期中模拟试卷•基础必考卷（ 测试范围：第1章 三角形的证明及其应用～第4章 因式分解）2025-2026学年八年级下学期期中试卷（北师大版）

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （北师大版•基础卷） 考试范围：测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 6．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 8．如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．不等式的正整数解________个 12．如果，，那么的值为______． 13．如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 14．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 15．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 16．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．因式分解 (1)； (2)． 18．解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 19．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后得到三角形，其中直线上的点是点的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2) ； (3)三角形的面积为 ． 20．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/． (1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式； (2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润． 21．已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 22．如图，在中，． (1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 23．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 24．已知是等边三角形． (1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； (2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； (3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷 （北师大版•基础卷） 考试范围：测试范围：第1章 三角形的证明及其应用~第4章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题 1．音乐可涵养心性、陶冶情操，亦能纾解烦忧、滋养心灵，为精神世界铺展温润底色．下列音乐符号，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、选项中的图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意． 2．下列因式分解错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用十字相乘法、完全平方公式、平方差公式验证各选项，找出分解错误的选项即可． 【详解】解：A，对用十字相乘法分解，得，A分解正确； B，是完全平方式，得，B分解正确； C，利用平方差公式分解，得，C分解正确； D，整理得，根据平方差公式： D分解错误． 3．已知，下列结论中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：A、不等式两边加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故A错误，不符合题意； B、不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，∵，∴，故B正确，符合题意； C、不等式两边乘正数再加同一个数，不等号方向不变，∵，∴，故，故C错误，不符合题意； D、由于未给出的符号，当时，不等式两边除以后不等号方向改变，得，故D不恒成立，不符合题意． 4．如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 5．如图，锐角三角形中，，将三角形沿着射线方向平移得到三角形（平移后点A，B，C的对应点分别是点，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， 第二种情况：当点在外时，过点C作， 由平移得到， ， ，， ， ①当时， 设，则， ∵， ，， ， ， 解得：， ∴， ②当时，由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或， ∴不可能的值为． 6．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 7．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（   ） A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数” C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2 【答案】B 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； B、，符合“豫数”定义，选项正确； C、不是的倍数，不符合豫数的形式，选项错误； D、最小的“豫数”是，不是，选项错误． 8．如图，一张直角三角形纸片，，，，将纸片沿折叠，使点落在点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据直角三角形内角和求出，再 利用平行线的同位角相等得到，由折叠性质得，进而算出． 【详解】解：在中，，， 根据直角三角形两锐角互余，得： ∵， ∴根据平行线的同位角相等，得： 折叠后点落在点处，根据折叠的性质，对应角相等，得 ∵是平角（）， ∴． 9．如图，直线经过点，则关于的不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图象进行解答即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 故不等式解集为． 10．如图，是等边三角形，是的角平分线，点是射线上一动点，连接，以为边在下方构造等边，连接，；有以下结论：①；②当时，；③当时，则的最小值为；④当，，三点共线时，；其中正确结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质证，进而证明线段相等，再结合角平分线的性质和垂线段最短的性质来判断各个结论的正确性即可解答． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ，故①正确； 是等边三角形，是的角平分线， ，，， 当时，设，则，， 在中，， ，， ， 在中，， ， ，故②正确； ， ， 点在与夹角为的直线上运动， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， 在中，， ，故③正确； 当，，三点共线时，如图， 、都是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， ，， ，， 设，则， ， ， ，故④正确； 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．不等式的正整数解________个 【答案】3 【分析】先按一元一次不等式的解法求解不等式，得到x的取值范围，再找出范围内的正整数，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， ∴不等式的正整数解为1，2，3，共3个． 12．如果，，那么的值为______． 【答案】3 【分析】先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可． 【详解】解：对因式分解，得， 将，代入上式，得 原式． 13．如图，在中，，，，点在边上，，动点在边上．将沿折叠得到，则点到的最短距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，勾股定理，30度角的直角三角形的性质，折叠的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，求出的值，再运用勾股定理求出，同理得，结合三角形三边关系以及垂线段最短进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点F，D作，，连接，如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴折叠， ∴， 则在中，， ∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为， 即点到的最短距离为． 14．如图是公园里一处长方形游览区，长为60米，宽为24米，为方便游客观赏，公园修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为______米． 【答案】104 【分析】根据图形可得图中虚线长可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，据此求解即可． 【详解】解：由图可得，图中虚线长的横向距离等于，纵向距离等于， ∴从出口A到出口𝐵所走的路线长为（米）． 15．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________． 【答案】 【分析】 连接，首先根据轴对称的性质，三角形内角和定理和等边对等角得到，然后利用勾股定理即可求出的长度，进而求出的长度即可得到答案． 【详解】如图所示，连接， 点和点关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由勾股定理得， ， ． 16．对任意一个正整数m，如果m=k(k+1)，其中k是正整数，则称m为“矩数”，为的最佳拆分点．例如：，为“矩数”，为的最佳拆分点．把“矩数”与“矩数”的差记为，其中，．若“矩数”的最佳拆分点为，“矩数”的最佳拆分点为．当时，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意，，，且，故．由，得方程，整理得．因和为正整数且，枚举12的正整数因子对，满足条件的仅一组，解得，，故． 【详解】解：由已知，，，且． 展开得， 即， 因式分解得． 由于和是正整数，且，故，． 又，且， 因此可能因子对为，，． 当，时，解得，． 当，时，联立方程组解得，，不符合为正整数，舍去． 当，时，解得，与联立，得，，，但为正整数，舍去． 故唯一解为，，此时． 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先将所求式子变形为，再提取公因式即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．解不等式（组）并把它们的解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2)，数轴表示见解析 【分析】分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则确定不等式组的最终解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ， 解①得 ， 解②得 ， 因此原不等式组的解集为， 数轴表示如下： （2）解：， 解①得 ， 解②得 ， 因此原不等式组的解集为， 数轴表示如下： 19．在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，平移后得到三角形，其中直线上的点是点的对应点． (1)画出平移后得到的三角形； (2) ； (3)三角形的面积为 ． 【答案】(1)见详解； (2)8； (3)3 【分析】（1）根据平移的性质，结合图形将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形 （2）根据（1）可得，即可求解； （3）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：由（1）可得，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形， ∴ ∴ （3）解：三角形的面积 20．爱媛号柑橘（又名“阿蜜达”）是近年引进的新品种，由“红美人”与“春见”杂交育成．某农户种植了亩“阿蜜达”，去年处于盛果期，年产量平均/亩．为提高收益和风险可控，采用电商零售和地头统货两种销售方式，且电商零售销量不超过地头统货销量的．除去采果、运输等成本，电商零售净收入平均元/，地头统货净收入元/． (1)求销售总收入y（元）与地头统货销量（）之间的函数关系式； (2)若人工、化肥等种植成本为元/亩，求该农户去年种植“阿蜜达”的最大利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】（）先根据亩柑橘的总产量、地头统货销量求出电商零售销量，再结合电商销量不超过地头销量的条件确定的取值范围，最后根据两种销售方式的净收入列出销售总收入与的函数关系式； （）先计算出亩柑橘的总种植成本，再用销售总收入减去总种植成本得到利润关于的一次函数，结合一次函数的单调性，在的取值范围内取最小值求出最大利润． 【详解】（1）解：∵总产量为，地头统货销量为， ∴电商零售销量为， ∵电商零售销量不超过地头统货销量的， ∴ 解得： ∵， ∴的取值范围是， 地头统货收入元，电商零售收入元， 因此，销售总收入： ； （2）解：设利润为， 总种植成本为：元 则， 代入得： ∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∴当取最小值时， 取得最大值： 因此该农户去年种植的最大利润为元． 21．已知整式（a，c为常数）． (1)若，且A为完全平方式，直接写出c的值并将整式A因式分解； (2)若，则；若，则，求a和c的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据完全平方式可得，进而问题可求解； （2）由题意可代值进行求解即可． 【详解】（1）解：由可得， ∵A为完全平方式，且， ∴， ∴； （2）解：当，时，则有，① 当，时，则有，② 由①②可得：． 22．如图，在中，． (1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)②；③ (2) 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据题意可得，，再利用三角形内角和求角即可． 【详解】（1）解：根据题意，是的角平分线，直线是线段的垂直平分线； （2）解： 是的角平分线， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 又， ， ， ． 23．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为： …分组 …组内分解因式 …整体思想提公因式 这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知a，b，c分别是的边长，若，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分组，再用公式分解． （2）先利用完全平方公式得到，推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的周长． 24．已知是等边三角形． (1)如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； (2)如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； (3)如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，直线与直线相交于点，当是直角三角形时，请直接写出等边三角形的边长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的边长为或 【分析】（1）作于点，由等边三角形的性质可得，则，利用勾股定理计算出后，再计算出的长即可； （2）延长至点使得，容易证明是等边三角形，则，，由等量代换可得，进而可证明，因此； （3）分类讨论，当点在线段上时，容易判断，从而可得，即平分，使用勾股定理计算出的值即可；当点在线段的延长线上时，容易判断，此时是含角的直角三角形，利用勾股定理计算出的值即可． 【详解】（1）解：如图，作于点， ∵是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，； （2）证明：如图，延长至点使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵是外角的平分线，即平分， ∴， ∵， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：①当点在线段上时，如图， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，即平分， ∴，， 在中，； ②当点在线段的延长线上时，如图， 同理①可得， ∵， 又∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，； 综上所述，的边长为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $