专题1 相交线与平行线16种题型（期中复习讲义） 2025--2026学年人教版七年级数学下册

专题3 相交线与平行线 1、 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角. · 性质：邻补角互补（和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为反向延长线的两个角. · 性质：对顶角相等（核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直；一条叫另一条的垂线，交点叫垂足. 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 二、平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内，不相交的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角相等，两直线平行; · 内错角相等，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 三、平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角相等; · 两直线平行，内错角相等; · 两直线平行，同旁内角互补. 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）+结论组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；处处相等. 四、平移 1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段平行（或共线）且相等; · 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 1.对顶角/邻补角：必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补; 2.点到直线的距离：是垂线段长度，不是垂线段本身; 3.平行公理：必须是直线外一点（直线上一点无平行线）; 4.判定/性质混淆：角相等/互补→平行（判定）；平行→角相等/互补（性质）; 5.线段关系：包含位置关系和数量关系. 1.角度计算：利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算; 2.平行证明：找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线; 3.拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）：过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解. 题型一 对顶角的定义 【例1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”结合具体的图形进行判断即可． 【详解】解：A.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意； B.选项中的与是对顶角，故此选项符合题意； C.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意； D.选项中的与不是对顶角，故此选项不符合题意． 【变式1-1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下列图形中，和是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键． 根据各选项中的图形，依据对顶角的定义逐一进行判断即可． 【详解】解： A．和符合对顶角的定义，是对顶角，故A符合题意； B． 和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故B不符合题意； C．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故C不符合题意； D．和的两边不是互为反向延长线，不符合对顶角的定义，不是对顶角，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）下列图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两条直线相交于一点，形成四个角，其中有公共顶点、没有公共边、且两边互为反向延长线的两个角，互为对顶角；根据对顶角的定义逐项判断即可． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，选项D中的和是对顶角，其它选项中的和不是对顶角． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 【答案】6对，分别是与；与；与；与；与；与 【分析】此题考查对顶角的定义，根据对顶角的定义找出对顶角即可． 【详解】解：图中对顶角有：与；与；与；与；与；与； 共6对． 题型二 邻补角的定义 【例2】（25-26七年级下·广西崇左·月考）下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，且它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 【详解】解：观察发现：选项D中的∠1与∠2互为邻补角． 【变式2-1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查邻补角的判定，掌握邻补角需同时具备公共顶点、公共边、另一边互为反向延长线是解题的关键． 先明确邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，再逐个分析选项，判断是否满足这些条件． 【详解】解：邻补角需同时满足：有公共顶点、一条公共边、另一边互为反向延长线． A：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； B：∠1与∠2无公共顶点，不符合题意； C：∠1与∠2的和不等于180°，不符合题意； D：∠1与∠2有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意． 故选：D． 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 【答案】12 【分析】本题主要考查了邻补角的定义； 根据邻补角定义判断即可，注意：两直线相交，邻补角有四对． 【详解】解：∵直线、、相交于点， ∴与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角；与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角、与是邻补角； ∴共12对邻补角， 故答案为：12． 题型三 利用对顶角相等和领补角互补求角度 【例3】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等以及平角的性质，即可得出结果． 【详解】解：如下图： ∵， 又∵， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图直线相交于点，是的邻补角是________，的对顶角是________，若，则________度，________度． 【答案】 50 130 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的邻补角是或；的对顶角是， ∵， ∴，； 故答案为：、；；；． 【变式3-2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)的邻补角为______，的对顶角为______． (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形确定即可； （）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵邻补角：两个角有公共顶点、公共边，另一边互为反向延长线，和为， ∴的邻补角是； ∵对顶角：两条直线相交后，只有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角，直线相交于， ∴的对顶角是； （2）解：∵平分，， ∴， ∵和是对顶角， ∴． 【变式3-3】（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，直线、相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求，的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． （1）根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，结合图形即可求解； （2）由（1）及角平分线得，结合图形利用邻补角求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分， ， ， ， ． 题型四 垂线段最短的实际应用 【例4】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在一片农田中，有一口水井A，农户要从水井A铺设水管到田埂处进行灌溉，为了节省水管材料，以下铺设方式中，哪种是最合理的（    ） A．方向 B．方向 C．方向 D．方向 【答案】C 【分析】根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：为了节省水管材料，则需要距离最短， 根据垂线段最短，可得方向最合理． 【变式4-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【答案】A 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 【变式4-2】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）下列生活实例中，能运用“垂线段最短”的数学原理解释的是（    ） A．木匠师傅锯木料时，用墨斗弹墨线 B．把弯曲的公路改直，能够缩短路程 C．体育课上，老师测量同学跳远的成绩 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 【答案】C 【详解】解：A、木匠锯木料弹墨线利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合题意； B、把弯曲公路改直缩短路程利用的是“两点之间，线段最短”的原理，故选项不符合题意； C、体育课测量跳远成绩，是测量跳远落点到起跳线的垂线段长度，运用的原理就是“垂线段最短”， 故选项符合题意； D、两个钉子固定木条利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合题意． 题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例5】（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 【变式5-1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，下列说法不正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、与是对顶角，故该选项正确，不符合题意； B、与不是同位角，故该选项错误，符合题意； C、与是内错角，故该选项正确，不符合题意； D、与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意． 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式5-3】（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 题型六 平行线的判定 【例6】（25-26七年级下·河南安阳·月考）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定分别进行分析可得答案． 【详解】A、，根据内错角相等，两直线平行可得，不能得到，故此选项不符合题意； B、，根据同旁内角互补，两直线平行可得，不能得到，故此选项不符合题意； C、，根据内错角相等，两直线平行可得，故此选项符合题意； D、，不能得到，故此选项不符合题意． 【变式6-1】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，添加一个条件：___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加，可根据内错角相等，两直线平行，判断； 添加，可根据同位角相等，两直线平行，判断； 添加或，可根据同旁内角互补，两直线平行，判断． 【变式6-2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线，从而可以解答本题． 【详解】解：当时，无法判断，故①不符合题意； ∵，∴，故②符合题意； 当时，无法判断，故③不符合题意； ∵，∴，故④符合题意； ∵，∴，故⑤符合题意． 【变式6-3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 【答案】③ 【分析】根据平行线的判定定理，需逐一分析每个条件，即可解答． 【详解】①与是直线、被直线所截形成的内错角．根据内错角相等，两直线平行，可推出，不能推出． ②这两个角是四边形的一对角，虽相等但无法直接推出任何一组对边平行，不能判定． ③已知，，则：即．与是直线、被直线所截形成的内错角，根据内错角相等，两直线平行，可推出，符合要求． ④这两个角是直线、被直线所截形成的同旁内角．根据同旁内角互补，两直线平行，可推出，不能推出． 综上所述，能判定的序号是③ 题型七 根据平行线的性质求角度 【例7】（2026·江苏无锡）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再由平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式7-1】（2026·陕西渭南）如图，已知，直线分别与交于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对顶角相等求出，再利用平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义求解． 【详解】解： ， （对顶角相等）． ， （两直线平行，同旁内角互补）． ． 平分， ． 【变式7-2】（2026·陕西咸阳）如图，，直线分别与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式7-3】（2026·安徽合肥）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在左边作，由三角板可得，，根据拐点模型得到求出，再根据计算即可． 【详解】解：在左边作， 由三角板可得，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型八 根据平行线的性质探究角的数量关系 【例8】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平行线的性质，作出，根据平行线的性质得出相等或互补的角是解决问题的关键． 先过点作，构造三条直线平行，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式8-2】（25-26七年级下·海南海口·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，结合两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角相等即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 即，选项符合题意． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 题型九 平行线性质的实际应用 【例9】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【变式9-1】（22-23七年级下·全国·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是_____． 【答案】/度 【分析】首先过作，根据，可得，进而得到，，然后可求出的度数． 【详解】解：如图所示，过作， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行线性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【变式9-2】（25-26七年级下·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 【变式9-3】（13-14七年级下·四川·月考）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据题意作出图形，利用平行线的性质求出答案，注意排除法在选择题中的应用． 【详解】解：当第一次向右拐时 （如图1）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， ∴第二次需要向左拐，故A、B错误； 当第一次向左拐时 （如图2）， 两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同， ， 第二次需要向右拐，故C错误；D正确． 故选：D． 题型十 平行线的判定与性质求角度 【例10】（2026·河南郑州）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式10-1】（2026·江西吉安）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】先由平行线的性质与判定得到，再由题中条件求出即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式10-2】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）请将下列证明过程中的理由或步骤补充完整： 如图，，求的度数． 解：（已知）， ___________（___________）， 又（已知）， （等量代换）， ∴___________（___________） ___________（两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ___________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；； 【分析】由平行线的性质得到，则，利用平行线的判定可证明，利用两直线平行，同旁内角互补得到，进而可求解。 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知平分，且，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：因为平分，（已知） 所以______________，（角平分的定义） 因为，（已知） 所以___________，（等量代换） 所以，（______________） 所以（_________________）， 因为，（平角的定义） 所以______________． 【答案】；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、平角的定义，熟练掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．先根据角平分线的定义得到角的等量关系，再通过已知角相等推出两直线平行，然后利用平行线的性质得到对应角相等，最后结合平角的定义求出所求角的度数． 【详解】解：因为平分，（已知） 所以，（角平分的定义） 因为，（已知） 所以，（等量代换） 所以，（同位角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为，（平角的定义） 所以． 故答案为：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；． 题型十一 平行线的判定与性质证明 【例11】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）推理填空：如图，在中，于点，于点，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴， ∴（① ）， ∴② （③ ）， 又∵（已知）， ∴④ （⑤ ）， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等 【分析】根据平行线的判定和性质证明即可求证． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， 故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等． 【变式11-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知：，，求证：．请将证明过程补充完整． 证明：（已知）， ∴_______（    ）， （已知）， ∴________（等量代换）， ∴________（    ）． 【答案】见解析 【详解】解：（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （已知）， ∴（等量代换）， ∴（ 同旁内角互补，两直线平行）． 【变式11-2】（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知：如图，．求证：． 证明：∵（已知） （__________） ∴________（__________） ∴（__________） ∴________（_________） 又∵（已知） ∴________（_________） ∴（__________） ∴（_________） 【答案】邻补角的意义；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】依据，即可得到，由内错角相等，两直线平行证明，则，再根据，由同位角相等，两直线平行证明，故可根据两直线平行，同旁内角互补，得出结论． 【详解】证明：∵（已知） （邻补角的意义） ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 【变式11-3】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知，求证：． 证明：过点作 则___________（___________） 又（已知）， ___________（等式的性质） （___________） 又， （___________） 【答案】；两直线平行、内错角相等；；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行 【分析】根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明：过点作 则（两直线平行、内错角相等） 又（已知）， （等式的性质） （内错角相等，两直线平行） 又， （平行于同一直线的两条直线平行） 题型十二 判断命题真假 【例12】（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 【答案】C 【分析】本题主要考查命题，根据平行线的性质、垂线段的性质、互补的定义等，逐项判断即可． 【详解】A、相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，该选项的命题是假命题； B、只有两直线平行时，同位角才相等，该选项的命题是假命题； C、该选项的命题是真命题； D、互补的两个角可以都是直角，该选项的命题是假命题． 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【详解】解：A选项：相等的角不一定是对顶角，如平行线的同位角相等，但不是对顶角，故原命题是假命题，该选项不符合题意； B选项：若，则或，故原命题是假命题，该选项不符合题意； C选项：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，命题未加限定，故原命题是假命题，该选项不符合题意； D选项：由垂线段的性质可知，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故原命题是真命题，该选项符合题意． 【变式12-2】（21-22七年级下·贵州安顺·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．和为的两个角互为邻补角 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】根据命题真假判断，邻补角定义，点到直线距离定义，平行公理等初中几何知识点逐一判断各选项即可. 【详解】解：对于选项A ∵互为邻补角不仅需要和为，还需要满足位置关系：有公共顶点和公共边，另一边互为反向延长线，不相邻的两个角和也可以为，不属于邻补角∴A是假命题； 对于选项B ∵点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身∴B是假命题； 对于选项C ∵平行公理要求是经过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出平行于已知直线的直线∴C是假命题； 对于选项D ∵同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线，形成的同位角都为，同位角相等，两直线平行∴D是真命题. 【变式12-3】（25-26七年级下·福建·期中）以下命题，其中假命题有（　　）个 ①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：①平行于同一直线的两条直线平行，是真命题； ②缺少“在同一平面内”的前提，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，是假命题； ③缺少“过直线外一点”的前提，若点在已知直线上，不存在与已知直线平行的直线，是假命题； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； ⑤只有两直线平行时，同位角才相等，未说明两直线平行，同位角不一定相等，是假命题． ∴假命题共有3个． 题型十三 平移的定义 【例13】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的大小不变，形状不变，方向不变等性质解答即可． 【详解】 解：通过平移吉祥物“骐骐”，可以得到的图形是． 【变式13-1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同，解答本题的关键是熟练掌握平移的定义． 根据平移只改变图形的位置不改变图形的形状和大小来判断即可． 【详解】解：A、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； B、由图中所示的图案通过翻折而成，故本选项错误，不符合题意； C、由图中所示的图案通过平移而成，故本选项正确，符合题意； D、由图中所示的图案通过旋转而成，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式13-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平移设计图案，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小及方向，判断即可． 【详解】解：∵只有C选项的图形没有改变图形的形状、大小及方向，符合平移的性质， ∴只有C选项的图形是通过平移得到， ∴C选项符合题意， 故选：C． 【变式13-3】（24-25七年级下·贵州黔南·月考）截止2025年4月16日，据猫眼专业版数据电影全球票房(含预售及海外)《哪吒之魔童闹海》达到156亿元，是中国影史首部票房破100亿的电影．如图是一张哪吒图片，下列（    ）图片是通过平移得到的 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向进行判断即可． 【详解】解：由平移的性质可知，只有选项B符合要求， 故选：B． 题型十四 利用平移的性质求解 【例14】（2026·山西太原）如图，中，，将沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先根据平移的性质得到，进而可得，即可得解． 【详解】解：根据平移的性质可得，， 又∵，， ∴， ∴平移的距离为3． 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查平移的性质和线段的运算，，，四边形为长方形，求得，进而可求得答案． 【详解】根据题意可知，，，四边形为长方形， 所以． 所以四边形的面积． 故答案为： 【变式14-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将沿着方向平移至处．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，线段的和与差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平移的性质可得，再根据，即可求得，，再根据即可求解． 【详解】解：∵沿方向平移至处， ， ， ，， ． 故答案为：． 【变式14-3】（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 【答案】34 【分析】本题考查了平移的性质，先结合平移的性质得，，，运用面积之间的关系得 ，即阴影部分面积，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵将其沿着点B到C的方向平移到的位置，平移距离为4， ∴，， ∵， ∴ 则， ∴阴影部分面积． 题型十五 平移的实际应用 【例15】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在长为13米，宽为9米的长方形草地上，有一条小径，且小径的任何地方的水平宽度都是2米，则除小径外的草地面积为______平方米． 【答案】99 【分析】根据长方形的面积公式可求长方形的面积，因为小径的任何地方的水平宽度都是2米，所以其面积与同宽的长方形面积相等，故可求草地面积． 【详解】解：除小径外的草地面积为 （平方米）． 【变式15-1】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在长为15米，宽为10米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草，则小路的面积是______平方米． 【答案】24 【分析】根据平移的性质利用大的长方形面积减去种植花草的面积（平移小路后为长方形）即可. 【详解】解：根据平移的性质可得小路的面积是： （平方米）. 【变式15-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 【变式15-3】（25-26七年级下·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 【答案】400元 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是掌握平移的性质，不改变图形的大小和形状． 根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形，长、宽分别为米，米， 即地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米， 故买地毯至少需要元． 题型十六 平移作图和网格中求面积 【例16】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中有一个（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 【答案】(1)作图见详解 (2)6 【分析】（1）先找到的三个顶点A、B、C在网格中的位置，根据平移的性质，分别将每个顶点向右平移5格，即每个顶点的水平方向移动5个网格单位，再向上平移2格，即每个顶点的垂直方向移动2个网格单位后以此得到A的对应点，B的对应点，C的对应点，最后用线段依次连接、、，画出平移后的； （2）利用“割补法”构造出包含的矩形，再分析周围多余的小三角形后用矩形面积减去小三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图，连结，， ∴． 【变式16-1】（25-26七年级下·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，． (1)若将向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）根据“上加下减，左减右加”的平移规律可得，，的坐标，描出，，，并顺次连接，，即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则； （2）解：由题意得，． 【变式16-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____． (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【答案】(1)见详解 (2) (3)6 【分析】本题考查作图——平移变换，平移变换的性质，平面直角坐标系，解题的关键是掌握相关知识的应用． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点即可； （2）根据题意构建平面直角坐标系，写出的坐标即可； （3）线段扫过的面积即为两个平行四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：平面直角坐标系如图所示，． 故答案为：； （3）解：如图，平移过程中，线段扫过的面积． 【变式16-3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出的坐标． (2)求三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)5 【分析】本题主要考查了图形的平移及三角形面积的求法，正确得出对应点的位置是解题关键； （1）根据平移的性质作图，并根据所得平移后的三角形写出点的坐标即可． （2）由三角形所围成的正方形面积减去周围三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）解：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3 相交线与平行线 1、 相交 （一）邻补角与对顶角 1.邻补角 · 定义：两条直线相交，有公共顶点、一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角. · 性质：邻补角互补（和为180°）. 2.对顶角 · 定义：有公共顶点，两边分别互为反向延长线的两个角. · 性质：对顶角相等（核心性质，证明常用）. · 模型：两直线相交→2对对顶角、4对邻补角. （二）垂线（相交的特殊情况） 1.定义：两条直线相交成直角（90°），互相垂直；一条叫另一条的垂线，交点叫垂足. 2.垂线性质 · 性质 1：过一点（直线上/外），有且只有一条直线与已知直线垂直（唯一性）; · 性质 2：垂线段最短（连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短）. 3.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（是长度，不是线段本身）. （三）三线八角（两条直线被第三条直线所截） · 同位角：截线同旁、被截两直线同侧（F型）. · 内错角：截线两侧、被截两直线之间（Z型）. · 同旁内角：截线同旁、被截两直线之间（U型）. 关键：先找截线（公共边），再判断角的位置. 二、平行线及其判定 （一）平行线定义与基本事实 1.平行线：同一平面内，不相交的两条直线，记作：a∥b; 前提：同一平面内（空间中存在异面直线）. 2.平行公理（基本事实）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行（唯一性）. 3.平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（平行传递性：若a∥b，b∥c，则a∥c）. （二）平行线的判定（由角的关系→线平行） · 同位角相等，两直线平行; · 内错角相等，两直线平行; · 同旁内角互补，两直线平行. · 推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 三、平行线的性质 （一）核心性质（由线平行→角的关系） · 两直线平行，同位角相等; · 两直线平行，内错角相等; · 两直线平行，同旁内角互补. 判定与性质互逆：判定是“角→线”，性质是“线→角”，不可混用. （二）命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）+结论组成；可写成“如果… 那么…”形式. · 真命题：题设成立，结论一定成立； · 假命题：题设成立，结论不一定成立（举反例可证假）. 2.定理：经过推理证实的真命题（可作为推理依据）. 3.证明：从已知出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论的过程. （三）平行线间的距离 · 定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段长度；处处相等. 四、平移 1.定义：把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到新图形，这种移动叫平移（平移不改变图形形状、大小，只改变位置）. 2.平移性质 · 平移后，新图形与原图形形状、大小完全相同（全等）; · 对应点所连线段平行（或共线）且相等; · 对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等. 3.平移作图步骤 · 确定平移方向、距离； · 找出图形关键点； · 按方向、距离平移各关键点； · 顺次连接对应点，得到平移后图形. 1.对顶角/邻补角：必须是两条直线相交形成，有公共顶点；邻补角既要相邻又要互补; 2.点到直线的距离：是垂线段长度，不是垂线段本身; 3.平行公理：必须是直线外一点（直线上一点无平行线）; 4.判定/性质混淆：角相等/互补→平行（判定）；平行→角相等/互补（性质）; 5.线段关系：包含位置关系和数量关系. 1.角度计算：利用对顶角相等、邻补角互补、垂线90°、平行线性质综合计算; 2.平行证明：找三线八角，用判定定理；或用平行传递、垂直于同一直线; 3.拐点模型（铅笔头、猪蹄、锯齿）：过拐点作平行线，转化为内错角/同旁内角求解. 题型一 对顶角的定义 【例1】（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）下列各图中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·广西南宁·开学考试）下列图形中，和是对顶角的是（ 　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级下·甘肃陇南·月考）下列图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线都经过点O，图中有哪几对对顶角？ 题型二 邻补角的定义 【例2】（25-26七年级下·广西崇左·月考）下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026七年级下·全国·专题练习）下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线、、相交于点，则图中邻补角共有________对． 题型三 利用对顶角相等和领补角互补求角度 【例3】（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，直线、、交于点，若，则与的度数之和为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25七年级下·云南昭通·月考）如图直线相交于点，是的邻补角是________，的对顶角是________，若，则________度，________度． 【变式3-2】（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，直线相交于点，平分． (1)的邻补角为______，的对顶角为______． (2)若，求的度数． 【变式3-3】（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，直线、相交于点，，垂足为，． (1)求的度数； (2)若平分，求，的度数． 题型四 垂线段最短的实际应用 【例4】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）如图，在一片农田中，有一口水井A，农户要从水井A铺设水管到田埂处进行灌溉，为了节省水管材料，以下铺设方式中，哪种是最合理的（    ） A．方向 B．方向 C．方向 D．方向 【变式4-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（    ） A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．弯曲河道改直 D．两钉子固定木条 【变式4-2】（25-26七年级下·云南楚雄·月考）下列生活实例中，能运用“垂线段最短”的数学原理解释的是（    ） A．木匠师傅锯木料时，用墨斗弹墨线 B．把弯曲的公路改直，能够缩短路程 C．体育课上，老师测量同学跳远的成绩 D．用两个钉子就可以把木条固定在墙上 题型五 同位角、内错角、同旁内角的识别 【例5】（25-26七年级下·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级下·陕西西安·月考）如图，下列说法不正确的是（    ） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是同旁内角 【变式5-2】（25-26七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式5-3】（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 题型六 平行线的判定 【例6】（25-26七年级下·河南安阳·月考）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26七年级下·福建龙岩·月考）如图，添加一个条件：___________，使得． 【变式6-2】（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，下列条件：①；②；③；④；⑤．其中能判断直线的有（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．②④⑤ D．②④ 【变式6-3】（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，在下列条件中：①；②；③且；④，能判定的序号是_____． 题型七 根据平行线的性质求角度 【例7】（2026·江苏无锡）如图，已知，且平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·陕西渭南）如图，已知，直线分别与交于点E、F，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·陕西咸阳）如图，，直线分别与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·安徽合肥）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型八 根据平行线的性质探究角的数量关系 【例8】（25-26七年级下·江苏南京·期末）如图，直线，点、分别在直线、上，为两平行线间一点，那么等于 ______________ ． 【变式8-1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26七年级下·海南海口·月考）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26七年级下·四川达州·开学考试）如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 题型九 平行线性质的实际应用 【例9】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，街道与平行，拐角，则拐角的大小是_______． 【变式9-1】（22-23七年级下·全国·期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行（即），若，，则的度数是_____． 【变式9-2】（25-26七年级下·广东深圳·月考）光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（13-14七年级下·四川·月考）一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（   ） A．第一次向右拐，第二次向左拐 B．第一次向右拐，第二次向右拐 C．第一次向左拐，第二次向左拐 D．第一次向左拐，第二次向右拐 题型十 平行线的判定与性质求角度 【例10】（2026·河南郑州）如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2026·江西吉安）如图，，，，，求的度数． 【变式10-2】（24-25七年级下·宁夏固原·月考）请将下列证明过程中的理由或步骤补充完整： 如图，，求的度数． 解：（已知）， ___________（___________）， 又（已知）， （等量代换）， ∴___________（___________） ___________（两直线平行，同旁内角互补） （已知）， ___________． 【变式10-3】（25-26七年级下·江苏扬州·期末）如图，已知平分，且，求的度数． 阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：因为平分，（已知） 所以______________，（角平分的定义） 因为，（已知） 所以___________，（等量代换） 所以，（______________） 所以（_________________）， 因为，（平角的定义） 所以______________． 题型十一 平行线的判定与性质证明 【例11】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）推理填空：如图，在△ABC中，于点，于点，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴， ∴（① ）， ∴② （③ ）， 又∵（已知）， ∴④ （⑤ ）， ∴． 【变式11-1】（25-26七年级下·陕西咸阳·月考）如图，已知：，，求证：．请将证明过程补充完整． 证明：（已知）， ∴_______（    ）， （已知）， ∴________（等量代换）， ∴________（    ）． 【变式11-2】（2026七年级下·四川泸州·学业考试）已知：如图，．求证：． 证明：∵（已知） （__________） ∴________（__________） ∴（__________） ∴________（_________） 又∵（已知） ∴________（_________） ∴（__________） ∴（_________） 【变式11-3】（25-26七年级下·湖北武汉·月考）如图，已知，求证：． 证明：过点作 则___________（___________） 又（已知）， ___________（等式的性质） （___________） 又， （___________） 题型十二 判断命题真假 【例12】（25-26七年级下·山东临沂·月考）下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同位角相等 C．垂线段最短 D．互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角 【变式12-1】（25-26七年级下·重庆·月考）下列命题中，真命题是（   ） A．相等的角是对顶角 B．如果，那么 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【变式12-2】（21-22七年级下·贵州安顺·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．和为的两个角互为邻补角 B．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 C．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式12-3】（25-26七年级下·福建·期中）以下命题，其中假命题有（　　）个 ①平行于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两直线平行；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤同位角相等 A．0 B．1 C．2 D．3 题型十三 平移的定义 【例13】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图是2026马年春晚皮影吉祥物“骐骐”，下列可以通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【变式13-1】（2026七年级下·全国·专题练习）如图，平移“月亮”图案可以得到下列选项中的（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）剪纸是一种民间美术形式，以大胆变形和夸张的手法著称，线条细长、透亮．下面的剪纸图案中，能用其一部分平移得到的是（ ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25七年级下·贵州黔南·月考）截止2025年4月16日，据猫眼专业版数据电影全球票房(含预售及海外)《哪吒之魔童闹海》达到156亿元，是中国影史首部票房破100亿的电影．如图是一张哪吒图片，下列（    ）图片是通过平移得到的 A． B． C． D． 题型十四 利用平移的性质求解 【例14】（2026·山西太原）如图，△ABC中，，将△ABC沿方向平移得到，其中点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式14-1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，长方形中，，，将它沿平移得到长方形，则图中阴影部分的面积为________． 【变式14-2】（25-26七年级下·湖南长沙·期末）如图，将△ABC沿着方向平移至处．若，则_____． 【变式14-3】（25-26七年级下·青海海东·月考）如图， 将其沿着点B到C的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为________． 题型十五 平移的实际应用 【例15】（25-26七年级下·重庆·月考）如图，在长为13米，宽为9米的长方形草地上，有一条小径，且小径的任何地方的水平宽度都是2米，则除小径外的草地面积为______平方米． 【变式15-1】（25-26七年级下·江西上饶·月考）如图，在长为15米，宽为10米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路(图中阴影部分)，宽均为1米，其他部分均种植花草，则小路的面积是______平方米． 【变式15-2】（25-26七年级下·江苏南通·期末）如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【变式15-3】（25-26七年级下·山东济宁·月考）某宾馆在重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价25元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要多少元． 题型十六 平移作图和网格中求面积 【例16】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如图，在正方形网格中有一个△ABC（点A，B，C都在网格格点上），按要求完成下列各题． (1)将△ABC向右平移5格，向上平移2格，请在网格图中画出经平移后得到的（点A与对应）． (2)在（1）的基础上，连接，，则图中的面积为_____． 【变式16-1】（25-26七年级下·广西百色·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为，，． (1)若将△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到，请画出并写出点，，的坐标； (2)求△ABC的面积． 【变式16-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点就是小正方形的格点，将向右平移2个单位长度再向下平移1个单位长度，得到． (1)请在方格纸中画出平移后的； (2)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为_____． (3)求平移过程中，线段扫过的面积． 【变式16-3】（24-25七年级下·云南大理·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别为，将三角形先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形，并写出的坐标． (2)求三角形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $