精品解析：2026年江苏省无锡市梁溪区九年级第一次模拟考试数学试卷

2026年九年级第一次模拟考试数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 如果水位上升记作，那么水位下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，上升记为正，与上升意义相反的下降应记为负，据此即可得出结果． 【详解】解：∵水位上升记作，上升与下降是一对具有相反意义的量， ∴水位下降记作． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项合并法则、单项式乘法法则、同底数幂的除法法则逐一判断选项． 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，故 A计算错误； 对于选项B，，故B计算错误； 对于选项C，，故 C计算正确； 对于选项D，，故D计算错误； 3. 下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 4. 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查不同统计量的实际意义，要估算3月份该时段的总汽车流量，需要先得到平均每天的汽车流量，结合各统计量的作用判断即可． 【详解】解：∵ 估算3月份总流量，需要先得到该时段平均每天通过路口的汽车流量，再乘以3月份天数得到总流量． 平均数反映一组数据的平均水平，中位数反映数据的中间水平，众数是一组数据中出现次数最多的数据，方差反映数据的波动大小． ∴ 只有平均数可用于得到平均日流量，估算总流量，因此选A． 5. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A 只有等腰三角形或等边三角形是轴对称图形，任意三角形不一定是轴对称图形，故A错误； B 平行四边形找不到满足条件的对称轴，不是轴对称图形，故B错误； C 矩形沿对边中点所在直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，一定是轴对称图形，故C正确； D 只有等腰梯形是轴对称图形，任意梯形不一定是轴对称图形，故D错误． 6. 已知中，，，则中线的长可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 7. 小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，圆锥侧面沿母线展开后为扇形，扇形面积等于圆锥侧面积，结合扇形面积公式即可计算得到结果． 【详解】解：∵圆锥形纸套底面直径为， ∴底面圆的周长为， ∵侧面展开后扇形的弧长等于底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，扇形面积公式为， ∴代入得， 即所得图形的面积为． 8. 某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列方程，解题思路是依次推出两次升级后的能量密度，结合最终能量密度列出方程即可． 【详解】解：∵原电极材料的能量密度为，每次升级后的能量密度是升级前的倍， ∴第一次升级后的能量密度为 ， 第二次升级后的能量密度为 ， ∵最终能量密度达到 ， ∴可列方程为 ． 9. 把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像的平移规律，利用“上加下减”的平移规则求出平移后的函数解析式，再代入点坐标验证即可得到结果． 【详解】解：∵原函数为，将其图像沿轴向上平移3个单位长度，根据一次函数平移规则， ∴平移后得到的函数解析式为． 将代入解析式，得， ∴在平移后的图像上，因此选C． 10. 在平面直角坐标系中，若点既在函数的图像上，又在函数的图像上，且满足，则称点为这两个函数的一个“非负公共点”．例如，点就是函数和函数的一个“非负公共点”．现有函数和．已知它们存在“非负公共点”．下列说法： ①的值可以是3； ②的值可以是1； ③若仅存在一个“非负公共点”，则； ④若存在两个“非负公共点”，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据“非负公共点”的定义，联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的问题，结合得交点横坐标，再分别判断四个说法的正误． 【详解】解：∴联立 整理得 ∵点是两个函数的非负公共点， ∴，且，即； 对于一元二次方程，判别式 ①当时，， ∴方程的解为 由方程的两根都满足，存在非负公共点，故①正确； ②当时，，方程无实根，不存在公共点，故②错误； ③仅存在一个非负公共点分两种情况： 当，则， ∴，此时方程根为，满足条件； 当，则 即， 则方程一个根大于2，一个根小于等于2， 设，开口向上， 则 ，那么 解得，此时也仅一个非负公共点， ∴仅存在一个非负公共点时，或，故③错误； ④若存在两个非负公共点，需要， 解得，不是，故④错误； 综上，正确的说法只有1个． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 计算：=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解：=；故答案为． 点睛：此题考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的运算法则：乘法法则是本题的关键． 12. 今年“锡马”设置马拉松、半程马拉松两大项目，赛事总规模人，这是一场速度与耐力的较量，也是一次沉浸式的春日之旅．数据用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题思路为根据科学记数法的定义，确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 13. 已知点在反比例函数的图像上，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出的值． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 14. 如图，固定木条、，使．旋转木条，要使得，则应调整为________． 【答案】70 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴应调整为． 15. 如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 【答案】77 【解析】 【分析】墙面垂直地面，构成直角三角形，木棍长度是直角三角形的斜边，长度为，要求的木棍顶端离地面的高度是的对边，据此求解即可； 【详解】解：∵一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为， ∴木棍顶端离地面的高度． 16. 如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 17. 小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形与正六边形的性质，可知剪去的小等边三角形与原大等边三角形相似，且相似比为，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出小等边三角形的面积，再用原三角形面积减去三个小等边三角形的面积即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵剩下的纸片是正六边形， ∴剪去的三个等边三角形全等，且小等边三角形的边长等于正六边形的边长， ∴原大等边三角形的边长为倍小等边三角形的边长， ∴小等边三角形与原大等边三角形相似，相似比为， 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得面积比为， 设每个小等边三角形的面积为，则， 解得， ∴正六边形的面积为． 18. 某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 【答案】 ①. 0 ②. 5 【解析】 【分析】本题利用三角形的基本性质进行逻辑推理，先推导最多可能收到的小红花数量，再通过构造法得到最少可能收到的数量． 【详解】解：先推导最多收到的小红花数量： 若某位同学收到位同学送的花，对这位同学中任意两点，都满足，， 在中，是最长边，根据三角形大边对大角的性质，可得， 这位同学与点O的连线形成的个相邻夹角之和为， 因此， 解得，为正整数， 故的最大值为； 再推导最少收到的小红花数量： 可构造出符合题意的情况，即存在同学没有被其他任何同学选为最近距离点，例如多个点都将最近点选为同一个中心，除中心回送的一个点外，其余外围点都不会收到其他同学送的花，因此最少可以为． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 当时，计算代数式的值． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 当取何值时，代数式的值与的值相等？ 【答案】； 【解析】 【分析】根据题意列出一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：； ∵， ∴ 解得：； 21. 如图，在矩形中，是的中点，连接、、，请找出图中与全等的三角形并证明． 【答案】，见解析 【解析】 【详解】解：．证明如下， 四边形为矩形， ，． 是中点， ． ． 22. 年“文化和自然遗产日”，学校计划从“惠山泥人”、“留青竹刻”、“锡剧”、“无锡精微绣”四个国家级非遗项目中挑选两个进行校园展览． （1）若已确定“惠山泥人”必须参展，需再从其余三个项目中随机选取一个，则选中“锡剧”的概率是 ． （2）若从这四个项目中随机选择两个项目参展，求选中“惠山泥人”和“锡剧”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算即可； （2）先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：已确定“惠山泥人”必须参展，需再从其余三个项目中随机选取一个，则选中“锡剧”的概率是； 【小问2详解】 设“惠山泥人”、“留青竹刻”、“锡剧”、“无锡精微绣”分别为、、、， 画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中，恰好选中“惠山泥人”和“锡剧”的有2种， 恰好选中“惠山泥人”和“锡剧”的概率为． 23. 为检查“双减”政策落实情况，学校对九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间，开展了一次调查研究．学校从九年级学生中随机抽样调查40人，整理出如下的统计表： 平均每天完成课后书面作业的时间 不超过60分钟 60分钟至90分钟 超过90分钟 划记 正 正正正正正正 人数（人） 5 30 （1）表格中、所对应的划记和人数分别应为： ， ． （2）画出合适的统计图描述该校九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间状况，要求体现这三种时长的人数占总人数的比例情况； （3）学校规定：平均每天完成课后书面作业时间不超过90分钟．根据以上信息，估计该校九年级320名学生中，符合此规定的学生约有多少人？ 【答案】（1）正；5 （2）见解析 （3）符合此规定的学生约有280人 【解析】 【分析】（1）根据表格数据求得超过90分钟的人数即可求解； （2）分别计算出三种时长的人数占总人数的比例情况，用扇形统计图画出，即可求解； （3）用样本估计总体，用乘以不超过90分钟的占比即可求解． 【小问1详解】 解：超过90分钟的人数为： ∴、所对应的划记和人数分别应为：正；5 【小问2详解】 解：不超过60分钟和超过90分钟的占比为：，圆心角度数为； 60分钟至90分钟的占比为，圆心角度数为 如图所示， 【小问3详解】 解：． 符合此规定的学生约有280人． 24. 如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． （1）判断与的位置关系并证明； （2）若的半径为4，求的面积． 【答案】（1）与相切，见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意可得，再结合三角形外角的性质可得，即可解答； （2）过点B作于点H，根据直角三角形的性质以及勾股定理可，，再结合等腰三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：与相切，证明如下： 连接， ， ， ∵， ． ， ∴ ， ，即， 与相切． 【小问2详解】 解：过点B作于点H， ∵， ∴， ， ， ∴， ， ，， ∴， 又， ， ． 25. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作边的垂直平分线交于点E，即可； （2）过点A作于点F，在中，，，由作法得：点E为的中点，可得，从而得到，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，线段即为所求； 理由：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由作法得：点E为的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作于点F， 在中，，， ∴，， 由作法得：点E为的中点， ∵， ∴， ∴， ∴． 26. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1），，围成这样的矩形养殖区符合题意 （2）面积不能达到，见解析 【解析】 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【小问1详解】 解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； 【小问2详解】 解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 27. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． （1）求证：函数图像上总存在“等值点”； （2）设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； （3）将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）的值为，，或 【解析】 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； 【小问2详解】 解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； 【小问3详解】 解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 28. 小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 【答案】一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，见解析；一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形，见解析 【解析】 【分析】结合全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，． 求证：四边形为平行四边形． 证明：连接， ， ． 又，， ． ， 四边形为平行四边形． ②一组对角相等，一组对边相等的四边形不是平行四边形． 反例：尺规作等腰，，在上取点（），连接． 以为圆心，长为半径作弧；以为圆心，长为半径作弧，两弧交于．连接、． 由作图可知，，， 又， ， ． 在四边形中，，，且， 四边形符合题意，但不是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第一次模拟考试数学试题 本试卷分试题和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟．试卷满分150分． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名等个人信息填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名等个人信息是否与本人的相符合． 2．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目中的选项标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，写在答题卡上各题目指定区域内相应的位置，在其他位置答题一律无效． 3．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 4．卷中除要求近似计算的结果取近似值外，其他均应给出精确结果． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．） 1. 如果水位上升记作，那么水位下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明在3月份随机统计了7天同一时段通过某路口的汽车流量如下： 汽车流量（辆） 天数（天） 如果要估算3月份在这个时段通过该路口的汽车总流量，小明需要计算这组数据的（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 5. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 梯形 6. 已知中，，，则中线的长可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 小红测量了某款冰淇淋蛋筒的圆锥形纸套，量得纸套的底部直径为，纸套的侧面长度（即母线长）为，把这个纸套沿母线剪开展平，所得图形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 某新能源汽车公司为提高电池包能量密度，对电极材料进行迭代升级．已知原电极材料的能量密度为，经过两次迭代升级，每次升级后的能量密度都是升级前的倍，最终能量密度达到，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 把函数的图像沿轴向上平移3个单位长度，所得到的图像一定经过点（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，若点既在函数的图像上，又在函数的图像上，且满足，则称点为这两个函数的一个“非负公共点”．例如，点就是函数和函数的一个“非负公共点”．现有函数和．已知它们存在“非负公共点”．下列说法： ①的值可以是3； ②的值可以是1； ③若仅存在一个“非负公共点”，则； ④若存在两个“非负公共点”，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第一空1分，第二空2分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置．） 11. 计算：=______． 12. 今年“锡马”设置马拉松、半程马拉松两大项目，赛事总规模人，这是一场速度与耐力的较量，也是一次沉浸式的春日之旅．数据用科学记数法表示为_______． 13. 已知点在反比例函数的图像上，则_______． 14. 如图，固定木条、，使．旋转木条，要使得，则应调整为________． 15. 如图，一根长的木棍靠在垂直的墙面上，量得木棍与地面的夹角为，则木棍顶端离地面的高度约为________．（数据：，，） 16. 如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 17. 小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 18. 某学生社团组织活动，该社团26位同学首先分散站在篮球场上，彼此之间的距离各不相同，然后每位同学向离自己最近距离的同学送出一朵小红花，则各位同学收到的小红花中，最少能收到_______朵，最多能收到________朵． 三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等．） 19. 当时，计算代数式的值． 20. 当取何值时，代数式的值与的值相等？ 21. 如图，在矩形中，是的中点，连接、、，请找出图中与全等的三角形并证明． 22. 年“文化和自然遗产日”，学校计划从“惠山泥人”、“留青竹刻”、“锡剧”、“无锡精微绣”四个国家级非遗项目中挑选两个进行校园展览． （1）若已确定“惠山泥人”必须参展，需再从其余三个项目中随机选取一个，则选中“锡剧”的概率是 ． （2）若从这四个项目中随机选择两个项目参展，求选中“惠山泥人”和“锡剧”的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 23. 为检查“双减”政策落实情况，学校对九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间，开展了一次调查研究．学校从九年级学生中随机抽样调查40人，整理出如下的统计表： 平均每天完成课后书面作业的时间 不超过60分钟 60分钟至90分钟 超过90分钟 划记 正 正正正正正正 人数（人） 5 30 （1）表格中、所对应的划记和人数分别应为： ， ． （2）画出合适的统计图描述该校九年级学生平均每天完成课后书面作业的时间状况，要求体现这三种时长的人数占总人数的比例情况； （3）学校规定：平均每天完成课后书面作业时间不超过90分钟．根据以上信息，估计该校九年级320名学生中，符合此规定的学生约有多少人？ 24. 如图，是的弦，经过圆心交于点，是上一点，． （1）判断与的位置关系并证明； （2）若的半径为4，求的面积． 25. 学校劳动基地有一块形状为平行四边形的菜地（如图所示），为便于灌溉，需要沿线段修建一条水渠（为边上一点），将菜地分成面积为的两部分（水渠面积忽略不计）． （1）尺规作图：在图中画出线段；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，，求水渠的长度． 26. 某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． （1）若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； （2）为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 27. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． （1）求证：函数图像上总存在“等值点”； （2）设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； （3）将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 28. 小亮在学习“平行四边形的判定”时，饶有兴趣地从“角”的维度进行探究，他发现“两组对角分别相等的四边形”也可以证明它是平行四边形．小亮在进一步探究“一组对角相等，一组对边平行的四边形”和“一组对角相等，一组对边相等的四边形”时遇到了困难．请你帮他完成对这两个四边形的探究，如果是平行四边形，请给出证明：如果不是，请用尺规作图画出反例并做出简要说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $