精品解析：湖北武汉市南湖中学2025-2026学年下学期三月学情自测 九年级数学试卷

南湖中学2026春季三月月考九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的运算．熟练掌握同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方，合并同类项，是解题的关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；熟练掌握运算法则是解题关键． 根据同底数幂乘法，除法，积的乘方，幂的乘方及合并同类项法则逐一计算即可得答案． 【详解】解：A、 ，故该选项计算正确，不符合题意； B、，故该选项计算不正确，符合题意； C、 ，故该选项计算正确，不符合题意； D、 ，故该选项计算正确，不符合题意． 故选：B． 3. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 在抽奖活动中抽中特等奖 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下可能发生也有可能不发生的事件叫做随机事件，在一定条件下不会发生的事件叫不可能事件，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，这是必然事件，该选项不符合题意； B、在抽奖活动中抽中特等奖，这是随机事件，该选项符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和是，这是不可能事件，该选项不符合题意； D、骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是7，这是不可能事件，该选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 5. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中一个大数据中心能存储本书籍，数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 6. 如图，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用等弧的性质及圆周角定理可得答案． 【详解】解： 点在上，， 故选： 【点睛】本题考查的两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系，圆周角定理，等弧的概念与性质，掌握同弧或等弧的概念与性质是解题的关键． 7. 九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：令：，：豆包，：， 列表如下： 共有种等可能结果，其中两人选择的主题不同有种， 两人选择不同主题的概率为， 故选：B． 8. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 9. 如图，正方形边长为9，以对角线为斜边作，，点在上，连接，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，设的中点为，过点在上方作，使．过点作于点，连接，则，根据正方形性质，得，，，得，和，，根据，得点、、、在上，得，得，根据，得，得，得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设的中点为，过点作，使，过点作于点，连接，如图， 则， 正方形边长为9， ，，， ， ， ， ， ， 点、、、在上， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 点是在以点为圆心，为半径的圆上运动， ，， ， ， ， ， 当点在上时，取得最小值，为． 【点睛】本题核心是轨迹法求线段最值，结合正方形性质确定的轨迹，通过相似三角形确定的轨迹为圆，利用“圆外一点到圆上点的距离最小值为圆心距减半径”求解，关键是几何轨迹的转化与应用． 10. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（ ） A. 由大变小 B. 由小变大 C. 保持不变 D. 有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数一次函数的交点关于原点对称是解题关键．根据一次函数过原点，的长度最小可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，当m的值由4逐渐减小到时，线段的长度先变小，再变大，当一次函数过原点时，的长度最小， 线段的长度有最小值． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，表示向右走，那么向左走记作_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的两个量，根据表示向右走，直接求解即可． 【详解】解：表示向右走，那么向左走记作， 故答案为：． 12. 我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球、足球、排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是___________． 【答案】小明 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．观察图象可得：小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 【详解】解：由于小丽的成绩波动较大，根据方差的意义知，波动越大，成绩越不稳定； 小明的成绩较集中，波动较小，即方差较小；故小明的成绩较为稳定． 故答案为：小明． 13. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，经检验得到原方程的解． 【详解】解：移项得， 方程两边同乘最简公分母，得， 移项，合并同类项得， 系数化为， 得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 14. 某仓储中心有一个斜坡，，、在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点的最大高度限制（即点离所在水平面的高度的最大值）为6.2米，此时的长度为____米，（结果保留一位小数，参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】令与的交点为，在中，利用角的余弦值和正切值，求出和的长，从而得出的长，再在中，利用角的正弦值和正切值，求出的长，即可得解． 【详解】解：如图，令与的交点为， 正方形，米， 米，， ，， ， 在中，，， （米），（米）， 米， （米）， 在中，， （米）， （米）， 答：的长度为米 15. 已知二次函数的图象经过，两点，其中，对称轴为．下列四个结论：；；点、在抛物线上，当时，；已知关于的方程有两个根，其中一个根是，若关于的方程有整数根，则其根为和；其中正确的结论是____(填写序号) 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的图象及性质，系数间的关系和一元二次方程的关系即可求解． 【详解】∵抛物线过，对称轴为， ∴图象必过， 又∵过点， ∴开口向上，与轴交于负半轴， ∴，，，故对； ∵与到对称轴等距， ∴，故对； ∵，无法判断点、与对称轴是同侧还是异侧， 也就无法判断点、与对称轴的距离的大小，故无法比较与的大小，故错； ∵方程的两根分别为和， 又的方程有两个根，其中一个根是，而抛物线的对称轴为，由对称性得另一个根为， 观察图象，得关于的方程整数根为和，故对， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数图象及其性质，数形结合法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键． 16. 如图，在中，于点，若，，，则的长度为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，解一元二次方程，轴对称等知识．以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G．由轴对称的性质证明四边形是正方形，设，则，即可求出，，在中，根据勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：如图，以为对称轴作的轴对称图形，以为对称轴作的轴对称图形，延长、交于点G． ∵， 由轴对称的性质得，，，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 在中，根据勾股定理得， 解得（不合题意，舍去）， ∴． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①：得____________； （2）解不等式②：得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为____________． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析； （4）． 【解析】 【分析】（1）、（2）根据不等式的性质求解即可； （3）在数轴上表示即可； （4）根据数轴求出两个不等式的公共部分即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 解：在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：不等式组的解集为：． 18. 如图，已知点和点在线段上，且，，，则与的位置关系如何？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】先求得，再利用证明，得到，利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 19. 某学校为了解本校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求共调查学生的人数，并补全条形统计图． （2）估计该校1500名学生中周阅读总时间不低于的人数． （3）从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 【答案】（1）共调查学生的人数有50人， 补全条形统计图如下： （2）估计该校1500名学生中周阅读总时间不低于的人数大约有1200人； （3） 解：平均数表示抽取的50名学生的阅读总时间； 众数表示抽取的50名学生中得分在某个阅读时间的人数最多； 中位数表示取的50名学生中，将成绩从小到大排列后，位于中间位置的阅读时间（答案不唯一，任选其中一个说明即可）． 【解析】 【分析】（1）用的频数除以其占比，可得样本容量，再用样本容量分别减去其它三组的频数，即可得出的频数，进而补全条形统计图； （2）用1500乘样本中成绩不低于的人数所占比例即可； （3）根据平均数、中位数和众数解答即可． 【小问1详解】 解：样本容量为：， 故对应的人数为：（人）； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校1500名学生中周阅读总时间不低于的人数大约有1200人； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查频数分布直方图，中位数、众数和平均数，理解中位数、众数的意义以及和平均数的计算方法是解决问题的关键． 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． （1）在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； （2）在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点N，连接交于点D，即为所求；与格线交点G，连接； （2）如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接，连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P，连接、． 【小问1详解】 解：如图，取格点N，连接交于点D， 由图可知，． ． ． ． ， ，即 点D即为所求； 与格线交点G，连接， 由图可知点G为中点， ， ． ． ． 点G即为所求． 【小问2详解】 解：如图，取与网格线的交点O，连接并延长至点E，交过点A的竖直网格线于点E，连接， ， ，． ， ． ． 在和中， ． ，． ． 如图，连接一个小网格对角线，取网格中心点S，连接，交于F，连接．取矩形对角线交点，连接、、，在上取点P， ，连接、， ，． 在和中 ． ． ， ． ， ． 在和中 . ． ， ． ， ． ． 21. 如图，在中，，为的直径，点D为的中点，与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质和扇形面积，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角，圆周角定理结合直角三角形的性质，推出，即可证明； （2）解直角三角形，求出，易证是等腰直角三角形，根据是的直径，推出，得到，证明是的中位线，得到，证明四边形是正方形，是等腰直角三角形，求出，，根据阴影部分的面积即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴阴影部分的面积． 22. 【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： （1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）当时，求和的长； （3）如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 【答案】（1） （2）米，米 （3）米 【解析】 【分析】（1）根据题意画出坐标系，利用待定系数法求解即可； （2）由题意设，则点F的坐标为，再代入，求得，据此求解即可； （3）设，则矩形所需的木质框架总长度，求得当，矩形所需的木质框架总长度有最大值为5，再设正方形和正方形的边长为n，得到，代入，求得n的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：坐标系如图所示， 由题意得，，． 则抛物线的顶点坐标为，， 则设抛物线的函数表达式为，将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得四边形为矩形，设， ， ． ，． ∵点在抛物线上， ，解得或（舍去）． 米，米； 【小问3详解】 解：如图，设，， 四边形为矩形，且点E和F在抛物线上， ， ． 矩形所需的木质框架总长度， 当，矩形所需的木质框架总长度有最大值，最大值为5． 此时， ． 设正方形和正方形的边长为n，则，，将代入， 得， 整理得， 解得或 (舍去)． ． 封闭区域内木质框架的总长度米． 即封闭区域内木质框架的总长度为米． 23. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，于点，点、分别在边、上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，求的长； （2）【类比探究】如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，沿着直线折叠矩形，点、分别落在点、处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，则折叠后长为_______． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形和折叠的性质证明，得到，利用勾股定理求出，再利用等面积法求解即可； （2）过点作交于点，根据折叠与矩形的性质，推出，则，再证明四边形是平行四边形，则，即可得解； （3）同（2）理可得，，求出，再结合四边形是矩形，利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列方程，求出，则，从而可证，设，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：正方形纸片的边长为12， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点作交于点， 由折叠的性质可知，， ， ， 在矩形中，， ，，， ， ， 又， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 解：在矩形中，，， ，，， ， ，， 在中，， 同（2）理可得，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， 由折叠的性质可知，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即折叠后长为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值； （3）若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）N的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为； （2）过P作轴交于Q，求出直线解析式为，设，则可得，故，根据二次函数性质可得面积的最大值为； （3）求出抛物线的对称轴为直线，设，分三种情况：①当为对角线时，的中点重合，，②当为对角线时，，③当为对角线时，，分别解方程组可得答案． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：过P作轴交于Q，如图： 由得直线解析式为， 设，其中，则 ， ， ∵， ∴当时，取最大值， 面积的最大值为； 【小问3详解】 解：抛物线上存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 又， ①当为对角线时，的中点重合， ∴， 解得， ； ②当为对角线时， ， 解得， ； ③当为对角线时， ， 解得， ； 综上所述，N的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形等知识，解题的关键是分类讨论思想和方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南湖中学2026春季三月月考九年级数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是随机事件的为（ ） A. 明天太阳从东方升起 B. 在抽奖活动中抽中特等奖 C. 任意画一个三角形，其内角和是 D. 骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次骰子，向上一面的点数是7 4. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 我国自主研发的人工智能“绝艺”获得全球前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中一个大数据中心能存储本书籍，数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，点在上，，则（ ） A. B. C. D. 7. 九（1）班为更好地了解 软件，计划举办手抄报展览，确定了“”、“豆包”“”三个主题，若小辰和小轩从中任意选择一个主题，则两人选择的主题不同的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 摩托车每行驶消耗能量 C. 一次性充满电后，摩托车最多行驶 D. 摩托车充满电后，行驶将自动报警 9. 如图，正方形边长为9，以对角线为斜边作，，点在上，连接，若，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 10. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（ ） A. 由大变小 B. 由小变大 C. 保持不变 D. 有最小值 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例如，表示向右走，那么向左走记作_____． 12. 我省将球类运动纳入中考体育必测项目，学生可以从篮球、足球、排球三种球类技能中选择一项作为球类测试项目．小明和小丽选择排球作为中考体育测试项目之一，如图是他们进行了6次1分钟定时隔空垫球练习的数量统计．根据图中信息，估计小明和小丽两人中成绩比较稳定的是___________． 13. 方程的解为______． 14. 某仓储中心有一个斜坡，，、在同一水平地面上，其横截面如图，现有一个侧面图为正方形的正方体货柜，其中米，该货柜沿斜坡向下时，若点的最大高度限制（即点离所在水平面的高度的最大值）为6.2米，此时的长度为____米，（结果保留一位小数，参考数据：，，） 15. 已知二次函数的图象经过，两点，其中，对称轴为．下列四个结论：；；点、在抛物线上，当时，；已知关于的方程有两个根，其中一个根是，若关于的方程有整数根，则其根为和；其中正确的结论是____(填写序号) 16. 如图，在中，于点，若，，，则的长度为___________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①：得____________； （2）解不等式②：得____________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组的解集为____________． 18. 如图，已知点和点在线段上，且，，，则与的位置关系如何？为什么？ 19. 某学校为了解本校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周阅读的时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）求共调查学生的人数，并补全条形统计图． （2）估计该校1500名学生中周阅读总时间不低于的人数． （3）从众数、中位数、平均数这三个统计量中任选一个，解释其在本题中的意义． 20. 如图，是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，图中和都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，每个任务不超过3步． （1）在图1中，是格点，过点作的垂线交于；在上画点，使； （2）在图2中，是格线上的点，过点作；在上画点，使得． 21. 如图，在中，，为的直径，点D为的中点，与交于点E，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 22. 【问题情境】如图1，武汉长江大桥是新中国桥梁建设的标志性建筑，桥头堡上的观景窗兼具庄重与美感．某工艺小组对桥头堡拱形观景窗进行优化设计，窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形． 【方案设计】小明测量并绘制了观景窗示意图（如图2），窗洞轮廓可看成由矩形和一条抛物线组成的封闭图形．已知米，米，窗洞最高点到窗台的距离为4米，其中点、在上，点、均在抛物线上． 【方案实施】在图2中，以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．请解决下列问题： （1）请在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）当时，求和的长； （3）如图3，在矩形两侧分别作两个正方形和正方形，其中点、在抛物线上，点、在上，点、分别在和上，若将抛物线和构成的封闭区内的线段定制为仿古木质花框（不含抛物线和，不考虑木质框架宽度），当矩形所需的木质框架总长度最长时，请直接写出封闭区域内木质框架的总长度． 23. 在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，于点，点、分别在边、上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出． （1）【学以致用】如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，求的长； （2）【类比探究】如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点、分别在边、上，沿着直线折叠矩形，点、分别落在点、处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，则折叠后长为_______． 24. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于A，B两点，其中． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，求面积的最大值； （3）若点M为抛物线对称轴上的点，抛物线上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $