周 一、单选题 1．复数的虚部为（     ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【详解】，的虚部为 2．若中，角的对边分别为若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由及余弦定理，得. 3．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，，又，所以当时，取的最小值，故选：C 4．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，，所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C. 5．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（     ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 【答案】B 【详解】从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，样本空间为， 事件“抽到小于4的数”， ，事件“抽到大于3的数”， ， 事件“抽到大于2的偶数”， ， ，和互斥，故选项A错误；，和互斥且对立，故选项B正确； ，和C互斥，故选项C错误；，和C不对立，故选项D错误. 6．函数的图象大致为（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】根据函数是奇函数判断A，根据特殊值判断D，根据函数单调性判断B，C. 【详解】为奇函数，排除选项A； 排除选项D；【其实也可以继续代入特殊值判断BC，比如x=2时看y的大小】 当时必有0，所以B错C对. 7．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】如图：双曲线的右焦点到渐近线的距离为，得， 又，在，，所以， 又且N为OF中点，所以，即该双曲线为等轴双曲线， 所以离心率；故选：B 8．若直线与存在两个公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知有两个不等正根,所以有两个不等正根； 设，则； 由可得，单调递增； 由可得，单调递减且恒大于0， 且，作出函数和的大致图象如图所示，  由图象可知当时，有两个正根.故选：C. 二、多选题 9．下列选项中，正确的是（    ） A．不等式的解集为或 B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D．设，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【详解】A选项，或，A正确； B选项，，B正确； C选项，或，即或，C错误； D选项，，，而是的真子集，D正确． 故选：ABD． 10．已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 【答案】BD 【详解】圆，则圆的圆心坐标为，半径为. 圆，则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为，所以点在圆外，因此选项A说法不正确； B：,因为，所以两圆相交， ，所以选项B说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以选项C说法不正确； D：因为，所以圆心在圆上， 又因为，所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以选项D说法正确， 故选：BD 11．在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（     ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 【答案】ABD 【详解】选项A，，①， ，②， ①②联立方程组，得到或，是递增的等比数列，，故选项A正确； 选项B，将代入②，解得，，， ，，数列是等比数列，故选项B正确； 选项C，，，故选项C错误； 选项D，，，，， ，，故选项D正确. 三、填空题 12．函数且的图象必经过点______. 【答案】 【详解】当时，，所以函数图象恒过定点. 13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 【答案】 【分析】乙队以获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为，乙在甲客场取胜概率为， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主）：， 则甲胜第二场（主）：， 则甲胜第三场（客）：， 则甲胜第四场（客）：， 乙队以获胜的概率. 故答案为： 14．已知函数，若，则的最小值为________. 【答案】 【分析】法1，利用导数探讨函数单调性，求出的最小值； 法2，由已知可得，换元构造函数并利用导数求出最小值即可. 【详解】解法l：隐零点处理策略 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 由，，由零点存在性定理得在上存在唯一的零点，即， 于是当时，当时，即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 解法2：同构变形 依题意，，令，， 设，求导得， 当时，，当，，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，所以的最小值为. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程；(2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【分析】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程.(2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【详解】（1），所以； 令，解得． （2）因为，所以，从而可知， 因此，故所求值域为． 16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. (1)证明： (2)求点到平面的距离 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，则， ，所以，即. （2）设平面的法向量为，因为， 则，令，则，故， 点到平面的距离为. 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意，得，解得，则椭圆C的方程为. （2） 设，联立，得， 则，解得， 则，所以， 又点到直线的距离为， 则，解得或，满足，则或. 18．设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和之间的关系，结合等差数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）由得，可知， 两式相减得， 即， ， ∵当时，， 则是首项为1，公差的等差数列， 的通项公式为； （2）， ， . 19．（高考题）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义依次得到关于的方程，解之即可得解； （2）对求导，分类讨论和两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （3）利用（2）中结论，分析的单调性，从而将问题转化为在上的最大值，从而得到关于的不等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又在点处的切线方程为， ，解得，则， 由切点在直线上，得，解得， 所以. （2）因为， 当时，，函数在上单调递增， 当时，令，得或； 令，得或； 所以在和上单调递增，和上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，和上单调递减； （3）因为，所以， 所以由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最大值为和中的较大者， 因为对于任意的，不等式在上恒成立， 所以，即，得， 因为上述不等式组对任意的成立，所以，故. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 试卷第1页，共3页 高二数学试卷解析 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利川市第五中学2024级每日一练数学训练卷 第4周 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A．2 B． C．0 D． 2．若中，角的对边分别为 若，则（    ） A． B． C． D． 3．若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．从1∼6这6个整数中随机抽取1个数，记事件“抽到小于4的数”，事件“抽到大于3的数”，事件“抽到大于2的偶数”，则（    ） A．A和B不互斥 B．A和B互斥且对立 C．A和C不互斥 D．A和C互斥且对立 6．函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．已知O为坐标原点，过双曲线C：（，）的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点M，过M作x轴的垂线，垂足为N，若N为OF的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．1 B． C． D．2 8．若直线与存在两个公共点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列选项中，正确的是（    ） A．的解集为或 B．的解集为 C．的解集为 D．“”是“”的充分不必要条件 10．已知圆与圆，则（    ） A．点在圆内 B．两圆相交，公共弦的方程为 C．圆与圆有三条公切线 D．圆平分圆的周长 11．在递增的等比数列中，是数列的前n项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 三、填空题 12．函数且的图象必经过点 . 13．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是 . 14．已知函数，若，则的最小值为________. 四、解答题 15．已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 16．如图，在棱长为2的正方体中，为的中点. (1)证明： (2)求点到平面的距离. 17．已知椭圆的离心率为，短轴长为. (1)求C的方程； (2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值. 18．设正项数列的前n项和，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 19．（高考题）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 高二数学试卷 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $