精品解析：河南鹤壁市浚县黎阳镇后咀头学校2025-2026学年第二学期学习评价八年级数学试题

2025－2026学年度八年级第二学期学习评价 数学（1） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 河南开封的刺绣——汴绣以北宋都城汴京（今开封）而得名，素有“国宝”之称．绣线多采用产地范围内生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积约为，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 5. 解分式方程，去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A. B. C. D. 8. 若，则n的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. －3 B. －3或－5 C. 1或－3 D. 1或－5 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算的结果是_____． 12. 分式，的最简公分母是_____． 13. 若，则_____． 14. 已知，则常数，的值分别是：_____． 15. 关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. 计算与解方程 （1）； （2）． 17. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，比较与的大小关系． 18. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 19. 在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． （1）若，求x的值； （2）若不存在满足条件的，求的值． 20. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 21. 根据发现的规律回答问题 （1）解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； （2）根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； （3）请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 22. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 23. 根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． （1）任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； （2）任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ （3）任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度八年级第二学期学习评价 数学（1） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一．选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 下列各式中：，分式的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【详解】解：∵ 分母是常数，中是常数，是常数，这三个都是整式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； ∴ 分式共有个． 2. 下列是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简分式定义，若分式的分子与分母没有除1以外的公因式，则该分式是最简分式，对各选项因式分解后判断是否可约分即可得到结果． 【详解】解：∵最简分式的定义为分子与分母没有除1以外公因式的分式． 故可对各选项逐一判断： A：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； B：，，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式； C：无法分解因式，分子与分母没有除1以外的公因式，不能约分，因此是最简分式； D：，分子分母有公因式，可以约分，不是最简分式． 3. 河南开封的刺绣——汴绣以北宋都城汴京（今开封）而得名，素有“国宝”之称．绣线多采用产地范围内生产的蚕丝线、棉线、麻线等，织成蚕丝线的蚕丝截面可近似地看成圆，直径约为，蚕丝线的截面面积约为，数据用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式为 ，其中，为整数，对于一个小于的正数，小数点向右移动几位得到，就为负几． 【详解】解：∵将的小数点向右移动位得到，且， ∴，， ∴． 4. 若把分式中的，同时扩大到原来的倍，则分式的值也扩大到原来的倍，则“”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将，同时扩大为原来的倍后代入分式，根据分式值扩大为原来的倍，推得分母替换后应为原来的倍，验证选项即可得到答案． 【详解】解：设原分母为，则原分式为​，新分式为，根据题意： ​， 化简得：​，即， A选项：，扩大后，，不符合，故A错误； B选项：，扩大后，符合，故B正确； C选项：，扩大后，不符合，故C错误； D选项：，扩大后，不符合，故D错误． 5. 解分式方程，去分母变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程两边同时乘最简公分母去掉分母，整理后得到正确变形，即可选出对应选项． 【详解】解： 方程两边同乘得 整理得 化简得． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据分式乘法法则计算，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 7. 根据下面表格中的信息（※表示非零的数值），代表的分式可能是（ ） … 0 1 2 … … 0 ※ ※ 无意义 ※ … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式无意义时分母为零可排除A，B，将，代入即可排除D． 【详解】解：由表格信息可知，当时，分式无意义， ∴分式的分母在时的值为， A选项分母为，时，不符合，排除A； B选项分母为，时，不符合，排除B； ∵当时，分式的值为， ∴分式的分子在时的值为，且分母不为， C选项分子为，时，分母，符合条件； D选项分子为，时，分式值不为，不符合条件． 8. 若，则n的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆应用，同底数幂的乘法及负整数幂的逆应用，根据已知，正确变形计算即可． 【详解】解： ， ， 故选：A． 9. 刘峰和李明相约周末去河南省科技馆看展览，根据他们的谈话内容，试求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时各行多少千米？ 刘峰：我查好地图，你看看： 李明：好的，我家门口的公交车站，正好有一趟去科技馆那站的公交车，我坐明天的车． 刘峰：从地图上看，我家到科技馆的距离比你家近10千米，我就骑自行车去了． 李明：行，根据我的经验，公交车的速度一般是你骑自行车速度的3倍，那你明天早上8：00从家出发，如果顺利，咱们同时到达． 设刘峰骑自行车每小时行驶千米，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得． 10. 若关于的分式方程无解，则的值为（ ） A. －3 B. －3或－5 C. 1或－3 D. 1或－5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 二．填空题．（每题3分，共15分） 11. 计算的结果是_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】先判断底数是否不为0，再根据零指数幂的运算法则计算结果． 【详解】∵，， ∴根据零指数幂运算法则：任何非零数的零次幂等于1，可得． 12. 分式，的最简公分母是_____． 【答案】## 【解析】 【详解】解：分式，的最简公分母是． 13. 若，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据题意求出，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即 ∴． 14. 已知，则常数，的值分别是：_____． 【答案】， 【解析】 【分析】先对等式左侧分式通分，根据左右两边分式分母相等，得到分子对应项系数相等，列二元一次方程组求解即可得到常数的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 15. 关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是______． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式方程，用表示方程的解，根据方程的解是整数的要求得出的值，即可得到答案． 【详解】解：， ， ∴， ∵关于的分式方程的解是整数， ∴时，解得：或； 时，解得：或； 时，解得：或； ∵， ∴， ∴，解得：， 综上可得：满足条件的整数的值为或或或或， ∴所有满足条件的整数的值之和是． 三．解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. 计算与解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算乘方，然后将除法转换为乘法，然后约分化简即可； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得， 检验：将代入 ∴原方程的解为． 17. 已知，． （1）若，求的值； （2）若，比较与的大小关系． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将通分为，然后根据分式的值相等，可得关于m的方程，解方程可得答案； （2）根据作差法，可得答案． 【小问1详解】 解：∵， 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的方程的解是正数，求的取值范围． 【答案】且 【解析】 【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据解为正数，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 【详解】解： 方程两边乘，得：， 解得． ∵原分式方程的解是正数， ∴， ∴， 又， ∴， 解得． ∴且． 19. 在数轴上点A，B表示的数分别为，，已知A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等． （1）若，求x的值； （2）若不存在满足条件的，求的值． 【答案】（1）10 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，再将代入解分式方程即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，点A和原点重合，不符合题意，舍去；当时，解分式方程，根据分式方程无解的情况，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 当时，， 解得， 经检验，是原方程的解； 【小问2详解】 解：当时，，此时点A和原点重合，不符合题意，舍去； 当时， ∵A，B两点在原点两侧，且到原点的距离相等， ∴， 去分母得：， 已知不存在满足条件的x的值，则， 把代入得，， 解得：， 综上，m的值为. 20. 先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 （1）任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； （2）任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】（1）三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【小问1详解】 解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； 【小问2详解】 解：， ， 当时， ． 21. 根据发现的规律回答问题 （1）解下列方程 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； 的解为_____； （2）根据上述规律和形式继续写出： ________________；_____________； （3）请根据上述规律写出第个（为正整数）方程及它的解，并写出解题过程． 【答案】（1）；；；； （2）的解为；的解为； （3）第个（为正整数）方程为解为，解方程见解析． 【解析】 【分析】（）根据解分式方程的方法分别进行求解即可； （）观察上述方程及解的规律可得到第个方程并求解即可； （）根据上述规律，第个方程为，再对该分式方程进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； ， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据上述规律和形式可得 ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； ， 经检验：是原方程的解， 故答案为：的解为； 【小问3详解】 解：根据上述规律得第个（为正整数）方程为 ， 经检验：是原方程的解， ∴原分式方程的解为：． 22. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （1）下列分式：①；②；③；④．其中“和谐分式”是_______________（填写序号即可）； （2）在下列三个整式中，任意选择2个式子分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式是“和谐分式”，写出所有结果． ；；． （3）若a为正整数，且为“和谐分式”，a的值为_____． 【答案】（1）② （2）和 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，逐一判断即可； （2）先将题中给出的三个整式中，能够因式分解的进行因式分解，再根据题意“这个分式不可约分”进行构造即可； （3）根据“和谐分式”的定义，考虑分母能够因式分解，结合a为正整数，可得a的值为4． 【小问1详解】 解：对于①：，分子和分母都不可以因式分解，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于②：，分母可以因式分解，且这个分式不可约分，是“和谐分式”，符合题意； 对于③：，分母可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 对于④：，分子可以因式分解，但这个分式可以约分，不是“和谐分式”，不符合题意； 综上，“和谐分式”是②． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴“和谐分式”有：和． 【小问3详解】 解：∵为“和谐分式”， 不能因式分解， ∴能够因式分解， ∵a为正整数，能够因式分解， ∴或． ∵分式不可约分， 又∵当时，分母为，分式可约分，不满足“和谐分式”定义， 当时，分母为，分式不可约分，满足“和谐分式”定义， ∴． 23. 根据信息，完成下列活动任务： 素材：商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：设种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，则千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克（平均价）． （1）任务若，，求千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价； （2）任务：在任务的前提下，商店要使什锦糖的价格降低元，则需加入哪一种糖，多少千克？ （3）任务：现有甲、乙两种什锦糖，均由、两种糖混合而成．其中甲种什锦糖由相同质量的，两种糖混合而成，乙种什锦糖由相同总价的，两种糖混合而成，请比较甲、乙两种什锦糖的单价． 【答案】（1）混合什锦糖的单价为元千克； （2）需加入A种糖，加入千克； （3）当时，甲种什锦糖的单价较高；当时，甲、乙两种什锦糖单价相等． 【解析】 【分析】（）直接代入题目给出的什锦糖单价公式计算即可； （）分加入种糖、加入种糖两种情况，根据降价要求列分式方程，舍去不合题意的解后得到结论； （）分别表示出甲、乙两种什锦糖的单价，用初中作差法比较大小得到结论． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴代入得（元千克）， 答：千克种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为元千克； 【小问2详解】 解：设加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意； 若加入千克种糖， 根据题意得， 整理得， 解得， 经检验，是原方程的解，但质量不能为负，不符合题意，舍去， 答：需加入种糖，加入千克； 【小问3详解】 解：设甲种什锦糖中两种糖的质量都为千克（），则甲的单价为，设乙种什锦糖中两种糖的总价都为元（），则的质量为千克，的质量为千克，乙的单价为， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴当时，，即，甲种什锦糖单价较高； 当时，，即，两种什锦糖单价相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $